Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 PSI 2025

1. Champ électrostatique d'un plan infini chargé

Considérons un plan infini confondu avec le plan (yOz), portant une densité surfacique de charge uniforme \sigma, immergé dans un milieu de permittivité diélectrique \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}.

• Par invariance par translation selon Oy et Oz, le champ électrostatique ne dépend que de l'abscisse x.
• Tout plan orthogonal à (yOz) passant par le point d'observation est un plan de symétrie de la distribution, donc \vec{E}_{\mathrm{p}}(x) = E_{\mathrm{p}}(x)\vec{u}_x.
• Le plan (yOz) est un plan de symétrie de la distribution, d'où la relation d'antisymétrie : E_{\mathrm{p}}(-x) = -E_{\mathrm{p}}(x).

On applique le théorème de Gauss à un cylindre de section droite \mathcal{S}, d'axe (Ox), s'étendant de -x à +x (avec x > 0) :

On en déduit :

2. Champ électrostatique entre les électrodes (-a < x < a)

Le système est constitué de quatre plans infinis parallèles d'abscisses respectives :

• x_1 = -a de densité +\sigma ;
• x_2 = -a+\delta de densité -\sigma' ;
• x_3 = a-\delta de densité +\sigma' ;
• x_4 = a de densité -\sigma.

D'après le principe de superposition, le champ total s'écrit \vec{E}(x) = \sum_{i=1}^4 \vec{E}_i(x) :

• Pour -a < x < -a+\delta : le point se situe à droite de x_1, et à gauche de x_2, x_3, x_4.

  \begin{aligned} \vec{E}(x) &= \left( +\frac{\sigma}{2\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} - \frac{-\sigma'}{2\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} - \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} - \frac{-\sigma}{2\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} \right) \vec{u}_x = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} \vec{u}_x \end{aligned}

• Pour -a+\delta < x < a-\delta : le point se situe à droite de x_1 et x_2, et à gauche de x_3 et x_4.

  \begin{aligned} \vec{E}(x) &= \left( +\frac{\sigma}{2\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} + \frac{-\sigma'}{2\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} - \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} - \frac{-\sigma}{2\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} \right) \vec{u}_x = \frac{\sigma - \sigma'}{\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} \vec{u}_x \end{aligned}

• Pour a-\delta < x < a : le point se situe à droite de x_1, x_2, x_3, et à gauche de x_4.

  \begin{aligned} \vec{E}(x) &= \left( +\frac{\sigma}{2\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} + \frac{-\sigma'}{2\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} + \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} - \frac{-\sigma}{2\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} \right) \vec{u}_x = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}}} \vec{u}_x \end{aligned}

En résumé, le champ électrostatique est constant par morceaux :

D'après la figure 3, l'électrode en x = -a est au potentiel +U/2 et celle en x = a est au potentiel -U/2. La tension U entre les deux électrodes s'écrit donc :

Le potentiel électrostatique V(x) est relié au champ électrique par \vec{E} = -\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}\,\vec{u}_x, ce qui donne par intégration :

En utilisant l'expression par morceaux de E(x) établie à la question Q1 :

On obtient bien la relation attendue :

1. Justification de \sigma' = \sigma :

En régime indépendant du temps, le milieu électrolytique est à l'équilibre électrostatique. Les doubles couches électrochimiques adjacentes aux électrodes étant isolantes (absence de transfert de charges aux interfaces), aucun courant continu ne peut circuler : la densité de courant volumique dans la solution s'annule, \vec{\jmath} = \vec{0}.

D'après la loi d'Ohm locale, \vec{\jmath} = \gamma \vec{E}, le champ électrique dans le cœur de la solution (-a+\delta < x < a-\delta) doit donc être nul :

2. Expression de la capacité C_0 :

En reportant \sigma' = \sigma dans la relation obtenue à la question Q2 :

La charge portée par l'électrode située en x = -a (à potentiel positif +U/2) vaut Q = \sigma S. La capacité C_0 du supercondensateur s'en déduit par définition :

3. Comparaison avec un condensateur classique à air :

Un condensateur plan de même géométrie (surface transverse S et distance inter-électrodes 2a) rempli d'air (\varepsilon_{\mathrm{r}} = 1) a pour capacité :

Le rapport des capacités s'écrit donc :

Dans la solution ionique située entre les deux couches limites (-a+\delta < x < a-\delta), le champ électrique s'écrit, d'après le résultat de la question Q1 :

D'après la loi d'Ohm locale, la conduction ionique est caractérisée par le vecteur densité de courant :

Considérons le plan chargé situé en x = a - \delta, de charge q'(t) = \sigma'(t)S :

• Le milieu pour x > a - \delta est une double couche isolante, de sorte qu'aucun ion ne traverse cette région : le courant sortant est nul.

• Le courant arrivant de l'électrolyte par la gauche (x < a - \delta) à travers la section S normale à \vec{u}_x vaut :

  i_{\text{entrant}}(t) = \vec{\jmath}(t)\cdot (S\vec{u}_x) = \gamma \frac{\sigma - \sigma'(t)}{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r}}}S.

Le bilan de charge pour ce plan entre les instants t et t + \mathrm{d}t s'écrit alors :

En divisant par \mathrm{d}t, on obtient immédiatement :

D'après la question Q4, comme q' = \sigma' S, la dérivée temporelle de la densité surfacique de charge s'écrit :

D'autre part, la relation établie à la question Q2 permet d'exprimer \sigma en fonction de la tension appliquée U et de \sigma' :

En reportant cette expression dans celle de \dfrac{\mathrm{d}\sigma'}{\mathrm{d}t}, il vient :

On obtient bien l'équation différentielle régissant l'évolution de \sigma'(t) :

Par identification avec la forme canonique \dfrac{\mathrm{d}\sigma'}{\mathrm{d}t} + \dfrac{\sigma'}{\tau} = \dfrac{\sigma'_{\infty}}{\tau}, on identifie le temps caractéristique \tau d'évolution de la double couche :

Dans le cadre de la modélisation du supercondensateur par l'association série d'une capacité C_0 et d'une résistance interne R_0, la constante de temps du circuit vaut :

En utilisant l'expression de la capacité C_0 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r}}S}{2\delta} déterminée à la question Q3 :

En convention récepteur pour le supercondensateur (figure 4), la loi des mailles s'écrit :

où u_C(t) est la tension aux bornes de la capacité C_0. La tension u_C(t) est une variable d'état, donc continue en tout instant :

1. Détermination de la résistance interne R_0 :

À t = 0, le courant passe instantanément de 0 à I = -33\text{ A} (courant de décharge). La discontinuité de tension observée vaut :

Soit, en valeurs numériques :

Le même saut de tension est observé à t = T = 14{,}5\text{ s} lors de l'interruption du courant :

On obtient ainsi :

2. Détermination de la capacité C_0 :

Sur l'intervalle ]0, T[, le courant de décharge est rigoureusement constant : I(t) = -I_0 = -33\text{ A}. La relation caractéristique du condensateur I = C_0 \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} donne :

Comme R_0 I est constant sur cet intervalle, la tension U(t) varie à la même vitesse que u_C(t) :

Par intégration de l'intensité sur la durée T :

Application numérique :

La tension nominale d'une cellule lue sur la figure 5 vaut par ailleurs V_{\mathrm{N}} = 3{,}00\text{ V}.

1. Hypothèses simplificatrices :

• Les frottements (résistance au roulement, traînée aérodynamique) sont négligés ; la montée s'effectue à vitesse constante (énergie cinétique constante).
• Les rendements du moteur, du convertisseur et de la transmission mécanique sont pris égaux à 1.

• La masse additionnelle du pack de supercondensateurs est supposée négligeable devant la masse de l'ensemble vélo + cycliste :

  M_{\mathrm{tot}} \simeq M_{\mathrm{vélo}} + M_{\mathrm{cycliste}} = 20 + 80 = 100\text{ kg}.

2. Énergie requise pour le dénivelé : Le travail nécessaire pour élever la masse totale d'un dénivelé h = 60\text{ m} correspond à la variation d'énergie potentielle de pesanteur :

Le taux d'assistance est défini par :

L'énergie totale fournie étant égale au travail gravitationnel :

Remarque : si le niveau d'assistance de 50\,\% était interprété comme la part du pack dans l'énergie totale fournie, l'énergie requise serait E_{\mathrm{pack}} = 0{,}5\,\Delta E_{\mathrm{p}} \simeq 29{,}4\text{ kJ}.

3. Énergie utile stockée par un supercondensateur : D'après l'énoncé, chaque cellule élémentaire est exploitée entre sa tension nominale V_{\mathrm{N}} = 3{,}00\text{ V} et une tension minimale fixée à la moitié de la valeur nominale, V_{\min} = V_{\mathrm{N}} / 2 = 1{,}50\text{ V}. Avec C_0 = 330\text{ F}, l'énergie extractible par cellule vaut :

Le nombre minimal de condensateurs N pour satisfaire le besoin énergétique est donc :

4. Assemblage et vérification des contraintes électriques :

• Contrainte de tension : La partie I.4 précise que la tension V_{\mathrm{e}} aux bornes du pack évolue entre 27\text{ V} et 54\text{ V}. En mettant n_s cellules en série :

  V_{\mathrm{e},\max} = n_s V_{\mathrm{N}} = 54\text{ V} \implies n_s = \frac{54}{3{,}00} = 18\text{ cellules en série}.

  La tension minimale du pack est alors n_s V_{\min} = 18 \times 1{,}50 = 27\text{ V}, ce qui coïncide exactement avec la plage spécifiée à la section I.4.

• Contrainte de courant et de puissance : Le moteur requiert une puissance de P = 250\text{ W}. Le courant maximal débité par le pack intervient pour la tension la plus basse (V_{\mathrm{e},\min} = 27\text{ V}) :

  I_{\mathrm{pack},\max} = \frac{P}{V_{\mathrm{e},\min}} = \frac{250}{27} \simeq 9{,}3\text{ A}.

  Cette intensité est très inférieure au courant maximal admissible par cellule, I_{\max} = 33\text{ A} (Figure 7). Il n'est donc pas nécessaire de placer plusieurs branches en parallèle (n_p = 1).

Conclusion : Le pack comprend N = 18 supercondensateurs montés uniquement en série (18\text{S}1\text{P}). La masse correspondante est de 18 \times 70\text{ g} = 1{,}26\text{ kg}, ce qui valide a posteriori l'hypothèse de masse négligeable.

Le convertisseur fonctionne en régime périodique établi. Les composants réactifs (bobines et condensateurs) ne consomment en moyenne aucune puissance active sur une période, et les interrupteurs sont considérés comme parfaits. Le rendement du hacheur est donc unitaire :

La tension de sortie V_{\mathrm{s}} et le courant de sortie I_{\mathrm{s}} étant considérés constants, la puissance moyenne fournie à la charge s'écrit :

La tension d'entrée V_{\mathrm{e}} imposée par le pack de supercondensateurs étant également supposée constante, la puissance moyenne absorbée en entrée s'écrit :

On en déduit l'expression de la valeur moyenne du courant d'entrée :

Cette valeur moyenne est maximale lorsque la tension d'entrée V_{\mathrm{e}} atteint sa valeur minimale V_{\mathrm{e},\min} = 27\text{ V} :

Application numérique : Avec V_{\mathrm{s}} = 36\text{ V}, I_{\mathrm{s}} = 10\text{ A} et V_{\mathrm{e},\min} = 27\text{ V} :

Pour une bobine idéale d'inductance L, la relation tension-courant en convention récepteur s'écrit :

En régime périodique établi de période T = \frac{1}{f}, le courant traversant chaque bobine est une fonction périodique du temps, de sorte que i_L(T) = i_L(0). La valeur moyenne de la tension sur une période vaut :

Cette propriété s'applique directement aux deux bobines L_1 et L_2 du convertisseur :

D'après le schéma de la figure 8, appliquons la loi des mailles le long du contour fermé comprenant la source d'entrée V_e, l'inductance L_1, la capacité C_1, l'inductance L_2 et la ligne de masse inférieure :

soit :

Par linéarité de l'opération moyenne temporelle, et sachant que la tension d'entrée V_e est supposée constante (\langle V_e \rangle = V_e) :

Comme \langle V_{L_1} \rangle = 0 et \langle V_{L_2} \rangle = 0, on en déduit :

D'après la figure 8, la flèche de tension V_{L_2} est orientée du bas (masse, à 0\text{ V}) vers le nœud situé entre C_1, L_2 et K_2, que l'on note N. Ainsi, le potentiel de ce nœud s'écrit directement :

De plus, la tension aux bornes du condensateur de couplage C_1 étant fléchée vers la gauche (du nœud N vers le nœud intermédiaire entre L_1 et K_1, noté M), on a :

Étudions les deux phases de fonctionnement au cours d'une période T :

• Intervalle [0, \alpha T] : K_1 est fermé et K_2 est ouvert.

  L'interrupteur K_1 étant fermé et supposé idéal, le nœud M est relié à la masse : V_M(t) = 0\text{ V}. On en déduit :

  V_N(t) = V_M(t) - V_{C_1}(t) \simeq -V_{\mathrm{e}}.

  La tension aux bornes de la bobine L_2 vaut donc :

  V_{L_2}(t) = -V_{\mathrm{e}}.

• Intervalle [\alpha T, T] : K_1 est ouvert et K_2 est fermé.

  L'interrupteur K_2 étant fermé et idéal, le nœud N est directement connecté à la borne positive de sortie, portée au potentiel V_{\mathrm{s}} :

  V_{L_2}(t) = V_N(t) = +V_{\mathrm{s}}.

En résumé, sur une période T, la tension aux bornes de la bobine L_2 s'écrit :

Le chronogramme correspondant est tracé ci-dessous sur une période :

D'après la question Q10, la tension instantanée aux bornes de l'inductance L_2 s'écrit :

La valeur moyenne de cette tension sur une période T vaut donc :

En régime périodique établi, la valeur moyenne de la tension aux bornes d'une inductance est nulle (\langle V_{L_2} \rangle = 0, question Q9), ce qui conduit directement à :

On en déduit le gain statique du convertisseur :

Intérêts du convertisseur SEPIC :

• Caractère élévateur/abaisseur (Buck-Boost) sans inversion de polarité : La fonction de transfert montre que :

  • pour \alpha < 0{,}5, \dfrac{V_{\mathrm{s}}}{V_{\mathrm{e}}} < 1 (fonctionnement abaisseur) ;
  • pour \alpha > 0{,}5, \dfrac{V_{\mathrm{s}}}{V_{\mathrm{e}}} > 1 (fonctionnement élévateur).

  Dans le vélo hybride, la tension d'entrée varie entre 27\text{ V} et 54\text{ V} alors que la tension de sortie requise est constante à V_{\mathrm{s}} = 36\text{ V}. Le convertisseur doit donc impérativement pouvoir abaisser la tension quand le pack est pleinement chargé (V_{\mathrm{e}} > 36\text{ V}) et l'élever lorsqu'il est déchargé (V_{\mathrm{e}} < 36\text{ V}). De plus, contrairement au hacheur Buck-Boost classique, le SEPIC conserve la même polarité entre l'entrée et la sortie (masse commune).

• Courant d'entrée continu : La présence de l'inductance L_1 directement en série avec la source permet de lisser le courant prélevé sur le pack de supercondensateurs, limitant l'échauffement par effet Joule et le rayonnement électromagnétique.

D'après la question précédente, le gain idéal du convertisseur SEPIC s'écrit :

La tension de sortie étant régulée à V_{\mathrm{s}} = 36\text{ V} :

• Pour la tension d'entrée maximale V_{\mathrm{e},\max} = 54\text{ V} :

  \alpha_{\min} = \frac{36}{54 + 36} = \frac{36}{90} = 0{,}40

• Pour la tension d'entrée minimale V_{\mathrm{e},\min} = 27\text{ V} :

  \alpha_{\max} = \frac{36}{27 + 36} = \frac{36}{63} = \frac{4}{7} \simeq 0{,}57

Commentaires :

• Lorsque le pack se décharge, V_{\mathrm{e}} diminue, ce qui nécessite d'augmenter le rapport cyclique \alpha pour maintenir la tension de sortie constante à 36\text{ V}.
• Pour V_{\mathrm{e}} = 54\text{ V} > V_{\mathrm{s}}, on a \alpha < 0{,}5 : le convertisseur fonctionne en abaisseur (dévolteur).
• Pour V_{\mathrm{e}} = 27\text{ V} < V_{\mathrm{s}}, on a \alpha > 0{,}5 : le convertisseur fonctionne en élévateur (survolteur).
• La plage de variation de \alpha, comprise entre 0{,}40 et 0{,}57, se situe bien en deçà du maximum du gain réel visible sur la figure 9 (qui culmine vers \alpha \approx 0{,}85). Dans cette zone, l'influence de la résistance parasite R_L reste modérée et le rendement demeure élevé.

Cas d'une décharge totale des supercondensateurs (V_{\mathrm{e}} \to 0) : Si l'on laissait les supercondensateurs se décharger complètement :

• Le maintien de V_{\mathrm{s}} = 36\text{ V} exigerait un gain V_{\mathrm{s}}/V_{\mathrm{e}} \to +\infty, ce qui requerrait \alpha \to 1.
• Or, en présence de la résistance interne de la bobine (R_L \neq 0), le gain réel s'effondre pour \alpha > 0{,}85 et tend vers zéro quand \alpha \to 1 (figure 9). La régulation de tension deviendrait donc impossible.
• De plus, à puissance constante P = V_{\mathrm{s}}I_{\mathrm{s}}, le courant moyen d'entrée I_{\mathrm{e}} \approx P/V_{\mathrm{e}} divergerait, excédant largement le courant maximal admissible par les cellules (33\text{ A}) et les semi-conducteurs, provoquant un échauffement destructeur par effet Joule.

Pendant la phase t \in [0, \alpha T], l'interrupteur K_1 est fermé et K_2 est ouvert. La bobine L_1 est alors directement soumise à la tension d'entrée :

La dérivée temporelle de i_{\mathrm{e}}(t) étant constante et positive, le courant croît linéairement de sa valeur minimale à sa valeur maximale. L'excursion crête-à-crête (ondulation absolue) s'écrit :

D'après le bilan de puissance établi à la question Q8 (rendement supposé unitaire), la valeur moyenne du courant d'entrée vaut :

L'ondulation relative du courant d'entrée est donc :

La condition \frac{\Delta I_{\mathrm{e}}}{I_{\mathrm{e}}} \le 10\,\% = 0{,}10 impose :

Comparons les deux valeurs extrêmes de la plage de fonctionnement selon l'indication de l'énoncé :

• Pour V_{\mathrm{e}} = 54\text{ V} et \alpha = 0{,}4 :

  \alpha V_{\mathrm{e}}^2 = 0{,}4 \times 54^2 = 1166{,}4\text{ V}^2

• Pour V_{\mathrm{e}} = 27\text{ V} et \alpha = 0{,}6 :

  \alpha V_{\mathrm{e}}^2 = 0{,}6 \times 27^2 = 437{,}4\text{ V}^2

La contrainte la plus sévère est donc atteinte pour la tension d'entrée maximale V_{\mathrm{e}} = 54\text{ V}.

En appliquant numériquement avec f = 300\text{ kHz} = 3{,}00 \times 10^5\text{ Hz}, V_{\mathrm{s}} = 36\text{ V} et I_{\mathrm{s}} = 10\text{ A} :

D'après l'énoncé, sur l'intervalle [0, \alpha T], l'interrupteur K_2 est ouvert. Aucun courant ne provient alors du reste du convertisseur vers la cellule de sortie.

La loi des nœuds au niveau de l'électrode supérieure du condensateur C_2 s'écrit alors :

Le courant de sortie I_{\mathrm{s}} étant supposé constant, la tension aux bornes de C_2 décroît de façon linéaire :

L'excursion crête-à-crête de la tension de sortie au cours de cet intervalle de durée \alpha T vaut donc :

Pour V_{\mathrm{e}} = 36\text{ V} et V_{\mathrm{s}} = 36\text{ V}, la relation du gain établie à la question Q11 donne :

La contrainte d'ondulation relative s'écrit \frac{\Delta V_{\mathrm{s}}}{V_{\mathrm{s}}} \le 1\,\% = 0{,}01, soit :

La valeur minimale de la capacité est donc :

Application numérique avec \alpha = 0{,}5, I_{\mathrm{s}} = 10\text{ A}, f = 300\times 10^3\text{ Hz} et V_{\mathrm{s}} = 36\text{ V} :

L'analyse des courbes de rendement en fonction du temps (figures 10, 11 et 12) met en évidence deux échelles de temps distinctes :

• Première étape instantanée : Dès les premières mesures (t \to 0), les rendements en lithium et en métal \mathrm{M} ne sont pas nuls mais présentent d'emblée un saut initial important (environ 60\,\% à 70\,\% pour le lithium et environ 30\,\% pour \mathrm{M}). La formation des premiers produits ioniques (\mathrm{LiCl} et \mathrm{MCl}_2) ainsi que de la phase intermédiaire \mathrm{Li}_{1/m}\mathrm{MO}_2(\mathrm{s}) se déroule donc sur une échelle de temps quasi-nulle, non résolue expérimentalement (très inférieure à la minute). Cela justifie le caractère instantané de la première étape de délithiation.
• Seconde étape lente : Pour t > 0 (figures 10 et 11), les rendements augmentent très progressivement pour n'atteindre leur valeur maximale qu'au bout de 100 à 150 minutes. Cette cinétique graduelle, caractérisée par un temps de demi-réaction de plusieurs dizaines de minutes, correspond à la consommation progressive de la phase intermédiaire solide \mathrm{Li}_{1/m}\mathrm{MO}_2(\mathrm{s}). Cela prouve que la seconde étape de dissolution est lente.

D'après l'équation de la seconde étape de dissolution :

Chaque mole de phase intermédiaire \mathrm{Li}_{1/m}\mathrm{MO}_2 dissoute lors de cette étape lente produit simultanément :

• \Delta n(\mathrm{LiCl}) = \dfrac{1}{m}\,\xi_2
• \Delta n(\mathrm{MCl}_2) = 1\cdot\xi_2

où \xi_2 désigne l'avancement de la seconde réaction. Le volume l de la solution étant constant, les variations de concentration au cours de cette phase vérifient :

La courbe représentant [\mathrm{MCl}_2(\mathrm{aq})] en fonction de [\mathrm{LiCl}(\mathrm{aq})] lors de la seconde étape est donc une droite de pente égale à m :

• Expérience A (figure 10) : la régression linéaire donne une pente de 2{,}12 (R^2 = 0{,}996) ;
• Expérience B (figure 11) : la régression linéaire donne une pente de 2{,}14 (R^2 = 0{,}998).

Ces valeurs expérimentales très concordantes conduisent bien à :

Soit l le volume de la phase aqueuse et s la masse initiale de \mathrm{NMC111}. Les quantités initiales de réactifs introduites s'écrivent :

Par définition du rapport x_0 :

Avec M_{\mathrm{NMC111}} = 97{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}, on calcule la valeur de x_0 pour chaque expérience :

• Expérience A : \dfrac{s}{l} = 20\text{ g}\cdot\text{L}^{-1} et [\mathrm{HCl}]_0 = 4\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}

  \boxed{x_{0,\mathrm{A}} = \frac{4 \times 97{,}0}{20} = 19{,}4}

• Expérience B : \dfrac{s}{l} = 120\text{ g}\cdot\text{L}^{-1} et [\mathrm{HCl}]_0 = 4\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}

  \boxed{x_{0,\mathrm{B}} = \frac{4 \times 97{,}0}{120} \simeq 3{,}23}

• Expérience C : \dfrac{s}{l} = 80\text{ g}\cdot\text{L}^{-1} et [\mathrm{HCl}]_0 = 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}

  \boxed{x_{0,\mathrm{C}} = \frac{1 \times 97{,}0}{80} \simeq 1{,}21}

1. Détermination de la valeur critique x_1

La première étape consomme \dfrac{4m-4}{2m-1} moles de \mathrm{HCl} par mole de \mathrm{NMC111} (\mathrm{LiMO_2}). Pour que la première étape consomme la totalité du \mathrm{HCl} introduit sans qu'il n'en reste pour amorcer la seconde étape, la quantité initiale d'acide doit être inférieure ou égale à la quantité stœchiométrique requise pour cette première réaction, soit :

Avec m \approx 2{,}1 établi à la question Q16 :

2. Identification de l'expérience

D'après les résultats de la question Q17 :

• Expérience A : x_{0,\mathrm{A}} = 19{,}4 > x_1 ;
• Expérience B : x_{0,\mathrm{B}} \simeq 3{,}23 > x_1 ;
• Expérience C : x_{0,\mathrm{C}} \simeq 1{,}21 < x_1.

Cette condition s'applique donc à l'expérience C.

3. Calcul des rendements pour l'expérience C

L'acide chlorhydrique est le réactif limitant de la première étape. L'avancement maximal \xi_{\max} de cette réaction est donné par :

Les quantités de produits formés en solution sont alors :

Par définition, les rendements de lixiviation valent :

Avec x_{0,\mathrm{C}} \simeq 1{,}21 :

Le flux molaire F_{\mathrm{A}} (exprimé en \mathrm{mol}\cdot\mathrm{s}^{-1}) représente le débit molaire de l'espèce \mathrm{A} traversant la couche limite externe pour atteindre la surface du solide en réaction :

• Moteur du transport : Le transfert de matière de la solution vers le front de réaction s'effectue spontanément dans le sens des concentrations décroissantes. Au premier ordre (développement linéaire pour des écarts modérés), la densité de flux molaire est proportionnelle au gradient de concentration, modélisé par l'écart global (C_{\mathrm{A}} - C_{\mathrm{Af}}). Ce flux est nul lorsque les concentrations sont égales et positif si C_{\mathrm{A}} > C_{\mathrm{Af}} (transport dirigé vers le grain).
• Effet de surface : Le transport s'effectuant de façon homogène à travers toute la frontière entourant le grain sphérique, le flux global est proportionnel à la surface d'échange S = 4\pi R^2.

• Conductance de transfert : Le coefficient de proportionnalité k_{\mathrm{D}} (exprimé en \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}) quantifie l'efficacité du transport (diffusion et convection) à travers le film limite :

  \boxed{F_{\mathrm{A}} = k_{\mathrm{D}} S (C_{\mathrm{A}} - C_{\mathrm{Af}})}

Interprétation qualitative de l'égalité F_{\mathrm{A}} = F_{\mathrm{AC}} :

L'égalité F_{\mathrm{A}} = F_{\mathrm{AC}} traduit l'absence d'accumulation de matière de l'espèce \mathrm{A} à l'interface réactionnelle (approximation de l'état quasi-stationnaire). Le flux de réactif \mathrm{A} apporté par transfert convectif/diffusif à travers la couche limite jusqu'à la surface du grain est intégralement et instantanément consommé par la réaction chimique hétérogène au niveau du front de réaction.

Relation entre F_{\mathrm{A}} et la variation temporelle de N_{\mathrm{B}} :

L'équation stœchiométrique de la réaction au front s'écrit :

Pendant une durée \mathrm{d}t, l'avancement de la réaction augmente de \mathrm{d}\xi > 0. Les variations des quantités de matière des réactifs par réaction chimique vérifient :

Par définition, le flux de consommation de \mathrm{A} est la quantité de matière de \mathrm{A} consommée par unité de temps :

En exprimant \mathrm{d}\xi en fonction de la variation de la quantité de solide \mathrm{B} :

Comme F_{\mathrm{A}} = F_{\mathrm{AC}}, on en déduit directement :

D'après l'énoncé et la question Q20, en régime quasi-stationnaire sans accumulation de matière à l'interface, le flux molaire de diffusion-convection à travers la couche limite et le flux de consommation chimique sont égaux :

Les lois phénoménologiques s'écrivent :

En sommant membre à membre ces deux relations, la concentration au front réactionnel C_{\mathrm{Af}} s'élimine :

On en déduit l'expression du flux sous la forme demandée :

La surface d'un grain sphérique de rayon R vaut S = 4\pi R^2, et la conductance de transfert s'écrit k_{\mathrm{D}} = \frac{D}{R}. Il vient ainsi :

On obtient finalement :

Le grain de solide B étant modélisé par une sphère de rayon R, son volume est :

La masse correspondante de solide B s'exprime à l'aide de la masse volumique \rho_{\mathrm{B}} :

La quantité de matière N_{\mathrm{B}}(R) contenue dans cette boule s'obtient en divisant la masse par la masse molaire M_{\mathrm{B}} :

D'après le résultat de la question Q22, la quantité de matière de solide \mathrm{B} contenue dans la particule s'écrit :

En dérivant par rapport au temps, le taux de variation de N_{\mathrm{B}} est :

En combinant avec la relation issue du bilan de matière de la question Q20 :

Par ailleurs, d'après la question Q21 :

L'égalité de ces deux expressions conduit, après simplification par la surface S = 4\pi R^2, à :

En séparant les variables R et t, on obtient l'équation différentielle :

À t=0, le rayon initial de la particule est R(0) = R_0. L'intégration de cette équation entre 0 et t donne :

On identifie ainsi l'expression demandée :

avec les deux constantes de temps :

D'après les expressions obtenues à la question Q23 :

Le rapport des deux temps caractéristiques s'écrit :

Avec les données numériques de l'énoncé :

• D = 1{,}25 \times 10^{-5}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} ;
• k_{\mathrm{C}} = 1{,}00 \times 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• R_0 = 15{,}0\ \mu\text{m} = 1{,}50 \times 10^{-5}\text{ m}.

On obtient numériquement :

Puisque \tau_{\mathrm{cin}} \gg \tau_{\mathrm{film}}, le temps associé à la réaction chimique à l'interface est environ mille fois supérieur au temps caractéristique de transport de matière à travers le film limite. Le phénomène le plus lent gouvernant l'évolution globale de la particule, il s'agit d'un contrôle cinétique (ou régime chimique).

L'équation de dissolution de l'hydroxyde de manganèse(II) s'écrit :

Soit s la solubilité de \mathrm{Mn(OH)_2(s)} dans l'eau pure (en \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}). À saturation, les concentrations à l'équilibre valent :

À \mathrm{pH} = 9{,}9 et à 298\text{ K} (\mathrm{p}K_{\mathrm{e}} = 14), la concentration en ions hydroxyde est :

Cette valeur étant très supérieure à la concentration des ions hydroxyde issus de l'autoprotolyse de l'eau pure (10^{-7}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}), l'apport en ions \mathrm{HO}^- provient quasi-exclusivement de la dissolution du précipité :

Le produit de solubilité K_{\mathrm{s}} s'exprime alors (avec c^\circ = 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}) :

En prenant le cologarithme décimal :

On retrouve bien la valeur attendue :

L'équilibre de dissolution d'un hydroxyde métallique \mathrm{M(OH)}_2(\mathrm{s}) (avec \mathrm{M} = \mathrm{Co} ou \mathrm{Mn}) s'écrit :

La constante d'équilibre associée est le produit de solubilité K_{\mathrm{s}} et le quotient de réaction s'exprime par :

avec la concentration standard c^\circ = 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}.

1. Condition de précipitation

La réaction de précipitation (sens indirect) est thermodynamiquement favorisée dès lors que le quotient de réaction de la solution homogène atteint ou dépasse la constante de solubilité (Q_{\mathrm{r}} \ge K_{\mathrm{s}}) :

Soit spécifiquement pour chacun des deux solides :

• Pour \mathrm{Co(OH)}_2(\mathrm{s}) :

  \boxed{[\mathrm{Co}^{2+}][\mathrm{HO}^-]^2 \ge K_{\mathrm{s}_2} (c^\circ)^3}

• Pour \mathrm{Mn(OH)}_2(\mathrm{s}) :

  \boxed{[\mathrm{Mn}^{2+}][\mathrm{HO}^-]^2 \ge K_{\mathrm{s}_1} (c^\circ)^3}

2. \mathrm{pH} de début de précipitation

À l'apparition du premier germe solide, les ions métalliques ne sont pas encore consommés de façon mesurable, d'où [\mathrm{M}^{2+}] = C_0. Le début de précipitation correspond à la saturation (Q_{\mathrm{r}} = K_{\mathrm{s}}) :

En reliant la concentration des ions hydroxyde au \mathrm{pH} via l'autoprotolyse de l'eau :

On obtient :

Ce qui donne pour le \mathrm{pH} de début de précipitation :

D'après la question précédente, le \mathrm{pH} de début de précipitation de l'hydroxyde \mathrm{M(OH)}_2\mathrm{(s)} à partir d'une solution contenant l'ion métallique à la concentration C_0 est donné par :

Avec C_0 = 0{,}069\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}, c^\circ = 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} et \mathrm{p}K_{\mathrm{e}} = 14{,}0 :

• Pour l'hydroxyde de cobalt(II) \mathrm{Co(OH)}_2\mathrm{(s)}, avec \mathrm{p}K_{\mathrm{s}_2} = 16{,}0 :

  \mathrm{pH}_{\mathrm{d}}(\mathrm{Co}) = 14{,}0 - \frac{16{,}0}{2} + 0{,}58
  \boxed{\mathrm{pH}_{\mathrm{d}}(\mathrm{Co(OH)}_2) = 6{,}6}

• Pour l'hydroxyde de manganèse(II) \mathrm{Mn(OH)}_2\mathrm{(s)}, avec \mathrm{p}K_{\mathrm{s}_1} = 12{,}6 (déterminé en Q25) :

  \mathrm{pH}_{\mathrm{d}}(\mathrm{Mn}) = 14{,}0 - \frac{12{,}6}{2} + 0{,}58
  \boxed{\mathrm{pH}_{\mathrm{d}}(\mathrm{Mn(OH)}_2) = 8{,}3}

Représentation des domaines de prédominance et d'existence sur un axe de \mathrm{pH} :

1. Domaine de \mathrm{pH} pour la précipitation sélective

D'après les résultats de la question Q27, \mathrm{Co(OH)}_2\mathrm{(s)} précipite avant \mathrm{Mn(OH)}_2\mathrm{(s)} car \mathrm{pH}_{\mathrm{d}}(\mathrm{Co(OH)}_2) \simeq 6{,}58 < \mathrm{pH}_{\mathrm{d}}(\mathrm{Mn(OH)}_2) \simeq 8{,}28.

• Précipitation d'au moins 99\,\% du cobalt : Il reste en solution une concentration [\mathrm{Co^{2+}}] \le 10^{-2}\,C_0. À l'équilibre avec le précipité :

  \begin{aligned} [\mathrm{HO}^-] \ge \sqrt{\frac{K_{\mathrm{s}_2}}{10^{-2}\,C_0}} \implies \mathrm{pH} &\ge \mathrm{p}K_{\mathrm{e}} - \frac{1}{2}\mathrm{p}K_{\mathrm{s}_2} - \frac{1}{2}\log(10^{-2}\,C_0) \\ \mathrm{pH} &\ge \mathrm{pH}_{\mathrm{d}}(\mathrm{Co(OH)}_2) + 1 \simeq 7{,}58 \approx 7{,}6 \end{aligned}

• Précipitation de moins de 1\,\% du manganèse : La concentration d'ions manganèse dissous doit vérifier [\mathrm{Mn^{2+}}] \ge 0{,}99\,C_0. Pour éviter de dépasser ce seuil :

  \begin{aligned} [\mathrm{HO}^-] &\le \sqrt{\frac{K_{\mathrm{s}_1}}{0{,}99\,C_0}} \\ \implies \mathrm{pH} &\le \mathrm{p}K_{\mathrm{e}} - \frac{1}{2}\mathrm{p}K_{\mathrm{s}_1} - \frac{1}{2}\log(0{,}99\,C_0) = \mathrm{pH}_{\mathrm{d}}(\mathrm{Mn(OH)}_2) - \frac{1}{2}\log(0{,}99) \simeq 8{,}28 \approx 8{,}3 \end{aligned}

Le domaine de \mathrm{pH} requis pour réaliser cette précipitation sélective est donc :

2. Méthode de séparation des cations

Pour séparer les deux espèces métalliques :

• On ajuste le \mathrm{pH} de la solution dans l'intervalle [7{,}6 \,;\, 8{,}3] (par ajout contrôlé d'une base forte telle que la soude \mathrm{NaOH} ou par utilisation d'un milieu tamponné adapté) ;
• Le cobalt précipite sous forme solide \mathrm{Co(OH)}_2\mathrm{(s)}, alors que les ions \mathrm{Mn^{2+}} restent solubles en solution ;
• On réalise une séparation physique par filtration (sur Büchner) ou par centrifugation : le précipité de \mathrm{Co(OH)}_2\mathrm{(s)} est récupéré sur le filtre et la solution contenant les ions \mathrm{Mn^{2+}} est recueillie dans le filtrat.

3. Précipitation sélective des ions \mathrm{Ni^{2+}}

D'après les données, \mathrm{p}K_{\mathrm{s}_3}(\mathrm{Ni(OH)}_2) = 16 = \mathrm{p}K_{\mathrm{s}_2}(\mathrm{Co(OH)}_2). Les hydroxydes de nickel(II) et de cobalt(II) ayant la même stœchiométrie et exactement le même produit de solubilité, ils précipitent simultanément au même \mathrm{pH} pour des concentrations identiques.

Il est donc impossible de séparer sélectivement les ions \mathrm{Ni^{2+}} des ions \mathrm{Co^{2+}} par simple précipitation sélective de leurs hydroxydes.

D'après la figure 14 de l'énoncé :

• Aimants 1 et 3 (situés en \theta = 0 et \theta = \pi) : le pôle Sud est tourné vers l'entrefer (stator) et le pôle Nord vers la culasse du rotor. L'aimantation \vec{M} est donc centrifuge (+\vec{e}_r). À l'extérieur de ces aimants, les lignes de champ convergent vers leur pôle Sud : dans l'entrefer, le champ magnétique est donc dirigé du stator vers le rotor, soit selon +\vec{e}_r.
• Aimants 2 et 4 (situés en \theta = \pi/2 et \theta = -\pi/2) : le pôle Nord est tourné vers l'entrefer et le pôle Sud vers la culasse extérieure. L'aimantation \vec{M} est donc centripète (-\vec{e}_r). À l'extérieur de ces aimants, les lignes de champ émergent de leur pôle Nord : dans l'entrefer, le champ magnétique est donc dirigé du rotor vers le stator, soit selon -\vec{e}_r.

Dans les zones ferromagnétiques (stator et culasse du rotor), la perméabilité relative est infinie (\mu_{\mathrm{r}} \to \infty). Le champ d'excitation \vec{H} = \vec{B}/(\mu_0 \mu_{\mathrm{r}}) y est nul pour une induction \vec{B} finie. La continuité de la composante tangentielle de \vec{H} impose H_{\theta} = 0 à la frontière de l'entrefer : les lignes de champ sont donc strictement orthogonales aux parois ferromagnétiques, c'est-à-dire purement radiales dans l'entrefer d'épaisseur l_{\mathrm{e}} \ll R_{\mathrm{s}}.

Les lignes de champ magnétique étant fermées (\mathrm{div}\,\vec{B} = 0), le flux se referme :

• dans la culasse externe du rotor, des pôles N des aimants 1 et 3 vers les pôles S des aimants 2 et 4 ;
• dans le stator, depuis les zones sous les aimants 2 et 4 vers les zones sous les aimants 1 et 3.

Le système présente 4 circuits magnétiques élémentaires formant 4 lobes fermés symétriques (2 paires de pôles).

1. Parité de B_{\mathrm{r}}(\theta) : Le plan (Ox, Oz), correspondant à \theta = 0 et \theta = \pi, est un plan de symétrie géométrique pour la disposition des quatre aimants. Les aimants 2 (\theta = \pi/2) et 4 (\theta = -\pi/2) ont des aimantations radiales opposées, ce qui fait de (Ox, Oz) un plan de symétrie pour la densité d'aimantation \vec{M} (ou d'antisymétrie pour les courants équivalents).

Le champ magnétique \vec{B}, étant un vecteur axial (pseudovecteur), est antisymétrique par rapport à un plan d'antisymétrie de courants. En projetant sur la base cylindrique, la composante radiale vérifie :

La fonction B_{\mathrm{r}}(\theta) est donc paire.

2. Période de B_{\mathrm{r}}(\theta) : Le rotor possède p = 2 paires de pôles (soit 4 aimants alternés tous les \Delta\theta = \pi/2). Une période spatiale complète correspond au passage d'un pôle Nord et d'un pôle Sud consécutifs, soit un motif angulaire de largeur :

3. Tracé de B_{\mathrm{r}}(\theta) sur [-\pi, \pi] : Puisque la norme de B_{\mathrm{r}}(\theta) est uniforme et vaut B_{\mathrm{M}}, la composante radiale prend alternativement les valeurs +B_{\mathrm{M}} et -B_{\mathrm{M}} :

• pour l'aimant 1 centré en \theta = 0, le champ sortant donne B_{\mathrm{r}}(\theta) = +B_{\mathrm{M}} sur \left]-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right[ ;
• pour l'aimant 2 centré en \theta = \frac{\pi}{2}, le champ entrant donne B_{\mathrm{r}}(\theta) = -B_{\mathrm{M}} sur \left]\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right[ ;
• pour l'aimant 3 centré en \theta = \pi, le champ sortant donne B_{\mathrm{r}}(\theta) = +B_{\mathrm{M}} sur \left]\frac{3\pi}{4}, \pi\right] et \left[-\pi, -\frac{3\pi}{4}\right[ ;
• pour l'aimant 4 centré en \theta = -\frac{\pi}{2}, le champ entrant donne B_{\mathrm{r}}(\theta) = -B_{\mathrm{M}} sur \left]-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}\right[.

Lorsque le rotor est fixe en position de référence (\theta_{\mathrm{r}} = 0), la composante radiale B_r(\theta) dans l'entrefer présente :

• une valeur moyenne spatiale nulle (flux total conservé à travers l'entrefer) ;
• une parité paire : B_r(-\theta) = B_r(\theta) d'après la question Q30 ;

• une période angulaire T_\theta = \pi\text{ rad}, correspondant à une pulsation spatiale fondamentale :

  k = \frac{2\pi}{T_\theta} = 2.

Le terme fondamental de son développement en série de Fourier s'écrit donc :

avec B_1 = \frac{4}{\pi} B_{\mathrm{M}}, maximal et positif en \theta = 0 au droit de l'aimant 1 dirigé vers l'extérieur.

Lorsque le rotor tourne d'un angle \theta_{\mathrm{r}}(t) autour de l'axe (Oz), l'angle repérant un point fixe de l'entrefer dans le repère lié au rotor s'écrit :

Le champ produit par les aimants étant invariant dans le référentiel tournant du rotor, l'expression de sa composante radiale au point de coordonnées spatiales fixes (\theta, r) à la date t devient :

Par ailleurs, les surfaces ferromagnétiques du rotor et du stator sont modélisées avec une perméabilité relative infinie (\mu_{\mathrm{r}} \to \infty). Les conditions aux limites imposent que les lignes de champ magnétique débouchent perpendiculairement à ces parois cylindriques. Dans l'entrefer d'épaisseur l_{\mathrm{e}} \ll R_{\mathrm{s}}, le champ est donc purement radial (\vec{B}_{\mathrm{r}} = B_r \vec{e}_{\mathrm{r}}).

On en déduit l'expression du champ rotorique :

L'entrefer a une perméabilité relative égale à 1, de sorte que la densité volumique d'énergie magnétique s'écrit :

avec \vec{B}(\theta, t) = \vec{B}_{\mathrm{r}}(\theta, t) + \vec{B}_{\mathrm{s}}(\theta, t). Les deux champs étant purement radiaux :

Le carré de la norme du champ vaut :

Compte tenu de la faible épaisseur de l'entrefer (l_e \ll R_s) et de l'invariance selon (Oz), l'élément de volume s'écrit \mathrm{d}\tau \simeq R_s \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}r. Comme B ne dépend ni de z ni de r, l'intégration sur la hauteur h et sur l'épaisseur l_e donne :

Calculons les trois intégrales sur \theta \in [0, 2\pi] :

• Pour les termes d'auto-énergie (avec p \in \mathbb{N}^*) :

  \begin{aligned} \int_0^{2\pi} \cos^2[2(\theta - \theta_{\mathrm{r}})] \, \mathrm{d}\theta &= \pi \\ \int_0^{2\pi} \cos^2(p\theta - \omega t) \, \mathrm{d}\theta &= \pi \end{aligned}

• Pour le terme d'interaction, en utilisant la formule 2\cos(a)\cos(b) = \cos(a+b) + \cos(a-b) :

  2\cos[2(\theta - \theta_{\mathrm{r}})] \cos(p\theta - \omega t) = \cos[(p+2)\theta - 2\theta_{\mathrm{r}} - \omega t] + \cos[(p-2)\theta + 2\theta_{\mathrm{r}} - \omega t]

  Comme p \ge 1, p+2 \neq 0, donc l'intégrale du premier terme sur une période spatiale [0, 2\pi] est identiquement nulle. Pour le second terme :

  \int_0^{2\pi} \cos[(p-2)\theta + 2\theta_{\mathrm{r}} - \omega t] \, \mathrm{d}\theta = \begin{cases} 0 & \text{si } p \neq 2 \\ 2\pi \cos(2\theta_{\mathrm{r}} - \omega t) & \text{si } p = 2 \end{cases}

Ainsi, l'énergie magnétique dans l'entrefer dépend de la position angulaire du rotor \theta_{\mathrm{r}} si et seulement si :

Pour cette valeur p = 2, l'énergie magnétique s'écrit :

soit :

D'après le résultat de la question Q32, pour p = 2, l'énergie électromagnétique stockée dans l'entrefer s'écrit :

En appliquant l'expression du couple donnée par l'énoncé, \Gamma = \frac{\partial \mathcal{E}_{\mathrm{em}}}{\partial \theta_{\mathrm{r}}}, on dérive l'énergie par rapport à la variable géométrique \theta_{\mathrm{r}} à temps t fixé :

En utilisant l'imparité de la fonction sinus, on peut également exprimer ce couple sous la forme :

D'après le résultat établi à la question Q33, le couple instantané s'écrit :

En injectant la loi de rotation du rotor \theta_{\mathrm{r}}(t) = \Omega t - \alpha, on obtient :

La valeur moyenne temporelle d'une fonction sinusoïdale de pulsation non nulle est nulle. Par conséquent, pour que la moyenne temporelle \langle \Gamma \rangle soit non nulle, il est nécessaire que la phase ne dépende pas du temps, soit :

On en déduit l'unique pulsation mécanique positive :

Pour cette valeur, le couple est constant et vaut \langle \Gamma \rangle = \frac{V_e}{\mu_0} B_1 B_0 \sin(2\alpha).

D'après la question Q33, le couple électromagnétique appliqué au rotor s'écrit :

En régime synchrone (question Q34), en posant \theta_{\mathrm{r}}(t) = \Omega t - \alpha avec \Omega = \omega / 2, l'argument du sinus devient :

Le couple électromagnétique moyen est donc constant et vaut :

Le couple maximal en valeur absolue est atteint pour \sin(2\alpha) = 1 (c'est-à-dire un angle de décalage \alpha = \pi/4) :

En rappelant que le volume de l'entrefer est V_e = 2\pi R_{\mathrm{s}} h l_e et que le champ rotorique fondamental vaut B_1 = \frac{4}{\pi} B_{\mathrm{M}}, on obtient :

Application numérique :

• R_{\mathrm{s}} = 4{,}5\text{ cm} = 4{,}5 \times 10^{-2}\text{ m} ;
• h = 2{,}0\text{ cm} = 2{,}0 \times 10^{-2}\text{ m} ;
• l_e = 0{,}7\text{ mm} = 0{,}7 \times 10^{-3}\text{ m} ;
• B_{\mathrm{M}} = 1{,}0\text{ T} et B_0 = 1{,}0\text{ T} ;
• \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1}.

Le volume de l'entrefer vaut :

D'où le couple maximal :

Moyens pour atteindre \Gamma_{\max} = 50\text{ N}\cdot\text{m} :

1. Augmentation du nombre de paires de pôles : La dérivation de l'énergie magnétique \mathcal{E}_{\mathrm{em}} par rapport à \theta_{\mathrm{r}} fait apparaître un facteur p, de sorte que le couple électromagnétique développé par le rotor est proportionnel au nombre de paires de pôles :

   \Gamma_{\max}(p) = p \frac{V_e}{2\mu_0} B_1 B_0 = \frac{p}{2} \Gamma_{\max}(p=2)

   Pour le nombre maximal admissible de paires de pôles, p = 8 :

   \Gamma_{\max}(p=8) = 4 \times 4{,}01\text{ N}\cdot\text{m} \simeq 16\text{ N}\cdot\text{m}

   Cette valeur reste insuffisante pour atteindre directement les 50\text{ N}\cdot\text{m} exigés.

2. Utilisation d'un réducteur mécanique : La vue éclatée du moteur (figure 15) montre clairement la présence d'un réducteur à train épicycloïdal (présence d'un « pignon fixe au rotor » jouant le rôle de planétaire intérieur/solaire, et de « planétaires » faisant office de satellites en prise avec le carter).

   En associant le moteur à p = 8 paires de pôles à un réducteur de rapport de réduction :

   k = \frac{\Gamma_{\text{visé}}}{\Gamma_{\text{moteur}}} \approx \frac{50}{16} \simeq 3{,}1

   (ou k \approx 12{,}5 si l'on conservait p = 2), le couple disponible sur la roue atteint bien la valeur requise de 50\text{ N}\cdot\text{m}.