Électrostatique : 443 questions de concours corrigées

On considère un système de deux charges q₁ et q₂. La charge q₁ étant fixe, on déplace q₂ de façon quasi-statique à partir de l'infini jusqu'à une distance r₁₂. Calculer l'énergie potentielle…

Rappeler l'équation de Poisson reliant le potentiel φ à la densité volumique de charge ρₑ dans le vide. On admettra dans la suite que l'on peut utiliser cette équation dans le milieu ionique en…

On cherche maintenant à résoudre cette équation pour déterminer ψ. On rappelle que l'on se place suffisamment près de la paroi ; on peut donc considérer que l'on résout le champ à proximité d'une…

On considère une plaque de métal d'épaisseur négligeable par rapport à ses dimensions transversales. Elle porte sur une face une densité de charges surfacique uniforme σ, et sur l'autre une densité…

Dans un premier temps, considérons une sphère uniformément chargée en volume, avec une densité volumique de charge notée ρ. Déterminer le champ électrique à l'intérieur de la sphère.

Énoncer le théorème de Gauss gravitationnel, reliant notamment le champ de gravitation G et la constante de gravitation universelle G.\ En déduire l'expression du champ G_A(M) créé par un astre (A)…

En supposant les dimensions transverses des électrodes très grandes devant e, préciser la direction du champ électrique E au sein de l'isolant. Montrer aussi que ce champ est uniforme au sein du…

Déduire, par exemple du théorème de Gauss, la relation liant σ₀, E et la permittivité diélectrique du vide ε₀.

Calculer U₀ et définir puis exprimer la capacité C₀ du condensateur ainsi réalisé.

Déterminer le champ électrique E₁ créé par la seule armature mobile de charge +Q de part et d'autre de celle-ci. On pourra exprimer le résultat de façon distincte selon le domaine d'espace.

Rappeler les équations de Maxwell en régime stationnaire. Justifier l'existence du potentiel électrostatique V et établir la relation qui lie V à ho. Donner le nom de cette relation.

Déterminer le champ électrostatique E_p créé par un plan infini de densité surfacique de charge σ. En déduire le champ électrostatique E entre les deux électrodes du condensateur double couche (-a <…

Rappeler la relation qui lie le champ électrostatique au potentiel électrostatique V. En déduire l'énergie potentielle électrostatique de l'électron en fonction de e et de V.

Rappeler la relation qui lie le champ électrostatique au potentiel électrostatique V. En déduire l'énergie potentielle électrostatique de l'électron en fonction de e et de V.

Quelle est l'expression du champ créé par le noyau d'un atome d'hydrogène sur son électron ? On notera r_H le rayon de l'orbite de l'électron.

Rappeler l'équation locale de Maxwell-Gauss. Établir la forme intégrale associée (théorème de Gauss).

Préciser, en justifiant votre réponse, la direction du champ électrostatique E(M) créé par cette distribution de charges en tout point M de l'espace, ainsi que la ou les variable(s) spatiale(s) dont…

On considère ici le cas simple d'un atome à un électron. Dans le modèle de Thomson (dit aussi modèle du plump pudding) on décrit le noyau comme une boule de rayon R₀ uniformément chargée en volume…

En appliquant le théorème de Gauss, calculer le champ électrique E(r) à l'intérieur et à l'extérieur du noyau. On exprimera le résultat à l'aide de qₑ, R₀, ε₀ et r.

Rappeler la relation entre le potentiel électrostatique U(r) et le champ électrique. Quelles conditions de passage satisfait-il à l'interface du noyau ?

On considère à présent un électron situé à une distance r < R₀ du centre du noyau. Montrer que le noyau exerce une force F = -mₑ ω₀² r, sur l'électron. Donner l'expression de ω₀ en fonction de qₑ…

Justifier que quel que soit l'atome, on puisse décrire les propriétés des états de Rydberg en considérant en première approximation la dynamique d'un électron unique gravitant autour d'un noyau…

Rappeler sans démonstration l'expression du champ électrostatique en un point M de l'espace, produit par une charge ponctuelle q, située en P.

En assimilant l'aiguille à un fil infini, établir l'expression du champ électrostatique E(M) produit par l'aiguille en fonction de λ, ε₀ et r.

En déduire, à une constante additive près, le potentiel électrostatique V(M) produit par l'aiguille.

Soit deux particules supposées ponctuelles positionnées aux points M₁ et M₂, portant respectivement les charges q₁ et q₂. On note d, la distance entre M₁ et M₂. Rappeler l'expression de la force…

Justifier par des considérations de symétrie que ce champ électrique est radial (on se placera en coordonnées sphériques).

Utiliser les invariances pour montrer que la distance radiale r est le seul paramètre pertinent pour caractériser le champ électrique.

Rappeler tout d'abord le théorème de Gauss en vous appuyant sur un schéma permettant d'illustrer les notations. Appliquer ce théorème en exploitant les considérations de symétrie et d'invariance au…

On considère le cas extrême d'une collision frontale et on supposera pour simplifier que l'atome est immobile compte tenu de sa masse importante par rapport aux particules α. Montrer en utilisant la…

On cherche l'expression de l'énergie de l'électron en fonction de r₀. Rappeler l'expression de l'énergie potentielle d'un électron dans le champ électrique créé par le noyau. On notera e² = qₑ²/4πε₀…

En utilisant l'analogie entre le champ électrostatique et le champ gravitationnel, montrer que ce dernier, noté G, vérifie l'équation locale divG = -4π Gµ où G est la constante universelle de…

Déterminer le champ gravitationnel G_T_h en tout point de l'espace en introduisant un système de coordonnées adapté.

Tracer sa norme en fonction de la distance r au centre O.

Obtenir l'expression de la vitesse v = |v| de l'électron en fonction de e, mₑ, ε₀ et du rayon R de sa trajectoire.

Justifier, de façon rigoureuse, que le champ électrique entre les deux armatures s'écrit sous la forme : E(M) = E(r) e_r.

Exprimer la capacité C₀ du condensateur en fonction de V₁, V₂ et Q.

Nous allons appliquer ce résultat au cas où x désigne la distance relative entre deux protons se déplaçant sur un même axe, et V(x) l'énergie potentielle de leur interaction électrostatique…

Que peut-on dire du moment dipolaire électrique de la molécule de CO₂ en l'absence de vibration ?

Dans un système formé de deux électrodes planes parallèles de surface S et de distance e_air, donner la relation entre le champ électrique (sens, direction, valeur) et la charge portée par les…

En déduire la capacité C du système entre les deux électrodes.

À partir de l'équation liant une charge q(t) au courant i(t), et de la relation de comportement d'un condensateur, en déduire la relation entre la tension du condensateur v(t) et le courant i(t)…

L'iss se situe à une altitude h_iss d'environ 400 km. Montrer en utilisant le théorème de Gauss, et moyennant certaines hypothèses que l'on précisera, que le champ gravitationnel qu'elle subit est…

Démontrer l'expression du champ gravitationnel G(r) puis du potentiel gravitationnel V(r) engendrés par un astre à répartition sphérique de masse, de masse M et de rayon R, à une distance r R de son…

Exprimer le moment dipolaire p = p(t) e_z associé au doublet (-q, +q).

Justifier que le champ électrique est de direction Oz : E = Eu_z. Exprimer ce champ électrique créé dans l'espace 0 < z < d en fonction de σₒ et de εₒ.

En déduire la différence de potentiel Uₒ en fonction de σₒ, εₒ et de d.

Rappeler l'énergie potentielle d'une charge e placée en un point du plasma tel que le potentiel électrique en ce point soit égal à U. On suppose que ce potentiel ne dépend que de r : U = U(r).

Justifier par des considérations de symétries et d'invariances que le champ électrique E(M,t) est a priori de la forme : E(M,t) = E_r(r,z,t)u_r + E_z(r,z,t)u_z.

On cherche en première approximation un champ uniforme à l'intérieur du condensateur : E(M,t) = E₀(t) = E_0,z(t)u_z. Déduire du théorème de Gauss appliqué à une surface à définir clairement…

Donner l'expression du potentiel scalaire V₀(M,t) à une constante additive près. Exprimer la différence de potentiel V₀(z=d) - V₀(z=0) entre les deux armatures et en déduire que la capacité C du…

En étudiant les symétries, puis les invariances de la distribution, donner la direction du champ électrique E(M) en un point M quelconque de l'espace et les coordonnées dont ce champ dépend.

En utilisant un théorème d'électromagnétisme à énoncer, calculer le champ électrique créé par cette distribution en tout point de l'espace.

En étudiant les symétries, puis les invariances de la distribution, donner la direction du champ électrique E(M) en un point M quelconque de l'espace et les coordonnées dont ce champ dépend.

En déduire l'expression du champ électrique E(M)_vide créé par l'association des deux électrodes chargées +Q et -Q, en un point M entre les deux électrodes s'il y avait le vide. Dans un matériau…

Quelle est la vitesse v de A lorsqu'il atteint l'anode ? A) v = √((e Vₐ)/mₑ) B) v = √((2 e Vₐ)/mₑ) C) v = √((2 mₑ Vₐ)/e) D) v = (2 e Vₐ)/mₑ

La charge Q portée par la coque crée le potentiel électrostatique V dont la dépendance spatiale s'exprime de la façon suivante : V(r) = (σ R_v)/ε & pour r [0, R_v] [2ex] V(r) = (σ R_v²)/(ε r) & pour…

Calculer le champ électrique vu par l'électron lorsque celui ci se trouve à l'intérieur de la sphère. Expliquer pourquoi ce modèle est aussi appelé "modèle de l'électron élastiquement lié".

Décrire de façon qualitative le phénomène d'effet de pointe.

Soit une charge ponctuelle q > 0 placée en un point O fixe. Donner l'expression du vecteur champ électrostatique E et du potentiel électrostatique V créé par q en un point M quelconque de l'espace…

Rappeler la définition d'une ligne de champ et d'une surface équipotentielle. Quelles sont-elles sur l'exemple précédent de la charge ponctuelle q > 0 située en O ? en faire une représentation dans…

En utilisant le théorème de Gauss, qu’on énoncera, indiquer quel est le champ électrostatique auquel est soumis l’électron en P (OP < a₀).

Le fil est en platine, de conductivité ρ_Pt = 1,11 · 10⁻⁷ Ω à T₀ = 300 K. Calculer R₀.

Dans le cadre du modèle du condensateur plan, quels seraient les paramètres géométriques du condensateur à modifier pour obtenir la capacité la plus grande possible ?

On suppose que le condensateur, initialement chargé, est débranché. Calculer, au premier ordre en x la tension u(t).

Rappeler l'équation locale de Maxwell-Gauss dans une zone de l'espace où il existe une distribution volumique de charges ρ. Déduire de cette équation le théorème de Gauss.

Rappeler les expressions de la force d'interaction électrostatique Fₑ subie par une charge ponctuelle q_A placée au point A de la part d'une charge ponctuelle q_B placée au point B ainsi que de la…

Justifier le fait que le champ gravitationnel a pour forme g_c = g_c(z) u_z.

On modélise à présent un condensateur par deux plans infinis uniformément chargés : le plan A d'équation x = 0 porte une densité surfacique de charges +σ et le plan B d'équation x = e porte une…

On considère à présent un condensateur réel (figure 5), constitué de deux plaques identiques de surface S placées parallèlement l'une à l'autre et séparées par une distance e. Elles portent des…

Énoncer le théorème de Gauss liant le champ électrostatique E à la distribution volumique de charge . En s'appuyant sur l'analogie établie entre l'électrostatique et la gravitation, montrer que le…

Rappeler les équations du champ électrostatique E, ainsi que la force exercée par un tel champ sur une particule de charge q. On notera ρ_q la densité de charge électrique.

On considère une boule homogène de rayon R et de densité volumique de charge uniforme ρ_q,0. Calculer le champ électrostatique à l'intérieur et à l'extérieur de cette boule. On précisera avec soin…

On considère à présent une boule homogène de rayon R et de densité de matière uniforme ρ₀. Déterminer le champ gravitationnel à l'intérieur et à l'extérieur de cette boule. Montrer notamment qu'on…

Expliquer brièvement l'origine de la tension transversale V_H.

Rappeler la définition d'un dipôle électrostatique et de son moment dipolaire p (il est conseillé de s'appuyer sur un dessin).

À quelle condition peut-on considérer que le point M se trouve à grande distance de O ?

Tracer schématiquement sans démonstration les lignes de champ électrostatique associées au dipôle.

Dans quelles autres situations en physique rencontre-t-on ce type d'équation ? Les décrire en quelques lignes.

Montrer que le champ électrique entre les armatures a pour expression : E = -σ/ε₀ · u_z.

Déterminer l'expression de la capacité C du condensateur plan.

Justifier quantitativement que le poids de l'électron est négligeable devant la force exercée par le champ électrique, en considérant par exemple un champ électrique |E| = 1 V⁻¹. Écrire l'expression…

Soient deux charges ponctuelles q₁ et q₂ disposées respectivement aux points P₁ et P₂. Rappeler l'expression de la force que q₁ exerce sur q₂. On introduira toutes les notations nécessaires.

Enoncer le théorème de Gauss de l'électrostatique.

En déduire le facteur a tel que l'énergie électrostatique U_q d'un système S_q=q_i_1 ≤ i ≤ N de N charges s'écrive U_q=a Σ_i ≠ j q_j V_i → j, où la somme est prise sur toutes les paires possibles…

À partir de l'équation (11), que l'on écrira comme une intégrale sur tout l'espace, montrer que l'on peut écrire l'énergie électrostatique de tout système S_ρ d'extension spatiale finie sous la…

Calculer l'énergie électrostatique propre U_B_R d'une charge ponctuelle q nivelée, pour une fenêtre f(r) qui correspond à une boule homogène de rayon R. On exprimera cette énergie en fonction de q…

En ne considérant pour chaque élément Σ de S que la force exercée par Σ sur celui-ci, en déduire que la sphère exerce sur elle-même une force qui peut être décrite comme une force de pression, qui…

On fait l'hypothèse que l'énergie potentielle électrostatique est négligeable devant l'énergie thermique, soit ψ ≪ 1. Résoudre l'équation de Poisson pour exprimer ψ puis φ. On notera φ₀ le potentiel…

On considère un piège électrique en forme d'anneau tel que celui montré à la Fig 1, placé dans le vide. On se donne un repère Oxyz tel que O est au centre du piège et Oz est l'axe de symétrie de…

On place maintenant une particule supposée ponctuelle, de charge q = -e, au centre du piège. Pourquoi ne peut-elle pas y léviter de manière stable ?

Calculer de même le champ E₂ créé par l'armature fixe. En déduire le potentiel électrostatique créé en tout point de l'espace situé entre les deux armatures, puis exprimer la capacité C(t) du…

Après avoir justifié la direction du champ de gravitation terrestre G(M) et les invariances de sa norme, établir l'expression de celui-ci en un point M extérieur à la Terre en fonction de la…

La voile donne naissance à une onde réfléchie de même pulsation ω que celle de l'onde incidente. On cherche cette onde réfléchie sous la forme d'une OPPH se propageant en sens inverse de l'onde…

Montrer que le champ électrique E(M) dans la membrane ne dépend que de r et qu'il est porté par le vecteur directeur u_r. En appliquant le théorème de Gauss, déterminer l'expression de E(M) en…

Montrer que le champ électrique E(M) dans la membrane ne dépend que de r et qu'il est porté par le vecteur directeur u_r. En appliquant le théorème de Gauss, déterminer l'expression de E(M) en…

On admet que le champ électrostatique à l'extérieur de la zone de déplétion est nul, et que ce champ est continu aux différentes interfaces. Déterminer E(M) en tout point M intérieur à la zone de…

Pourquoi peut-on prendre arbitrairement U(r → ∞) = 0 ? En déduire sous cette hypothèse l'expression de U partout dans l'espace.

On note r_i la position de l'électron de cœur i. Montrer que pour r_i ≪ r on a 1/(|r - r_i|) ≃ 1/r + (r_i · r)/r³ +

En utilisant le théorème de GAUSS, déterminer l'expression du champ électrique E(M) à une distance r < R. En déduire que la force électrique subie par l'électron peut s'écrire sous la forme d'une…

Donner la condition permettant de négliger la composante magnétique de la force de LORENTZ devant la composante électrique. On suppose cette condition réalisée dans la suite de l'étude. Justifier…

La taille typique des noyaux d'hydrogène est de 10⁻¹⁵ m. En raisonnant dans le cadre de la mécanique classique, estimer l'ordre de grandeur de la température nécessaire pour que les réactions de…

À l'aide du théorème de Gauss, déterminer l'expression de E(r) entre les deux armatures en fonction des données de l'énoncé.

En déduire l'expression de C₀ en fonction de a₁, a₂, H et de la permittivité diélectrique du vide ε₀.

Expliciter le potentiel électrostatique V(r) en tout point de la cavité a ≤ r ≤ b. On négligera tout effet de bord.

Comment s'écrit, dans ce milieu, l'équation de Poisson ? En déduire l'équation différentielle à laquelle obéit U(r).

Résoudre cette équation et montrer que le potentiel électrique s'écrit : pour r ≠ 0, U(r) = e/(4π εₒ r) e⁻r/λ_D. Interpréter ce que représente λ_D. Commenter.

En utilisant un théorème d'électromagnétisme à énoncer, calculer le champ électrique créé par cette distribution en tout point de l'espace.

Expliquer pourquoi, dans ce modèle unidimensionnel, le champ électrostatique est parallèle à l'axe (Oz). Justifier la forme de la représentation graphique de E(z) donnée figure 2.

Déterminer les expressions des composantes E_r et E_θ du champ électrostatique E à grande distance des deux charges (r ≫ d).

Calculer la force électrique entre les deux armatures du condensateur en fonction de la tension appliquée U. Préciser le sens de cette force.

On considère que le système S constitué des deux armatures séparées par un matériau diélectrique matérialise un condensateur plan. On souhaite déterminer la capacité C de ce condensateur. On se…

Montrer que le champ électrique dans lequel évolue un noyau est : E = -2er/(ε₀ a³)e_r.

Déterminer une expression du champ électrostatique à l'intérieur de la nanoparticule, qui résulte du déplacement du nuage électronique par rapport au réseau cristallin. Commenter le résultat obtenu.

Établir, en illustrant votre démonstration par une figure avec une légende explicite, que g_c = -2π Gρ_c H dans toute la partie située au-dessus de la couche plane.

On considère un plan infini (assimilé au plan yOz) uniformément chargé en surface, avec une densité surfacique positive de charges notée σ (figure 4). On cherche à déterminer le champ…

Établir l'expression du potentiel électrostatique V₁(M) créé en M par la molécule polaire dans le cadre de l'approximation dipolaire qu'on explicitera. On donnera le résultat en fonction de p₁, ε₀…

En déduire que le champ électrostatique E₁(M) créé en M par la molécule polaire s'écrit en coordonnées sphériques : E₁(M)=p₁/(4πε₀ r³)(2cos (θ)u_r + sin (θ)u_θ).

Justifier très précisément que le champ de gravitation est nécessairement de la forme G(M) = -G(r)u_r, où G(r) est la norme du champ de gravitation.

En utilisant le théorème de Gauss pour la gravitation, déterminer dans le cas de ce modèle G(r) pour r > R. On rappelle que M_J est la masse de Jupiter que l'on définira à l'aide de M(r). Tracer le…

Etablir la forme du champ de gravitation à l'extérieur de la Terre en supposant celle-ci sphérique et de masse volumique uniforme. On se place dans un système de coordonnées sphériques de centre O…

Montrer que la force électrique F_el exercée sur l'électron peut s'écrire comme une force élastique linéaire, c'est-à-dire F_el = -k_elrₑ, avec k_el la constante de raideur associée. Introduire dans…

Déterminer dans le système de coordonnées sphériques (figure 1) le champ électrique créé par le dipôle en un point M en fonction des variables r = |OM| et θ.

Par l'application du théorème de Gauss, calculer E'. En déduire E d'après Q11.

On envisage un astre sphérique de centre O, de rayon R et de masse m uniformément répartie. En justifiant clairement chaque étape du raisonnement, établir que le champ gravitationnel créé par cet…

On considère à présent la charge q₂ fixe, et on déplace q₁. Déterminer la force F_2 → 1 dérivant de l'énergie potentielle obtenue précédemment. Cette énergie potentielle décrit-elle complètement…

Représenter graphiquement le passage d'une distribution de charges ponctuelles à une distribution de charges nivelées. Quelle est la charge totale contenue dans ρ?

Écrire explicitement la fonction f(r) pour une charge nivelée de manière homogène sur une boule de rayon R.

Quelle est la distribution de Boltzmann pour les particules chargées négativement, c₋ ? Justifier que l'on peut utiliser la même constante c_∞ pour la caractériser.

Exprimer la densité volumique de charge ρₑ dans la solution, d'abord en fonction de c₊ et c₋ puis en fonction de ψ. On utilisera l'une des fonctions spéciales définies dans le formulaire.

Donner la dimension de λ_D. Estimer numériquement λ_D pour une concentration c_∞ = 0,5 mol⁻¹ (ce qui correspond à de l'eau de mer).

On suppose que la seule autre force volumique f_vol est celle d'origine électrostatique. Préciser son expression en fonction de la densité volumique de charges ρₑ, correspondant à la présence d'ions…

Projeter l'équation de Navier-Stokes selon e_z et la simplifier pour qu'elle ne dépende plus que de P, φ, ρₑ ou de leurs dérivées en fonction de z.

Quelles sont les dimensions de ℓ_B et ℓ_GC ?

La densité surfacique de charges est créée par une translation globale des électrons par rapport aux ions, dans une direction perpendiculaire à la plaque. Exprimer σ en fonction de l'amplitude x de…

Quel type de champ connu retrouve-t-on à grande distance de la sphère ?

Tracer, sans calcul, l'allure des lignes de champ à l'extérieur et à l'intérieur de la sphère.

Nous avons fait tous les calculs dans l'approximation électrostatique. À quelle condition, portant sur la taille de la sphère, est-il légitime de négliger les phénomènes de propagation ?

En pratique on a toujours T₀ ≫ T_c et on peut montrer dans ce cas l'expression asymptotique de pₘ, que l'on admettra : pₘ = α ε₀ E où la polarisabilité α > 0 est une constante à température fixée et…

Proposer des éléments de justification de ces choix.

Évaluer, en ordre de grandeur, le poids d'un électron et la force électrostatique subie par un électron circulant depuis la cathode vers l'anode. Conclure.

Vérifier la cohérence de l'unité du facteur k.

Expliquer pourquoi le résultat précédent n'est pas valable dans le cas U_ac < 0. Préciser ce qu'il se passe dans ce cas et indiquer la valeur de Iₐ correspondante.

Tracer la caractéristique Iₐ(U_ac).

Déterminer la valeur U_ac⁰ telle que Iₐ⁰ = 1,2 mA.

Calculer la différence de potentiel nécessaire pour obtenir une énergie cinétique finale E_c = 1,0 keV. Justifier.

Calculer la différence de potentiel nécessaire pour obtenir une énergie cinétique finale E_c = 1,0 keV. Justifier.

En utilisant la relation Q = C(V_A - V_E), déterminer l'expression de la capacité de la membrane pour une longueur L, puis sa capacité par unité de surface de membrane cₘ. On trouve dans la…

Préciser la condition littérale sur ρ₁, e₁, ρ₂ et e₂ permettant d'assurer la neutralité électrique de l'ensemble de la zone de déplétion.

Tracer le graphe représentant la norme de E(M) en fonction de x, en indiquant les valeurs remarquables.

Tracer l'allure du potentiel en fonction de la position.

On note d = qₑ r le moment dipôlaire électrique de l'atome. Montrer qu'en régime forcé on a d(t) = ε₀ α(ω) E(0, t) où α désigne la polarisabilité de l'atome.

On examine dans cette question la faisabilité de cette expérience sur Terre. Dans le cas du mouvement circulaire étudié précédemment, comparer en norme la force exercée par l'aiguille sur la goutte…

Déterminer la dimension de α₀. Proposer une interprétation physique de cette grandeur.

Cette expression reste-t-elle encore applicable si P et A sont tous deux à symétrie sphérique ? On pourra, dans tout ce qui suit, considérer A et P comme des points matériels A et P.

Donner et justifier physiquement le signe de W_g. Expliquer pourquoi on nomme parfois E_ℓ = -W_g l'énergie de liaison de l'étoile.

Exprimer la masse volumique ρ, supposée uniforme et constante, de l'étoile en fonction de M et R. En déduire, en fonction de M, R et r, les expressions de m (masse déjà constituée dans une sphère de…

Exprimer la masse volumique ρ, supposée uniforme et constante, de l'étoile en fonction de M et R. En déduire, en fonction de M, R et r, les expressions de m (masse déjà constituée dans une sphère de…

En déduire, dans l'espace autour de Mars, une expression de l'accélération de la pesanteur g(M) de cette planète.

Justifier que le poids de l'électron est négligeable par rapport à la force électrique qu'il subit.

En utilisant le champ électrique obtenu à la question Q 3 montrer que la force suivant la direction transverse (axe Oy) vaut F_y = 2Ze²/a₀³b où e² = qₑ²/4πε₀, b est la distance de la trajectoire…

Application numérique : on obtient une rétrodiffusion élastique jusqu'à des énergies incidentes E_c = 40 MeV des α. Déterminer alors les dimensions du noyau. Commenter.

Justifier que la valeur de G₀ à la surface de la Terre dans le cadre de ce modèle est inchangée par rapport à celle évaluée à la question Q 19.

Obtenir une valeur numérique limite de E₀ permettant de négliger le poids de l'électron par rapport à la force de Lorentz électrique. On fera intervenir l'accélération de pesanteur g.

Déterminer les valeurs du champ de pesanteur à z₀ et à z₁.

En déduire que l'on peut considérer le champ de pesanteur uniforme à ces altitudes, à une incertitude que l'on précisera. On prendra par la suite g=9,7 m · s⁻².

Justifier que la capacité du condensateur en présence d'eau peut s'exprimer comme la somme : C = C_eau + C_air avec C_eau la capacité de la partie du condensateur contenant de l'eau, et C_air la…

Quelle est l'énergie E(n) de l'électron pour les deux valeurs de n ? On introduira E_c = qₑ² / (2C₀).

Les protons sont initialement à grande distance l'un de l'autre. E est l'énergie cinétique de leur mouvement relatif, dont nous déterminerons l'expression plus loin. La fusion nucléaire a lieu…

Cette approximation est-elle vérifiée si la longueur d'onde appartient au spectre de la lumière visible ? Si elle appartient au domaine infrarouge ?

Réaliser un schéma électrique équivalent de la structure proposée en figure 11, en faisant intervenir la notation C_A pour le condensateur du bas et C_B pour le condensateur du haut. Indiquer les…

En déduire la différence de potentiel U₀ en fonction des mêmes paramètres et de a et b.

Calculer E et σₒ pour d = 5,0 m et Uₒ = 1,0 · 10⁵ V.

Doit-on craindre une telle tension ? On donne la valeur du champ disruptif de l'air dans les conditions d'étude : E_disruptif(air) = 3,6 · 10⁶ V⁻¹.

Écrire E sous la forme E = Eₒ cos (ω t) u_z avec Eₒ à préciser en fonction de Uₒ et des autres données de l'énoncé.

Quelle est l'unité (ou la dimension) de γ ?

En déduire l'expression du champ électrique E(M)_vide créé par l'association des deux électrodes chargées +Q et -Q, en un point M entre les deux électrodes s'il y avait le vide. Dans un matériau…

L'énergie électrostatique de la coque s'exprime par la relation suivante : U_elec = 1/2QV(R_v)23 Exprimer U_elec en fonction de σ, ε et R_v.

Indiquer dans quelle limite l'équation différentielle (26) tend vers une équation linéaire.

Vérifier que cette solution est cohérente avec celle donnée par l'équation (22) (situation où les espèces ioniques sont absentes).

On considère ici le cas d'un atome à un seul électron. Exprimer ρ en fonction de r₀ et des constantes fondamentales.

Représenter, en correspondance avec la répartition de la densité volumique de charge illustrée sur la figure (5) (à reproduire), l'allure des représentations graphiques des fonctions E = E(X) et ψ =…

Calculer la valeur de V_d à la température ambiante. On donne la valeur suivante : ln (10) ≃ 2.

La connaissance du potentiel de diffusion V_d conduit à celle de la largeur W = X_D - X_A de la ZCE. Avec les valeurs numériques adoptées, nous obtenons W ∼ 0,4 . Peut-on considérer que cette valeur…

Lorsque V ≠ 0 (V), les courants de diffusion et de conduction ne s'équilibrent plus (se reporter à la question (20)) ce qui a pour conséquence le passage d'un courant à travers la ZCE (et donc la…

Calculer le module de la force électrique s'exerçant sur l'araignée au niveau du sol pour une charge dont le module est de l'ordre du nanocoulomb. Par temps clair et uniquement par la force…

Calculer le module de la force électrique s'exerçant sur l'araignée au niveau du sol pour une charge dont le module est de l'ordre du nanocoulomb. Par temps clair et uniquement par la force…

Déterminer une relation liant n_P, n_N, z₁ et z₂.

Évaluer numériquement l'épaisseur de jonction w si V₀ = 0,84 V, n_N = 1 × 10²⁴ m⁻³ = 100 n_P.

Combien peut-on construire de dérivation unipolaire ? de dérivation bipolaire ?

Quel intérêt y a-t-il à associer ces deux types de dérivations ?

a) Définir le moment dipolaire associé à ce doublet de charges. Avec quelle unité s'exprime-t-il dans le Système International ? b) À l'échelle microscopique, les atomes et certaines molécules…

Expliquer, en prenant l'exemple de la molécule de chlorure d'hydrogène (HCl), l'origine du moment dipolaire permanent de certaines molécules. Donner l'expression en fonction de a et q du moment…

Vérifier que la constante de Hamaker A est homogène à une énergie.

Comment s'exprime la force de gravitation exercée par une distribution de masse sur un point matériel P de masse m en fonction du champ de gravitation G(P) ?

Dresser une analogie entre les équations (3) et celles de l'électrostatique. Quelle est la différence fondamentale entre l'électrostatique et la gravitation ?

On note M(r) la masse contenue dans la boule de rayon r. Montrer alors que : M(r) = ∫₀r 4π r'² (r') dr'. (6)

Quelle est l'expression littérale de la résistance de la bobine en fonction des grandeurs déjà introduites ?

Expliquer pourquoi on peut considérer que deux spires adjacentes forment un condensateur.

En vous appuyant sur l'analogie entre les forces électrostatique et gravitationnelle, écrire les équations régissant le champ gravitationnel K. Ces équations feront apparaître une densité volumique…

Au-delà des équations de champ, voyez-vous une différence simple entre l'électrostatique et la gravitation ?

Donner un exemple de dipôle électrostatique rencontré dans la nature ainsi que l'ordre de grandeur du moment dipolaire de l'exemple choisi.

Justifier qualitativement la relation (I.1) et donner l'unité de α dans le système international d'unités. Justifier que α est une grandeur positive.

Proposer une explication qualitative de ce phénomène.

Cette force est-elle attractive ou répulsive ? Comment pouvait-on prévoir ce résultat sans calcul ?

Sachant que C = 8,0 × 10⁻¹³ F et que K = 1,0 × 10⁻¹² C⁻¹, déterminer l'intensité de la force F s'exerçant sur la lame.

Déterminer, dans les deux cas précédents, la valeur numérique de la différence de potentiel qui apparait aux bornes du cristal de quartz. La différence vous semble-t-elle décelable ?

Que représente la capacité C₀ ?

β est appelé facteur de force : c'est le rapport entre la force appliquée à la lame piézoélectrique et la tension aux bornes de celle-ci. Montrer que β v_z est homogène à l'intensité d'un courant…

Tracer alors l'allure de |g(M)| en fonction de r pour tout r.

On prend un système de quatre charges S_q=q₁, q₂, q₃, q₄ que l'on décompose en deux sous-systèmes S_qα=q₁, q₂ et S_qβ=q₃, q₄. Décomposer l'énergie électrostatique U_q du système S_q en l'énergie…

On généralise à présent au cas de deux systèmes S_qα et S_qβ contenant respectivement N_α et N_β charges q_i_1 ≤ i ≤ N_α et q_j_1 ≤ j ≤ N_β. En vous appuyant sur la question précédente, montrer que…

Pour un système S_ρ composé de deux sous-systèmes S_ρα et S_ρβ, de distributions de charges ρ_α(r) et ρ_β(r), et créant respectivement des potentiels V_α(r) et V_β(r), décomposer l'énergie…

Voyez-vous une différence entre les formulations U_q et U_qα β obtenues pour des systèmes de charges ponctuelles, et celles U_ρ et U_ρα β obtenues pour des distributions continues de charges?

Déterminer et commenter les modifications de U_ρ et U_ρα β si le potentiel électrostatique est redéfini à une constante Δ V près. On pourra introduire les charges totales Q, Q_α et Q_β contenues…

Commenter le signe de cette énergie. Comment expliquer la différence avec le résultat obtenu pour des charges ponctuelles? Le signe de cette énergie permet-il d'avoir une interaction attractive…

Calculer l'énergie électrostatique U_es d'un système composé d'une unique charge ponctuelle q. Commenter sur la possibilité d'utiliser les formulations des équations (11) et (13) pour décrire un…

En déduire que l'énergie électrostatique d'une distribution contenant une quantité finie de charges nivelées ne diverge pas.

En relativité, on associe une énergie à toute masse, par la formule E=m c². En modélisant l'électron comme une boule homogène, et en supposant que toute la masse d'un électron est due à son énergie…

On considère à présent deux charges nivelées q₁ et q₂, séparées par une distance r₁₂=|r₂-r₁|. Par un raisonnement physique ne demandant pas de développements calculatoires poussés, expliquer…

On admet que le résultat de la question précédente est valable pour toute fenêtre vérifiant f(r) 0. Tracer un graphique représentatif de l'énergie d'interaction U₁₂ entre deux charges ponctuelles ou…

Expliquer pourquoi l'introduction de grandeurs nivelées revient à introduire une distance effective minimale r_min entre charges. Calculer cette distance minimale pour |q₂|=|q₁|, lorsque f(r)…

À partir du travail W fourni par la sphère sur elle-même lors d'une transformation quasi-statique l'amenant d'un rayon R₁ à un rayon R₂, calculer la variation d'énergie propre Δ U associée. En…

On revient à présent à l'étude des deux sphères Sa et Sb. La sphère intérieure Sa étant de rayon Ra fixé, calculer le travail W_a → b qu'elle fournit à la sphère extérieure Sb lorsque cette dernière…

La sphère extérieure Sb étant de rayon Rb fixé, calculer le travail W_b → a qu'elle fournit à la sphère intérieure Sa lorsque celle-ci passe de façon quasi-statique d'un rayon R₁a à un rayon R₂a. Ce…

Des résultats précédents, déduire l'énergie Uₜₒₜ de l'ensemble des deux sphères conductrices pour une configuration donnée où Rb>Ra, que l'on exprimera en fonction de Qa, Qb, ε₀ et des rayons en…

Comparer avec le résultat obtenu en utilisant l'équation (13), pour Qₐ=Q=-Q_b.

En déduire l'expression des champs électrique et magnétique créés par un électron se déplaçant à la vitesse vₑ, que l'on écrira en fonction de ε₀, µ₀, e, vₑ et du vecteur r repérant le point où le…

En déduire une équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ de concentration en ions chargés positivement c₊, que l'on exprimera en fonction de c₊, µ₊, D₊, k_B T et de ψ, défini par ψ =…

On admet que le champ électrique est nul à l'intérieur du matériau constituant la membrane. Montrer que l'on a : ∫₀⁺∞ ρₑ(z) dz + Σ = 0 où l'on rappelle que ρₑ est la densité volumique de charge.

En utilisant l'équation de Poisson et l'expression du potentiel φ obtenue à la question Q18, intégrer l'équation (4) pour obtenir une expression reliant le potentiel de surface φ₀ à la densité…

Représenter l'allure du potentiel électrostatique pour une concentration faible et une concentration élevée ; on considère dans cette question que Σ est constante. Expliquer pourquoi l'hypothèse de…

Utiliser l'équation de Poisson ainsi que l'expression de φ obtenue à la question Q18, pour montrer que ρₑ(x, z) = K c_∞(x) ψ(x, z) avec ψ(x, z) = (eφ(x, z))/(k_B T), où l'on exprimera K en fonction…

On propose de quantifier I_DO par la formule suivante I_DO = 4a ∫₀∞ dz ρₑ(x, z) v(z), où l'on rappelle que le champ de vitesse dans le canal s'écrit v = v(z)eₓ. Quelle est la dimension de I_DO ?…

Estimer la valeur de ℓ_B. Cette grandeur permet de comparer deux énergies ; à quoi correspondent-elles ?

Simplifier l'équation (13) lorsque la densité surfacique de charge est très faible, c'est-à-dire lorsque ℓ_GC ≫ λ_D. Que devient le courant osmotique si la membrane n'est pas chargée ?

Simplifier l'équation (13) lorsque la densité surfacique de charge est très grande, c'est-à-dire lorsque ℓ_GC ≪ λ_D.

À partir de cette dernière expression approchée, en déduire un ordre de grandeur du courant osmotique I_DO induit dans un seul canal pour une membrane constituée de canaux de longueur L = 100 nm et…

Sur une membrane, on considère que les canaux sont étroitement serrés les uns aux autres (Fig. 4 droite). Exprimer alors le courant surfacique délivré par une telle membrane en fonction de I_DO et…

Dans un canal de section carrée a² et de longueur L, en déduire le courant électrique induit I₊ d'ions positifs. On exprimera le résultat en fonction de la différence de potentiel Δ V de part et…

Donner de même le courant induit I₋ d'ions négatifs, en introduisant un coefficient µ₋ > 0 caractérisant ces ions, de manière similaire à l'équation (15). En déduire le courant électrique total I…

On note I_P l'énergie d'ionisation de l'atome d'argon (I_P > 0). On rappelle que les énergies d'ionisation des atomes sont de l'ordre de 10 eV. Rappeler l'ordre de grandeur de la taille d'un atome…

On assimile pour simplifier l'atome d'argon à un atome d'hydrogène, comme à la question 1. Lorsque l'atome est éclairé par le laser, l'électron voit le champ électrique du noyau et celui du laser…

L'électron est dans un état d'énergie mécanique -I_P. Montrer que si E₀ dépasse une valeur dite de « saturation » et notée E_sat, l'électron échappe à l'attraction du noyau et part à l'infini…

On souhaite prendre en compte le fil qui permet de connecter le piège au générateur de tension (voir Fig. 1) dans le modèle. L'influence de ce fil peut être modélisée par l'ajout au potentiel d'un…

La présence du fil, et donc du terme anharmonique, modifie également l'expression de la partie harmonique du potentiel de l'Eq.(1), c'est-à-dire que les valeurs des coefficients ne sont plus…

L'objet des questions suivantes de cette partie (i.e. des questions 26 à 31) est d'étudier les régimes dans lesquels la particule est stabilisée angulairement grâce au piège électrique. Pour ce…

On suppose que l'ensemble des électrons du métal a un petit déplacement de translation d'amplitude x global par rapport aux ions, comme à la question 2. Donner l'expression du champ électrique…

Exprimer en fonction du déplacement la densité surfacique de charges au point repéré par la lettre S sur la figure 1 (b), où la surface de la sphère est perpendiculaire à l'axe x. En déduire le…

En utilisant la même méthode que pour la sphère, déterminer la pulsation ω_c de l'oscillation des électrons dans un cylindre métallique de révolution infiniment long, en supposant leur déplacement x…

On considère enfin le cas d'un cylindre métallique de rayon R et de longueur L avec L ≫ R, et un mouvement d'oscillation des électrons parallèlement à l'axe du cylindre. La charge surfacique…

Des expériences réalisées sur des nanoparticules d'or montrent que leurs fréquences d'oscillation dépendent faiblement de leur taille, mais fortement de leur forme. Pour des nanotiges d'or, la…

En utilisant les lois de l'électrostatique, dont on supposera qu'elles restent valables bien que le champ dépende du temps, exprimer E_z1 - E_z2 en fonction de σ et ε₀. En utilisant l'expression de…

Montrer qu'en circuit ouvert, la différence de potentiel aux bornes du conducteur se met sous la forme V(0) - V(ℓ) = -β(T(0) - T(ℓ)), avec β un coefficient à exprimer en fonction d'un ou plusieurs…

Exprimer le moment dipolaire électrique total du milieu isolant en fonction de n_p, S, e et pₘ. En déduire l'expression des charges surfaciques de dépolarisation σ en fonction de pₘ et n_p seulement.

Quelles seraient les limites de pₘ à très basse et à très haute température ? Exprimer, en fonction du moment dipolaire individuel p_H_2O d'une molécule d'eau et de la constante de Boltzmann k_B…

En déduire que la capacité C du condensateur ainsi formé s'exprime en fonction de C₀ sous la forme C = ε_r C₀ dans laquelle on exprimera la permittivité relative ε_r en fonction de α et n_p.

Compléter cette figure en traçant l'évolution de la composante du champ électrique selon l'axe (Oz) en fonction de z sur les graphiques en dessous des cellules TESLA. Indiquer ensuite à l'aide d'un…

Montrer que, lorsque la membrane est en mouvement à la vitesse v=(d X)/(d t) uₓ, le courant qui parcourt le circuit s'écrit i(t)=K(X) (d X)/(d t) et exprimer K(X).

Rappeler l'équation locale de conservation de la charge en régime quelconque. En déduire, pour le régime stationnaire d'étude, une propriété vérifiée par le vecteur densité de courant électrique…

À l'aide des relations précédentes, montrer que le potentiel V est solution de la relation suivante en précisant l'expression du facteur k : d/dr(rdV/dr) = k V⁻¹/²

Déterminer par quels facteurs sont multipliés ρ, v et Iₐ si le potentiel de l'anode Vₐ est multiplié par un facteur N.

Déterminer le système d'équations dont α et n sont solutions. En déduire la valeur de n et l'expression de α en fonction de k.

Exprimer U_ac = V(r₂) - V(r₁) en fonction de Iₐ et des autres paramètres utiles. En déduire que la relation caractéristique de la diode Iₐ(U_ac) s'écrit Iₐ(U_ac) = β U_ac³/² et préciser l'expression…

Reprendre le tracé de la caractéristique de la question Q12 en tenant compte de ce qui précède et en justifiant.

En raisonnant sur le potentiel électrostatique, montrer que U = 2a/ε₀ε_rσ - (2(a - δ))/ε₀ε_rσ'.

Justifier qu'en régime indépendant du temps, on a σ' = σ. En déduire l'expression de la capacité C₀ du supercondensateur en régime indépendant du temps. Comparer C₀ à la capacité d'un condensateur…

Réaliser un bilan de charge entre t et t + dt pour le plan chargé se trouvant en x = a - δ et montrer que sa charge q' vérifie (dq')/dt = γ(σ - σ'(t))/ε₀ε_rS.

En déduire que (dσ')/dt + δγ/aε₀ε_rσ' = γ/2aU. Identifier un temps caractéristique τ d'évolution de σ'. On modélise le supercondensateur par l'association d'un condensateur de capacité C₀ en série…

Déduire de la relation entre le champ électrique E et le potentiel V dont il dérive que le gradient de température induit une tension ou force électromotrice (f.é.m.) e = V(x=0) - V(x=L) = V₁ - V₂…

L’inhomogénéité de la densité d’électrons libres dans le matériau cause l’apparition d’un champ électrique. Déterminer qualitativement le sens de ce champ. En déduire le signe du coefficient Seebeck…

L'intensité du courant circulant dans l'anneau de stockage, assimilé à un cercle de rayon R = 57 m, vaut à un instant donné i = 0,43 A. Exprimer, puis calculer le nombre d'électrons N constituant le…

Justifier que les composantes E_φ, B_r et B_θ sont nulles. Justifier ensuite que les composantes non nulles des champs émis ne dépendent pas de φ.

Exprimer l'accélération a de l'électron. Définir le moment dipolaire p₀ associé à la distribution de charges et donner son amplitude p₀ en fonction de e, ω et de a = |a|.

Quelle est la relation liant le champ électrostatique E(M) et le potentiel V(M) ? Déterminer l'expression du potentiel V(M) en fonction de σ, ε₀ ε_r, a, r et de V_A. En déduire que la charge…

En utilisant la relation a ≫ b, simplifier l'écriture de la charge surfacique σ en fonction de ε₀ ε_r, b, V_E et de V_A, puis montrer qu'on peut écrire la norme du champ électrique sous la forme…

En utilisant la relation Q = C(V_A - V_E), déterminer l'expression de la capacité de la membrane pour une longueur L, puis sa capacité par unité de surface de membrane cₘ. On trouve dans la…

En utilisant la formule V(M) = p/(4πε₀ r³) donnée plus haut, montrer que U₁ est proportionnelle à la projection du dipôle électrostatique du cœur sur la direction uₓ entre D et G. On notera K la…

Le tableau ci-dessous représente le dipôle électrique du cœur à différents instants t_i successifs pendant un cycle cardiaque (un point représente un dipôle nul). On précise l'orientation du vecteur…

Quelle est la relation liant le champ électrostatique E(M) et le potentiel V(M) ? Déterminer l'expression du potentiel V(M) en fonction de σ, ε₀ ε_r, a, r et de V_A. En déduire que la charge…

En utilisant la relation a ≫ b, simplifier l'écriture de la charge surfacique σ en fonction de ε₀ ε_r, b, V_E et de V_A, puis montrer qu'on peut écrire la norme du champ électrique sous la forme…

En utilisant la formule V(M) = p/(4πε₀ r³) donnée plus haut, montrer que U₁ est proportionnelle à la projection du dipôle électrostatique du cœur sur la direction uₓ entre D et G. On notera K la…

Le graphe ci-dessous représente le dipôle électrique du cœur à différents instants t_i successifs pendant un cycle cardiaque (un point représente un dipôle nul). On précise l'orientation du vecteur…

Comparer les valeurs des champs électriques perçus par un électron. Le champ électrique associé à une impulsion laser femtoseconde permet-il d'effectuer l'ionisation des atomes ? Les valeurs…

Expliquer brièvement pourquoi ce champ électrostatique fait cesser la diffusion évoquée dans la description donnée en début de partie.

Exprimer U(r) en fonction de x, y, z, γ, E et σ.

On suppose que sous l'effet d'un champ électrique externe uniforme E, les électrons de coeur acquièrent un dipôle électrique d_c donné par d_c = ε₀ α_c E, où α_c désigne la polarisabilité du cœur…

Par analogie avec la première partie, α_c dépend a priori de la pulsation ω du champ électrique. En comparant les temps caractéristiques d'évolution des électrons de cœur et de l'électron…

En déduire que les électrons de cœur et le noyau créent au niveau de l'électron périphérique un potentiel électrostatique U(r) = -qₑ/(4π ε₀ r) + (d_c · r)/(4π ε₀ r³).

Interpréter la Figure 3.a. Pourquoi l'atome de Rydberg n'a-t-il pas de moment dipolaire permanent moyen ?

En déduire que le dipôle électrique moyen de l'atome se met sous la forme = ε₀ α E₀.

On approche à présent les deux atomes. Comparer qualitativement l'énergie nécessaire pour faire passer un atome depuis l'état fondamental au niveau excité, puis celle nécessaire à faire transiter le…

Que devient l'expression de F si P reste ponctuel tandis que l'astre A, de rayon R_A < r, possède une répartition de masse à symétrie sphérique ? On justifiera sa réponse.

Justifier que la contribution dW_g à l'énergie gravitationnelle de cet accroissement (passage de r à r + dr) s'écrit dW_g = -G m dm/r. Calculer l'énergie gravitationnelle totale W_g de l'étoile en…

Expliciter le champ gravitationnel G(r) ressenti au sein de l'étoile en équilibre à la distance r du centre, en fonction de G, M, R et r. En déduire l'expression de la pression P(r) = 3GM²/(8π R⁶)…

Que devient l'expression de F si P reste ponctuel tandis que l'astre A, de rayon R_A < r, possède une répartition de masse à symétrie sphérique ? On justifiera sa réponse.

Justifier que la contribution dW_g à l'énergie gravitationnelle de cet accroissement (passage de r à r + dr) s'écrit dW_g = -Gmdm/r. Calculer l'énergie gravitationnelle totale W_g de l'étoile en…

Expliciter le champ gravitationnel G(r) ressenti au sein de l'étoile en équilibre à la distance r du centre, en fonction de G, M, R et r. En déduire l'expression de la pression P(r) = 3GM²/(8π…

Par une analogie formelle soignée entre les champs électrostatique et gravitationnel, construire et énoncer le théorème de Gauss gravitationnel (analogue en gravitation du théorème de Gauss de…

Montrer que l'énergie potentielle moyenne E_p de l'électron décrit par la fonction d'onde ψ(r) s'écrit E_p = -3/2e²/r₀ où e² = qₑ²/4πε₀ avec qₑ est la charge élémentaire.

Les parois étant conductrices, les électrons libres et les ions arrivant sur les parois se recombinent entre eux de façon quasi-instantanée, si bien que n_i = nₑ = 0 sur les parois. En effectuant un…

À l'aide des résultats des deux questions précédentes, montrer que j_i(x, t) = jₑ(x, t).

Par circulation du champ -grad ψ le long d'une racine, établir l'expression de la résistance hydraulique R_r d'une racine en fonction de γ_r, s_r et de l_r. En déduire la résistance hydraulique R_N…

Par circulation du champ -grad ψ le long d'une racine, établir l'expression de la résistance hydraulique R_r d'une racine en fonction de γ_r, s_r et de l_r. En déduire la résistance hydraulique R_N…

Quelle est l'unité de α ? Dans quel sens est orienté grad(Eₘ²) ? Donner son expression en fonction de E₀ et de α, en supposant que |α x| ≪ E₀.

À l'aide du théorème de Gauss pour la gravitation, établir l'expression du champ de pesanteur à une altitude z, dont l'origine sera choisie au niveau du sol et l'axe orienté dans le sens des…

Justifier, dans la zone de déplétion, à l'équilibre, les signes des densités volumiques de charge ( ρ₁<0 et ρ₂>0 ), puis établir, en exprimant la neutralité de la zone de déplétion, une relation…

En déduire que la capacité du condensateur peut s'exprimer sous la forme : C(h) = C₀ (A h + B) avec A et B des constantes que l'on exprimera en fonction de ε, ε₀ et H.

À l'aide des résultats précédents, déterminer l'expression de h_s en fonction de H, a₁, a₂, C₀, ε₀, ε, R₁ et T.

Expliquer l'allure de l'évolution de I_d en fonction du temps ainsi que le choix de variation de n_g à chaque début de cycle.

En déduire la variation d'énergie lorsque l'électron passe de gauche à droite pour une valeur donnée de n_g. Même question s'il passe de droite à gauche.

Donner l'expression de W(0, t₁) en fonction de constantes introduites dans l'énoncé.

Généraliser les résultats obtenus au cas de la fusion de deux noyaux de numéros atomiques Z₁ et Z₂, de masses m₁ et m₂ quelconques. Déterminer en particulier comment la valeur de µ et l'énergie de…

Parmi les trois modes de vibration définis dans la première partie, lesquels entraînent une variation du moment dipolaire de la molécule de CO₂ ? Qu'en est-il pour les vibrations des molécules N₂ et…

Dans la situation où on impose v₂ = 2E et v₁ = E, donner l'expression des courants mesurés lorsque le matériau magnétocalorique se déplace avec une vitesse v. On notera v la vitesse de la plaque…

Expliciter, en fonction de ω_c, ω, e, mₑ et r, le champ électrique E présent dans la cavité et permettant un tel mouvement des électrons. On vérifiera que ce champ est fonction linéaire de r.

Exprimer la densité particulaire des électrons dans l'appareil en fonction de a, b, U₀, ε₀ et e.

Estimer, en précisant la démarche, la capacité C_p à partir de l'expression de la capacité d'un condensateur plan et de la géométrie des enroulements (figure 1 et figure 4a). Le milieu magnétique…

Quel est le signe de la charge de la face inférieure qui apparait en cas de compression (figure 7b) ? On note σ la densité surfacique de charge correspondante. Dans le cas d'un milieu illimité dans…

Exprimer le champ électrique E₂ dans le cas des deux couches de la figure 8b, en fonction du champ Eₑₓₜ de la figure 8a. Généraliser au cas de N couches d'épaisseur d/N et exprimer E_N. Exprimer…

On considère le schéma du transformateur de la figure 9. Le primaire est formé de N couches, le secondaire d'une seule. Si l'amplitude de la déformation au secondaire est identique à celle du…

En posant Z(r) = rU(r), montrer que la fonction Z(r) vérifie l'équation : (d² Z)/dr² - Z/λ_D² = 0 avec λ_D une constante à exprimer en fonction des données de l'énoncé.