Corrigé détaillé ENS Physique C PC 2020 (page 2/4 : Partie 1 (questions 15 à 25) et partie 2 (questions 26 à 29))

Le système étudié est le point matériel de masse m, en chute libre dans le référentiel terrestre supposé galiléen. La seule force appliquée est le poids :

1. Conservation de la quantité de mouvement selon x :

La résultante des forces extérieures est orthogonale à l'axe (Ox), soit P_x = 0. D'après le théorème de la quantité de mouvement projeté sur l'axe (Ox) :

En appliquant cette relation au point B atteint à l'instant t_L, on obtient :

2. Conservation de l'énergie mécanique :

Le poids est une force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur :

en choisissant l'origine au sol (y = 0). En l'absence de frottements, l'énergie mécanique \mathcal{E}_m = \mathcal{E}_c + \mathcal{E}_p est une intégrale première du mouvement :

Puisque y_A = y_B = 0, les énergies potentielles sont nulles en A et B, ce qui implique l'égalité des énergies cinétiques :

En utilisant v_{B,x} = \dot{x}_0, il vient :

La trajectoire étant parabolique avec un sommet atteint en y = h > 0, le projectile est initialement lancé vers le haut (\dot{y}_0 > 0) et arrive au sol au point B en phase descendante (v_{B,y} < 0). On en déduit :

Le point matériel de masse m n'est soumis qu'à son poids dans le référentiel galiléen d'étude. Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

Par intégration successive avec les conditions initiales \vec{r}(0) = \vec{0} et \vec{v}(0) = \dot{x}_0\,\vec{e}_x + \dot{y}_0\,\vec{e}_y, on obtient :

Au point le plus haut de la trajectoire, la composante verticale de la vitesse s'annule : \vec{v}_h = \dot{x}_0\,\vec{e}_x, d'où :

Le point B de coordonnées (L, 0) est atteint à l'instant t_L > 0. D'après l'équation horaire selon x :

On en déduit l'expression du temps de parcours :

La condition d'atterrissage en y(t_L) = 0 donne :

Le sommet de la trajectoire est atteint à l'instant t_h tel que \dot{y}(t_h) = 0, soit t_h = \frac{\dot{y}_0}{g} = \frac{t_L}{2}. La hauteur maximale h = y(t_h) vaut ainsi :

En remplaçant t_L par son expression en fonction de L et v_h, on obtient :

D'après les résultats de la question Q16, le temps de parcours t_L et la hauteur maximale h s'expriment selon :

avec g = 10\,\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2} et L = 10\,\mathrm{m}.

• Pour la balle de volley (v_h = 5\,\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}) :

  \begin{aligned} t_{L,\mathrm{volley}} &= \frac{10}{5} = 2\,\mathrm{s} \\ h_{\mathrm{volley}} &= \frac{10 \times 10^2}{8 \times 5^2} = \frac{1000}{200} = 5\,\mathrm{m} \end{aligned}
  \boxed{t_{L,\mathrm{volley}} = 2\,\mathrm{s} \quad \text{et} \quad h_{\mathrm{volley}} = 5\,\mathrm{m}}

• Pour la balle de fusil (v_h = 500\,\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}) :

  \begin{aligned} t_{L,\mathrm{fusil}} &= \frac{10}{500} = 2\times 10^{-2}\,\mathrm{s} \\ h_{\mathrm{fusil}} &= \frac{10 \times 10^2}{8 \times 500^2} = \frac{1000}{2 \times 10^6} = 5\times 10^{-4}\,\mathrm{m} \end{aligned}
  \boxed{t_{L,\mathrm{fusil}} = 2\times 10^{-2}\,\mathrm{s} \quad \text{et} \quad h_{\mathrm{fusil}} = 5\times 10^{-4}\,\mathrm{m} = 0{,}5\,\mathrm{mm}}

En utilisant la relation admise \mathcal{R} = \dfrac{L^2}{8h} et les expressions obtenues à la question Q16, on remarque que :

ce qui correspond bien au rayon de courbure au sommet de la parabole.

• Pour la balle de volley (v_h = 5\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, h = 5\text{ m}) :

  \mathcal{R}_{\text{volley}} = \frac{10^2}{8 \times 5} = \frac{100}{40} = 2{,}5\text{ m}

  Avec un chiffre significatif :

  \boxed{\mathcal{R}_{\text{volley}} = 3\text{ m} \quad (\text{ou } 2{,}5\text{ m})}

• Pour la balle de fusil (v_h = 500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, h = 5\times 10^{-4}\text{ m}) :

  \mathcal{R}_{\text{fusil}} = \frac{10^2}{8 \times 5\times 10^{-4}} = \frac{100}{4\times 10^{-3}} = 2{,}5\times 10^4\text{ m} = 25\text{ km}

  Avec un chiffre significatif :

  \boxed{\mathcal{R}_{\text{fusil}} = 3\times 10^4\text{ m} \quad (\text{ou } 2{,}5\times 10^4\text{ m})}

Conclusion sur la similarité : Les rayons de courbure diffèrent de quatre ordres de grandeur (\mathcal{R}_{\text{fusil}}/\mathcal{R}_{\text{volley}} = 10^4). Dans l'espace géométrique ordinaire, ces deux trajectoires ne présentent donc aucune similarité : l'une est fortement incurvée tandis que l'autre est quasi-rectiligne sur la distance L.

Le mouvement s'effectue avec une vitesse horizontale uniforme v_h, de sorte que x(t) = v_h t. La troisième coordonnée spatio-temporelle vérifie :

Cette relation linéaire montre que la trajectoire est entièrement contenue dans le plan vertical passant par l'axe vertical (Ay) et faisant un angle \psi avec l'axe (Ax) dans le plan horizontal (x, ct), tel que \tan\psi = \frac{c}{v_h} \gg 1.

Dans le plan contenant la trajectoire, repérons la position le long de la base horizontale par la coordonnée s(t) = \sqrt{x^2(t) + (ct)^2} = \sqrt{v_h^2 + c^2}\, t. La longueur de base de l'arc de parabole entre t = 0 et t_L vaut donc :

La hauteur maximale atteinte reste l'ordonnée au sommet y_{\max} = h. D'après la question 16, h = \frac{g L^2}{8 v_h^2} = \frac{1}{8} g t_L^2.

En appliquant la relation admise à la question 18 dans ce plan, le rayon de courbure spatio-temporel s'écrit :

Puisque pour les deux objets v_h \ll c (v_h / c \le 500 / (3\times 10^8) \sim 10^{-6}), on a au premier ordre :

Calcul numérique avec un chiffre significatif (c = 3{,}00\times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}) :

Conclusion sur la similarité : Dans le diagramme spatio-temporel, les rayons de courbure des deux trajectoires sont identiques. Les trajectoires de chute libre dans l'espace-temps possèdent donc une géométrie universelle indépendante des conditions initiales de tir.

À l'instant initial t = 0, la boule est homogène de densité de masse \rho_0. D'après le résultat de la question Q5, le champ de gravitation à l'intérieur de la boule s'écrit :

où \vec{r} est repéré par rapport au centre de la boule.

Le grain de matière situé en \vec{r} est en chute libre dans le référentiel galiléen. Son accélération est :

On se place dans le référentiel \mathcal{R}' lié à ce grain. Ce référentiel est en translation par rapport au référentiel galiléen, avec une accélération d'entraînement \vec{a}_e = \vec{a}(\vec{r}). Comme le mouvement d'entraînement est une pure translation, la rotation propre du référentiel est nulle (\vec{\Omega} = \vec{0}), donc la force d'inertie de Coriolis est identiquement nulle.

Dans le référentiel \mathcal{R}', le grain de masse m situé en \vec{r} + \delta\vec{r} (supposé également à l'intérieur de la boule) est soumis à deux forces :

• La force de gravitation créée par le reste de la boule :

  \vec{F}_{\mathrm{grav}} = m \vec{K}(\vec{r} + \delta\vec{r}) = -\frac{4}{3}\pi G \rho_0 m (\vec{r} + \delta\vec{r})

• La force d'inertie d'entraînement :

  \vec{F}_{ie} = -m \vec{a}_e = -m \vec{K}(\vec{r}) = +\frac{4}{3}\pi G \rho_0 m \vec{r}

La force totale \vec{F}' subie par le grain situé en \vec{r} + \delta\vec{r} dans le référentiel du grain situé en \vec{r} est la somme de ces deux contributions :

On obtient ainsi :

D'après le résultat de la question Q20, la force relative subie par un grain voisin situé en \vec{r} + \delta\vec{r} dans le référentiel en chute libre lié au grain en \vec{r} vaut :

Cette force (et donc l'accélération relative \vec{a}' = \vec{F}'/m) présente deux propriétés fondamentales :

• elle est indépendante de la position \vec{r} de l'observateur dans la boule ;
• elle est purement centrale et isotrope par rapport à l'observateur lui-même (proportionnelle à -\delta\vec{r}).

Aucune direction spatiale n'étant privilégiée dans ce champ d'accélération relative (absence d'anisotropie de marée), un observateur observant le mouvement relatif des grains autour de lui voit une contraction parfaitement isotrope centrée sur sa propre position :

Puisque l'accélération relative \frac{\mathrm{d}^2(\delta\vec{r})}{\mathrm{d}t^2} = -\frac{4}{3}\pi G \rho_0 \,\delta\vec{r} ne dépend aucunement de \vec{r}, tous les éléments de volume subissent localement une contraction rigoureusement identique. Le mouvement d'effondrement est une contraction homothétique uniforme :

où le facteur d'échelle x(t) \leqslant 1 est le même en tout point de la boule. Un volume élémentaire \mathrm{d}^3V évolue donc de manière identique en tout point : \mathrm{d}^3V(t) = x(t)^3\,\mathrm{d}^3V(0).

Par conservation de la masse des grains, la masse volumique à l'instant t s'écrit :

Elle est indépendante de la position spatiale :

Dans le référentiel lié au grain de matière situé en \vec{r} (référentiel en chute libre), le principe fondamental de la dynamique appliqué à un grain de matière de masse m situé en \delta\vec{r} s'écrit, en reprenant le résultat établi à la question Q20 et étendu à un instant t quelconque où la densité homogène vaut \rho(t) :

D'après la question Q21, l'effondrement est homothétique :

où x(t) = \frac{\delta r(t)}{\delta r_0} est le ratio des normes, sans dimension, avec les conditions initiales x(0) = 1 et \dot{x}(0) = 0 (grains initialement au repos).

Le volume d'une sphère de grains comobiles varie donc comme le cube des distances relatives : V(t) = x(t)^3 V_0. Par conservation de la matière, la densité volumique de masse s'écrit :

En réinjectant cette expression dans la loi de Newton, on obtient l'équation d'évolution vectorielle de la position relative :

En remplaçant \delta\vec{r}(t) par x(t)\delta\vec{r}_0 et en remarquant que \frac{\mathrm{d}^2\delta\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} = \ddot{x}(t)\delta\vec{r}_0, il vient :

Comme \delta\vec{r}_0 \neq \vec{0}, on obtient l'équation différentielle scalaire régissant x(t) :

D'après la question Q22, le ratio x(t) = \delta r(t)/\delta r_0 vérifie l'équation différentielle :

En multipliant les deux membres par la dérivée \dot{x}(t), on obtient :

On reconnaît les dérivées par rapport au temps :

L'intégration par rapport au temps donne immédiatement l'intégrale première :

où C est une constante déterminée par les conditions initiales. À l'instant t = 0, la boule de grains est initialement au repos :

D'où la valeur de la constante :

On en déduit l'expression demandée :

Puisque le mouvement est homothétique selon \delta\vec{r}(t) = x(t)\,\delta\vec{r}_0 pour tout couple de grains, la condition \delta\vec{r} = \vec{0} équivaut à x(t) = 0.

• Signification physique : Cela signifie que la distance entre n'importe quelle paire de grains s'annule simultanément. Toute la matière de la boule initiale de rayon R se concentre donc en un seul point (son centre). Le rayon de la boule devient nul, son volume s'annule, et la masse volumique diverge :

  \rho(t) = \frac{\rho_0}{x(t)^3} \xrightarrow[x \to 0]{} +\infty.

  Il s'agit donc de la formation d'une singularité gravitationnelle ponctuelle.

• Réalisation physique : Une telle situation n'est pas réalisée physiquement, et ce pour plusieurs raisons :

  1. Invalidation de l'hypothèse sans collision : Les grains possèdent une taille finie. Lorsque la densité augmente fortement, les chocs et interactions de contact entre grains deviennent inévitables.
  2. Apparition d'une pression : Lors de la compression, l'échauffement du milieu engendre une pression thermique (gradient de pression) capable d'équilibrer l'attraction gravitationnelle (formation d'une étoile en équilibre hydrostatique).
  3. Mécanique quantique et relativité générale : À très haute densité interviennent des pressions de dégénérescence (électronique pour une naine blanche, neutronique pour une étoile à neutrons). Si ces pressions ne suffisent pas à stopper l'effondrement (formation d'un trou noir), la relativité générale prévoit la formation d'un horizon des événements, et la description ponctuelle \rho \to +\infty signale la limite de validité de la physique classique, nécessitant une théorie de la gravitation quantique.

L'intégrale première établie à la question Q23 s'écrit :

Le nuage s'effondrant sur lui-même, la grandeur x(t) = \delta r(t)/\delta r_0 décroît au cours du temps, si bien que \dot{x}(t) \leqslant 0. On en déduit :

Par séparation des variables, la durée \Delta t nécessaire pour passer de la position initiale (x = 1 à t = 0) à l'effondrement complet (x = 0 à t = \Delta t) s'écrit :

D'après l'intégrale utile donnée dans le formulaire :

Il vient ainsi :

soit :

Commentaires sur les dépendances :

• Indépendance vis-à-vis de la taille : Le temps d'effondrement ne dépend ni du rayon initial R de la boule, ni de la position initiale relative \delta r_0 des grains. Tous les grains atteignent donc le centre au même instant : l'effondrement est strictement synchrone (ou homothétique).
• Dépendance en la masse volumique initiale : \Delta t \propto \rho_0^{-1/2}. Plus la boule est initialement dense, plus l'attraction gravitationnelle est intense et plus l'effondrement est rapide.
• Dépendance en G : \Delta t \propto G^{-1/2}, ce qui traduit le fait qu'une constante de gravitation plus élevée accélère la dynamique de chute libre.

Par définition, un angle d'une seconde d'arc vaut :

Sous l'approximation des petits angles, la distance d = 1\text{ pc} associée à la base D_{T-S} vue sous l'angle \theta vérifie :

Avec D_{T-S} = 150 \times 10^6\text{ km} = 1{,}50 \times 10^{11}\text{ m} et \pi \approx 3{,}14 :

En ne conservant qu'un seul chiffre significatif comme demandé :

L'énoncé indique que l'on peut identifier les propriétés de chaque étoile à celles du Soleil. En assimilant la surface de l'étoile à un corps noir à la température d'équilibre T_{\text{surf}}, la densité surfacique de flux émise est donnée par la loi de Stefan :

La surface d'une étoile sphérique de rayon R_\odot est S_\odot = 4\pi R_\odot^2. La puissance totale rayonnée par une étoile de type solaire (sa luminosité) s'écrit donc :

Calculons numériquement cette puissance avec les valeurs fournies :

La Voie lactée contient entre 200 et 400 milliards d'étoiles, soit un nombre moyen :

La puissance totale émise par la Galaxie sous forme de rayonnement électromagnétique vaut alors :

Avec un seul chiffre significatif :

Dans le système de coordonnées cylindriques (r, \theta, z) d'axe Oz, le vecteur vitesse d'un point s'écrit de façon générale :

Les trajectoires des étoiles suivant le mouvement d'ensemble sont des cercles d'axe (Oz) situés dans des plans orthogonaux à cet axe (z = \text{cste}). Pour chaque étoile :

• le rayon orbital r est constant au cours du temps, donc \dot{r} = 0 ;
• l'altitude z est constante au cours du temps, donc \dot{z} = 0.

Le vecteur vitesse se réduit alors à sa seule composante orthoradiale :

Examinons les dépendances de la vitesse angulaire \dot{\theta} :

• le régime d'écoulement moyen est stationnaire, donc \dot{\theta} ne dépend pas explicitement du temps t ;
• la Galaxie est supposée axisymétrique autour de l'axe Oz, donc \dot{\theta} ne dépend pas de l'angle \theta ;
• l'énoncé précise que le mouvement d'ensemble peut être étudié indépendamment de la coordonnée z.

Il en résulte que la vitesse angulaire ne dépend que de la distance radiale r à l'axe de rotation :

Le champ des vitesses d'ensemble du disque s'écrit donc en tout point :

La connaissance de la seule fonction scalaire \dot{\theta}(r) détermine entièrement le champ des vitesses, et donc le mouvement d'ensemble du disque galactique.

Dans le référentiel galactocentrique supposé galiléen, la position d'une étoile suivant le mouvement d'ensemble est repérée en coordonnées cylindriques par :

La trajectoire étant circulaire de rayon r = \text{cste} dans un plan z = \text{cste}, on a \dot{r} = 0, \ddot{r} = 0, \dot{z} = 0 et \ddot{z} = 0. Le vecteur vitesse s'écrit donc :

Le régime étant de plus stationnaire, la vitesse angulaire \dot{\theta}(r) d'une étoile à la distance r est constante au cours du temps (\ddot{\theta} = 0). L'accélération se réduit ainsi à sa composante centripète :

L'étoile n'étant soumise qu'au champ de gravitation \vec{K}, la deuxième loi de Newton s'écrit :

Par projection sur la base locale :

• sur \vec{e}_r :

  a_r = K_r(r) \implies -\frac{v_\theta^2(r)}{r} = K_r(r) ;
• sur \vec{e}_\theta : l'accélération orthoradiale est nulle (a_\theta = 0), et le champ K_\theta est identiquement nul du fait de l'axisymétrie de la distribution de masse (invariance par rotation autour de l'axe z).

La composante selon \vec{e}_\theta étant trivialement vérifiée (0 = 0), la dynamique du mouvement d'ensemble dans le plan (r, \theta) est intégralement contenue dans l'équation d'équilibre radial :