Corrigé détaillé ENS Physique C PC 2020

Le champ électrostatique \vec{E}(\vec{r}) est régi par les équations de Maxwell en régime stationnaire :

• L'équation locale de Maxwell-Gauss, reliant la divergence du champ aux sources de charge volumique \rho_q :

  \boxed{\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho_q}{\varepsilon_0}}

• L'équation traduisant le caractère irrotationnel (conservatif) du champ électrostatique, issue de l'équation de Maxwell-Faraday indépendante du temps :

  \boxed{\vec{\nabla} \wedge \vec{E} = \vec{0}}

  Cette équation assure l'existence d'un potentiel électrostatique V(\vec{r}) tel que \vec{E} = -\vec{\nabla} V.

Une particule ponctuelle portant la charge électrique q, plongée dans un champ électrostatique \vec{E}, subit la force électrostatique (composante électrique de la force de Lorentz) :

La force gravitationnelle exercée par une masse ponctuelle m_1 sur une masse ponctuelle m_2 séparées d'une distance r s'écrit :

Par comparaison avec la force de Coulomb :

on déduit le dictionnaire d'analogie suivant :

En transposant les équations du champ électrostatique rappelées en Q1, on obtient les équations régissant le champ de gravitation \vec{K} :

La grandeur \rho(\vec{r}) est la masse volumique (ou densité volumique de matière) au point \vec{r}. Elle est définie à partir d'un élément de volume mésoscopique \mathrm{d}^3V entourant la position \vec{r} contenant une masse \mathrm{d}m par :

Sa dimension est celle d'une masse divisée par un volume :

Dans le Système international d'unités, elle s'exprime en \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}.

La différence fondamentale la plus simple réside dans le signe des sources et la nature de l'interaction qui en découle :

• Signe des sources : la masse est une grandeur toujours positive (\rho \ge 0), alors que la charge électrique peut être positive ou négative (\rho_q \gtrless 0).
• Caractère de la force : l'interaction gravitationnelle entre deux masses est par conséquent exclusivement attractive, alors que l'interaction électrostatique est répulsive (charges de même signe) ou attractive (charges de signes contraires).

On peut également souligner deux autres différences majeures :

• L'universalité (rapport charge/masse) : en gravitation, la « charge » gravitationnelle s'identifie à la masse inertielle (m_g = m_i, principe d'équivalence), conférant à tous les corps la même accélération dans un champ gravitationnel donné. En électrostatique, le rapport q/m dépend de la particule considérée.
• L'intensité relative : à l'échelle microscopique (par exemple entre deux protons), l'interaction électrostatique surpasse l'interaction gravitationnelle d'environ 36 ordres de grandeur. À grande échelle, la matière étant globalement neutre électriquement, c'est au contraire la gravitation qui prédomine.

On repère l'espace en coordonnées sphériques (r, \theta, \varphi) dont l'origine O coïncide avec le centre de la boule chargée.

Considérations d'invariance et de symétrie :

• Invariances : La distribution de charge est invariante par toute rotation autour du centre O, c'est-à-dire par translation selon \theta et \varphi. Par conséquent, les composantes du champ électrostatique ne dépendent que de la coordonnée radiale r :

  \vec{E}(r, \theta, \varphi) = \vec{E}(r).

• Symétries : Tout plan contenant l'origine O et le point d'observation M (plan méridien défini par \vec{e}_r et un vecteur orthogonal) est un plan de symétrie de la distribution de charge. Le champ électrostatique étant un vecteur polaire, il appartient à l'intersection de tous ces plans de symétrie, qui est la droite radiale (OM). Ainsi, le champ est purement radial :

  \vec{E}(r) = E_r(r)\,\vec{e}_r.

Théorème de Gauss : On choisit comme surface de Gauss \mathcal{S}_G une sphère de centre O et de rayon r, orientée vers l'extérieur par la normale \vec{n}_{\text{ext}} = \vec{e}_r. Le flux du champ électrostatique à travers cette surface s'écrit :

D'après le théorème de Gauss, ce flux est relié à la charge intérieure Q_{\text{int}}(r) par \Phi = \frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0}.

• À l'intérieur de la boule (r \le R) : La charge comprise dans la sphère de rayon r vaut :

  Q_{\text{int}}(r) = \rho_{q,0} \times \frac{4}{3}\pi r^3.

  On en déduit :

  4\pi r^2 E_r(r) = \frac{\rho_{q,0}}{\varepsilon_0}\frac{4}{3}\pi r^3 \implies E_r(r) = \frac{\rho_{q,0}}{3\varepsilon_0} r.
  \boxed{\vec{E}_{\text{int}}(\vec{r}) = \frac{\rho_{q,0}}{3\varepsilon_0}\,\vec{r}}

• À l'extérieur de la boule (r \ge R) : La surface de Gauss englobe toute la charge de la boule, notée Q_{\text{tot}} = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho_{q,0} :

  Q_{\text{int}}(r) = Q_{\text{tot}} = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho_{q,0}.

  On obtient :

  4\pi r^2 E_r(r) = \frac{Q_{\text{tot}}}{\varepsilon_0} \implies E_r(r) = \frac{\rho_{q,0} R^3}{3\varepsilon_0 r^2} = \frac{Q_{\text{tot}}}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.
  \boxed{\vec{E}_{\text{ext}}(\vec{r}) = \frac{\rho_{q,0} R^3}{3\varepsilon_0 r^3}\,\vec{r} = \frac{Q_{\text{tot}}}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\,\vec{r}}

Les propriétés de symétrie et d'invariance de la boule homogène de masse sont rigoureusement identiques à celles de la boule chargée étudiées à la question Q4. D'après l'analogie mise en place à la question Q2, les équations du champ gravitationnel se déduisent de celles de l'électrostatique par les substitutions :

En transposant directement les expressions obtenues à la question Q4 :

• À l'intérieur de la boule (r \leqslant R) :

  \begin{aligned} \vec{K}(\vec{r}) &= \frac{\rho_0}{3} (-4\pi G) \, \vec{r} \end{aligned}

  soit :

  \boxed{\vec{K}(\vec{r}) = -\frac{4}{3}\pi G \rho_0 \, \vec{r}}

• À l'extérieur de la boule (r \geqslant R) :

  \begin{aligned} \vec{K}(\vec{r}) &= \frac{\rho_0 R^3}{3 r^3}(-4\pi G) \, \vec{r} = -\frac{4\pi \rho_0 R^3}{3} \frac{G \vec{r}}{r^3} \end{aligned}

La masse totale M de la boule homogène de rayon R s'écrit :

On en déduit immédiatement le champ à l'extérieur de la boule :

ce qui correspond bien à l'équation (4) de l'énoncé.

L'observateur n'étant pas chargé électriquement, il n'est soumis à aucune force électrostatique et reste au repos dans le référentiel galiléen. Pour mesurer le champ \vec{E} localement, il peut :

• Mesure statique : suspendre une particule test de charge connue q > 0 à un dynamomètre (ou un fil étalonné). À l'équilibre mécanique, la force électrostatique compense la tension du dynamomètre : \vec{F}_{\text{élec}} = q\vec{E} = -\vec{T}. La direction et le sens de l'élongation donnent ceux de \vec{E}, et la norme de la force permet de déterminer l'amplitude E = \|\vec{T}\|/q.
• Mesure dynamique : lâcher sans vitesse initiale une particule de masse m et de charge q connues. L'accélération initiale mesurée est \vec{a} = \frac{q}{m}\vec{E}. La trajectoire rectiligne initiale indique la direction et le sens du champ, et la mesure de l'accélération donne la norme E = \frac{m}{q} a.

L'existence de charges positives, négatives ou nulles permet ainsi de caractériser sans ambiguïté le champ électrostatique local.

Soit \mathcal{R} le référentiel galiléen d'étude dans lequel règne le champ de gravitation uniforme et stationnaire \vec{K}.

L'observateur en chute libre définit un référentiel \mathcal{R}' en translation accélérée par rapport à \mathcal{R}, d'accélération d'entraînement :

Puisqu'il s'agit d'une translation pure, le vecteur rotation est nul (\vec{\Omega} = \vec{0}), de sorte que la force d'inertie de Coriolis est nulle (\vec{F}_{ic} = \vec{0}).

Dans le référentiel non galiléen \mathcal{R}', la deuxième loi de Newton appliquée à une particule de masse m s'écrit en ajoutant la force d'inertie d'entraînement \vec{F}_{ie} :

La deuxième loi de Newton est donc modifiée par l'apparition d'une force d'inertie d'entraînement \vec{F}_{ie} = -m\vec{K} qui compense exactement la force de gravitation subie par la particule :

Dans le référentiel en chute libre, le champ gravitationnel local disparaît donc entièrement de la dynamique des corps.

D'après la question Q7, dans le référentiel \mathcal{R}' de l'observateur en chute libre au sein d'un champ gravitationnel uniforme \vec{K}, la force d'inertie d'entraînement subie par une particule quelconque de masse m compense exactement la force gravitationnelle :

En l'absence d'autres interactions (\vec{F}_{\text{autres}} = \vec{0}), toute particule libre de masse quelconque est animée d'un mouvement rectiligne uniforme dans \mathcal{R}' (ou reste immobile si elle est lâchée sans vitesse initiale). L'observateur constate ainsi un état d'impesanteur totale.

Les lois de la mécanique dans ce référentiel local sont rigoureusement identiques à celles observées dans un référentiel galiléen loin de toute source gravitationnelle. Par conséquent :

La Station spatiale internationale (ISS) orbite autour de la Terre à une altitude d'environ h \approx 400\text{ km}. À cette altitude, le champ gravitationnel terrestre n'est nullement négligeable : il conserve environ 90\,\% de sa valeur au sol (g \approx 8{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}).

L'ISS n'est soumise (en première approximation) qu'à l'attraction gravitationnelle de la Terre : elle est donc en état de chute libre permanente.

Dans le référentiel lié à la station, qui possède une accélération d'entraînement \vec{a}_e = \vec{K}, un astronaute de masse m est soumis à :

• la force gravitationnelle terrestre : \vec{F}_{\text{grav}} = m \vec{K} ;
• la force d'inertie d'entraînement : \vec{F}_{\text{ie}} = -m \vec{a}_e = -m \vec{K}.

Ces deux forces se compensent exactement en tout point de son corps :

Le poids apparent de l'astronaute est donc nul, ce qui place ce dernier en situation d'impesanteur.

Dans un référentiel galiléen, le principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule soumise uniquement au champ de gravitation \vec{K} s'écrit :

En introduisant le ratio \alpha_{\mathrm{eq}} = \frac{m_i}{m_g}, l'accélération de la particule s'exprime sous la forme :

En électrostatique, la force exercée par un champ \vec{E} sur une particule de charge électrique q est \vec{F}_{\text{élec}} = q \vec{E}. Le principe fondamental de la dynamique s'écrit alors :

Par analogie, la charge électrique q joue le rôle de la masse grave m_g. On peut donc identifier comme équivalent du ratio \alpha_{\mathrm{eq}} = \frac{m_i}{m_g} :

Commentaire :

• En gravitation, l'expérience montre que \alpha_{\mathrm{eq}} est strictement universel (indépendant du corps et égal à 1), ce qui assure que l'accélération \vec{a} ne dépend aucunement de la nature ou de la masse du corps en chute libre (universalité de la chute libre).
• À l'inverse, le rapport spécifique q/m_i n'est absolument pas universel : il dépend de la particule considérée (il peut être positif, négatif ou nul, et varie de plusieurs ordres de grandeur, par exemple entre un électron et un proton). Il n'existe donc pas de principe d'équivalence en électrostatique, et un changement de référentiel accéléré ne saurait compenser un champ électrique pour toutes les particules simultanément.

Au-delà de l'approximation locale (où le champ gravitationnel est assimilé à un champ uniforme), plusieurs caractéristiques fondamentales distinguent une force de gravitation d'une force d'inertie :

1. Inhomogénéité et effets de marée : Le champ de gravitation \vec{K} créé par une distribution de matière réelle n'est jamais rigoureusement uniforme à l'échelle macroscopique. Il possède un gradient spatial (décrit par le tenseur des marées en physique newtonienne ou le tenseur de courbure de Riemann en relativité générale) et vérifie l'équation de Poisson :

   \vec{\nabla} \cdot \vec{K} = -4\pi G \rho(\vec{r})

   Deux particules tests en chute libre distantes l'une de l'autre subissent des accélérations gravitationnelles légèrement différentes et voient leur distance relative évoluer : ce sont les forces de marée. À l'inverse, la force d'inertie d'entraînement associée à un référentiel en translation accélérée \vec{a}_0(t) est strictement uniforme dans tout l'espace (\vec{f}_{\text{ie}} = -m\vec{a}_0(t)) et ne produit aucun effet de marée.

2. Caractère éliminable globalement ou seulement localement : Une force d'inertie peut être éliminée globalement dans tout l'espace par un changement de référentiel (passage à un référentiel galiléen). En revanche, le champ gravitationnel créé par un astre ne peut être annulé que localement (dans un référentiel en chute libre ponctuel), car aucun changement de coordonnées global ne peut annuler simultanément un champ à courbure/divergence non nulle.
3. Sources matérielles et troisième loi de Newton : La force de gravitation est issue d'une source matérielle bien identifiée (une distribution de masse \rho) et respecte le principe des actions réciproques. Les forces d'inertie proviennent uniquement du choix du référentiel : elles n'ont pas de support matériel réagissant et ne vérifient donc pas la troisième loi de Newton.

Sur la Lune, l'atmosphère est inexistante à cette échelle, ce qui permet de s'affranchir totalement des forces de frottement fluide qui masquent habituellement l'universalité de la chute libre sur Terre (où une plume est ralentie par l'air).

Chaque objet n'est soumis qu'à son propre poids gravitationnel. D'après la relation établie à la question 10, dans le référentiel sélénocentrique supposé galiléen :

où \vec{K}_L est le champ de gravitation à la surface de la Lune, dirigé vers le bas selon la verticale descendante Oz d'intensité g_L = \|\vec{K}_L\|.

Pour un lâcher sans vitesse initiale depuis une hauteur z_0, l'accélération scalaire constante a = \frac{g_L}{\alpha_{\mathrm{eq}}} conduit par double intégration à la hauteur de chute :

Le temps de chute s'écrit donc :

Pour l'objet 1 (dont \alpha_{\mathrm{eq},1} = 1) et l'objet 2 (dont \alpha_{\mathrm{eq},2} = 1 + \delta\alpha_{\mathrm{eq}}), les temps de chute respectifs s'écrivent :

Si le principe d'équivalence est violé (\delta\alpha_{\mathrm{eq}} \neq 0), les deux corps touchent le sol à des instants différents : t_2 \neq t_1.

Constater que le marteau et la plume touchent le sol au même instant, à une incertitude de mesure \delta t près, permet de tester la nullité de \delta\alpha_{\mathrm{eq}} et d'obtenir une borne supérieure sur la violation du principe d'équivalence entre deux corps de masse et de composition chimique très différentes.

D'après la question Q5, la Lune étant modélisée par une distribution de matière à symétrie sphérique de masse M_L et de rayon R_L, le champ gravitationnel à sa surface a pour norme :

D'après la question Q12, le temps de chute libre sans vitesse initiale depuis la hauteur z_0 pour une particule de paramètre \alpha_{\mathrm{eq}} s'écrit :

Pour le premier objet (\alpha_{\mathrm{eq},1} = 1), le temps de chute vaut t_1 = \sqrt{\frac{2 z_0}{g_L}}. Pour le second objet (\alpha_{\mathrm{eq},2} = 1 + \delta\alpha_{\mathrm{eq}} avec |\delta\alpha_{\mathrm{eq}}| \ll 1), un développement limité au premier ordre donne :

L'écart temporel entre l'arrivée des deux objets au sol s'écrit donc :

L'expérience ne permet pas de déceler un écart temporel inférieur à l'incertitude expérimentale \delta t. La précision avec laquelle le principe d'équivalence est vérifié correspond à la borne maximale \Delta t \le \delta t, soit :

En remplaçant g_L par son expression en fonction de G, M_L et R_L, on obtient finalement :

D'après la question Q13, l'écart relatif sur le paramètre d'équivalence s'exprime sous la forme :

Calculons dans un premier temps l'accélération de la pesanteur lunaire g_L :

On en déduit :

Avec \delta t = 0{,}02\text{ s} :

En ne conservant qu'un seul chiffre significatif comme requis :

Le système étudié est le point matériel de masse m, en chute libre dans le référentiel terrestre supposé galiléen. La seule force appliquée est le poids :

1. Conservation de la quantité de mouvement selon x :

La résultante des forces extérieures est orthogonale à l'axe (Ox), soit P_x = 0. D'après le théorème de la quantité de mouvement projeté sur l'axe (Ox) :

En appliquant cette relation au point B atteint à l'instant t_L, on obtient :

2. Conservation de l'énergie mécanique :

Le poids est une force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur :

en choisissant l'origine au sol (y = 0). En l'absence de frottements, l'énergie mécanique \mathcal{E}_m = \mathcal{E}_c + \mathcal{E}_p est une intégrale première du mouvement :

Puisque y_A = y_B = 0, les énergies potentielles sont nulles en A et B, ce qui implique l'égalité des énergies cinétiques :

En utilisant v_{B,x} = \dot{x}_0, il vient :

La trajectoire étant parabolique avec un sommet atteint en y = h > 0, le projectile est initialement lancé vers le haut (\dot{y}_0 > 0) et arrive au sol au point B en phase descendante (v_{B,y} < 0). On en déduit :

Le point matériel de masse m n'est soumis qu'à son poids dans le référentiel galiléen d'étude. Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

Par intégration successive avec les conditions initiales \vec{r}(0) = \vec{0} et \vec{v}(0) = \dot{x}_0\,\vec{e}_x + \dot{y}_0\,\vec{e}_y, on obtient :

Au point le plus haut de la trajectoire, la composante verticale de la vitesse s'annule : \vec{v}_h = \dot{x}_0\,\vec{e}_x, d'où :

Le point B de coordonnées (L, 0) est atteint à l'instant t_L > 0. D'après l'équation horaire selon x :

On en déduit l'expression du temps de parcours :

La condition d'atterrissage en y(t_L) = 0 donne :

Le sommet de la trajectoire est atteint à l'instant t_h tel que \dot{y}(t_h) = 0, soit t_h = \frac{\dot{y}_0}{g} = \frac{t_L}{2}. La hauteur maximale h = y(t_h) vaut ainsi :

En remplaçant t_L par son expression en fonction de L et v_h, on obtient :

D'après les résultats de la question Q16, le temps de parcours t_L et la hauteur maximale h s'expriment selon :

avec g = 10\,\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2} et L = 10\,\mathrm{m}.

• Pour la balle de volley (v_h = 5\,\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}) :

  \begin{aligned} t_{L,\mathrm{volley}} &= \frac{10}{5} = 2\,\mathrm{s} \\ h_{\mathrm{volley}} &= \frac{10 \times 10^2}{8 \times 5^2} = \frac{1000}{200} = 5\,\mathrm{m} \end{aligned}
  \boxed{t_{L,\mathrm{volley}} = 2\,\mathrm{s} \quad \text{et} \quad h_{\mathrm{volley}} = 5\,\mathrm{m}}

• Pour la balle de fusil (v_h = 500\,\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}) :

  \begin{aligned} t_{L,\mathrm{fusil}} &= \frac{10}{500} = 2\times 10^{-2}\,\mathrm{s} \\ h_{\mathrm{fusil}} &= \frac{10 \times 10^2}{8 \times 500^2} = \frac{1000}{2 \times 10^6} = 5\times 10^{-4}\,\mathrm{m} \end{aligned}
  \boxed{t_{L,\mathrm{fusil}} = 2\times 10^{-2}\,\mathrm{s} \quad \text{et} \quad h_{\mathrm{fusil}} = 5\times 10^{-4}\,\mathrm{m} = 0{,}5\,\mathrm{mm}}

En utilisant la relation admise \mathcal{R} = \dfrac{L^2}{8h} et les expressions obtenues à la question Q16, on remarque que :

ce qui correspond bien au rayon de courbure au sommet de la parabole.

• Pour la balle de volley (v_h = 5\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, h = 5\text{ m}) :

  \mathcal{R}_{\text{volley}} = \frac{10^2}{8 \times 5} = \frac{100}{40} = 2{,}5\text{ m}

  Avec un chiffre significatif :

  \boxed{\mathcal{R}_{\text{volley}} = 3\text{ m} \quad (\text{ou } 2{,}5\text{ m})}

• Pour la balle de fusil (v_h = 500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, h = 5\times 10^{-4}\text{ m}) :

  \mathcal{R}_{\text{fusil}} = \frac{10^2}{8 \times 5\times 10^{-4}} = \frac{100}{4\times 10^{-3}} = 2{,}5\times 10^4\text{ m} = 25\text{ km}

  Avec un chiffre significatif :

  \boxed{\mathcal{R}_{\text{fusil}} = 3\times 10^4\text{ m} \quad (\text{ou } 2{,}5\times 10^4\text{ m})}

Conclusion sur la similarité : Les rayons de courbure diffèrent de quatre ordres de grandeur (\mathcal{R}_{\text{fusil}}/\mathcal{R}_{\text{volley}} = 10^4). Dans l'espace géométrique ordinaire, ces deux trajectoires ne présentent donc aucune similarité : l'une est fortement incurvée tandis que l'autre est quasi-rectiligne sur la distance L.

Le mouvement s'effectue avec une vitesse horizontale uniforme v_h, de sorte que x(t) = v_h t. La troisième coordonnée spatio-temporelle vérifie :

Cette relation linéaire montre que la trajectoire est entièrement contenue dans le plan vertical passant par l'axe vertical (Ay) et faisant un angle \psi avec l'axe (Ax) dans le plan horizontal (x, ct), tel que \tan\psi = \frac{c}{v_h} \gg 1.

Dans le plan contenant la trajectoire, repérons la position le long de la base horizontale par la coordonnée s(t) = \sqrt{x^2(t) + (ct)^2} = \sqrt{v_h^2 + c^2}\, t. La longueur de base de l'arc de parabole entre t = 0 et t_L vaut donc :

La hauteur maximale atteinte reste l'ordonnée au sommet y_{\max} = h. D'après la question 16, h = \frac{g L^2}{8 v_h^2} = \frac{1}{8} g t_L^2.

En appliquant la relation admise à la question 18 dans ce plan, le rayon de courbure spatio-temporel s'écrit :

Puisque pour les deux objets v_h \ll c (v_h / c \le 500 / (3\times 10^8) \sim 10^{-6}), on a au premier ordre :

Calcul numérique avec un chiffre significatif (c = 3{,}00\times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}) :

Conclusion sur la similarité : Dans le diagramme spatio-temporel, les rayons de courbure des deux trajectoires sont identiques. Les trajectoires de chute libre dans l'espace-temps possèdent donc une géométrie universelle indépendante des conditions initiales de tir.

À l'instant initial t = 0, la boule est homogène de densité de masse \rho_0. D'après le résultat de la question Q5, le champ de gravitation à l'intérieur de la boule s'écrit :

où \vec{r} est repéré par rapport au centre de la boule.

Le grain de matière situé en \vec{r} est en chute libre dans le référentiel galiléen. Son accélération est :

On se place dans le référentiel \mathcal{R}' lié à ce grain. Ce référentiel est en translation par rapport au référentiel galiléen, avec une accélération d'entraînement \vec{a}_e = \vec{a}(\vec{r}). Comme le mouvement d'entraînement est une pure translation, la rotation propre du référentiel est nulle (\vec{\Omega} = \vec{0}), donc la force d'inertie de Coriolis est identiquement nulle.

Dans le référentiel \mathcal{R}', le grain de masse m situé en \vec{r} + \delta\vec{r} (supposé également à l'intérieur de la boule) est soumis à deux forces :

• La force de gravitation créée par le reste de la boule :

  \vec{F}_{\mathrm{grav}} = m \vec{K}(\vec{r} + \delta\vec{r}) = -\frac{4}{3}\pi G \rho_0 m (\vec{r} + \delta\vec{r})

• La force d'inertie d'entraînement :

  \vec{F}_{ie} = -m \vec{a}_e = -m \vec{K}(\vec{r}) = +\frac{4}{3}\pi G \rho_0 m \vec{r}

La force totale \vec{F}' subie par le grain situé en \vec{r} + \delta\vec{r} dans le référentiel du grain situé en \vec{r} est la somme de ces deux contributions :

On obtient ainsi :

D'après le résultat de la question Q20, la force relative subie par un grain voisin situé en \vec{r} + \delta\vec{r} dans le référentiel en chute libre lié au grain en \vec{r} vaut :

Cette force (et donc l'accélération relative \vec{a}' = \vec{F}'/m) présente deux propriétés fondamentales :

• elle est indépendante de la position \vec{r} de l'observateur dans la boule ;
• elle est purement centrale et isotrope par rapport à l'observateur lui-même (proportionnelle à -\delta\vec{r}).

Aucune direction spatiale n'étant privilégiée dans ce champ d'accélération relative (absence d'anisotropie de marée), un observateur observant le mouvement relatif des grains autour de lui voit une contraction parfaitement isotrope centrée sur sa propre position :

Puisque l'accélération relative \frac{\mathrm{d}^2(\delta\vec{r})}{\mathrm{d}t^2} = -\frac{4}{3}\pi G \rho_0 \,\delta\vec{r} ne dépend aucunement de \vec{r}, tous les éléments de volume subissent localement une contraction rigoureusement identique. Le mouvement d'effondrement est une contraction homothétique uniforme :

où le facteur d'échelle x(t) \leqslant 1 est le même en tout point de la boule. Un volume élémentaire \mathrm{d}^3V évolue donc de manière identique en tout point : \mathrm{d}^3V(t) = x(t)^3\,\mathrm{d}^3V(0).

Par conservation de la masse des grains, la masse volumique à l'instant t s'écrit :

Elle est indépendante de la position spatiale :

Dans le référentiel lié au grain de matière situé en \vec{r} (référentiel en chute libre), le principe fondamental de la dynamique appliqué à un grain de matière de masse m situé en \delta\vec{r} s'écrit, en reprenant le résultat établi à la question Q20 et étendu à un instant t quelconque où la densité homogène vaut \rho(t) :

D'après la question Q21, l'effondrement est homothétique :

où x(t) = \frac{\delta r(t)}{\delta r_0} est le ratio des normes, sans dimension, avec les conditions initiales x(0) = 1 et \dot{x}(0) = 0 (grains initialement au repos).

Le volume d'une sphère de grains comobiles varie donc comme le cube des distances relatives : V(t) = x(t)^3 V_0. Par conservation de la matière, la densité volumique de masse s'écrit :

En réinjectant cette expression dans la loi de Newton, on obtient l'équation d'évolution vectorielle de la position relative :

En remplaçant \delta\vec{r}(t) par x(t)\delta\vec{r}_0 et en remarquant que \frac{\mathrm{d}^2\delta\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} = \ddot{x}(t)\delta\vec{r}_0, il vient :

Comme \delta\vec{r}_0 \neq \vec{0}, on obtient l'équation différentielle scalaire régissant x(t) :

D'après la question Q22, le ratio x(t) = \delta r(t)/\delta r_0 vérifie l'équation différentielle :

En multipliant les deux membres par la dérivée \dot{x}(t), on obtient :

On reconnaît les dérivées par rapport au temps :

L'intégration par rapport au temps donne immédiatement l'intégrale première :

où C est une constante déterminée par les conditions initiales. À l'instant t = 0, la boule de grains est initialement au repos :

D'où la valeur de la constante :

On en déduit l'expression demandée :

Puisque le mouvement est homothétique selon \delta\vec{r}(t) = x(t)\,\delta\vec{r}_0 pour tout couple de grains, la condition \delta\vec{r} = \vec{0} équivaut à x(t) = 0.

• Signification physique : Cela signifie que la distance entre n'importe quelle paire de grains s'annule simultanément. Toute la matière de la boule initiale de rayon R se concentre donc en un seul point (son centre). Le rayon de la boule devient nul, son volume s'annule, et la masse volumique diverge :

  \rho(t) = \frac{\rho_0}{x(t)^3} \xrightarrow[x \to 0]{} +\infty.

  Il s'agit donc de la formation d'une singularité gravitationnelle ponctuelle.

• Réalisation physique : Une telle situation n'est pas réalisée physiquement, et ce pour plusieurs raisons :

  1. Invalidation de l'hypothèse sans collision : Les grains possèdent une taille finie. Lorsque la densité augmente fortement, les chocs et interactions de contact entre grains deviennent inévitables.
  2. Apparition d'une pression : Lors de la compression, l'échauffement du milieu engendre une pression thermique (gradient de pression) capable d'équilibrer l'attraction gravitationnelle (formation d'une étoile en équilibre hydrostatique).
  3. Mécanique quantique et relativité générale : À très haute densité interviennent des pressions de dégénérescence (électronique pour une naine blanche, neutronique pour une étoile à neutrons). Si ces pressions ne suffisent pas à stopper l'effondrement (formation d'un trou noir), la relativité générale prévoit la formation d'un horizon des événements, et la description ponctuelle \rho \to +\infty signale la limite de validité de la physique classique, nécessitant une théorie de la gravitation quantique.

L'intégrale première établie à la question Q23 s'écrit :

Le nuage s'effondrant sur lui-même, la grandeur x(t) = \delta r(t)/\delta r_0 décroît au cours du temps, si bien que \dot{x}(t) \leqslant 0. On en déduit :

Par séparation des variables, la durée \Delta t nécessaire pour passer de la position initiale (x = 1 à t = 0) à l'effondrement complet (x = 0 à t = \Delta t) s'écrit :

D'après l'intégrale utile donnée dans le formulaire :

Il vient ainsi :

soit :

Commentaires sur les dépendances :

• Indépendance vis-à-vis de la taille : Le temps d'effondrement ne dépend ni du rayon initial R de la boule, ni de la position initiale relative \delta r_0 des grains. Tous les grains atteignent donc le centre au même instant : l'effondrement est strictement synchrone (ou homothétique).
• Dépendance en la masse volumique initiale : \Delta t \propto \rho_0^{-1/2}. Plus la boule est initialement dense, plus l'attraction gravitationnelle est intense et plus l'effondrement est rapide.
• Dépendance en G : \Delta t \propto G^{-1/2}, ce qui traduit le fait qu'une constante de gravitation plus élevée accélère la dynamique de chute libre.

Par définition, un angle d'une seconde d'arc vaut :

Sous l'approximation des petits angles, la distance d = 1\text{ pc} associée à la base D_{T-S} vue sous l'angle \theta vérifie :

Avec D_{T-S} = 150 \times 10^6\text{ km} = 1{,}50 \times 10^{11}\text{ m} et \pi \approx 3{,}14 :

En ne conservant qu'un seul chiffre significatif comme demandé :

L'énoncé indique que l'on peut identifier les propriétés de chaque étoile à celles du Soleil. En assimilant la surface de l'étoile à un corps noir à la température d'équilibre T_{\text{surf}}, la densité surfacique de flux émise est donnée par la loi de Stefan :

La surface d'une étoile sphérique de rayon R_\odot est S_\odot = 4\pi R_\odot^2. La puissance totale rayonnée par une étoile de type solaire (sa luminosité) s'écrit donc :

Calculons numériquement cette puissance avec les valeurs fournies :

La Voie lactée contient entre 200 et 400 milliards d'étoiles, soit un nombre moyen :

La puissance totale émise par la Galaxie sous forme de rayonnement électromagnétique vaut alors :

Avec un seul chiffre significatif :

Dans le système de coordonnées cylindriques (r, \theta, z) d'axe Oz, le vecteur vitesse d'un point s'écrit de façon générale :

Les trajectoires des étoiles suivant le mouvement d'ensemble sont des cercles d'axe (Oz) situés dans des plans orthogonaux à cet axe (z = \text{cste}). Pour chaque étoile :

• le rayon orbital r est constant au cours du temps, donc \dot{r} = 0 ;
• l'altitude z est constante au cours du temps, donc \dot{z} = 0.

Le vecteur vitesse se réduit alors à sa seule composante orthoradiale :

Examinons les dépendances de la vitesse angulaire \dot{\theta} :

• le régime d'écoulement moyen est stationnaire, donc \dot{\theta} ne dépend pas explicitement du temps t ;
• la Galaxie est supposée axisymétrique autour de l'axe Oz, donc \dot{\theta} ne dépend pas de l'angle \theta ;
• l'énoncé précise que le mouvement d'ensemble peut être étudié indépendamment de la coordonnée z.

Il en résulte que la vitesse angulaire ne dépend que de la distance radiale r à l'axe de rotation :

Le champ des vitesses d'ensemble du disque s'écrit donc en tout point :

La connaissance de la seule fonction scalaire \dot{\theta}(r) détermine entièrement le champ des vitesses, et donc le mouvement d'ensemble du disque galactique.

Dans le référentiel galactocentrique supposé galiléen, la position d'une étoile suivant le mouvement d'ensemble est repérée en coordonnées cylindriques par :

La trajectoire étant circulaire de rayon r = \text{cste} dans un plan z = \text{cste}, on a \dot{r} = 0, \ddot{r} = 0, \dot{z} = 0 et \ddot{z} = 0. Le vecteur vitesse s'écrit donc :

Le régime étant de plus stationnaire, la vitesse angulaire \dot{\theta}(r) d'une étoile à la distance r est constante au cours du temps (\ddot{\theta} = 0). L'accélération se réduit ainsi à sa composante centripète :

L'étoile n'étant soumise qu'au champ de gravitation \vec{K}, la deuxième loi de Newton s'écrit :

Par projection sur la base locale :

• sur \vec{e}_r :

  a_r = K_r(r) \implies -\frac{v_\theta^2(r)}{r} = K_r(r) ;
• sur \vec{e}_\theta : l'accélération orthoradiale est nulle (a_\theta = 0), et le champ K_\theta est identiquement nul du fait de l'axisymétrie de la distribution de masse (invariance par rotation autour de l'axe z).

La composante selon \vec{e}_\theta étant trivialement vérifiée (0 = 0), la dynamique du mouvement d'ensemble dans le plan (r, \theta) est intégralement contenue dans l'équation d'équilibre radial :

Dans ce modèle, la distribution de matière présente une symétrie sphérique centrée en r=0. Par invariance sous toute rotation autour de l'origine et par symétrie plane, le champ gravitationnel est purement radial et ne dépend que de la distance r au centre :

Appliquons le théorème de Gauss gravitationnel à la sphère \mathcal{S} de centre O et de rayon r, orientée vers l'extérieur :

où M_{\mathrm{int}}(r) est la masse totale contenue dans la boule de rayon r.

Le flux du champ s'écrit :

On en déduit la composante radiale du champ de gravitation :

D'après l'équation d'équilibre radial obtenue à la question 29, -\dfrac{v_\theta^2(r)}{r} = K_r(r), il vient :

soit, en prenant conventionnellement la vitesse orthoradiale v_\theta(r) \geqslant 0 dans le sens du mouvement :

D'après le résultat de la question Q30, la vitesse orthoradiale dans le plan équatorial vérifie :

Cas intérieur (r < R) : La masse contenue dans la sphère de rayon r s'écrit :

On en déduit :

Cas extérieur (r > R) : Toute la matière de la sphère est contenue dans le rayon R, la masse intérieure est donc égale à la masse totale M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho_0 :

On obtient ainsi :

Tracé de la courbe v_\theta(r) : La fonction v_\theta(r) part de 0 en r=0, croît linéairement jusqu'à une valeur maximale en r=R :

puis décroît en 1/\sqrt{r} pour r > R.

D'après les expressions des densités de matière visible :

• Le bulbe central présente une géométrie quasi-sphérique (dépendance en \tilde{r} = \sqrt{r^2+z^2}) :

  • Rayon de cœur interne : R_b = 75\text{ pc}.
  • Rayon de coupure caractéristique : R_{\text{cut}} = 2\text{ kpc}.

• Le disque galactique est une structure très aplatie et axisymétrique :

  • Longueur d'échelle radiale : R_d = 3\text{ kpc}, le disque visible s'étendant jusqu'à un rayon R \sim 15\text{ à } 20\text{ kpc}.
  • Échelle de hauteur verticale : z_d = 300\text{ pc} (épaisseur totale de l'ordre de quelques centaines de parsecs).

On représente la Galaxie en coupe par la tranche (plan (r, z) contenant l'axe de rotation z) :

La masse totale du disque M_d est l'intégrale de la densité volumique de masse \rho_d(r, z) sur l'ensemble de l'espace. En coordonnées cylindriques, l'élément de volume s'écrit \mathrm{d}^3V = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z, avec r \in [0, +\infty[, \theta \in [0, 2\pi[ et z \in ]-\infty, +\infty[ :

Calculons successivement chaque intégrale :

• Selon \theta :

  \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta = 2\pi

• Selon z, par parité de la fonction :

  \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2 z_d} \exp\left(-\frac{|z|}{z_d}\right)\mathrm{d}z = \frac{1}{z_d} \int_0^{+\infty} \exp\left(-\frac{z}{z_d}\right)\mathrm{d}z = \frac{1}{z_d} \left[-z_d \exp\left(-\frac{z}{z_d}\right)\right]_0^{+\infty} = 1

• Selon r, par intégration par parties :

  \begin{aligned} \int_0^{+\infty} r \exp\left(-\frac{r}{R_d}\right)\mathrm{d}r &= \left[-r R_d \exp\left(-\frac{r}{R_d}\right)\right]_0^{+\infty} + R_d \int_0^{+\infty} \exp\left(-\frac{r}{R_d}\right)\mathrm{d}r \\ &= 0 + R_d \left[-R_d \exp\left(-\frac{r}{R_d}\right)\right]_0^{+\infty} \\ &= R_d^2 \end{aligned}

On en déduit l'expression littérale de la masse totale du disque :

Application numérique : D'après l'énoncé, \Sigma_{d,0} = 750\,M_\odot\cdot\mathrm{pc}^{-2} et R_d = 3\text{ kpc} = 3\times 10^3\text{ pc}, d'où :

Avec un seul chiffre significatif :

1. Estimation du rayon R_{\mathrm{vis}}

L'énoncé indique dans la présentation générale de la Galaxie que la Voie lactée possède un rayon de l'ordre de 20\text{ kpc}.

On peut également le vérifier à l'aide de la loi de densité du disque obtenue précédemment : la masse contenue dans un cylindre de rayon r est

Pour r = 4 R_d \approx 12\text{ kpc} (respectivement 5 R_d \approx 15\text{ kpc}), cette fraction vaut déjà plus de 91\,\% (respectivement 96\,\%).

On peut donc retenir pour rayon englobant la quasi-totalité de la matière visible :

2. Comportement de v_\theta(r) au-delà de R_{\mathrm{vis}}

D'après le résultat de la question Q30, la vitesse circulaire dans l'approximation sphérique est donnée par :

Au-delà de R_{\mathrm{vis}}, toute la matière visible est enclose dans la sphère de rayon r, de sorte que la masse intérieure sature à la masse visible totale M_{\mathrm{vis}} = M_b + M_d :

La vitesse orthoradiale présente ainsi un profil képlérien décroissant en r^{-1/2} :

3. Identification du pré-facteur

Le pré-facteur est :

Il dépend uniquement de la constante de gravitation universelle G et de la masse totale de matière visible M_{\mathrm{vis}} de la galaxie.

D'après le résultat de la question Q34, au-delà du rayon caractéristique où est concentrée la quasi-totalité de la matière visible (r \gtrsim R_{\mathrm{vis}} \approx 15\text{ à }20\text{ kpc}, soit quelques longueurs d'échelle R_d), la masse intérieure M_{\mathrm{int}}(r) devrait saturer à la masse visible totale M_{\mathrm{vis}}. On s'attendait donc à observer une décroissance képlérienne de la vitesse orbitale :

Or, l'observation des deux courbes de la figure 2 montre un comportement tout à fait différent :

• pour la galaxie NGC 3198 (gauche), après une phase de croissance jusqu'à r \approx 10\text{ kpc}, la vitesse de rotation se stabilise autour d'un plateau à v_\theta \approx 150\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} et reste quasiment constante jusqu'à au moins 30\text{ kpc} ;
• pour la galaxie NGC 2403 (droite), la vitesse forme également un plateau remarquable autour de v_\theta \approx 130\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} entre 7 et 18\text{ kpc}.

Aucune décroissance képlérienne en r^{-1/2} n'est observée aux grands rayons.

D'après l'équation d'équilibre radial obtenue à la question 30 :

Pour rendre compte des observations de la figure 2, où la vitesse v_\theta(r) tend vers une constante v_0 (plateau de vitesse) bien au-delà de la région visible R_{\mathrm{vis}}, il est nécessaire que la masse totale contenue dans une sphère de rayon r continue de croître linéairement avec le rayon :

Comme la matière visible est confinée dans r \lesssim R_{\mathrm{vis}} et que sa masse M_{\mathrm{vis}}(r) sature à une valeur constante, l'existence d'une composante de masse supplémentaire dominante à grande distance, formant un halo de matière, permet d'expliquer ce comportement.

• Signification de l'adjectif « noir » : Cette matière est dite « noire » (ou sombre) car elle n'interagit pas (ou de manière extrêmement faible) avec le rayonnement électromagnétique : elle n'émet, n'absorbe ni ne diffuse de lumière, quelle que soit la longueur d'onde. Elle n'est donc détectable que par ses effets gravitationnels dynamiques sur la matière visible.

• Répartition approximative de cette matière :

  • Géométrie : Elle forme un halo quasi sphérique centré sur la galaxie, englobant largement le bulbe et le disque mince, et s'étendant à des distances bien supérieures au rayon visible de la galaxie (r \gg R_{\mathrm{vis}}).

  • Profil radial de densité : En faisant l'hypothèse d'une distribution à symétrie sphérique, la masse intérieure vérifie \mathrm{d}M_{\mathrm{int}} = 4\pi r^2 \rho_h(r)\,\mathrm{d}r. Pour que M_{\mathrm{int}}(r) \propto r, la densité volumique du halo doit décroître comme :

    \boxed{\rho_h(r) \propto \frac{1}{r^2}}

    sur la gamme de distances correspondant au plateau de vitesse.

1. Limite au centre (\tilde{r} \to 0) : Au voisinage de l'origine (\tilde{r} \ll R_h), on a 1 + \frac{\tilde{r}}{R_h} \approx 1, d'où :

• La densité de matière diverge en 1/\tilde{r} au centre de la galaxie (profil dit « cuspé »). Une densité volumique localement infinie n'est pas physiquement réaliste à l'échelle microscopique.

• Néanmoins, la masse contenue dans une sphère de rayon \tilde{r} s'écrit :

  M_{\mathrm{int}}(\tilde{r}) \approx \int_0^{\tilde{r}} 4\pi r'^2 \left(\frac{\rho_{h,0} R_h}{r'}\right) \mathrm{d}r' = 2\pi \rho_{h,0} R_h \tilde{r}^2,

  qui tend vers 0 lorsque \tilde{r} \to 0. La singularité est donc intégrable : il n'y a pas de masse ponctuelle infinie au centre, et le potentiel gravitationnel y reste bien défini (fini). Ce comportement est acceptable comme approximation macroscopique, même si les observations réelles suggèrent souvent un « cœur » à densité finie.

2. Limite à l'infini (\tilde{r} \to \infty) : À grande distance (\tilde{r} \gg R_h), on a 1 + \frac{\tilde{r}}{R_h} \approx \frac{\tilde{r}}{R_h}, d'où :

• La densité tend bien vers zéro à l'infini, ce qui est attendu pour un objet isolé.

• En revanche, examinons la masse totale contenue dans l'Univers :

  M_{\mathrm{tot}} = \int_0^\infty 4\pi \tilde{r}^2 \rho_h(\tilde{r})\,\mathrm{d}\tilde{r}.

  Au voisinage de l'infini, l'intégrande se comporte comme :

  4\pi \tilde{r}^2 \rho_h(\tilde{r}) \underset{\tilde{r}\to \infty}{\sim} 4\pi \rho_{h,0} R_h^3 \frac{1}{\tilde{r}},

  dont l'intégrale diverge logarithmiquement (\int^\infty \frac{\mathrm{d}\tilde{r}}{\tilde{r}} = +\infty).

Calculons la masse contenue dans une sphère de rayon r pour le profil de Navarro-Frenk-White :

En décomposant la fraction rationnelle :

on obtient pour variable adimensionnée x = r/R_h :

D'après l'équation d'équilibre radial obtenue à la question 30, la vitesse de rotation circulaire s'écrit :

où v_0 = \sqrt{4\pi G \rho_{h,0} R_h^2} est une vitesse caractéristique et :

Allure de la courbe de rotation :

• Pour x \ll 1, un développement limité donne f(x) \propto \sqrt{x}, d'où une montée rapide de la vitesse v_\theta(r) au voisinage du centre galactique.
• Pour x compris entre 1{,}5 et 5, la fonction f(x) varie très peu (autour de 0{,}45, soit une variation relative inférieure à 5\,\%) : elle forme un très large plateau de vitesse quasi constante.
• Au-delà (x \gg 1), la vitesse ne décroît que de façon extrêmement lente (en \sqrt{\ln(x)/x}).

Cette forme reproduit fidèlement la dynamique observée sur la figure 2 pour NGC 3198 et NGC 2403 : une phase de montée abrupte suivie d'un vaste plateau de rotation.

Estimation de R_h pour NGC 3198 :

• Sur la figure 3, le maximum de la fonction f(x) est atteint pour :

  x_{\max} \approx 2{,}2.

• Sur la courbe de rotation de NGC 3198 (figure 2, gauche), la vitesse culmine à v_\theta \approx 150\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} à une distance du centre :

  R_{\max} \approx 13\text{ à }15\text{ kpc}.

Comme x = r/R_h, on en déduit :

Avec un chiffre significatif :

(une valeur de l'ordre de 6 à 7\text{ kpc} est tout à fait acceptable compte tenu de la largeur du maximum).

La distribution de matière noire étant à symétrie sphérique, la masse contenue dans la sphère de rayon \beta R_h s'obtient par intégration en couronnes sphériques de volume \mathrm{d}V = 4\pi \tilde{r}^2\mathrm{d}\tilde{r} :

En introduisant l'expression du profil de Navarro-Frenk-White et la variable adimensionnée u = \tilde{r}/R_h :

La décomposition en éléments simples \frac{u}{(1+u)^2} = \frac{1}{1+u} - \frac{1}{(1+u)^2} permet d'intégrer immédiatement :

On obtient ainsi l'expression analytique de la masse totale tronquée du halo :

Application numérique : Pour la Voie lactée, avec \beta \simeq 10, on lit sur le graphe de \ln(x) fourni en page 5 :

d'où :

Par ailleurs :

Avec un seul chiffre significatif comme requis par l'énoncé :

Comparaison et commentaire : À la question 33, nous avons trouvé pour la masse du disque :

Le rapport des masses vaut :

La masse du halo de matière noire est environ 30 fois supérieure à celle de la matière visible contenue dans le disque. Cela montre que la masse de la Galaxie — et par conséquent son champ gravitationnel à grande distance — est très largement dominée par le secteur sombre.

Le Soleil est situé dans le plan galactique (z \approx 0) à une distance r_\odot \approx 8\,\mathrm{kpc} du centre.

1. Densité de matière visible La matière visible comprend la contribution du bulbe et celle du disque :

• Pour le bulbe, le terme de coupure exponentielle vaut \exp\left[-(r_\odot/R_{\mathrm{cut}})^2\right] = \exp\left[-(8/2)^2\right] = \mathrm{e}^{-16} \sim 10^{-7}. La contribution du bulbe est donc totalement négligeable à la distance du Soleil.

• Pour le disque galactique, la densité s'écrit, en z = 0 :

  \rho_{\mathrm{vis}}(r_\odot) \approx \rho_d(r_\odot, 0) = \frac{\Sigma_{d,0}}{2 z_d} \exp\left(-\frac{r_\odot}{R_d}\right)

Avec \Sigma_{d,0} = 750\,\mathrm{M}_\odot\cdot\mathrm{pc}^{-2}, z_d = 300\,\mathrm{pc}, et R_d = 3\,\mathrm{kpc} :

D'après le graphe de x \mapsto \exp(-x) fourni dans l'énoncé, \exp(-2{,}7) \approx 0{,}07, d'où :

2. Densité de matière noire (modèle NFW) La densité du halo au rayon r_\odot est donnée par :

Avec \rho_{h,0} = 0{,}012\,\mathrm{M}_\odot\cdot\mathrm{pc}^{-3}, R_h = 18\,\mathrm{kpc} et r_\odot = 8\,\mathrm{kpc}, le rapport adimensionné vaut :

On en déduit le dénominateur :

Ce qui donne :

3. Comparaison et conclusion En comparant les deux ordres de grandeur :

La densité volumique moyenne de matière visible dans le disque au niveau du Soleil est environ un ordre de grandeur plus grande que celle de la matière noire :

A fortiori, au sein même du Système solaire, la masse du Soleil concentrée dans un volume de quelques dizaines d'unités astronomiques impose une densité locale moyenne sans commune mesure avec celle du halo.

On en conclut que dans le cadre du modèle de Navarro-Frenk-White, la matière noire ne prédomine pas dans l'environnement solaire proche : c'est la matière visible (baryonique) qui y est largement dominante.

D'après l'équation de Gauss pour le champ gravitationnel statique établie à la question Q2, la masse volumique totale \rho(\vec{r}) (incluant matière visible et matière noire) est reliée au champ de gravitation \vec{K} par :

En coordonnées cylindriques (r, \theta, z), l'expression de la divergence fournie dans le formulaire s'écrit :

La Galaxie étant supposée axisymétrique vis-à-vis de son axe de rotation (Oz) :

• Les grandeurs physiques sont indépendantes de \theta (\partial/\partial\theta = 0) ;
• Tout plan méridien contenant l'axe (Oz) est un plan de symétrie de la distribution de masse, ce qui impose K_\theta = 0.

L'expression de la divergence se simplifie donc en :

Par ailleurs, l'équation d'équilibre radial dans le disque galactique (question Q29) relie la composante radiale K_r à la vitesse orthoradiale v_\theta(r) :

En injectant cette relation dans le terme radial de la divergence, il vient :

La divergence du champ s'écrit ainsi :

En reportant ce résultat dans l'équation de Gauss, on obtient directement :

Deux arguments indépendants justifient la négligence du second terme :

1. Caractère plat de la courbe de rotation (argument principal) :
   Comme l'illustrent les observations présentées sur la figure 2 pour des galaxies spirales similaires, la vitesse orbitale v_\theta(r) atteint un plateau au-delà de quelques kiloparsecs et varie très peu avec la distance radiale. Au voisinage du Soleil (r \approx 8\,\mathrm{kpc}), on a ainsi :

   v_\theta(r) \approx \mathrm{cste} \implies \frac{\partial v_\theta}{\partial r} \approx 0,

   ce qui entraîne directement l'annulation du terme radial :

   \frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta^2}{\partial r} = \frac{2 v_\theta}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial r} \approx 0.

2. Approximation de disque mince (argument d'échelle) :
   Même en ne supposant pas la courbe rigoureusement plate, le terme radial est au plus d'ordre de grandeur :

   \left| \frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta^2}{\partial r} \right| \sim \frac{v_\theta^2}{r^2} = \frac{|K_r|}{r},

   ce qui correspond à une variation radiale sur l'échelle caractéristique r \approx 8\,\mathrm{kpc}.
   En revanche, la matière du disque est confinée verticalement sur une demi-épaisseur caractéristique z_d \approx 300\,\mathrm{pc} (donnée dans l'énoncé), de sorte que le gradient vertical du champ gravitationnel est d'ordre :

   \left| \frac{\partial K_z}{\partial z} \right| \approx 4\pi G \rho \sim \frac{|K_z|}{z_d}.

   Comme z_d \ll r (z_d/r \approx 300/8000 \approx 0{,}04 \ll 1), les variations selon \vec{e}_z sont extrêmement rapides devant les variations radiales.

Au voisinage du Soleil, on a donc :

ce qui permet de simplifier l'équation de Poisson galactique en :

La matière galactique est concentrée au voisinage du plan équatorial z = 0. L'interaction gravitationnelle étant attractive :

• pour z > 0, l'étoile est située au-dessus du plan galactique ; la force gravitationnelle s'exerçant sur elle est dirigée vers le plan, c'est-à-dire vers les z décroissants (-\vec{e}_z). On a donc :

  \boxed{K_z < 0 \quad \text{pour } z > 0}

• pour z < 0, l'étoile est sous le plan galactique ; la force gravitationnelle est dirigée vers les z croissants (+\vec{e}_z). On a donc :

  \boxed{K_z > 0 \quad \text{pour } z < 0}
• par symétrie de réflexion par rapport au plan galactique, le champ s'annule en z = 0 : K_z(0) = 0.

L'équation du mouvement vertical d'une étoile de masse m s'écrit dans un repère local :

Comme K_z(z) est de signe opposé à z, la composante verticale de l'interaction gravitationnelle constitue une force de rappel vers le plan médian z = 0.

Par conséquent, si l'étoile est liée gravitationnellement à la Galaxie (son énergie mécanique associée au mouvement selon z est piégée dans le puits de potentiel gravitationnel créé par le disque), son mouvement propre perpendiculaire au disque est un mouvement oscillatoire (périodique ou pseudo-périodique) autour du plan équatorial z = 0 :

• l'étoile traverse le plan galactique en z = 0 avec une vitesse verticale maximale ;
• elle s'en éloigne en décélérant jusqu'à atteindre une altitude maximale z_{\max} où sa vitesse v_z s'annule ;
• elle est alors rappelée vers le plan, qu'elle retraverse en sens inverse.