Corrigé détaillé ENAC Physique QCM MPSI 2023

La base cartésienne \{\vec{e}_x, \vec{e}_y\} étant fixe dans le référentiel d'étude \mathcal{R}, le vecteur vitesse \vec{v} du point M dans \mathcal{R} s'obtient par dérivation temporelle directe de son vecteur position :

À partir des composantes de la position :

on dérive terme à terme par rapport au temps t, sachant que \omega et R sont des constantes :

On en déduit l'expression du vecteur vitesse :

La proposition correcte est donc l'affirmation A.

D'après la question 1, le vecteur vitesse du point M dans le référentiel \mathcal{R} s'écrit :

La norme v = \|\vec{v}\| se déduit par :

Comme 1 - \cos(\omega t) \ge 0, on obtient directement par passage à la racine carrée :

La proposition correcte est donc la B.

Le référentiel du laboratoire \mathcal{R} est muni de la base cartésienne (\vec{e}_x, \vec{e}_y), indépendante du temps. Le vecteur accélération de la valve M s'obtient par dérivation temporelle du vecteur vitesse déterminé à la question précédente :

En dérivant chaque composante par rapport au temps t :

On en déduit l'expression du vecteur accélération :

La réponse correcte est la proposition D.

Examinons successivement les quatre propositions :

• Propositions A et D : La norme de la vitesse s'annule si et seulement si :

  1 - \cos(\omega t) = 0 \iff \cos(\omega t) = 1 \iff \omega t \equiv 0 \; [2\pi]

  Pour t \ge 0, cela correspond aux instants :

  t = n \frac{2\pi}{\omega}, \quad n \in \mathbb{N}

  À ces instants, on a également \sin(\omega t) = 0, donc les deux composantes s'annulent simultanément : \vec{v} = \vec{0}. Par conséquent, la proposition A est fausse et la proposition D est exacte.

• Proposition B : La norme du vecteur accélération est constante au cours du temps :

  \|\vec{a}(t)\| = \sqrt{(R\omega^2\sin(\omega t))^2 + (R\omega^2\cos(\omega t))^2} = R\omega^2 \neq 0

  Le vecteur accélération ne s'annule donc à aucun instant. Par conséquent, la proposition B est exacte.

• Proposition C : Les composantes a_y et v_x s'annulent respectivement lorsque :

  \begin{aligned} a_y(t) = 0 &\iff \cos(\omega t) = 0 \iff \omega t = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \\ v_x(t) = 0 &\iff 1 - \cos(\omega t) = 0 \iff \omega t = 2k'\pi \quad (k' \in \mathbb{Z}) \end{aligned}

  Ces deux ensembles d'instants sont disjoints. Par conséquent, la proposition C est fausse.

Les propositions exactes sont donc B et D.

Le point M est situé sur la jante de la roue de rayon R. Son vecteur position s'écrit :

Le vecteur \vec{CM}(t) décrit bien un cercle de rayon \|\vec{CM}\| = R centré en C.

Le centre C est donc animé d'un mouvement rectiligne uniforme à l'altitude constante y_C = R, de vecteur vitesse :

À l'instant t = \dfrac{2\pi}{\omega}, la distance parcourue par le centre C depuis l'instant initial t=0 vaut :

D'après les résultats de la question 2, le numérateur vaut :

D'où :

Calculons le terme du dénominateur à l'aide des composantes de \vec{v} (question 1) et de \vec{a} (question 3) :

Comme 1 - \cos(\omega t) \ge 0, la valeur absolue du dénominateur est :

En faisant le rapport, pour tout instant où \cos(\omega t) \neq 1 :

La proposition correcte est donc la D.

Un objet très éloigné peut être modélisé comme un objet situé à l'infini sur l'axe optique (A_o \to -\infty).

D'après les lois de l'optique géométrique paraxiale (conditions de Gauss), les rayons lumineux issus d'un point objet situé à l'infini émergent de la lentille mince convergente en convergeant dans son plan focal image. L'image nette se forme donc en son foyer principal image F'.

Pour obtenir une image nette, l'élément photosensible (l'écran) doit être positionné dans ce plan focal image, soit à une distance du centre optique O égale à la distance focale image f' = \overline{OF'} :

Avec la vergence fournie V = 10\text{ }\delta = 10\text{ m}^{-1} :

L'écran doit donc être placé à une distance de 10\text{ cm} de la lentille (proposition A).

Lors de la mise au point à l'infini (question précédente Q7), l'écran est situé dans le plan focal image, à la distance :

Pour photographier un objet ponctuel A_o situé sur l'axe optique à 4{,}10\text{ m} en amont de la lentille, on a :

La position du foyer objet F étant \overline{OF} = -f' = -0{,}10\text{ m}, la position de l'objet par rapport au foyer objet s'écrit :

D'après la relation de conjugaison de Newton :

On en déduit la position de la nouvelle image A_i par rapport au foyer image F' :

Comme \overline{F'A_i} > 0, l'image se forme en aval de F' : l'écran doit donc être reculé de 2{,}5\text{ mm}, c'est-à-dire éloigné de l'objectif.

La proposition correcte est la B.

D'après la formule de conjugaison de Descartes avec origine au centre optique O d'une lentille mince de vergence V :

Lorsque l'écran est à sa distance maximale de la lentille, l'abscisse de l'image sur l'axe optique est :

On en déduit la position de l'objet correspondant :

Soit :

La distance minimale entre l'objet et la lentille est donc :

La proposition exacte est la C.

D'après l'énoncé et la figure 2, l'écran est placé dans le plan de l'image nette A_i de l'objet A_o, à la distance maximale autorisée :

Le faisceau issu du point objet A_o' s'appuie sur les bords de la lentille mince (de diamètre D_o en O) et converge en son image conjuguée A_i' située au-delà de l'écran.

Dans le plan de l'écran passant par A_i, ce cône de lumière forme une tache circulaire de diamètre D_t. En appliquant le théorème de Thalès dans le triangle de sommet A_i', dont la base est le diamètre de la lentille D_o et la section intermédiaire est le diamètre de la tache D_t, on a la relation de proportionnalité géométrique :

Or, par la relation de Chasles sur l'axe optique :

En substituant cette décomposition dans le rapport de Thalès :

On en déduit l'expression algébrique de la distance \overline{A_i A_i'} :

La proposition correcte est la A.

D'après la figure 2 de l'énoncé, l'écran est placé en A_i, à la distance maximale de la lentille :

En utilisant le résultat de la question Q10, la position de l'image A_i' de l'objet A_o' s'écrit :

La relation de conjugaison de Descartes avec origine au centre optique O appliquée au couple (A_o', A_i') s'écrit :

L'objet A_o' étant situé à la distance d_m' en amont de la lentille (\overline{OA_o'} = -d_m'), il vient :

En prenant l'inverse :

La proposition correcte est la A.

D'après le résultat de la question 11, l'expression de la distance minimale de netteté d_m' est :

En divisant le numérateur et le dénominateur par D_o > 0, il vient :

Toutes les grandeurs e, V et D_t étant strictement positives :

• Si le diamètre D_o diminue, le rapport \dfrac{D_t}{D_o} augmente ;
• Le dénominateur \left(\dfrac{D_t}{D_o} + V e\right) augmente donc ;
• Par conséquent, la distance minimale d_m' diminue.

On peut également le vérifier par dérivation par rapport à D_o :

La fonction d_m'(D_o) est donc strictement croissante : d_m' diminue si D_o diminue.

Lorsque l'interrupteur K est basculé en position 1, le circuit forme une maille constituée de la source idéale de tension E, du condensateur C_0 et du résistor R.

D'après le schéma du circuit (Fig. 3) :

• l'armature supérieure du condensateur C_0 porte la charge q_0(t) ;

• le courant i(t) traverse le circuit dans le sens horaire et entre par cette armature supérieure, d'où la relation en convention récepteur :

  i(t) = \frac{\mathrm{d}q_0}{\mathrm{d}t}
• la tension aux bornes du condensateur est u_0(t) = \frac{q_0(t)}{C_0} ;
• la tension aux bornes du résistor est u_R(t) = R\,i(t) = R\,\frac{\mathrm{d}q_0}{\mathrm{d}t}.

La loi des mailles s'écrit :

En divisant par R, on obtient l'équation différentielle vérifiée par q_0(t) :

ce qui correspond à la proposition B.

La solution générale de cette équation différentielle du premier ordre avec second membre constant est de la forme :

où A est une constante d'intégration déterminée par la condition initiale. Les condensateurs étant initialement déchargés, on a q_0(0) = 0, soit :

D'où l'évolution temporelle de la charge :

ce qui correspond à la proposition D.

Lorsque l'interrupteur K est basculé en position 2, le générateur idéal de tension E est déconnecté du reste du circuit.

Loi des mailles En prenant comme potentiel de référence le fil inférieur commun (V_{\text{bas}} = 0), les flèches de tension orientées vers le haut donnent :

• pour la branche de droite : V_{\text{haut}} - V_{\text{bas}} = u_1(t) ;
• pour la branche centrale : V_{\text{haut}} - V_{\text{bas}} = u_0(t) + u_R(t).

L'égalité des potentiels au nœud supérieur impose donc :

Relations constitutitives et conservation de la charge

• Pour le condensateur C_0 : u_0(t) = \frac{q_0(t)}{C_0}.

• Pour la résistance R, orientée en convention récepteur vis-à-vis du courant i(t) orienté vers le bas : u_R(t) = R \, i(t). Le courant i(t) sort de l'armature inférieure de C_0 portant la charge q_{\text{inf}}(t) = -q_0(t), d'où :

  i(t) = -\frac{\mathrm{d}q_{\text{inf}}}{\mathrm{d}t} = +\frac{\mathrm{d}q_0}{\mathrm{d}t} \implies u_R(t) = R \frac{\mathrm{d}q_0}{\mathrm{d}t}

• L'ensemble constitué des deux armatures supérieures de C_0 et C_1, connectées entre elles par K, est isolé du reste du circuit. La charge totale s'y conserve :

  q_0(t) + q_1(t) = q_0(0^+) + q_1(0^+)

  Le régime permanent étant atteint en position 1, on a q_0(0^+) = C_0 E (d'après la question Q13) et q_1(0^+) = 0. Il vient :

  q_1(t) = C_0 E - q_0(t) \implies u_1(t) = \frac{q_1(t)}{C_1} = \frac{C_0 E - q_0(t)}{C_1}

Mise en équation En substituant ces relations dans la loi des mailles :

En divisant chaque terme par R, on obtient :

La proposition exacte est la proposition D.

D'après la question Q14, pour t > 0, la charge q_0(t) vérifie l'équation différentielle :

Une solution particulière constante q_{0,\text{part}} vérifie :

La forme générale de la solution s'écrit donc :

où A est une constante d'intégration.

À la nouvelle origine des temps (t = 0), le régime permanent de la phase 1 était atteint. Par continuité de la tension u_0(t) aux bornes du condensateur C_0, la charge est continue :

En évaluant q_0(0) :

On en déduit l'expression temporelle de la charge :

Lorsque l'interrupteur K est basculé en position 2, l'ensemble constitué par l'armature supérieure de C_0 et l'armature supérieure de C_1 forme une portion de circuit isolée de l'extérieur.

La charge électrique totale de ce conducteur isolé est donc rigoureusement conservée à tout instant t \ge 0 :

On en déduit immédiatement :

En utilisant l'expression de q_0(t) obtenue à la question 15 :

il vient :

La proposition correcte est donc l'affirmation A.

Juste avant le basculement de l'interrupteur K en position 2, le régime permanent sous la tension E est établi aux bornes du condensateur C_0. L'énergie emmagasinée dans C_0 vaut :

Au bout d'une durée suffisamment longue après le basculement en position 2, la charge du condensateur C_1 atteint sa valeur de régime permanent déterminée à la question Q16 :

La tension finale commune aux bornes de C_1 et C_0 est alors :

L'énergie électrostatique emmagasinée par le condensateur C_1 est donc :

On en déduit le rapport des énergies :

La réponse correcte est la proposition B.

Pour une association en parallèle de n condensateurs identiques de même capacité C_0, la capacité équivalente s'obtient en sommant les capacités individuelles :

D'après le résultat établi à la question 17, le rapport énergétique s'écrit :

En remplaçant C_1 par n\,C_0 dans cette expression, il vient :

Ce résultat correspond à la proposition B.

Le diazote est modélisé par un gaz parfait de coefficient adiabatique \gamma constant.

Expression du volume V' : La transformation T1 étant adiabatique et réversible (isentropique), la loi de Laplace s'applique entre l'état initial E_i(p_i, V_i, T_i) et l'état intermédiaire E'(p', V', T') :

Sachant que la pression dans l'état E' vaut p' = p_i(1 + \varepsilon), il vient :

D'où l'expression du volume V' :

La proposition A est donc exacte.

Expression du volume V_f : La transformation T2 étant isobare, la pression dans l'état final E_f est égale à la pression dans l'état E' :

De plus, la température finale est T_f = T_i. En appliquant l'équation d'état du gaz parfait aux états E_i et E_f :

On en déduit que p_f V_f = p_i V_i, d'où :

La proposition D est donc exacte.

Méthode 1 : Par l'équation d'état du gaz parfait et le résultat de Q19

Le diazote étant assimilé à un gaz parfait, on applique l'équation d'état aux états E_i et E' :

En effectuant le rapport membre à membre :

D'après l'énoncé, la pression à l'état E' vaut p' = p_i(1+\varepsilon), soit \frac{p'}{p_i} = 1+\varepsilon. De plus, d'après la question Q19 :

On en déduit immédiatement :

Méthode 2 : Par la loi de Laplace

La transformation T1 étant adiabatique réversible pour un gaz parfait à capacités thermiques constantes, les variables d'état vérifient la loi de Laplace sous la forme :

Il vient ainsi :

La proposition correcte est la proposition B.

La transformation T1 est adiabatique (Q_{E_i E'} = 0). Le premier principe de la thermodynamique appliqué au système fermé constitué des n moles de gaz parfait entre les états E_i et E' s'écrit :

D'après la première loi de Joule, l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température :

En utilisant l'équation d'état du gaz parfait dans l'état initial, p_i V_i = n R T_i, il vient :

D'après le résultat de la question Q20, le rapport des températures s'exprime sous la forme :

On en déduit l'expression du travail reçu par le gaz au cours de la transformation T1 :

Cette expression correspond à la proposition C.

La transformation T2 s'effectue à pression constante p = p_f = p' = p_i(1+\varepsilon). Le travail élémentaire des forces de pression s'écrit \delta W = -p\,\mathrm{d}V, d'où :

D'après la question Q19, les volumes aux états E' et E_f s'expriment selon :

En substituant ces expressions et p_f = p_i(1+\varepsilon) :

La proposition exacte est la C.

Le diazote étant modélisé par un gaz parfait, son énergie interne U ne dépend que de sa température absolue d'après la première loi de Joule :

La température finale de l'état E_f étant égale à la température initiale de l'état E_i (T_f = T_i), la variation d'énergie interne sur l'ensemble des transformations est nulle :

Pour obtenir le transfert thermique Q reçu par le gaz le long du trajet global E_i \to E' \to E_f, deux méthodes directes mènent au résultat :

Méthode 1 : Premier principe de la thermodynamique
D'après le premier principe :

En sommant les travaux obtenus aux questions Q21 et Q22 :

On en déduit immédiatement :

Méthode 2 : Calcul direct de Q
La transformation T1 étant adiabatique, le transfert thermique associé est nul : Q_1 = 0.

La transformation T2 étant isobare, le transfert thermique reçu est égal à la variation d'enthalpie du gaz (deuxième loi de Joule) :

Avec la relation de Mayer C_{p,\text{m}} = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}, n R T_i = p_i V_i et l'expression de T' établie à la question Q20 (T' = T_i (1+\varepsilon)^{1 - \frac{1}{\gamma}}) :

Les propositions A et C sont donc exactes.

D'après la question Q23, le travail total reçu par le gaz au cours des transformations T_1 et T_2 s'écrit :

Au premier ordre pour \varepsilon \ll 1, le développement limité usuel (1+\varepsilon)^\alpha = 1 + \alpha\varepsilon + o(\varepsilon) avec \alpha = 1 - \frac{1}{\gamma} = \frac{\gamma - 1}{\gamma} donne :

En injectant cette relation dans l'expression de W :

Par ailleurs, comme \Delta U = 0 d'après le premier principe pour ce gaz parfait subissant une évolution globale isotherme (T_f = T_i) :

Les propositions B et D sont donc exactes.

Le référentiel terrestre galiléen est muni de la base cartésienne orthonormée (\vec{e}_x, \vec{e}_y) et de la base polaire (\vec{e}_\rho, \vec{e}_\varphi), où l'angle \varphi repère la position de A par rapport à l'axe horizontal (Ox) :

Tant que le corpuscule reste en contact avec l'hémisphère, sa distance à l'origine est constante : r = \text{cte}, soit \dot{r} = 0 et \ddot{r} = 0. Le vecteur position s'écrit \overrightarrow{OA} = r\,\vec{e}_\rho.

Le vecteur accélération de A en coordonnées polaires planes s'obtient classiquement par :

Le système \{A\} est soumis à deux actions mécaniques :

• son poids \vec{P} = -mg\,\vec{e}_y. En projetant \vec{e}_y = \sin\varphi\,\vec{e}_\rho + \cos\varphi\,\vec{e}_\varphi, il vient :

  \vec{P} = -mg\sin\varphi\,\vec{e}_\rho - mg\cos\varphi\,\vec{e}_\varphi
• la réaction du support \vec{R} = R_n\,\vec{e}_\rho, purement normale en l'absence de frottement.

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué au point matériel A dans le référentiel galiléen :

Par projection sur la base polaire (\vec{e}_\rho, \vec{e}_\varphi), on obtient le système :

soit, en simplifiant par m sur l'axe orthoradial :

Ce système correspond à la proposition A.

Pendant le contact avec l'hémisphère, la distance à l'origine est constante : \rho = r.

Le vecteur position de A s'écrit \overrightarrow{OA} = r\,\vec{e}_\rho, d'où le vecteur vitesse dans le référentiel d'étude :

L'énergie cinétique du point matériel A est donc :

ce qui correspond à la proposition B (la proposition A n'étant d'ailleurs pas homogène à une énergie).

Le champ de pesanteur s'écrit \vec{g} = -g\,\vec{e}_y. La force de pesanteur dérive de l'énergie potentielle :

D'après le repère de la figure 4, l'altitude de A vaut y = r\sin\varphi. Avec la référence choisie nulle en y = 0 (\varepsilon_p(0) = 0), la constante d'intégration est nulle :

ce qui correspond à la proposition C.

Le point matériel A est soumis à deux forces :

• son poids \vec{P}, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur \mathcal{E}_p(\varphi) = m g r \sin\varphi (établie à la question 26) ;

• la réaction normale du support \vec{R} = R_n \vec{e}_\rho. En l'absence de frottement, cette force est à tout instant orthogonale au déplacement élémentaire (\vec{v} = r\dot{\varphi}\,\vec{e}_\varphi), de sorte que sa puissance est constamment nulle :

  \mathcal{P}(\vec{R}) = \vec{R}\cdot\vec{v} = 0

L'énergie mécanique \mathcal{E}_m = \mathcal{E}_k + \mathcal{E}_p de A est donc rigoureusement conservée au cours du mouvement tant que le contact avec l'hémisphère est maintenu.

Au sommet S, l'angle polaire vaut \varphi = \frac{\pi}{2}, soit \sin\varphi = 1, et la vitesse initiale vaut v_0 :

En une position quelconque repérée par l'angle \varphi :

Par conservation de l'énergie mécanique (\mathcal{E}_m(\varphi) = \mathcal{E}_m(S)) :

On en déduit la norme de la vitesse :

La proposition correcte est la B.