Feuille d'entraînement : Circuits électriques et régimes transitoires

10 questions · filière MPSI · durée estimée environ 30 min

Énoncés

Exercice 1ENAC Physique MPSI 2026, Q26· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 4 min
Lorsque $t > 0$ , $u_{C} (t)$ vérifie l'équation différentielle suivante:
$\frac{d u _{C}}{d t} + \frac{u _{C}}{τ _{1}} = \frac{E}{τ _{2}}$
où $τ_{1}$ et $τ_{2}$ sont deux constantes par rapport au temps que l'on exprimera:
A) $τ_{1} = \frac{r + R}{R} r C$ B) $τ_{1} = \frac{r}{r + R} R C$ C) $τ_{2} = r C$ D) $τ_{2} = R C$
Exercice 2ENAC Physique MPSI 2026, Q29· Application directe· Incontournable· ≈ 2 min
Exprimer $Q$ :
A) $Q = R (\frac{C}{L})^{1/2}$ B) $Q = \frac{1}{R} (\frac{L}{C})^{1/2}$ C) $Q = \frac{R ^{2} C}{L}$ D) $Q$ est infini.
Exercice 3ENAC Physique MPSI 2025, Q13· Application directe· Incontournable· ≈ 3 min
Déterminer, à la date $t = 0^{+}$ , c'est-à-dire, juste après la fermeture de $K_{1}$ , la tension $u_{R} (0^{+})$ : A) $u_{R} (0^{+}) = 0$ B) $u_{R} (0^{+}) = \frac{E}{2}$ C) $u_{R} (0^{+}) = E$ D) $u_{R} (0^{+}) = - E$
Exercice 4ENAC Physique MPSI 2024, Q26· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 5 min
Que peut-on affirmer lorsque $t > 0$ ?
A) $\frac{d u _{C}}{d t} + \frac{u _{C}}{τ} = \frac{E}{τ}$ avec $τ = \frac{R C}{N}$ B) $\frac{d u _{C}}{d t} + \frac{u _{C}}{τ} = \frac{E}{τ}$ avec $τ = \frac{R C}{N ^{1/2}}$ C) $\frac{d u _{C}}{d t} + \frac{u _{C}}{τ} = \frac{E}{τ}$ avec $τ = N R C$ D) $\frac{d u _{C}}{d t} + \frac{u _{C}}{τ} = 0$ avec $τ = N R C$
Exercice 5ENAC Physique MPSI 2024, Q27· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 3 min
Comment évolue $u_{C} (t)$ après fermeture de $K$ ?
A) $u_{C} (t) = E - E exp (- \frac{t}{τ})$ B) $u_{C} (t) = (U_{0} - E) exp (- \frac{t}{τ})$ C) $u_{C} (t) = E + U_{0} exp (- \frac{t}{τ})$ D) $u_{C} (t) = E + (U_{0} - E) exp (- \frac{t}{τ})$
Exercice 6ENAC Physique MPSI 2023, Q13· Application directe· Incontournable· ≈ 3 min
Quelle est l'équation différentielle décrivant l'évolution de la charge $q_{0} (t)$ portée par l'armature de $C_{0}$ en contact avec $K$ (cf. figure 3) ? Donner la solution de cette équation.
A) $\frac{d q _{0}}{d t} - \frac{q _{0}}{R C _{0}} = - \frac{E}{R}$ B) $\frac{d q _{0}}{d t} + \frac{q _{0}}{R C _{0}} = \frac{E}{R}$ C) $q_{0} (t) = C_{0} E [exp (- \frac{t}{R C _{0}}) - 1]$ D) $q_{0} (t) = C_{0} E [1 - exp (- \frac{t}{R C _{0}})]$
Exercice 7ENAC Physique MPSI 2022, Q13· Application directe· Incontournable· ≈ 2 min
À un instant pris comme origine temporelle, on ferme $K$ ( $K^{'}$ restant ouvert). Que peut-on dire, à l'instant $t = 0^{+}$ , de $u_{R} (0^{+})$ et de $u_{L} (0^{+})$ ?
A) $u_{R} (0^{+}) = 0$ B) $u_{R} (0^{+}) = E$ C) $u_{L} (0^{+}) = 0$ D) $u_{L} (0^{+}) = E$
Exercice 8ENAC Physique MPSI 2022, Q14· Application directe· Incontournable· ≈ 2 min
Comment évoluent $i_{L} (t)$ et $u_{L} (t)$ ?
A) $i_{L} (t) = \frac{E}{R} [1 - exp (- \frac{R}{L} t)]$ B) $i_{L} (t) = \frac{E}{R} exp (- \frac{R}{L} t)$ C) $u_{L} (t) = E [1 - exp (- \frac{R}{L} t)]$ D) $u_{L} (t) = E exp (- \frac{R}{L} t)$
Exercice 9ENAC Physique MPSI 2020, Q13· Application directe· Incontournable· ≈ 3 min
Calculer numériquement $R$ : A) $R = 0, 002 Ω$ B) $R = 0, 2 Ω$ C) $R = 5 Ω$ D) $R = 500 Ω$
Exercice 10ENAC Physique MPSI 2020, Q15· Application directe· Incontournable· ≈ 3 min
Que valent l'intensité $i (0^{+})$ et la tension $u_{C} (0^{+})$ à l'instant $t = 0^{+}$ succédant immédiatement à l'ouverture de $K$ ? A) $i (0^{+}) = 0$ B) $i (0^{+}) = \frac{E}{R}$ C) $u_{C} (0^{+}) = 0$ D) $u_{C} (0^{+}) = E$

Corrigés

Exercice 1ENAC Physique MPSI 2026, Q26
Pour t > 0, l'interrupteur K est fermé et K' demeure ouvert. La branche contenant la bobine L est déconnectée.
Orientons le circuit en convention générateur pour la source E, et en convention récepteur pour les dipôles passifs :
- Le courant total débité par le générateur traverse le résistor r ;
- Il se sépare au nœud supérieur en un courant i_R traversant le résistor R et un courant i_C traversant le condensateur C.
D'après la loi des nœuds :
i = i_R + i_C
Les relations caractéristiques des dipôles donnent :
i_R = \frac{u_C}{R} \quad \text{et} \quad i_C = C \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}
La loi des mailles appliquée à la maille contenant le générateur, le résistor r et le condensateur s'écrit :
E - r i - u_C = 0
En substituant l'expression de i :
E = u_C + r \left(\frac{u_C}{R} + C \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}\right) = r C \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \left(1 + \frac{r}{R}\right) u_C
En divisant l'ensemble de l'équation par r C, on obtient :
\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \frac{r + R}{r R C} u_C = \frac{E}{r C}
L'énoncé présente l'équation différentielle sous la forme :
\frac{\mathrm{d} u_C}{\mathrm{d} t} + \frac{u_C}{\tau_1} = \frac{E}{\tau_2}
Par identification immédiate des coefficients :
\boxed{\tau_1 = \frac{r R}{r+R} C = \frac{r}{r+R} R C}
\boxed{\tau_2 = r C}
Les propositions B et C sont donc exactes.
Résultat
$τ_{1} = \frac{r R}{r + R} C = \frac{r}{r + R} R C$ $τ_{2} = r C$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 2ENAC Physique MPSI 2026, Q29
D'après l'équation différentielle obtenue à la question Q28, pour le circuit formé par la mise en parallèle du résistor R, du condensateur C et de la bobine L lorsque K est ouvert et K' est fermé :
\frac{\mathrm{d}^2 u_C}{\mathrm{d}t^2} + \frac{1}{RC}\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{LC}u_C = 0
Par identification avec la forme canonique proposée :
\frac{\mathrm{d}^2 u_C}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\omega_0}{Q} \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 u_C = \omega_0^2 E_0
le terme d'amortissement vérifie :
\frac{\omega_0}{Q} = \frac{1}{RC} \iff Q = RC\omega_0
En utilisant l'expression de la pulsation propre \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = (LC)^{-1/2}, on obtient :
Q = RC \times \frac{1}{\sqrt{LC}} = R \sqrt{\frac{C^2}{LC}} = R\left(\frac{C}{L}\right)^{1/2}
Par conséquent, la proposition A est exacte.
\boxed{\text{A}}
Résultat
$A$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 3ENAC Physique MPSI 2025, Q13
À l'instant t = 0^-, avant la fermeture de l'interrupteur K_1, l'énoncé indique que :
- le condensateur C_2 est entièrement déchargé : u_2(0^-) = 0 ;
- le condensateur C_1 est préalablement chargé : u_1(0^-) = \dfrac{E}{2}.
En présence d'une résistance R non nulle, l'intensité du courant reste finie et les tensions aux bornes des condensateurs sont des fonctions continues du temps :
\begin{aligned} u_1(0^+) &= u_1(0^-) = \frac{E}{2} \\ u_2(0^+) &= u_2(0^-) = 0 \end{aligned}
L'interrupteur K_2 étant maintenu ouvert, aucun courant ne circule dans la branche inférieure contenant le second résistor. En appliquant la loi des mailles à l'instant t = 0^+ le long de la maille active orientée dans le sens horaire, on a :
E - u_R(0^+) - u_1(0^+) - u_2(0^+) = 0
D'où :
u_R(0^+) = E - u_1(0^+) - u_2(0^+) = E - \frac{E}{2} - 0 = \frac{E}{2}
\boxed{u_R(0^+) = \frac{E}{2}}
La réponse correcte est donc la B.
Résultat
$u_{R} (0^{+}) = \frac{E}{2}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 4ENAC Physique MPSI 2024, Q26
Les N condensateurs de capacité C étant montés en dérivation, la tension u_C est commune à chacun d'entre eux. La capacité équivalente de cette association est :
C_{\text{eq}} = \sum_{k=1}^N C = N C
Le courant total i(t) arrivant sur ce nœud se répartit entre les N branches :
i(t) = \sum_{k=1}^N i_k(t) = C_{\text{eq}}\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = N C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}
Pour t > 0, l'interrupteur K est fermé. La loi des mailles orientée dans le sens du courant s'écrit :
E = u_R(t) + u_C(t)
D'après la loi d'Ohm, la tension aux bornes du résistor vaut u_R(t) = R\,i(t). En remplaçant i(t) par son expression :
E = R N C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C(t)
En posant la constante de temps du circuit :
\tau = N R C
l'équation différentielle s'écrit sous forme canonique :
\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \frac{u_C}{\tau} = \frac{E}{\tau} \quad \text{avec} \quad \tau = N R C
La proposition exacte est donc la C.
\boxed{\text{Réponse C}}
Résultat
$R \overset{e}{ˊ} ponse C$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 5ENAC Physique MPSI 2024, Q27
D'après la question Q26, l'équation différentielle régissant la tension u_C(t) pour t > 0 s'écrit :
\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \frac{u_C}{\tau} = \frac{E}{\tau} \quad \text{avec} \quad \tau = NRC
La solution générale de cette équation différentielle linéaire à coefficients constants est la somme d'une solution particulière constante (la tension en régime permanent u_C(\infty) = E) et de la solution générale de l'équation homogène :
u_C(t) = E + A \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)
où A est une constante d'intégration.
Par continuité de la tension aux bornes d'un condensateur en t = 0 :
u_C(0^+) = u_C(0^-) = U_0
En évaluant l'expression de u_C(t) en t = 0^+ :
u_C(0^+) = E + A = U_0 \implies A = U_0 - E
On en déduit l'expression temporelle de la tension aux bornes des condensateurs pour t > 0 :
\boxed{u_C(t) = E + (U_0 - E) \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)}
La proposition correcte est donc la D.
Résultat
$u_{C} (t) = E + (U_{0} - E) exp (- \frac{t}{τ})$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 6ENAC Physique MPSI 2023, Q13
Lorsque l'interrupteur K est basculé en position 1, le circuit forme une maille constituée de la source idéale de tension E, du condensateur C_0 et du résistor R.
D'après le schéma du circuit (Fig. 3) :
- l'armature supérieure du condensateur C_0 porte la charge q_0(t) ;
- le courant i(t) traverse le circuit dans le sens horaire et entre par cette armature supérieure, d'où la relation en convention récepteur :
  i(t) = \frac{\mathrm{d}q_0}{\mathrm{d}t}
- la tension aux bornes du condensateur est u_0(t) = \frac{q_0(t)}{C_0} ;
- la tension aux bornes du résistor est u_R(t) = R\,i(t) = R\,\frac{\mathrm{d}q_0}{\mathrm{d}t}.
La loi des mailles s'écrit :
E - u_0(t) - u_R(t) = 0 \iff R\,\frac{\mathrm{d}q_0}{\mathrm{d}t} + \frac{q_0(t)}{C_0} = E
En divisant par R, on obtient l'équation différentielle vérifiée par q_0(t) :
\frac{\mathrm{d}q_0}{\mathrm{d}t} + \frac{q_0}{R C_0} = \frac{E}{R}
ce qui correspond à la proposition B.
La solution générale de cette équation différentielle du premier ordre avec second membre constant est de la forme :
q_0(t) = A\,\exp\left(-\frac{t}{R C_0}\right) + C_0 E
où A est une constante d'intégration déterminée par la condition initiale. Les condensateurs étant initialement déchargés, on a q_0(0) = 0, soit :
q_0(0) = A + C_0 E = 0 \implies A = - C_0 E
D'où l'évolution temporelle de la charge :
q_0(t) = C_0 E \left[1 - \exp\left(-\frac{t}{R C_0}\right)\right]
ce qui correspond à la proposition D.
\boxed{\text{Propositions exactes : B et D}}
Résultat
$Propositions exactes : B et D$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 7ENAC Physique MPSI 2022, Q13
Pour t < 0, l'interrupteur K est ouvert, aucun courant ne circule dans le circuit :
i_L(0^-) = 0
Par continuité de l'énergie magnétique stockée dans la bobine, l'intensité i_L(t) traversant la bobine est une fonction continue du temps :
i_L(0^+) = i_L(0^-) = 0
L'interrupteur K' étant maintenu ouvert, la branche contenant le condensateur est un circuit ouvert (i_C = 0). D'après la loi des nœuds, on a immédiatement :
i_R(0^+) = i_L(0^+) = 0
D'après la loi d'Ohm en convention récepteur pour le résistor :
\boxed{u_R(0^+) = R \, i_R(0^+) = 0}
La proposition A est donc vraie (et la B est fausse).
La loi des mailles appliquée à la maille formée par le générateur, la bobine et le résistor s'écrit à tout instant t \ge 0^+ :
E - u_L(t) - u_R(t) = 0 \iff u_L(t) = E - u_R(t)
En évaluant cette relation en t = 0^+, il vient :
\boxed{u_L(0^+) = E - u_R(0^+) = E}
La proposition D est donc également vraie (et la C est fausse).
Résultat
$u_{R} (0^{+}) = R i_{R} (0^{+}) = 0$ $u_{L} (0^{+}) = E - u_{R} (0^{+}) = E$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 8ENAC Physique MPSI 2022, Q14
Pendant cette première phase, K' est ouvert, donc i_R(t) = i_L(t).
D'après la loi des mailles orientée dans le sens du courant i_L :
E = u_L(t) + u_R(t)
En utilisant les relations constitutives des composants en convention récepteur, u_R(t) = R \, i_L(t) et u_L(t) = L \frac{\mathrm{d}i_L}{\mathrm{d}t}, on obtient :
L \frac{\mathrm{d}i_L}{\mathrm{d}t} + R \, i_L(t) = E \iff \frac{\mathrm{d}i_L}{\mathrm{d}t} + \frac{R}{L} i_L(t) = \frac{E}{L}
La solution générale de cette équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre constant s'écrit :
i_L(t) = A \exp\left(-\frac{R}{L}t\right) + \frac{E}{R}
où A est une constante déterminée par la continuité de l'intensité traversant la bobine en t = 0 :
i_L(0^+) = 0 \implies A + \frac{E}{R} = 0 \implies A = -\frac{E}{R}
L'expression de l'intensité est donc :
\boxed{i_L(t) = \frac{E}{R}\left[1 - \exp\left(-\frac{R}{L}t\right)\right]}
La proposition A est exacte.
On en déduit l'expression de la tension u_L(t) aux bornes de la bobine :
u_L(t) = E - R\,i_L(t) = E - E\left[1 - \exp\left(-\frac{R}{L}t\right)\right]
soit :
\boxed{u_L(t) = E \exp\left(-\frac{R}{L}t\right)}
La proposition D est exacte.
Résultat
$i_{L} (t) = \frac{E}{R} [1 - exp (- \frac{R}{L} t)]$ $u_{L} (t) = E exp (- \frac{R}{L} t)$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 9ENAC Physique MPSI 2020, Q13
Lorsque l'interrupteur K est ouvert, le circuit est un dipôle RLC série alimenté par la source de tension E.
L'équation différentielle régissant la tension u_C(t) aux bornes du condensateur s'écrit classiquement :
\frac{\mathrm{d}^2 u_C}{\mathrm{d}t^2} + \frac{R}{L}\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{LC}u_C = \frac{E}{LC}
Par identification avec la forme canonique :
\frac{\mathrm{d}^2 u_C}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\omega_0}{Q}\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 u_C = \omega_0^2 E
on identifie la pulsation propre \omega_0 et le facteur de qualité Q :
\begin{aligned} \omega_0 &= \frac{1}{\sqrt{LC}} \\ Q &= \frac{L\omega_0}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} \end{aligned}
On en déduit l'expression de la résistance R :
R = \frac{1}{Q}\sqrt{\frac{L}{C}}
Application numérique avec L = 50\text{ mH} = 50\times 10^{-3}\text{ H}, C = 20\ \mu\text{F} = 20\times 10^{-6}\text{ F} et Q = 10 :
\begin{aligned} \sqrt{\frac{L}{C}} &= \sqrt{\frac{50\times 10^{-3}}{20\times 10^{-6}}} = \sqrt{2\,500} = 50\ \Omega \\ R &= \frac{50}{10} = 5\ \Omega \end{aligned}
\boxed{R = 5\ \Omega \quad \text{(Réponse C)}}
Résultat
$R = 5 Ω (R \overset{e}{ˊ} ponse C)$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 10ENAC Physique MPSI 2020, Q15
Pour t < 0, l'interrupteur K est fermé depuis une durée suffisamment longue pour que le régime permanent continu soit établi :
- Le condensateur est mis en court-circuit par l'interrupteur K, ce qui impose :
  u_C(0^-) = 0
- En régime continu permanent, une bobine idéale se comporte comme un fil conducteur (u_L = L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = 0). Le circuit se réduit à la source idéale de tension de fem E débitant dans le résistor de résistance R. La loi des mailles s'écrit alors :
  E - L \left.\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\right|_{0^-} - R \, i(0^-) = 0 \implies E - R \, i(0^-) = 0
  Soit :
  i(0^-) = \frac{E}{R}
À l'instant t = 0, on ouvre l'interrupteur K :
- L'énergie magnétique stockée dans la bobine, \mathcal{E}_L = \frac{1}{2} L i^2, ne peut pas varier de manière discontinue en l'absence de tension infinie à ses bornes. L'intensité du courant i(t) traversant la bobine est donc une fonction continue du temps en t = 0 :
  \boxed{i(0^+) = i(0^-) = \frac{E}{R}}
- L'énergie électrostatique emmagasinée dans le condensateur, \mathcal{E}_C = \frac{1}{2} C u_C^2, est également continue en l'absence de pic de Dirac d'intensité (le courant étant limité par l'inductance en série). La tension u_C(t) est donc continue en t = 0 :
  \boxed{u_C(0^+) = u_C(0^-) = 0}
Les deux affirmations correctes sont donc B et C.
Résultat
$i (0^{+}) = i (0^{-}) = \frac{E}{R}$ $u_{C} (0^{+}) = u_{C} (0^{-}) = 0$
Indice, stratégie et pièges de cette question

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