Corrigé détaillé ENAC Physique QCM MPSI 2025

Épreuve de Physique – Concours EPL/S

36 questions corrigées
Sujet accessible
Faisable en MPSI, PCSI, PTSI, MP2I, TSI1 et BCPST1 : les 36 questions
Vérifié question par question

Ce sujet du concours EPL/S de l'ENAC prend la forme d'un QCM de 36 questions réparties en six parties indépendantes couvrant des thèmes classiques de physique générale. Les exercices balayent la cinématique polaire, l'optique des systèmes afocaux, les régimes transitoires d'ordres un et deux en régime capacitif, l'analyse d'un cycle thermodynamique tri-ouvert conduisant à la relation de Mayer, le pendule pesant couplé aux forces de Laplace, ainsi qu'un filtre déphaseur en pont.

L'épreuve est rapide et exigeante sur le plan de la précision calculatoire et de la gestion du temps, le barème imposant de sélectionner au plus 24 questions parmi les 36. C'est un excellent support d'entraînement pour tester les réflexes, la rapidité d'exécution et la maîtrise des formulaires fondamentaux dès la classe de première année.

En bref sur ce sujet

Difficulté: Accessible, estimée à partir de la difficulté de chaque question
Temps estimé: ≈ 2 h 15 pour tout traiter (estimation question par question, candidat bien préparé)
Chapitres: Circuits électriques et régimes transitoires17 %
Cinématique et dynamique du point17 %
Optique géométrique17 %
Premier et second principes de la thermodynamique17 %
Part des questions du sujet.
Incontournables: 12 questions classiques, à savoir refaire :
Q2
Q3
Q8
Q9
Q13
Q19
Q20
Q22
Q25
Q28
Q31
Q34
Première année: Oui en MPSI, PCSI, PTSI, MP2I, TSI1 et BCPST1 : les 36 questions.
MPSI : 36 questions
PCSI : 36 questions
PTSI : 36 questions
MP2I : 23 questions
TSI1 : 36 questions
BCPST1 : 16 questions

Où gagner des points

Rapides et accessibles (32) : difficulté 1 ou 2 sur 4, 5 minutes au plus.

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Comment utiliser ce corrigé

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Partie 1 : Cinématique d'un mouvement en spirale

Question 1

Application directe≈ 2 min

Calcul littéral
Faisable en MPSI, PCSI, PTSI, MP2I, TSI1

Notions : cinématique du point, coordonnée polaire

À quelle date $t_{1}$ la composante radiale du vecteur $OM$ vaut-elle le dixième de sa valeur initiale ? A) $t_{1} = τ$ B) $t_{1} = τ ln (10)$ C) $t_{1} = 10 τ$ D) $t_{1} = \frac{τ}{l n ( 10 )}$

Voir l'indice

Poser l'équation r(t_1) = r_0 / 10 à partir de l'équation horaire r(t) = r_0\,\mathrm{e}^{-t/\tau} et prendre le logarithme népérien.

Voir la stratégie

Exprimer le vecteur position \mathbf{OM} dans la base polaire (\boldsymbol{e}_r, \boldsymbol{e}_\theta) pour identifier sa composante radiale.
Écrire la condition mathématique traduisant que cette composante est égale au dixième de sa valeur initiale à l'instant t_1, puis résoudre l'équation en t_1.

Voir la réponse courte

Résolution directe de l'équation r(t_1) = r_0 e^{-t_1/\tau} = r_0/10, ce qui donne immédiatement t_1 = \tau \ln(10).

Voir le corrigé complet

Dans la base polaire (\boldsymbol{e}_r, \boldsymbol{e}_\theta), le vecteur position s'écrit :

\mathbf{OM} = r(t)\,\boldsymbol{e}_r

La composante radiale du vecteur position est donc r(t) = r_0 \text{e}^{-t/\tau}.

À l'instant initial t = 0, elle vaut r(0) = r_0. La date t_1 recherchée vérifie la condition :

r(t_1) = \frac{r(0)}{10} = \frac{r_0}{10}

En remplaçant par l'expression de la loi horaire radiale :

\begin{aligned} r_0 \text{e}^{-t_1/\tau} &= \frac{r_0}{10} \\ \text{e}^{-t_1/\tau} &= 10^{-1} \\ -\frac{t_1}{\tau} &= -\ln(10) \end{aligned}

On en déduit :

\boxed{t_1 = \tau \ln(10)}

La réponse correcte est la proposition B.

Résultat

t_{1} = τ ln (10)

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Question 2

Application directe≈ 2 min

Incontournable
Question de cours
Calcul littéral
Faisable en MPSI, PCSI, PTSI, MP2I, TSI1

Notions : cinématique du point, vitesse en coordonnées polaires

Exprimer les composantes de la vitesse de M : A) $v_{r} = \frac{r _{0}}{τ} e^{- t / τ}$ B) $v_{r} = - \frac{r _{0}}{τ} e^{- t / τ}$ C) $v_{θ} = r_{0} Ω e^{- t / τ}$ D) $v_{θ} = r_{0} Ω$

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Dériver le vecteur position \mathbf{OM} = r\,\mathbf{e}_r dans la base polaire mobile sachant que \mathrm{d}\mathbf{e}_r/\mathrm{d}t = \dot{\theta}\,\mathbf{e}_\theta.

Voir la stratégie

Exprimer le vecteur vitesse dans la base polaire mobile (\boldsymbol{e}_r, \boldsymbol{e}_\theta).
Dériver par rapport au temps les lois horaires r(t) et \theta(t) pour identifier les composantes radiale v_r et orthoradiale v_\theta.

Voir la réponse courte

Dérivation temporelle des coordonnées polaires pour obtenir v_r = \dot{r} = -(r_0/\tau)e^{-t/\tau} et v_\theta = r\dot{\theta} = r_0 \Omega e^{-t/\tau}.

Voir le corrigé complet

Dans le référentiel \mathcal{R} muni de la base polaire (\boldsymbol{e}_r, \boldsymbol{e}_\theta), le vecteur position du point \mathrm{M} s'écrit :

\mathbf{OM}(t) = r(t)\,\boldsymbol{e}_r

Par dérivation par rapport au temps dans le référentiel \mathcal{R}, le vecteur vitesse de \mathrm{M} est donné par :

\boldsymbol{v}(t) = \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{OM}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathcal{R}} = \dot{r}(t)\,\boldsymbol{e}_r + r(t)\dot{\theta}(t)\,\boldsymbol{e}_\theta

Les composantes du vecteur vitesse sont donc :

\begin{aligned} v_r(t) &= \dot{r}(t) \\ v_\theta(t) &= r(t)\dot{\theta}(t) \end{aligned}

À partir des équations horaires fournies par l'énoncé :

r(t) = r_0 \text{e}^{-t/\tau} \quad \text{et} \quad \theta(t) = \Omega t

on obtient en dérivant par rapport à t :

\begin{aligned} \dot{r}(t) &= -\frac{r_0}{\tau}\,\text{e}^{-t/\tau} \\ \dot{\theta}(t) &= \Omega \end{aligned}

On en déduit les expressions des composantes :

\begin{aligned} v_r(t) &= -\frac{r_0}{\tau}\,\text{e}^{-t/\tau} \\ v_\theta(t) &= r_0\Omega\,\text{e}^{-t/\tau} \end{aligned}

Les réponses B et C sont donc exactes.

\boxed{\text{Réponses B et C}}

Résultat

R \overset{e}{ˊ} ponses B et C

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Question 3

Intermédiaire≈ 4 min

Incontournable
Question de cours
Calcul littéral
Faisable en MPSI, PCSI, PTSI, MP2I, TSI1

Notions : cinématique du point, accélération en coordonnées polaires

Exprimer les composantes de l'accélération de M ; A) $a_{r} = r_{0} (\frac{1}{τ ^{2}} - Ω^{2}) e^{- t / τ}$ B) $a_{r} = \frac{r _{0}}{τ} (\frac{1}{τ} + Ω) e^{- t / τ}$ C) $a_{θ} = \frac{2 r _{0} Ω}{τ}$ D) $a_{θ} = - \frac{2 r _{0} Ω}{τ} e^{- t / τ}$

Voir l'indice

Dériver les composantes du vecteur vitesse en tenant compte de \mathrm{d}\mathbf{e}_\theta/\mathrm{d}t = -\dot{\theta}\,\mathbf{e}_r et de \dot{\theta} = \Omega = \mathrm{cste}.

Voir la stratégie

Rappeler l'expression générale de l'accélération en coordonnées polaires planes : \boldsymbol{a} = a_r \boldsymbol{e}_r + a_\theta \boldsymbol{e}_\theta.
Calculer les dérivées temporelles première et seconde de r(t) et \theta(t).
Identifier séparément la composante radiale a_r et la composante orthoradiale a_\theta afin de choisir les propositions exactes.

Voir la réponse courte

Expression de l'accélération en coordonnées cylindriques : a_r = \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 et a_\theta = r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}.

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Dans le repère polaire lié au référentiel d'étude \mathcal{R}, le vecteur accélération s'exprime sous la forme :

\boldsymbol{a} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\,\boldsymbol{e}_r + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\,\boldsymbol{e}_\theta

À partir des équations horaires r(t) = r_0 e^{-t/\tau} et \theta(t) = \Omega t, on détermine les dérivées successives :

\begin{aligned} \dot{r}(t) &= -\frac{r_0}{\tau} e^{-t/\tau}, & \ddot{r}(t) &= \frac{r_0}{\tau^2} e^{-t/\tau} \\ \dot{\theta}(t) &= \Omega, & \ddot{\theta}(t) &= 0 \end{aligned}

On en déduit la composante radiale de l'accélération :

a_r(t) = \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 = \frac{r_0}{\tau^2} e^{-t/\tau} - (r_0 e^{-t/\tau})\Omega^2 = r_0\left(\frac{1}{\tau^2} - \Omega^2\right) e^{-t/\tau}

ce qui correspond à la proposition A.

Pour la composante orthoradiale :

a_\theta(t) = r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} = 0 + 2\left(-\frac{r_0}{\tau} e^{-t/\tau}\right)\Omega = -\frac{2r_0\Omega}{\tau} e^{-t/\tau}

ce qui correspond à la proposition D.

\boxed{\text{Réponses A et D}}

Résultat

R \overset{e}{ˊ} ponses A et D

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Question 4

Intermédiaire≈ 3 min

Calcul littéral
Faisable en MPSI, PCSI, PTSI, MP2I, TSI1

Notions : cinématique du point, norme de la vitesse

Donner l'expression des normes de la vitesse et de l'accélération : A) $v = r_{0} (\frac{1}{τ ^{2}} + Ω^{2}) e^{- t / τ}$ B) $v = r_{0} (\frac{1}{τ ^{2}} + Ω^{2})^{1/2} e^{- t / τ}$ C) $a = r_{0} (\frac{1}{τ ^{2}} + Ω^{2}) e^{- t / τ}$ D) $a = r_{0} (\frac{1}{τ ^{2}} + Ω^{2})^{1/2} e^{- t / τ}$

Voir l'indice

Calculer v = \sqrt{v_r^2 + v_\theta^2} et a = \sqrt{a_r^2 + a_\theta^2} en factorisant par les exponentielles décroissantes.

Voir la stratégie

La base polaire (\boldsymbol{e}_r, \boldsymbol{e}_\theta) étant orthonormée, la norme d'un vecteur s'exprime comme la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes.
Calculer la norme de la vitesse v = \sqrt{v_r^2 + v_\theta^2} à partir des composantes obtenues à la question 2.
Calculer la norme de l'accélération a = \sqrt{a_r^2 + a_\theta^2} à partir des composantes obtenues à la question 3 en reconnaissant une identité remarquable.

Voir la réponse courte

Calcul des normes euclidiennes v = \sqrt{v_r^2 + v_\theta^2} et a = \sqrt{a_r^2 + a_\theta^2} à partir des composantes polaires.

Voir le corrigé complet

D'après la question 2, les composantes de la vitesse dans la base polaire sont :

v_r = -\frac{r_0}{\tau}\,\text{e}^{-t/\tau} \quad \text{et} \quad v_\theta = r_0 \Omega\,\text{e}^{-t/\tau}

La base (\boldsymbol{e}_r, \boldsymbol{e}_\theta) étant orthonormée, la norme de la vitesse est :

\begin{aligned} v &= \sqrt{v_r^2 + v_\theta^2} \\ &= \sqrt{\left(-\frac{r_0}{\tau}\,\text{e}^{-t/\tau}\right)^2 + \left(r_0 \Omega\,\text{e}^{-t/\tau}\right)^2} \\ &= r_0 \left(\frac{1}{\tau^2} + \Omega^2\right)^{1/2} \text{e}^{-t/\tau} \end{aligned}

Ce résultat correspond à la proposition B.

D'après la question 3, les composantes de l'accélération dans cette même base sont :

a_r = r_0 \left(\frac{1}{\tau^2} - \Omega^2\right)\text{e}^{-t/\tau} \quad \text{et} \quad a_\theta = -\frac{2r_0 \Omega}{\tau}\,\text{e}^{-t/\tau}

La norme de l'accélération s'écrit alors :

\begin{aligned} a &= \sqrt{a_r^2 + a_\theta^2} \\ &= r_0\,\text{e}^{-t/\tau} \sqrt{\left(\frac{1}{\tau^2} - \Omega^2\right)^2 + \left(-\frac{2\Omega}{\tau}\right)^2} \end{aligned}

En développant le terme sous la racine :

\begin{aligned} \left(\frac{1}{\tau^2} - \Omega^2\right)^2 + \frac{4\Omega^2}{\tau^2} &= \frac{1}{\tau^4} - \frac{2\Omega^2}{\tau^2} + \Omega^4 + \frac{4\Omega^2}{\tau^2} \\ &= \frac{1}{\tau^4} + \frac{2\Omega^2}{\tau^2} + \Omega^4 \\ &= \left(\frac{1}{\tau^2} + \Omega^2\right)^2 \end{aligned}

Comme \frac{1}{\tau^2} + \Omega^2 > 0, la racine carrée se simplifie directement :

a = r_0 \left(\frac{1}{\tau^2} + \Omega^2\right)\text{e}^{-t/\tau}

Ce résultat correspond à la proposition C.

\boxed{\text{Réponses B et C}}

Résultat

R \overset{e}{ˊ} ponses B et C

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Question 5

Intermédiaire≈ 3 min

Calcul littéral
Application numérique
Faisable en MPSI, PCSI, PTSI, MP2I, TSI1

Notions : cinématique du point

Que vaut le rapport $a / v$ ? A) $a / v = 0, 25 s^{- 1}$ B) $a / v = 0, 5 s^{- 1}$ C) $a / v = 1 s^{- 1}$ D) $a / v = 4 s^{- 1}$

Voir l'indice

Former le rapport a/v à partir des expressions obtenues en Q4 et effectuer l'application numérique directe.

Voir la stratégie

Exprimer le rapport littéral a/v à partir des normes obtenues à la question précédente.
Réaliser l'application numérique avec les valeurs données dans le préambule de la partie 1.

Voir la réponse courte

Simplification du quotient a/v = (1/\tau^2 + \Omega^2)^{1/2} indépendant du temps, puis calcul numérique.

Voir le corrigé complet

D'après la question précédente, les normes de la vitesse et de l'accélération s'écrivent :

\begin{aligned} v(t) &= r_0\left(\frac{1}{\tau^2} + \Omega^2\right)^{1/2} \text{e}^{-t/\tau} \\ a(t) &= r_0\left(\frac{1}{\tau^2} + \Omega^2\right) \text{e}^{-t/\tau} \end{aligned}

En effectuant le quotient de ces deux grandeurs, les termes r_0 et \text{e}^{-t/\tau} se simplifient :

\frac{a}{v} = \sqrt{\frac{1}{\tau^2} + \Omega^2}

Avec \tau = 2,5\text{ s} et \Omega = 0,3\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, on calcule :

\begin{aligned} \frac{1}{\tau} &= \frac{1}{2,5} = 0,4\text{ s}^{-1} \implies \frac{1}{\tau^2} = 0,16\text{ s}^{-2} \\ \Omega^2 &= (0,3)^2 = 0,09\text{ s}^{-2} \end{aligned}

D'où :

\frac{a}{v} = \sqrt{0,16 + 0,09} = \sqrt{0,25} = 0,5\text{ s}^{-1}

\boxed{\text{La réponse B est exacte.}}

Résultat

La r \overset{e}{ˊ} ponse B est exacte.

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Question 6

Intermédiaire≈ 4 min

Calcul littéral
Application numérique
Faisable en MPSI, PCSI, PTSI, MP2I, TSI1

Notions : cinématique du point, produit scalaire

On note $α = (OM, v)$ l'angle que forme, à tout instant, le vecteur vitesse de M avec son vecteur position. On a : A) $α = π /2$ B) $α$ dépend du temps C) $cos (α) = - (1 + Ω^{2} τ^{2})^{- 1/2}$ D) $cos (α) = - 0, 8$

Voir l'indice

Calculer le produit scalaire \mathbf{OM}\cdot\mathbf{v} = r v_r puis utiliser la définition \mathbf{OM}\cdot\mathbf{v} = r v \cos\alpha.

Voir la stratégie

Exprimer le produit scalaire \mathbf{OM} \cdot \boldsymbol{v} de deux façons différentes : à partir de la définition géométrique faisant intervenir l'angle \alpha, puis à partir des composantes dans la base polaire.
Isoler \cos(\alpha) et simplifier l'expression à l'aide des résultats établis aux questions précédentes.
Effectuer l'application numérique avec les données de l'énoncé.

Voir la réponse courte

Calcul du cosinus via le produit scalaire \mathbf{OM}\cdot\boldsymbol{v} = r v_r = r v \cos\alpha, donnant \cos\alpha = -(1+\Omega^2\tau^2)^{-1/2}.

Voir le corrigé complet

Le vecteur position du mobile M s'écrit dans la base polaire :

\mathbf{OM} = r(t)\,\boldsymbol{e}_r

Le produit scalaire entre le vecteur position \mathbf{OM} et le vecteur vitesse \boldsymbol{v} = v_r\,\boldsymbol{e}_r + v_\theta\,\boldsymbol{e}_\theta est :

\mathbf{OM} \cdot \boldsymbol{v} = r\,v_r

Par définition de l'angle \alpha = (\widehat{\mathbf{OM}, \boldsymbol{v}}), ce produit scalaire vaut également :

\mathbf{OM} \cdot \boldsymbol{v} = \|\mathbf{OM}\|\,\|\boldsymbol{v}\|\cos(\alpha) = r\,v\cos(\alpha)

On en déduit l'expression du cosinus de l'angle \alpha :

\cos(\alpha) = \frac{v_r}{v}

D'après les questions Q2 et Q4, les composantes et la norme de la vitesse sont données par :

\begin{aligned} v_r &= -\frac{r_0}{\tau}\text{e}^{-t/\tau} \\ v &= r_0\sqrt{\frac{1}{\tau^2} + \Omega^2}\,\text{e}^{-t/\tau} = \frac{r_0}{\tau}\sqrt{1 + \Omega^2\tau^2}\,\text{e}^{-t/\tau} \end{aligned}

En effectuant le quotient :

\cos(\alpha) = \frac{-\dfrac{r_0}{\tau}\text{e}^{-t/\tau}}{\dfrac{r_0}{\tau}\sqrt{1 + \Omega^2\tau^2}\,\text{e}^{-t/\tau}} = -\frac{1}{\sqrt{1 + \Omega^2\tau^2}}

Soit sous forme indicielle :

\boxed{\cos(\alpha) = -\left(1 + \Omega^2\tau^2\right)^{-1/2}}

Cette grandeur est indépendante du temps, ce qui élimine les propositions A et B et valide la proposition C.

Procédons à l'application numérique avec \tau = 2,5\text{ s} et \Omega = 0,3\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} :

\begin{aligned} \Omega\tau &= 0,3 \times 2,5 = 0,75 = \frac{3}{4} \\ 1 + \Omega^2\tau^2 &= 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16} \\ \cos(\alpha) &= -\frac{1}{\sqrt{25/16}} = -\frac{4}{5} = -0,8 \end{aligned}

\boxed{\cos(\alpha) = -0,8}

La proposition D est donc également exacte.

Résultat

cos (α) = - (1 + Ω^{2} τ^{2})^{- 1/2}

cos (α) = - 0, 8

Question déjà tombée ailleurs

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Partie 2 : Système afocal

Question 7

Application directe≈ 2 min

Question de cours
Raisonnement qualitatif
Faisable en première année (toutes filières)

Notions : système afocal, lentille mince

On souhaite former un système afocal. Indiquer la ou les réponses correctes pour que ce soit possible : A) Il suffit que $V_{2} > V_{1}$ B) Il faut nécessairement $∣ V_{1} ∣ < ∣ V_{2} ∣$ C) Il faut nécessairement $V_{1} < - V_{2}$ D) Aucune condition sur les vergences n'est nécessaire, seules comptent les positions des lentilles.

Voir l'indice

Un système de deux lentilles est afocal si le foyer image de la première coïncide avec le foyer objet de la seconde (F'_1 = F_2), en tenant compte de la positivité de la distance d.

Voir la stratégie

Rappeler la condition de conjugaison d'un système afocal : le foyer principal image de la première lentille doit coïncider avec le foyer principal objet de la seconde (F'_1 = F_2).
Exprimer la distance algébrique d = \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} en fonction des vergences V_1 et V_2.
Traduire la contrainte physique imposée par l'énoncé (d > 0) avec les signes des vergences (V_1 < 0 et V_2 > 0).

Voir la réponse courte

Un système est afocal si le foyer image de la première lentille coïncide avec le foyer objet de la seconde, sans restriction a priori sur les vergences.

Voir le corrigé complet

Un système optique centré est afocal si l'image d'un objet situé à l'infini sur l'axe est rejetée à l'infini sur l'axe. Pour une association de deux lentilles minces \mathrm{L}_1 et \mathrm{L}_2, cela impose la coïncidence du foyer principal image de \mathrm{L}_1 avec le foyer principal objet de \mathrm{L}_2 :

F'_1 = F_2

La distance entre les centres optiques des deux lentilles s'écrit alors :

d = \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} = \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{F}'_1} + \overline{\mathrm{F}_2\mathrm{O}_2}

Or, par définition des distances focales, pour la lentille mince \mathrm{L}_2 de distance focale image f'_2, on a \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{F}_2} = -f'_2, soit \overline{\mathrm{F}_2\mathrm{O}_2} = f'_2. On en déduit :

d = f'_1 + f'_2 = \frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2}

L'énoncé précise que la lumière se propage de \mathrm{L}_1 vers \mathrm{L}_2, de sorte que la distance algébrique doit être strictement positive :

d > 0 \iff \frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2} > 0 \iff \frac{1}{V_2} > -\frac{1}{V_1}

Comme V_2 > 0 et V_1 < 0, la quantité -V_1 = |V_1| est strictement positive. Par décroissance de la fonction inverse sur \mathbb{R}_+^*, l'inégalité précédente équivaut à :

V_2 < -V_1 \iff V_1 < -V_2

Cette condition est nécessaire pour pouvoir placer \mathrm{L}_2 après \mathrm{L}_1.

Par conséquent, seule l'affirmation C est exacte.

\boxed{\text{Réponse C}}

Résultat

R \overset{e}{ˊ} ponse C

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Question 8

Application directe≈ 2 min

Incontournable
Question de cours
Calcul littéral
Faisable en première année (toutes filières)

Notions : système afocal, lentille mince

Quelle condition la distance entre les lentilles doit-elle vérifier pour que le système soit afocal ? A) $d = (\frac{1}{V _{2}} - \frac{1}{V _{1}})$ B) $d = (\frac{1}{V _{1}} + \frac{1}{V _{2}})$ C) $d = (V_{1} + V_{2})^{- 1}$ D) $d = (V_{2} - V_{1})^{- 1}$

Voir l'indice

Traduire la coïncidence des foyers sous forme de distance algébrique : d = \overline{O_1 O_2} = \overline{O_1 F'_1} + \overline{F'_1 O_2} = f'_1 + f'_2.

Voir la stratégie

Exprimer la condition d'afocalité d'un doublet de lentilles minces (coïncidence de foyers).
Utiliser la relation de Chasles pour relier la distance entre les centres optiques d = \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} aux distances focales image f'_1 et f'_2.
Exprimer ces distances focales en fonction des vergences V_1 et V_2.

Voir la réponse courte

La condition de coïncidence F'_1 = F_2 impose un encombrement d = \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} = f'_1 + f'_2 = 1/V_1 + 1/V_2.

Voir le corrigé complet

Par définition, un système formé de deux lentilles minces coaxiales est afocal si le foyer principal image de la première lentille coïncide avec le foyer principal objet de la seconde :

\mathrm{F}'_1 = \mathrm{F}_2

En introduisant ce point par la relation de Chasles, la distance algébrique entre les deux centres optiques s'écrit :

\begin{aligned} d &= \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} \\ &= \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{F}'_1} + \overline{\mathrm{F}'_1\mathrm{O}_2} \\ &= \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{F}'_1} + \overline{\mathrm{F}_2\mathrm{O}_2} \\ &= \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{F}'_1} - \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{F}_2} \end{aligned}

Pour une lentille mince plongée dans l'air, le foyer objet et le foyer image sont symétriques par rapport au centre optique, de sorte que \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{F}_2} = -f'_2. De plus, \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{F}'_1} = f'_1. On a donc :

d = f'_1 + f'_2

Comme les vergences sont définies par V_1 = \frac{1}{f'_1} et V_2 = \frac{1}{f'_2}, on en déduit immédiatement :

\boxed{d = \left(\frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2}\right)}

La proposition B est donc la réponse exacte.

Résultat

d = (\frac{1}{V _{1}} + \frac{1}{V _{2}})

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Question 9

Intermédiaire≈ 3 min

Incontournable
Question de cours
Raisonnement qualitatif
Faisable en première année (toutes filières)

Notions : système afocal, grandissement transversal

Dans toute la suite de l'exercice les lentilles $L_{1}$ et $L_{2}$ sont choisies et positionnées de façon à former un système afocal noté ( $Σ$ ). On l'utilise pour former l'image d'un objet transversal (perpendiculaire à l'axe optique), placé à une distance finie devant la lentille $L_{1}$ . Dans cette situation, on peut affirmer que : A) L'image est plus petite que l'objet et elle est de même sens que l'objet. B) L'image est plus petite que l'objet et elle est de sens inverse à celui de l'objet. C) L'image est plus grande que l'objet et elle est de sens inverse à celui de l'objet. D) Le grandissement transversal du système dépend de la position de l'objet, donc les caractéristiques (taille et sens) de l'image dépendent de cette position.

Voir l'indice

Exprimer le grandissement transversal du doublet afocal \gamma = -f'_2/f'_1 = -V_1/V_2 et analyser sa dépendance en position ainsi que son signe.

Voir la stratégie

Exprimer le grandissement transversal \gamma du système afocal (\Sigma) constitué des lentilles \mathrm{L}_1 et \mathrm{L}_2.
Étudier le signe et la valeur absolue de \gamma en tenant compte des données : V_1 < 0, V_2 > 0 et d = f'_1 + f'_2 > 0.
Comparer le résultat obtenu aux propositions A, B, C et D.

Voir la réponse courte

Pour un système afocal, le grandissement transversal est indépendant de la position de l'objet et vaut \gamma = -f'_2/f'_1.

Voir le corrigé complet

Considérons un objet transversal AB perpendiculaire à l'axe optique, dont le système afocal (\Sigma) = \mathrm{L}_1 + \mathrm{L}_2 donne l'image intermédiaire A_1 B_1 par \mathrm{L}_1, puis l'image finale A'B' par \mathrm{L}_2.

Le grandissement transversal du système est le produit des grandissements transversaux de chaque lentille :

\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \gamma_1 \cdot \gamma_2

En utilisant les formules de Newton avec origines aux foyers :

\gamma_1 = -\frac{\overline{\mathrm{F}'_1 A_1}}{f'_1} \quad \text{et} \quad \gamma_2 = \frac{f'_2}{\overline{\mathrm{F}_2 A_1}}

Le système étant afocal, les foyers coïncident (\mathrm{F}'_1 = \mathrm{F}_2), d'où \overline{\mathrm{F}'_1 A_1} = \overline{\mathrm{F}_2 A_1}. Le grandissement transversal global s'écrit donc :

\gamma = -\frac{f'_2}{f'_1} = -\frac{V_1}{V_2}

Ce grandissement est une constante, rigoureusement indépendante de la position de l'objet sur l'axe optique (la proposition D est donc fausse).

Déterminons les caractéristiques de l'image :

Sens de l'image : par hypothèse, V_1 < 0 (lentille divergente, f'_1 < 0) et V_2 > 0 (lentille convergente, f'_2 > 0). Par conséquent :
\gamma = -\frac{f'_2}{f'_1} > 0
L'image est donc de même sens que l'objet (image droite).
Taille de l'image : d'après la question précédente (Q8), la condition d'existence d'un tel système afocal avec d = \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} > 0 impose :
d = f'_1 + f'_2 > 0 \implies f'_2 > -f'_1 = |f'_1|
On en déduit que :
|\gamma| = \frac{f'_2}{|f'_1|} > 1
L'image est donc plus grande que l'objet.

L'image est donc plus grande que l'objet et de même sens que celui-ci.

Aucune des propositions A, B, C ou D n'étant correcte, il convient de cocher la case E conformément aux consignes de l'épreuve.

\boxed{\text{Réponse E}}

Résultat

R \overset{e}{ˊ} ponse E

Question déjà tombée ailleurs

ENAC Physique MPSI 2024, Q3

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Question 10

Exigeante≈ 8 min

Mise en équation
Calcul littéral
Faisable en MPSI, PCSI, PTSI, TSI1, BCPST1

Notions : système afocal, relation de conjugaison

On appelle point double, le point D de l'axe optique qui est sa propre image par le système optique. Que vérifie la distance $\overline{F_{1} D}$ pour le système ( $Σ$ ) ? A) $\overline{F_{1} D} = \frac{f _{1}^{'2}}{f _{2}^{'2}} \frac{( f _{2}^{'} + f _{1}^{'} )}{2}$ B) $\overline{F_{1} D} = - \frac{2 f _{1}^{'2} ( f _{2}^{'} + f _{1}^{'} )}{f _{2}^{'2} + f _{1}^{'2}}$ C) $\overline{F_{1} D} = \frac{f _{1}^{'}}{f _{2}^{'}} \frac{( f _{2}^{'2} + f _{1}^{'2} )}{( f _{2}^{'} + f _{1}^{'} )}$ D) $\overline{F_{1} D} = - \frac{2 f _{1}^{'2}}{f _{2}^{'} - f _{1}^{'}}$

Voir l'indice

Écrire que le point double D vérifie la relation de grandissement ou appliquer les formules de Newton successives pour une image superposée à l'objet.

Voir la stratégie

Écrire la relation de grandissement longitudinal ou les relations de conjugaison de Newton pour les deux lentilles minces L_1 et L_2 formant le système afocal (avec F'_1 = F_2).
Exprimer la position du point image final D' par rapport au foyer image F'_2 en fonction de la position du point objet D par rapport au foyer objet F_1.
Imposer la condition de point double D' = D en reliant la distance \overline{F'_2 D} à \overline{F_1 D} par la relation de Chasles faisant intervenir \overline{F_1 F'_2}.

Voir la réponse courte

Écriture de la conjugaison de Newton à travers chaque lentille en imposant la condition de point double D' = D.

Voir le corrigé complet

Soit D_1 l'image intermédiaire du point double D par la première lentille L_1, et D' l'image finale de D_1 par la deuxième lentille L_2. Les relations de conjugaison de Newton aux foyers s'écrivent :

\begin{aligned} \text{Pour } L_1 : \quad & \overline{F_1 D} \cdot \overline{F'_1 D_1} = -{f'_1}^2 \\ \text{Pour } L_2 : \quad & \overline{F_2 D_1} \cdot \overline{F'_2 D'} = -{f'_2}^2 \end{aligned}

Le système étant afocal, les foyers se confondent : F'_1 = F_2, donc \overline{F'_1 D_1} = \overline{F_2 D_1}. En faisant le rapport membre à membre de ces deux équations, on obtient la relation de grandissement longitudinal du système afocal :

\frac{\overline{F'_2 D'}}{\overline{F_1 D}} = \frac{{f'_2}^2}{{f'_1}^2} \iff \overline{F'_2 D'} = \frac{{f'_2}^2}{{f'_1}^2}\,\overline{F_1 D}

Par définition du point double, le point est sa propre image, soit D' = D. Ainsi :

\overline{F'_2 D} = \frac{{f'_2}^2}{{f'_1}^2}\,\overline{F_1 D}

D'après la relation de Chasles :

\overline{F'_2 D} = \overline{F'_2 F_1} + \overline{F_1 D} = \overline{F_1 D} - \overline{F_1 F'_2}

Déterminons la distance algébrique \overline{F_1 F'_2} :

\overline{F_1 F'_2} = \overline{F_1 O_1} + \overline{O_1 O_2} + \overline{O_2 F'_2} = f'_1 + d + f'_2

Comme le système est afocal, d = f'_1 + f'_2 (d'après la question Q8), d'où :

\overline{F_1 F'_2} = 2(f'_1 + f'_2)

L'équation définissant la position de D devient :

\begin{aligned} \overline{F_1 D} - 2(f'_1 + f'_2) &= \frac{{f'_2}^2}{{f'_1}^2}\,\overline{F_1 D} \\ \overline{F_1 D}\left(1 - \frac{{f'_2}^2}{{f'_1}^2}\right) &= 2(f'_1 + f'_2) \\ \overline{F_1 D}\left(\frac{{f'_1}^2 - {f'_2}^2}{{f'_1}^2}\right) &= 2(f'_1 + f'_2) \end{aligned}

En factorisant l'identité remarquable {f'_1}^2 - {f'_2}^2 = (f'_1 - f'_2)(f'_1 + f'_2) et en simplifiant par (f'_1 + f'_2) = d \neq 0, il vient :

\begin{aligned} \overline{F_1 D}\,\frac{f'_1 - f'_2}{{f'_1}^2} = 2 \implies \overline{F_1 D} = \frac{2{f'_1}^2}{f'_1 - f'_2} = -\frac{2{f'_1}^2}{f'_2 - f'_1} \end{aligned}

La proposition D est donc exacte.

\boxed{\text{Réponse D}}

Résultat

R \overset{e}{ˊ} ponse D

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Question 11

Exigeante≈ 5 min

Calcul littéral
Faisable en MPSI, PCSI, PTSI, TSI1, BCPST1

Notions : système afocal, point double

Le rapport des distances algébriques de D aux centres optiques des lentilles vérifie : A) $\frac{O _{2} D}{O _{1} D} = \frac{f _{2}^{'}}{f _{1}^{'}}$ B) $\frac{O _{2} D}{O _{1} D} = - \frac{f _{2}^{'}}{f _{1}^{'}}$ C) $\frac{O _{2} D}{O _{1} D} = \frac{f _{1}^{'}}{f _{2}^{'}}$ D) $\frac{O _{2} D}{O _{1} D} = - \frac{f _{1}^{'}}{f _{2}^{'}}$

Voir l'indice

Exprimer \overline{O_1 D} et \overline{O_2 D} en exploitant la relation de Chasles \overline{O_1 D} - \overline{O_2 D} = d = f'_1 + f'_2 et la position trouvée en Q10.

Voir la stratégie

Exprimer la distance algébrique \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{D}} par la relation de Chasles en utilisant la position du foyer objet \mathrm{F}_1 et le résultat de la question 10.
Exprimer \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{D}} par Chasles en faisant intervenir la distance inter-lentilles d = \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} = f_1' + f_2' établie à la question 8.
Former le quotient de ces deux grandeurs pour obtenir le rapport recherché.

Voir la réponse courte

Détermination du rapport des positions algébriques à l'aide des relations de conjugaison du point double.

Voir le corrigé complet

D'après la question 10, la position du point double \mathrm{D} par rapport au foyer objet \mathrm{F}_1 s'écrit :

\overline{\mathrm{F}_1\mathrm{D}} = -\frac{2{f_1'}^2}{f_2' - f_1'} = \frac{2{f_1'}^2}{f_1' - f_2'}

Par définition de la distance focale image d'une lentille mince, \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{F}_1} = -f_1'. La distance algébrique \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{D}} s'obtient alors par la relation de Chasles :

\begin{aligned} \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{D}} &= \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{F}_1} + \overline{\mathrm{F}_1\mathrm{D}} \\ &= -f_1' + \frac{2{f_1'}^2}{f_1' - f_2'} \\ &= \frac{-f_1'(f_1' - f_2') + 2{f_1'}^2}{f_1' - f_2'} \\ &= \frac{f_1'(f_1' + f_2')}{f_1' - f_2'} \end{aligned}

D'après la question 8, la condition d'afocalité impose d = \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} = f_1' + f_2'. On en déduit \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{D}} :

\begin{aligned} \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{D}} &= \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{O}_1} + \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{D}} \\ &= -d + \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{D}} \\ &= -(f_1' + f_2') + \frac{f_1'(f_1' + f_2')}{f_1' - f_2'} \\ &= (f_1' + f_2')\left(-1 + \frac{f_1'}{f_1' - f_2'}\right) \\ &= (f_1' + f_2')\left(\frac{-f_1' + f_2' + f_1'}{f_1' - f_2'}\right) \\ &= \frac{f_2'(f_1' + f_2')}{f_1' - f_2'} \end{aligned}

En effectuant le rapport des deux distances :

\frac{\overline{\mathrm{O}_2\mathrm{D}}}{\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{D}}} = \frac{\frac{f_2'(f_1' + f_2')}{f_1' - f_2'}}{\frac{f_1'(f_1' + f_2')}{f_1' - f_2'}} = \frac{f_2'}{f_1'}

La proposition correcte est donc la proposition A.

\boxed{\text{A}}

Résultat

A

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Question 12

Intermédiaire≈ 3 min

Question de cours
Raisonnement qualitatif
Faisable en MPSI, PCSI, PTSI, TSI1, BCPST1

Notions : système afocal, grandissement transversal

DB' est l'image d'un objet transversal DB situé en D. Que peut-on dire de ce couple objet/image : A) L'image se superpose exactement à l'objet puisqu'elle est au point double. B) $\frac{DB ^{'}}{DB} = - \frac{f _{2}^{'}}{f _{1}^{'}}$ C) $\frac{DB ^{'}}{DB} = - \frac{f _{1}^{'}}{f _{2}^{'}}$ D) Il est impossible qu'un objet soit situé en D pour ce système puisque D est entre les deux lentilles.

Voir l'indice

Pour un système afocal, le grandissement transversal est une constante indépendante de la position de l'objet sur l'axe optique.

Voir la stratégie

Rappeler l'expression du grandissement transversal d'un système afocal constitué de deux lentilles minces coaxiales.
Appliquer cette relation à l'objet transversal \mathrm{DB} dont l'origine \mathrm{D} est le point double du système.
Discuter la validité des propositions pour identifier la bonne réponse.

Voir la réponse courte

Le grandissement transversal d'un système afocal est constant et vaut le rapport des distances focales \gamma = -f'_2/f'_1.

Voir le corrigé complet

Le grandissement transversal \gamma d'un système optique centré formé de deux lentilles minces L_1 et L_2 est le produit des grandissements transversaux de chaque lentille :

\gamma = \gamma_1 \gamma_2

En exprimant les grandissements à l'aide des formules de Newton appliquées à l'image intermédiaire A_1 d'un point objet A :

\begin{aligned} \gamma_1 &= -\frac{\overline{\mathrm{F}'_1 A_1}}{f'_1} \\ \gamma_2 &= \frac{f'_2}{\overline{\mathrm{F}_2 A_1}} \end{aligned}

Le système étant afocal, les foyers se confondent : \mathrm{F}'_1 \equiv \mathrm{F}_2, ce qui impose \overline{\mathrm{F}_2 A_1} = \overline{\mathrm{F}'_1 A_1}. Le grandissement transversal global du système (\Sigma) s'écrit alors :

\gamma = \gamma_1 \gamma_2 = \left(-\frac{\overline{\mathrm{F}'_1 A_1}}{f'_1}\right)\left(\frac{f'_2}{\overline{\mathrm{F}'_1 A_1}}\right) = -\frac{f'_2}{f'_1}

Ce grandissement est indépendant de la position de l'objet le long de l'axe optique.

Pour un objet transversal \mathrm{DB} situé au point double \mathrm{D}, son image \mathrm{DB}' est formée en ce même point \mathrm{D}, et la dimension transversale vérifie directement :

\boxed{\frac{\overline{\mathrm{DB}'}}{\overline{\mathrm{DB}}} = -\frac{f'_2}{f'_1}}

Par conséquent :

La proposition A est fausse : bien que le point de base \mathrm{D} soit confondu avec son image, le grandissement n'étant pas égal à +1 (car d'après les questions précédentes f'_2 \neq -f'_1), l'image \mathrm{DB}' ne se superpose pas à l'objet \mathrm{DB}.
La proposition B est exacte.
La proposition C est fausse (inverse du rapport correct).
La proposition D est fausse : en optique géométrique, un objet peut parfaitement être virtuel et situé en aval de la première lentille.

Résultat

\frac{DB ^{'}}{DB} = - \frac{f _{2}^{'}}{f _{1}^{'}}

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Partie 3 : Électrocinétique des régimes transitoires

Question 13

Application directe≈ 2 min

Incontournable
Question de cours
Calcul littéral
Faisable en première année (toutes filières)

Notions : circuit rc, continuité de la tension

Déterminer, à la date $t = 0^{+}$ , c'est-à-dire, juste après la fermeture de $K_{1}$ , la tension $u_{R} (0^{+})$ : A) $u_{R} (0^{+}) = 0$ B) $u_{R} (0^{+}) = \frac{E}{2}$ C) $u_{R} (0^{+}) = E$ D) $u_{R} (0^{+}) = - E$

Voir l'indice

Utiliser la continuité de la tension aux bornes de chaque condensateur à la fermeture de l'interrupteur (u_1(0^+) = E/2 et u_2(0^+) = 0) puis appliquer la loi des mailles.

Voir la stratégie

Utiliser la propriété de continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait en présence d'une branche résistive pour déterminer u_1(0^+) et u_2(0^+).
Appliquer la loi des mailles à l'instant t = 0^+ dans la maille active formée par le générateur, le résistor R et les deux condensateurs C_1 et C_2 (K_2 étant ouvert).

Voir la réponse courte

Continuité des tensions aux bornes des condensateurs à t=0^+ et application de la loi des mailles pour trouver u_R(0^+).

Voir le corrigé complet

À l'instant t = 0^-, avant la fermeture de l'interrupteur K_1, l'énoncé indique que :

le condensateur C_2 est entièrement déchargé : u_2(0^-) = 0 ;
le condensateur C_1 est préalablement chargé : u_1(0^-) = \dfrac{E}{2}.

En présence d'une résistance R non nulle, l'intensité du courant reste finie et les tensions aux bornes des condensateurs sont des fonctions continues du temps :

\begin{aligned} u_1(0^+) &= u_1(0^-) = \frac{E}{2} \\ u_2(0^+) &= u_2(0^-) = 0 \end{aligned}

L'interrupteur K_2 étant maintenu ouvert, aucun courant ne circule dans la branche inférieure contenant le second résistor. En appliquant la loi des mailles à l'instant t = 0^+ le long de la maille active orientée dans le sens horaire, on a :

E - u_R(0^+) - u_1(0^+) - u_2(0^+) = 0

D'où :

u_R(0^+) = E - u_1(0^+) - u_2(0^+) = E - \frac{E}{2} - 0 = \frac{E}{2}

\boxed{u_R(0^+) = \frac{E}{2}}

La réponse correcte est donc la B.

Résultat

u_{R} (0^{+}) = \frac{E}{2}

Question déjà tombée ailleurs

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Question 14

Intermédiaire≈ 5 min

Mise en équation
Calcul littéral
Faisable en première année (toutes filières)

Notions : circuit rc, constante de temps

L'intensité du courant électrique évolue (lorsque $t > 0$ ) selon la loi :

i (t) = A exp (- \frac{t}{τ})

où $A$ et $τ$ sont deux constantes temporelles. Déterminer ces constantes : A) $A = \frac{E}{R}$ B) $A = \frac{E}{2 R}$ C) $τ = \frac{R C _{1} C _{2}}{C _{1} + C _{2}}$ D) $τ = R (C_{1} + C_{2})$

Voir l'indice

Déterminer le courant initial i(0^+) = u_R(0^+)/R et la capacité équivalente des deux condensateurs placés en série.

Voir la stratégie

Identifier la maille active lorsque K_1 est fermé et K_2 est ouvert, puis en déduire l'association des deux condensateurs.
Exprimer la constante de temps \tau du circuit équivalent R-C_{\text{eq}}.
Déterminer l'amplitude A = i(0^+) à l'aide de la loi d'Ohm pour le conducteur ohmique à la date t = 0^+, en utilisant le résultat de la question précédente.

Voir la réponse courte

Détermination de la capacité équivalente du circuit et de l'amplitude initiale i(0^+) = u_R(0^+)/R.

Voir le corrigé complet

Pour t > 0, l'interrupteur K_1 est fermé tandis que K_2 est ouvert. Aucun courant ne circule dans la branche inférieure contenant le second résistor.

Le circuit se réduit donc à une maille unique comprenant le générateur idéal de force électromotrice E, le résistor de résistance R, et les condensateurs C_1 et C_2 parcourus par le même courant i(t) : ils sont montés en série.

La capacité équivalente à l'association série de C_1 et C_2 est :

C_{\text{eq}} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}

La constante de temps du circuit du premier ordre ainsi formé est donc :

\tau = R C_{\text{eq}} = \frac{R C_1 C_2}{C_1 + C_2}

ce qui correspond à la proposition C.

Par ailleurs, à l'instant t = 0^+, le courant traversant le résistor s'écrit :

i(0^+) = \frac{u_R(0^+)}{R}

D'après le résultat de la question 13, u_R(0^+) = \dfrac{E}{2}. D'où :

i(0^+) = \frac{E}{2R}

En évaluant l'expression de l'énoncé i(t) = A \exp\left(-\dfrac{t}{\tau}\right) en t = 0^+, il vient :

A = i(0^+) = \frac{E}{2R}

ce qui correspond à la proposition B.

Les réponses correctes sont B et C.

\boxed{\text{B et C}}

Résultat

B et C

Question déjà tombée ailleurs

ENAC Physique MPSI 2020, Q35

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Question 15

Intermédiaire≈ 5 min

Calcul littéral
Faisable en première année (toutes filières)

Notions : circuit rc, réponse indicielle

Après fermeture de $K_{1}$ , la tension $u_{1} (t)$ est donnée par la relation : A) $u_{1} (t) = \frac{E}{2} exp (- \frac{t}{τ})$ B) $u_{1} (t) = \frac{E C _{1}}{2 C _{2}} [1 - exp (- \frac{t}{τ})] + \frac{E}{2}$ C) $u_{1} (t) = \frac{E C _{1}}{C _{1} + C _{2}} [1 - exp (- \frac{t}{τ})] + \frac{E}{2}$ D) $u_{1} (t) = \frac{E C _{2}}{2 ( C _{1} + C _{2} )} [1 - exp (- \frac{t}{τ})] + \frac{E}{2}$

Voir l'indice

Intégrer le courant i(t) = C_1\,\mathrm{d}u_1/\mathrm{d}t entre 0 et t en tenant compte de la tension initiale u_1(0^+) = E/2.

Voir la stratégie

Exprimer la relation courant-tension aux bornes du condensateur C_1 en convention récepteur.
Intégrer l'expression du courant i(t) établie à la question précédente entre 0 et t, en tenant compte de la condition initiale u_1(0^+) = E/2.
Remplacer les constantes A et \tau par leurs expressions trouvées à la question Q14 pour identifier la bonne proposition.

Voir la réponse courte

Intégration du courant traversant le condensateur C_1 avec les conditions initiales pour exprimer u_1(t).

Voir le corrigé complet

Le condensateur C_1 est orienté en convention récepteur par rapport au courant i(t), ce qui donne la relation constitutive :

i(t) = C_1 \frac{\mathrm{d}u_1}{\mathrm{d}t}

En intégrant entre 0^+ et t, on obtient :

\begin{aligned} u_1(t) - u_1(0^+) &= \frac{1}{C_1} \int_0^t i(t') \, \mathrm{d}t' \\ &= \frac{1}{C_1} \int_0^t A \exp\left(-\frac{t'}{\tau}\right) \mathrm{d}t' \\ &= \frac{A \tau}{C_1} \left[ 1 - \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \right] \end{aligned}

D'après les résultats de la question Q14, les constantes sont :

A = \frac{E}{2R} \quad \text{et} \quad \tau = \frac{R C_1 C_2}{C_1 + C_2}

Le produit \dfrac{A \tau}{C_1} s'écrit donc :

\frac{A \tau}{C_1} = \frac{1}{C_1} \left( \frac{E}{2R} \right) \left( \frac{R C_1 C_2}{C_1 + C_2} \right) = \frac{E C_2}{2(C_1 + C_2)}

Sachant que u_1(0^+) = \dfrac{E}{2}, il vient :

\boxed{u_1(t) = \frac{E C_2}{2(C_1 + C_2)} \left[1 - \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right] + \frac{E}{2}}

La proposition D est donc exacte.

Résultat

u_{1} (t) = \frac{E C _{2}}{2 ( C _{1} + C _{2} )} [1 - exp (- \frac{t}{τ})] + \frac{E}{2}

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Question 16

Intermédiaire≈ 4 min

Calcul littéral
Faisable en première année (toutes filières)

Notions : circuit rc, réponse indicielle

Déterminer, de même, la tension de $u_{2} (t)$ après fermeture de $K_{1}$ : A) $u_{2} (t) = \frac{E}{2} exp (- \frac{t}{τ})$ B) $u_{2} (t) = \frac{E C _{1}}{2 ( C _{1} + C _{2} )} [1 - exp (- \frac{t}{τ})]$ C) $u_{2} (t) = \frac{E C _{2}}{2 ( C _{1} + C _{2} )} [1 - exp (- \frac{t}{τ})]$ D) $u_{2} (t) = E [1 - exp (- \frac{t}{τ})]$

Voir l'indice

Intégrer le courant i(t) = C_2\,\mathrm{d}u_2/\mathrm{d}t entre 0 et t avec la condition initiale u_2(0^+) = 0.

Voir la stratégie

Exprimer la relation courant-tension pour le condensateur de capacité C_2 en convention récepteur.
Intégrer cette relation temporelle à partir de la condition initiale u_2(0^+) = 0 en utilisant l'expression de i(t) obtenue à la question Q14.

Voir la réponse courte

Intégration du courant de charge du condensateur C_2 ou utilisation de la loi des mailles pour obtenir u_2(t).

Voir le corrigé complet

Lorsque K_1 est fermé et K_2 est ouvert, le courant i(t) traversant le circuit traverse également le condensateur C_2. En convention récepteur pour C_2, on a :

i(t) = C_2 \frac{\mathrm{d}u_2}{\mathrm{d}t}

Par intégration entre l'instant 0^+ et t, avec la condition initiale u_2(0^+) = 0 (le condensateur C_2 étant initialement déchargé) :

\begin{aligned} u_2(t) &= u_2(0^+) + \frac{1}{C_2} \int_0^t i(t') \, \mathrm{d}t' \\ &= 0 + \frac{A}{C_2} \left[ -\tau \exp\left(-\frac{t'}{\tau}\right) \right]_0^t \\ &= \frac{A\tau}{C_2} \left[ 1 - \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \right] \end{aligned}

D'après les résultats de la question Q14, A = \dfrac{E}{2R} et \tau = \dfrac{R C_1 C_2}{C_1 + C_2}, d'où :

\begin{aligned} \frac{A\tau}{C_2} &= \frac{1}{C_2} \left(\frac{E}{2R}\right) \left(\frac{R C_1 C_2}{C_1 + C_2}\right) \\ &= \frac{E C_1}{2(C_1 + C_2)} \end{aligned}

On en déduit l'expression temporelle de la tension u_2(t) :

\boxed{u_2(t) = \frac{E C_1}{2(C_1 + C_2)} \left[1 - \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right]}

La réponse correcte est la proposition B.

Résultat

u_{2} (t) = \frac{E C _{1}}{2 ( C _{1} + C _{2} )} [1 - exp (- \frac{t}{τ})]

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Question 17

Intermédiaire≈ 4 min

Question de cours
Mise en équation
Faisable en MPSI, PCSI, PTSI, MP2I, TSI1

Notions : circuit rlc, régime permanent

On attend suffisamment longtemps pour que le circuit atteigne son régime établi (i.e. permanent), puis on ferme $K_{2}$ (tout en laissant $K_{1}$ fermé) à un instant pris comme nouvelle origine temporelle ( $t = 0$ ). Déterminer à la date $t = 0^{+}$ , c'est-à-dire, juste après la fermeture de $K_{2}$ , l'intensité du courant $i_{2} (0^{+})$ d'une part, et déterminer également sa valeur $i_{2} (\infty)$ lorsque le nouveau régime établi sera atteint : A) $i_{2} (0^{+}) = \frac{E C _{1}}{2 R ( C _{1} + C _{2} )}$ B) $i_{2} (0^{+}) = \frac{E C _{2}}{R ( C _{1} + C _{2} )}$ C) $i_{2} (\infty) = \frac{E C _{2}}{2 R ( C _{1} + C _{2} )}$ D) $i_{2} (\infty) = 0$

Voir l'indice

Déterminer la valeur finale de u_2 avant la bascule de K_2, appliquer la continuité de u_2 en 0^+ et remarquer qu'en régime continu établi aucun courant ne traverse les condensateurs.

Voir la stratégie

Utiliser la continuité de la tension aux bornes du condensateur C_2 lors de la fermeture de l'interrupteur K_2 en exploitant la valeur asymptotique u_2(\infty) issue de la phase précédente (question Q16).
Appliquer la loi des mailles à t = 0^+ sur la boucle contenant le condensateur C_2, l'interrupteur K_2 et le résistor inférieur de résistance R pour en déduire i_2(0^+).
Déterminer le comportement du circuit en régime permanent continu (t \to \infty) en assimilant les condensateurs à des circuits ouverts pour obtenir i_2(\infty).

Voir la réponse courte

Continuité des variables d'état (tensions des condensateurs, courant inductif) à t=0^+ et comportement en continu à l'infini.

Voir le corrigé complet

1. Détermination de i_2(0^+) :

Avant la fermeture de K_2, le circuit a atteint son régime permanent avec K_1 fermé. D'après le résultat de la question Q16, la tension aux bornes du condensateur C_2 vaut :

u_2(0^-) = \frac{E C_1}{2(C_1 + C_2)}

Par continuité de la tension aux bornes d'un condensateur, on a :

u_2(0^+) = u_2(0^-) = \frac{E C_1}{2(C_1 + C_2)}

À la date t = 0^+, juste après la fermeture de K_2, la loi des mailles appliquée à la maille fermée constituée du condensateur C_2, de l'interrupteur fermé K_2 et du résistor inférieur de résistance R donne :

u_2(0^+) - R\,i_2(0^+) = 0

On en déduit immédiatement :

\begin{aligned} i_2(0^+) &= \frac{u_2(0^+)}{R} \\ &= \frac{E C_1}{2R(C_1 + C_2)} \end{aligned}

La proposition A est donc exacte (et la proposition B est fausse).

2. Détermination de i_2(\infty) :

Lorsque le nouveau régime permanent est atteint (t \to \infty), le générateur délivrant une tension continue E, les dérivées temporelles des tensions s'annulent. Les condensateurs C_1 et C_2 se comportent donc comme des interrupteurs ouverts :

i_{C_1}(\infty) = 0 \quad \text{et} \quad i_{C_2}(\infty) = 0

Le nœud situé entre les condensateurs C_1, C_2 et la branche contenant K_2 vérifie la loi des nœuds :

i_2(\infty) = i_{C_1}(\infty) - i_{C_2}(\infty) = 0

Ainsi, l'intensité finale est nulle :

i_2(\infty) = 0

La proposition D est donc exacte (et la proposition C est fausse).

\boxed{\text{Réponses A et D}}

Résultat

R \overset{e}{ˊ} ponses A et D

Question déjà tombée ailleurs

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Question 18

Exigeante≈ 8 min

Mise en équation
Calcul littéral
Faisable en MPSI, PCSI, PTSI, MP2I, TSI1

Notions : circuit rlc, facteur de qualité

On suppose que $C_{1} = C_{2}$ . Après la fermeture de $K_{2}$ , la tension $u_{2} (t)$ évolue conformément à l'équation différentielle suivante :

\frac{d ^{2} u _{2}}{d t ^{2}} + \frac{ω _{0}}{Q} \frac{d u _{2}}{d t} + ω_{0}^{2} u_{2} = 0

où $Q$ et $ω_{0}$ , sont deux constantes temporelles. Déterminer $Q$ : A) $Q = \frac{1}{3}$ B) $Q = \frac{1}{2}$ C) $Q = \frac{2}{2}$ D) $Q = 3$

Voir l'indice

Appliquer la loi des nœuds en potentiel ou la loi des mailles au circuit avec K_1 et K_2 fermés pour établir l'équation différentielle en u_2 et identifier le terme en \omega_0/Q.

Voir la stratégie

Appliquer la loi des nœuds et la loi des mailles au circuit lorsque les deux interrupteurs K_1 et K_2 sont fermés.
Éliminer la tension u_1(t) pour obtenir l'équation différentielle du second ordre vérifiée par u_2(t).
Simplifier pour C_1 = C_2 = C et identifier les constantes canoniques \omega_0 et Q.

Voir la réponse courte

Mise en équation du circuit du second ordre après fermeture de K_2 et identification du facteur de qualité Q.

Voir le corrigé complet

Après la fermeture de K_2 (l'interrupteur K_1 étant déjà fermé), le circuit comporte :

la résistance supérieure R traversée par le courant total i_1(t) issu du générateur ;
le condensateur C_1, également traversé par i_1(t), tel que :
i_1(t) = C_1 \frac{\mathrm{d}u_1}{\mathrm{d}t}
au nœud situé sous C_1, le courant se sépare entre la branche du condensateur C_2 et la branche de la résistance inférieure R (fermée par K_2). La tension aux bornes de ces deux dipôles en parallèle est u_2(t).

La loi des nœuds s'écrit :

i_1(t) = C_2 \frac{\mathrm{d}u_2}{\mathrm{d}t} + \frac{u_2(t)}{R}

La loi des mailles le long du circuit donne :

E - R i_1(t) - u_1(t) - u_2(t) = 0

d'où l'expression de la tension u_1(t) :

\begin{aligned} u_1(t) &= E - u_2(t) - R \left( C_2 \frac{\mathrm{d}u_2}{\mathrm{d}t} + \frac{u_2(t)}{R} \right) \\ &= E - 2 u_2(t) - R C_2 \frac{\mathrm{d}u_2}{\mathrm{d}t} \end{aligned}

En dérivant cette relation par rapport au temps :

\frac{\mathrm{d}u_1}{\mathrm{d}t} = - 2 \frac{\mathrm{d}u_2}{\mathrm{d}t} - R C_2 \frac{\mathrm{d}^2 u_2}{\mathrm{d}t^2}

En égalant avec \frac{\mathrm{d}u_1}{\mathrm{d}t} = \frac{i_1(t)}{C_1} = \frac{C_2}{C_1}\frac{\mathrm{d}u_2}{\mathrm{d}t} + \frac{u_2}{R C_1}, on obtient :

- 2 \frac{\mathrm{d}u_2}{\mathrm{d}t} - R C_2 \frac{\mathrm{d}^2 u_2}{\mathrm{d}t^2} = \frac{C_2}{C_1}\frac{\mathrm{d}u_2}{\mathrm{d}t} + \frac{u_2}{R C_1}

soit, en regroupant les termes :

\frac{\mathrm{d}^2 u_2}{\mathrm{d}t^2} + \frac{2 C_1 + C_2}{R C_1 C_2} \frac{\mathrm{d}u_2}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{R^2 C_1 C_2} u_2 = 0

Dans le cas particulier où C_1 = C_2 = C, cette équation se simplifie en :

\frac{\mathrm{d}^2 u_2}{\mathrm{d}t^2} + \frac{3}{R C} \frac{\mathrm{d}u_2}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{(R C)^2} u_2 = 0

Par identification avec la forme canonique :

\frac{\mathrm{d}^2 u_2}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\omega_0}{Q} \frac{\mathrm{d}u_2}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 u_2 = 0

on obtient :

\omega_0 = \frac{1}{R C} \quad \text{et} \quad \frac{\omega_0}{Q} = \frac{3}{R C}

d'où :

\boxed{Q = \frac{1}{3}}

Résultat

Q = \frac{1}{3}

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Questions fréquentes sur ce sujet

Quels chapitres faut-il réviser pour le sujet ENAC Physique MPSI 2025 ?

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Peut-on travailler le sujet ENAC Physique MPSI 2025 dès la première année (MPSI, PCSI, PTSI, MP2I, TSI1 ou BCPST1) ?

Oui : toutes les questions ne demandent que le programme de MPSI, PCSI, PTSI, MP2I, TSI1 ou BCPST1.

Combien de temps faut-il pour traiter le sujet ENAC Physique MPSI 2025 ?

Environ 2 h 15 pour tout traiter (estimation question par question pour un candidat bien préparé).

Quelles sont les questions les plus difficiles du sujet ENAC Physique MPSI 2025 ?

Aucune question n'est cotée très difficile (4 sur 4). Les plus exigeantes, cotées 3 sur 4 : Q10 (système afocal), Q11 (système afocal), Q18 (circuit rlc) et Q36 (impédance d'entrée).

Quelles questions de cours et quels classiques contient le sujet ENAC Physique MPSI 2025 ?

Questions de cours : Q2 (cinématique du point), Q3 (cinématique du point), Q7 (système afocal), Q8 (système afocal), Q9 (système afocal), Q12 (système afocal), Q13 (circuit rc), Q17 (circuit rlc)…. Classiques incontournables, à savoir refaire : Q28 (petite oscillation).

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Oui : modéliser le cadre plan par un dipôle magnétique de moment \boldsymbol{\mathcal{M}} = I \boldsymbol{\mathcal{S}} donne directement le moment des forces de Laplace via \boldsymbol{\Gamma}_L = \boldsymbol{\mathcal{M}} \times \boldsymbol{B}. Cette méthode évite de calculer séparément l'action sur chaque côté.

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