Corrigé détaillé ENAC Physique QCM MPSI 2020

Une onde stationnaire s'exprime sous une forme à variables séparées g(x) h(t), ce qui exclut d'emblée la proposition A qui représente une onde progressive se propageant selon les x croissants.

Testons les conditions fournies par l'énoncé sur les formes factorisées :

• Condition aux limites en x = 0 :

  \Psi_f(0,t) = 0 \quad \forall t

  Pour la proposition D, on aurait \Psi_f(0,t) = \psi_m \cos(2\pi f t)\cos(0) = \psi_m \cos(2\pi f t) \neq 0. La proposition D est donc éliminée. Les propositions B et C vérifient bien \sin(k_f \times 0) = 0.

• Condition initiale en t = 0 :

  \Psi_f(x,0) = 0 \quad \forall x
  • Pour B : \Psi_f(x,0) = \psi_m \cos(0)\sin(k_f x) = \psi_m \sin(k_f x) \neq 0 pour x quelconque.
  • Pour C : \Psi_f(x,0) = \psi_m \sin(0)\sin(k_f x) = 0 pour tout x.

Seule l'expression C vérifie simultanément la nature stationnaire de l'onde, la condition aux limites en x=0 et la condition initiale à t=0.

D'après la question précédente, la fonction d'onde stationnaire s'écrit :

La condition aux limites en x = L impose que pour tout instant t :

Cette égalité n'étant pas identiquement nulle pour une onde d'amplitude \psi_m \neq 0, elle nécessite :

Or, la constante spatiale k_f est reliée à la fréquence f et à la célérité du son c_s par la relation de dispersion acoustique k_f = \frac{2\pi f}{c_s}. Les fréquences propres du tuyau fermé sont donc :

Le mode fondamental correspond à n = 1, d'où l'expression de la fréquence fondamentale :

Application numérique :

D'après la question 1, l'onde stationnaire en présence du bouchon s'écrit :

La condition aux limites en x = L impose que, pour tout instant t :

Ce qui conduit à la quantification de la constante spatiale k_f par :

La longueur d'onde \lambda_n étant reliée au nombre d'onde par k_{f, n} = \dfrac{2\pi}{\lambda_n}, on obtient :

d'où :

La bonne réponse est l'affirmation B.

Une onde stationnaire est caractérisée par une factorisation des dépendances spatiale et temporelle sous la forme :

• La proposition A représente une onde progressive se propageant vers les x décroissants, et non une onde stationnaire. Elle est donc exclue.
• La condition initiale \Psi_o(x,0) = 0 pour tout x impose que la dépendance temporelle s'annule en t=0. Pour la proposition B, \Psi_o(x,0) = \psi_m \sin(k_o x) \neq 0, ce qui ne vérifie pas la condition initiale.
• La condition à la limite en x=0, \Psi_o(0,t) = 0 pour tout t, impose que la dépendance spatiale s'annule en x=0. Pour la proposition D, \Psi_o(0,t) = \psi_m \sin(2\pi f t) \cos(0) = \psi_m \sin(2\pi f t) \neq 0, ce qui ne vérifie pas la condition en x=0.

• Pour la proposition C, on vérifie aisément que :

  \Psi_o(0,t) = \psi_m \sin(2\pi f t) \sin(0) = 0
  \Psi_o(x,0) = \psi_m \sin(0) \sin(k_o x) = 0

  L'extrémité ouverte en x=L constitue un ventre d'amplitude \psi_m, ce qui impose |\sin(k_o L)| = 1.

L'expression correcte est donc donnée par la proposition C.

D'après la question Q4, l'onde stationnaire dans le tuyau ouvert en son extrémité x=L a pour expression :

L'extrémité x=L étant ouverte, l'amplitude spatiale y est maximale, ce qui impose la condition aux limites :

Pour l'harmonique fondamentale (mode de fréquence la plus basse non nulle, correspondant à m=0), la pulsation spatiale vérifie :

La constante spatiale est reliée à la fréquence par la relation de dispersion acoustique non dispersive k_{1,o} = \frac{2\pi f_{1,o}}{c_s}, d'où :

Avec c_s = 340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et L = 2\text{ m} :

La réponse correcte est donc la proposition C.

D'après la question Q4, l'onde stationnaire dans le tuyau ouvert en x=L s'écrit :

L'extrémité x = L étant ouverte, l'amplitude des oscillations y est maximale (ventre de vibration), ce qui impose :

Cette condition est réalisée lorsque :

En reliant le vecteur d'onde k_o à la longueur d'onde \lambda_m par k_o = \dfrac{2\pi}{\lambda_m}, on obtient :

Il vient donc :

ce qui correspond à la proposition C.

Examinons successivement chacune des propositions :

• Affirmation A : Fausse. Le pouvoir séparateur (ou limite de résolution angulaire) d'un œil humain normal est de l'ordre d'une minute d'arc (1') :

  \varepsilon \approx 1' = \left(\frac{1}{60}\right)^\circ \approx 3 \times 10^{-4}\text{ rad}

  La valeur proposée de 1{,}5'' (secondes d'arc) est environ quarante fois trop faible.

• Affirmation B : Vraie. Sous les conditions de Gauss, le diamètre angulaire \alpha sous lequel est vu un objet de diamètre D = 20\text{ cm} = 0{,}20\text{ m} situé à une distance d = 100\text{ m} vaut :

  \alpha \approx \frac{D}{d} = \frac{0{,}20}{100} = 2 \times 10^{-3}\text{ rad}

  En minutes d'arc, cela correspond à :

  \alpha = 2 \times 10^{-3} \times \frac{180 \times 60}{\pi} \approx 6{,}9' \approx 410''

  Cette valeur est nettement supérieure à la limite de résolution angulaire d'un œil normal (\varepsilon \approx 1').

• Affirmation C : Vraie. Par définition, un œil emmétrope (dépourvu de défaut de réfraction) a son punctum remotum (PR) rejeté à l'infini : sans accommoder (au repos), les rayons parallèles issus d'un objet à l'infini convergent exactement sur la rétine. Il observe donc nettement un objet à l'infini.
• Affirmation D : Fausse. Un objet virtuel pour l'œil correspond à un faisceau de rayons incidents convergents vers un point situé derrière le centre optique de l'œil. L'œil ne peut qu'augmenter sa vergence par accommodation ; même au repos, sa vergence minimale fait converger des rayons parallèles sur la rétine. Un faisceau déjà convergent convergera donc nécessairement en avant de la rétine : l'image ne peut pas être nette sur la rétine pour un œil emmétrope.

Les affirmations correctes sont donc B et C.

L'objet AB étant situé dans le plan focal objet de la lentille mince \mathcal{L} (A est confondu avec le foyer objet F), la lentille en donne une image A'B' rejetée à l'infini.

Les rayons issus de B émergent de la lentille parallèlement entre eux. En considérant le rayon passant par le centre optique O, qui traverse la lentille sans être dévié, l'angle \theta' que font ces rayons avec l'axe optique vérifie, dans le cadre de l'approximation de Gauss (\tan\theta' \approx \theta') :

L'image étant à l'infini, ce diamètre apparent \theta' est indépendant de la position de l'observateur en arrière de la lentille.

Sans la loupe, lorsque l'objet AB est observé à l'œil nu au punctum proximum (à la distance d_m), son diamètre apparent est :

Par définition du grossissement :

Par conséquent, les propositions B et D sont correctes.

L'œil est situé immédiatement derrière la loupe (x \approx 0). Pour observer l'image A'B' à son punctum proximum, celle-ci doit se former à la distance minimale de vision nette d_m en avant de l'œil, soit :

D'après la relation de conjugaison de Descartes fournie par l'énoncé :

On en déduit la position p_1 de l'objet :

L'affirmation B est donc correcte et l'affirmation A est fausse.

L'angle \theta sous lequel l'objet est vu à l'œil nu placé au punctum proximum vaut, dans le cadre de l'approximation de Gauss :

L'œil étant au centre optique O (x \approx 0), le rayon issu de B passant par O n'est pas dévié. Le diamètre apparent \theta' de l'image est donc directement donné par l'angle sous lequel est vu l'objet depuis O :

Le grossissement G_1 s'écrit alors :

Soit :

L'affirmation D est donc correcte et l'affirmation C est fausse.

1. Détermination de p_\infty :

L'œil étant emmétrope, sa vision s'effectue sans accommodation lorsque l'objet qu'il regarde (ici l'image A'_\infty donnée par la loupe) est situé à l'infini :

D'après la relation de conjugaison de Descartes avec origine au centre optique :

Comme \frac{1}{p'_{i,\infty}} \to 0, il vient immédiatement :

La position A_\infty coïncide avec le foyer principal objet F de la lentille, indépendamment de la position x de l'œil. L'affirmation A est vraie et B est fausse.

2. Détermination de p_m :

Lorsque l'œil accommode au maximum, l'image A'_m doit être située à son punctum proximum, soit à une distance d_m en avant de l'œil. L'œil étant placé en abscisse x > 0, la position algébrique de l'image A'_m par rapport au centre O de la loupe est :

La relation de conjugaison de Descartes donne :

En inversant cette relation, on obtient :

L'affirmation C est donc vraie et l'affirmation D est fausse.

L'objet de taille AB, placé au punctum proximum à la distance d_m de l'œil sans instrument, est vu sous l'angle :

À travers la loupe \mathcal{L}, la relation de conjugaison de Descartes avec origine au centre optique O fournit la position p' = \overline{OA'} de l'image :

Le grandissement transversal est :

L'œil est placé en arrière de la lentille à l'abscisse x_E = x > 0. Comme l'image A'B' est virtuelle (p' < 0), la distance séparant l'image de l'œil vaut :

Dans l'approximation des petits angles (conditions de Gauss), le diamètre apparent \theta' sous lequel l'œil voit l'image A'B' s'écrit :

On en déduit l'expression du grossissement G(x, p) = \dfrac{\theta'}{\theta} :

La réponse correcte est la proposition D.

L'image A'B' de l'objet AB à travers la lentille \mathcal{L} est située à la distance algébrique p' = \overline{OA'}. La taille de l'image est donnée par le grandissement transversal :

D'après la relation de conjugaison de Descartes avec origine au centre :

L'œil étant situé en x derrière la lentille (x > 0), la distance séparant l'œil de l'image virtuelle (p' < 0) est :

L'angle sous lequel l'œil voit l'image à travers la loupe est donc :

L'angle d'observation directe à l'œil nu au punctum proximum étant \theta = \dfrac{AB}{d_m}, le grossissement s'écrit :

Pour que l'image puisse être vue nettement, sa distance à l'œil doit respecter les limites d'accommodation :

Comme x \ge 0, le terme (f' - x) est maximal pour x = 0, et le dénominateur (x - p') est minimal pour x - p' = d_m. Par conséquent :

Le maximum du grossissement est ainsi atteint pour :

Ce résultat correspond à l'item B.

Lorsque l'interrupteur K est ouvert, le circuit est un dipôle RLC série alimenté par la source de tension E.

L'équation différentielle régissant la tension u_C(t) aux bornes du condensateur s'écrit classiquement :

Par identification avec la forme canonique :

on identifie la pulsation propre \omega_0 et le facteur de qualité Q :

On en déduit l'expression de la résistance R :

Application numérique avec L = 50\text{ mH} = 50\times 10^{-3}\text{ H}, C = 20\ \mu\text{F} = 20\times 10^{-6}\text{ F} et Q = 10 :

Lorsque l'interrupteur K est ouvert, le circuit est un circuit RLC série alimenté par la source de tension constante E. La loi des mailles s'écrit :

Avec u_L = L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}, u_R = R i et i = C \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}, on obtient l'équation différentielle vérifiée par la tension u_C(t) :

Sous forme canonique, cette équation s'écrit :

avec \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} et Q = \frac{L\omega_0}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}.

L'équation caractéristique associée à l'équation différentielle homogène est :

Son discriminant s'écrit :

Comme Q = 10 > \frac{1}{2}, le discriminant est strictement négatif : le régime est pseudo-périodique. Les racines s'écrivent :

où la pseudo-pulsation \omega_a est définie par :

Comme Q = 10 \gg 1, on a \frac{1}{4Q^2} = \frac{1}{400} \ll 1. On effectue un développement limité au premier ordre selon (1-u)^{1/2} = 1 - \frac{1}{2}u + \mathcal{O}(u^2) avec u = \frac{1}{4Q^2} :

Ce résultat correspond à la proposition A.

Pour t < 0, l'interrupteur K est fermé depuis une durée suffisamment longue pour que le régime permanent continu soit établi :

• Le condensateur est mis en court-circuit par l'interrupteur K, ce qui impose :

  u_C(0^-) = 0

• En régime continu permanent, une bobine idéale se comporte comme un fil conducteur (u_L = L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = 0). Le circuit se réduit à la source idéale de tension de fem E débitant dans le résistor de résistance R. La loi des mailles s'écrit alors :

  E - L \left.\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\right|_{0^-} - R \, i(0^-) = 0 \implies E - R \, i(0^-) = 0

  Soit :

  i(0^-) = \frac{E}{R}

À l'instant t = 0, on ouvre l'interrupteur K :

• L'énergie magnétique stockée dans la bobine, \mathcal{E}_L = \frac{1}{2} L i^2, ne peut pas varier de manière discontinue en l'absence de tension infinie à ses bornes. L'intensité du courant i(t) traversant la bobine est donc une fonction continue du temps en t = 0 :

  \boxed{i(0^+) = i(0^-) = \frac{E}{R}}

• L'énergie électrostatique emmagasinée dans le condensateur, \mathcal{E}_C = \frac{1}{2} C u_C^2, est également continue en l'absence de pic de Dirac d'intensité (le courant étant limité par l'inductance en série). La tension u_C(t) est donc continue en t = 0 :

  \boxed{u_C(0^+) = u_C(0^-) = 0}

Les deux affirmations correctes sont donc B et C.

Pour t > 0, l'interrupteur K étant ouvert, le circuit est un circuit RLC série alimenté par la source idéale de tension de f.é.m. E. La loi des mailles s'écrit :

En utilisant la relation constitutive du condensateur i(t) = C \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}, on obtient l'équation différentielle du second ordre :

La solution générale est la somme de la solution particulière constante u_{C,\mathrm{part}} = E et de la solution de l'équation homogène en régime pseudo-périodique :

avec \tau_e = \frac{L}{R}.

La tension aux bornes d'un condensateur étant une variable d'état continue, on a d'après la question 15 :

En évaluant l'expression de u_C(t) en t = 0^+ :

On en déduit :

L'expression donnée dans le texte de la question omet le terme permanent E (coquille typographique de l'énoncé). En prenant en compte la physique du système (confirmée sans ambiguïté par l'expression de B à la question 17), la valeur attendue pour la constante d'intégration est A = -E.

Pour t > 0, l'interrupteur K est ouvert. Le condensateur est en série avec la bobine et le conducteur ohmique. En convention récepteur pour le condensateur, l'intensité du courant s'écrit :

À l'instant initial t = 0^+, la condition établie à la question Q15 donne :

L'expression complète de la tension aux bornes du condensateur (solution particulière du régime permanent associée à la solution du régime libre déterminée à la question Q16 avec A = -E) est :

Dérivons cette expression par rapport au temps :

En évaluant en t = 0^+ :

En égalant les deux expressions de la dérivée en 0^+ :

On en déduit l'expression de la constante B :

La réponse correcte est l'affirmation A.

Avant la fermeture de l'interrupteur K, le circuit est en régime permanent continu depuis une durée suffisamment longue. Le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert :

À l'instant pris comme nouvelle origine des temps, on ferme l'interrupteur K. Le condensateur se trouve alors en court-circuit. La branche principale comportant la source de tension E, la bobine d'inductance L et le résistor de résistance R est refermée sur elle-même à travers l'interrupteur K.

La loi des mailles s'écrit pour t \ge 0 :

Par continuité du courant traversant la bobine, on a :

La solution de cette équation différentielle linéaire d'ordre 1 est :

Le courant atteint sa valeur finale i_\infty = \frac{E}{R} en régime permanent. Par définition, la durée du régime transitoire \tau_{rt} vérifie :

On en déduit l'expression littérale de la durée du régime transitoire :

Calculons numériquement cette durée avec L = 50\text{ mH} = 50 \times 10^{-3}\text{ H} et R = 5\ \Omega (déterminé à la question 13) :

Les propositions A et C sont donc toutes les deux correctes.

Le système étudié est la Terre T, assimilée à un point matériel de masse M_T, dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen. La Terre est soumise uniquement à la force gravitationnelle exercée par le Soleil situé en O :

1. Conservation du moment cinétique (étude des propositions A et B) :

Le moment en O de la force gravitationnelle est nul à tout instant :

D'après le théorème du moment cinétique appliqué en O dans un référentiel galiléen, le moment cinétique \mathbf{L}_O est une constante du mouvement :

En coordonnées polaires dans le plan orbital, la vitesse s'écrit \mathbf{v} = \dot{r}\,\mathbf{e}_r + r\dot{\varphi}\,\mathbf{e}_\varphi. Aux positions orbitales extrêmes (périhélie A_p et aphélie A_a), la distance au centre de force est extrémale, de sorte que \dot{r} = 0. La vitesse y est donc purement orthoradiale :

Le moment cinétique scalaire L_z = \mathbf{L}_O \cdot \mathbf{e}_z s'écrit donc en ces deux points :

En simplifiant par la masse M_T > 0, on en déduit :

L'affirmation A est donc vraie, et l'affirmation B est fausse.

2. Conservation de l'énergie mécanique (étude des propositions C et D) :

La force gravitationnelle dérive d'une énergie potentielle :

Cette force étant la seule action mécanique prise en compte sur la Terre (forces non conservatives inexistantes dans ce modèle), l'énergie mécanique \mathcal{E}_m = \mathcal{E}_c + \mathcal{E}_p est une constante du mouvement :

Par conséquent, l'énergie mécanique prend la même valeur au périhélie et à l'aphélie :

L'affirmation D est donc vraie, et l'affirmation C est fausse.

D'après la question Q19, la conservation du moment cinétique entre l'aphélie et le périhélie s'écrit :

L'énergie potentielle gravitationnelle de la Terre dans le champ créé par le Soleil, avec l'origine choisie à l'infini, est :

La conservation de l'énergie mécanique \mathcal{E}_m(A_a) = \mathcal{E}_m(A_p) donne :

En substituant v_p = \dfrac{r_a}{r_p} v_a, il vient :

Pour une orbite non circulaire (r_a \neq r_p), on simplifie par (r_a - r_p) :

Comme v_a > 0, on obtient :

La réponse correcte est l'affirmation D.

À l'aphélie A_a (sommet de la trajectoire elliptique), la composante radiale de la vitesse s'annule : le vecteur vitesse \mathbf{v}_a est purement orthoradial et orthogonal au rayon vecteur \vec{OA_a}. Le moment cinétique de la Terre par rapport au centre O s'écrit donc :

Ainsi, la composante suivant \mathbf{e}_z est :

D'après le résultat de la question Q20 :

En introduisant cette expression dans celle de L_z, on obtient :

La réponse correcte est la proposition B.

Dans la base polaire orthonormée (\mathbf{e}_r, \mathbf{e}_\varphi, \mathbf{e}_z), le vecteur position et le vecteur vitesse du point matériel T s'écrivent :

Le moment cinétique par rapport au centre O s'en déduit par produit vectoriel :

La projection sur l'axe orthogonal au plan orbital fournit donc la constante des aires sous la forme :

En introduisant l'expression polaire r = \dfrac{p}{1 + e\cos\varphi}, il vient :

Comme e \ll 1, le terme u = e\cos\varphi vérifie |u| \le e \ll 1. On effectue un développement limité d'ordre 1 au voisinage de zéro via la formule usuelle (1+u)^\alpha \approx 1 + \alpha u avec \alpha = -2 :

On en déduit l'approximation au premier ordre en e :

L'affirmation correcte est donc la proposition D.

D'après les conventions de l'énoncé et la figure associée :

• Le périhélie A_p correspond à \varphi = 0, et l'aphélie A_a à \varphi = \pi.
• Les angles sont orientés dans le sens direct du parcours de la trajectoire (sens trigonométrique).

• Le solstice d'hiver H précède le périhélie de l'angle \beta, d'où :

  \varphi_H = -\beta

• Le solstice d'été E précède l'aphélie de l'angle \beta, d'où :

  \varphi_E = \pi - \beta

D'après le résultat de la question Q22 :

En introduisant la fonction g(\varphi) telle que g'(\varphi) = 1 - 2e\cos\varphi, on a :

L'égalité rappelée par l'énoncé s'écrit alors :

En intégrant entre l'instant initial t=0 (en H, où \varphi = \varphi_H) et l'instant t=\tau_1 (en E, où \varphi = \varphi_E) :

Comme L_z, M_T et p sont constants, le membre de gauche vaut simplement \frac{L_z}{M_T p^2}\tau_1. On en déduit :

Il vient finalement :

La réponse correcte est la proposition A.

Le mouvement s'effectuant dans le sens des \varphi croissants, le passage de la position du solstice d'été E à celle du solstice d'hiver H correspond à une variation continue de l'angle polaire depuis :

D'après la relation obtenue à la question Q22 :

En intégrant entre \varphi_E et \varphi_H, on obtient la durée \tau_2 :

En utilisant les relations trigonométriques \sin(2\pi - \beta) = -\sin\beta et \sin(\pi - \beta) = \sin\beta, il vient :

On en déduit l'expression de \tau_2 :

Ce résultat correspond à la proposition C.

Le cycle est constitué de quatre transformations réversibles :

• E_1 \to E_2 : compression isentropique, donc adiabatique réversible, ce qui implique Q_{12} = 0 ;

• E_2 \to E_3 : compression isochore (V = V_m = \text{cte}). Le travail des forces de pression est nul (W_{23} = 0). D'après le premier principe de la thermodynamique et la première loi de Joule :

  Q_{23} = \Delta U_{23} = n C_{vm} (T_3 - T_2)

  Lors de cette compression isochore, la pression augmente (p_3 > p_2), donc la température augmente (T_3 > T_2). Le transfert thermique reçu par le fluide est positif (Q_{23} > 0) : cette chaleur est reçue de la source chaude, soit Q_c = Q_{23} ;

• E_3 \to E_4 : détente isentropique, donc adiabatique réversible (Q_{34} = 0) ;
• E_4 \to E_1 : détente isochore, le fluide se refroidit et cède de la chaleur à la source froide (Q_f = Q_{41} < 0).

Par conséquent :

• La proposition A est fausse car Q_{41} est la chaleur échangée avec la source froide ;
• La proposition B est correcte : Q_c = Q_{23} ;
• La proposition C est fausse car la transformation étant isochore, l'expression fait intervenir C_{vm} et non C_{pm} ;
• La proposition D est fausse car elle correspond à Q_{41} = Q_f.

Le cycle décrit est le cycle de Beau de Rochas (ou cycle d'Otto) :

• Les transformations E_1 \to E_2 et E_3 \to E_4 sont isentropiques, donc adiabatiques réversibles : Q_{12} = 0 et Q_{34} = 0.
• Lors de l'échauffement isochore E_2 \to E_3, le gaz reçoit de la chaleur de la source chaude : Q_c = Q_{23} > 0.

• Lors du refroidissement isochore E_4 \to E_1, le système cède de la chaleur à la source froide. Le transfert thermique reçu de la source froide s'écrit donc :

  Q_f = Q_{41}

  L'affirmation A est donc vraie (et l'affirmation B est fausse).

Appliquons le premier principe de la thermodynamique au gaz parfait lors de la transformation isochore E_4 \to E_1 :

Le volume étant constant (V_4 = V_1 = V_M), le travail des forces de pression est nul :

D'après la première loi de Joule pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne ne dépend que de la température et s'exprime avec la capacité thermique molaire à volume constant C_{vm} :

On en déduit :

L'affirmation D est donc vraie. L'affirmation C est quant à elle fausse, car elle ferait intervenir C_{pm} (réservée à une transformation isobare) et les températures de la source chaude.

La machine étudiée étant un moteur thermique, son transfert d'énergie utile est le travail mécanique cédé au milieu extérieur, soit -W. Le transfert d'énergie nécessaire à son fonctionnement est la chaleur reçue de la source chaude, soit Q_c = Q_{23}.

Par définition, l'efficacité (ou rendement moteur) s'écrit :

L'énergie interne U étant une fonction d'état, sa variation sur un cycle fermé est nulle d'après le premier principe de la thermodynamique :

Les évolutions E_1 \to E_2 et E_3 \to E_4 étant isentropiques, elles sont adiabatiques (Q_{12} = 0 et Q_{34} = 0). Le transfert thermique global sur le cycle est donc :

On en déduit l'expression de l'efficacité :

Les transformations E_1 \to E_2 et E_3 \to E_4 sont des évolutions isentropiques (adiabatiques réversibles) d'un gaz parfait à capacités thermiques constantes. Elles vérifient la loi de Laplace :

• Pour la compression isentropique E_1 \to E_2 :

  \begin{aligned} T_1 V_1^{\gamma-1} &= T_2 V_2^{\gamma-1} \end{aligned}

  Or V_1 = V_M et V_2 = V_m, avec le taux de compression volumique a = \frac{V_M}{V_m}. On en déduit :

  \begin{aligned} T_1 &= T_2 \left(\frac{V_m}{V_M}\right)^{\gamma-1} = T_2 \left(\frac{1}{a}\right)^{\gamma-1} = T_2 a^{1-\gamma} \end{aligned}

  La proposition A est donc exacte (et la proposition B est fausse car a > 1 et \gamma > 1).

• Pour la détente isentropique E_3 \to E_4 :

  \begin{aligned} T_3 V_3^{\gamma-1} &= T_4 V_4^{\gamma-1} \end{aligned}

  Or V_3 = V_m et V_4 = V_M, d'où :

  \begin{aligned} T_3 &= T_4 \left(\frac{V_M}{V_m}\right)^{\gamma-1} = T_4 a^{\gamma-1} \end{aligned}

  La proposition C est donc exacte (et la proposition D est fausse).

Les affirmations correctes sont A et C.

D'après la question Q27, le rendement (ou efficacité) du cycle s'écrit :

Les transformations E_2 \to E_3 et E_4 \to E_1 étant isochores, les transferts thermiques reçus par le gaz parfait s'expriment respectivement (d'après les questions Q25 et Q26) par :

En reportant ces expressions dans celle de \eta, les termes n C_{vm} se simplifient :

La réponse correcte est la proposition B.

D'après la question précédente, l'efficacité s'écrit :

D'après les relations isentropiques obtenues à la question Q28 :

En factorisant par a^{1-\gamma} au numérateur :

En injectant ce résultat dans l'expression de \eta, il vient :

L'efficacité ne dépend donc effectivement que du taux de compression a et du coefficient isentropique \gamma.