Mécanique du solide : 206 questions de concours corrigées

On suppose que l'angle φ oscille autour d'une position d'équilibre et que son évolution temporelle en l'absence de ce couple visqueux peut être décrite comme celle d'un oscillateur harmonique de…

Nous supposons que V_B = 0 et que le ressort a été tendu, mais de telle façon que le solide (1) reste immobile. Rappeler à quelles conditions un solide soumis à trois forces est à l'équilibre…

Donner, en la justifiant, la direction des résultantes R_B'_i, R_C'_i appliquées à la biellette b'_i en précisant le théorème utilisé et les arguments qui permettent de l'utiliser. Le résultat…

Représenter le graphe des liaisons associé au modèle décrit par le schéma cinématique de la figure (4).

a) Définir ce que sont des oscillations isochrones. b) Dans l'approximation des petits angles, le mouvement de (j_g) est-il isochrone ? c) Exprimer, dans cette approximation, la pulsation ω_os et la…

Dans l'approximation des petits angles, exprimer en fonction de m_j, J_F, g et de Δ, la pulsation ω_os et la durée τ_os de cette phase d'oscillation.

On met le générateur sous tension à t = 0⁺. Effectuer un bilan des actions mécaniques sur la partie mobile.

Quel couple faut-il exercer pour maintenir la vitesse de rotation constante ? Est-il moteur ou résistant ?

Établir l'inventaire des actions mécaniques qui s'exercent sur l'aimant (1). Il ne s'agit que d'un inventaire, on ne cherchera donc pas à expliciter chacune de ces actions mécaniques.

Lorsque la vitesse U du vent est inférieure à la vitesse de démarrage U₀ (document 1), l'anémomètre est immobile. Quel phénomène peut expliquer l'existence de cette vitesse de démarrage ?

La force F_pied de norme F_pied = 50 N exercée par le vacancier sur le pédalier est modélisée sur la figure suivante. Dans chacune des situations (a) et (b), exprimer le moment de la force exercée…

En appliquant le postulat fondamental de la dynamique au container et à l'aide d'une loi sur le frottement solide à préciser, obtenir l'expression de F en fonction de f₀, m₀, g et uₓ.

a) Définir ce qu'on appelle la vitesse de glissement v_g d'un solide par rapport à un autre en un point de contact. b) Doit-on préciser dans quel référentiel elle est exprimée ?

Expliquer à quelle condition on passe de l'adhérence au glissement.

Expliquer à quelle condition on passe du glissement à l'adhérence.

Traduire la loi de Coulomb pour exprimer T.

Le moment total Γ_O apparaît comme la somme de deux termes. Lequel est responsable de la rotation instantanée de la particule autour d'un axe passant par C ? On le notera Γ_C. Que décrit l'autre…

Sur la base du paramétrage qui a été fixé, établir une équation différentielle décrivant le mouvement de l'avant-bras. Préciser l'origine de cette équation.

Déterminer Γ_P le moment scalaire du poids du cadre par rapport à Δ (orienté) : A) Γ_P = 0 B) Γ_P = -(mgℓ sin θ)/2 C) Γ_P = mgℓ sin θ D) Γ_P = -(mgℓ cos θ)/2

Que vaut la période T₀ du mouvement du cadre au voisinage de sa position d'équilibre stable ? A) T₀ = ((π² J_z)/(mgℓ + ILℓ B))¹/² B) T₀ = ((4π² J_z)/(mgℓ + ILℓ B))¹/² C) T₀ = ((8π² J_z)/(mgℓ + 2ILℓ…

En déduire qu'à partir de t = 0 la craie reste immobile jusqu'à l'instant t = t₀ que l'on déterminera en fonction de f_s, M, g, k et v₀.

On pose τ = t - t₀. Préciser les valeurs de x_A, de X_H et de sa dérivée V_H = dX_H/dτ à l'instant τ = 0 avant d'expliciter l'équation différentielle vérifiée par X_H(τ) sous la forme : (d² X_H)/dτ²…

En appliquant le théorème du moment cinétique à (j_g) dans le référentiel du buste supposé galiléen, établir l'équation différentielle vérifiée par θ(t) pendant cette phase d'oscillation.

En appliquant le théorème du moment cinétique à (j_g) dans le référentiel du buste supposé galiléen, établir l'équation différentielle vérifiée par θ(t) pendant cette phase d'oscillation.

On effectue un bilan d'énergie magnétique sur le système. Ce bilan est donné par l'équation suivante : dE_mag(T, e_air) = -F_mag de_air - m_MC s dT . (9) En déduire l'expression de la force…

Montrer que θ satisfait l'équation différentielle θ + ω₀² θ = A et exprimer ω₀ et A en fonction de J, K, I, B et l.

Quelle peut être l'utilité du caractère contrarotatif de ce dispositif ?

Déterminer l'équation différentielle vérifiée par ω puis la résoudre en supposant le cylindre immobile à l'instant initial.

On suppose que le point d'application de la résultante des forces aérodynamiques se situe au centre de la plaque circulaire. Exprimer les moments scalaires par rapport à l'axe (Δ) des forces…

Rappeler la définition d'un couple de forces. Le terme de « couple » aérodynamique utilisé dans le document 3 vous paraît-il bien choisi ?

En utilisant une méthode énergétique, montrer que θ(t) vérifie l'équation différentielle θ + 3/4 g/ℓ sin α sin θ(t) = 0.

a) Rappeler la loi du moment cinétique scalaire appliquée à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen. On précisera tous les termes et notations introduits. b) Recenser…

Déterminer l'équation différentielle qui régit le mouvement en appliquant le théorème du moment cinétique (on introduira ici les grandeurs nécessaires à la mise en équation).

Retrouver ce résultat en appliquant le théorème de l'énergie cinétique à chacune des deux phases du mouvement.

On pose maintenant le solide 1 sur le support S qui fait un angle θ avec le plan horizontal. Le dispositif est représenté sur la figure 2. On fait augmenter, à partir d'une valeur faible, l'angle θ…

Rappeler la loi du moment cinétique pour un solide en rotation autour d'un axe orienté (O_z). En l'appliquant et en négligeant les frottements de l'air, montrer que l'équation différentielle du…

On considère le système constitué du fluide circulant en régime stationnaire entre deux aubes du rotor entre les instants t et t + dt (figure 7). Effectuer pour ce système un bilan précis de moment…

Nous considérons que le roulement d'une bille (dans cette étude, l'impacteur ou la bille éjectée) le long du guide s'effectue sans glissement. Ses vitesses de translation v = veₓ et de rotation…

Les collisions avec le gaz discutées aux questions 15 et 16 donnent lieu à un couple visqueux de la forme -Iγφ. Dans le régime libre introduit à la question 15, on peut montrer que γ = (40 P d²)/(3…

En pratique, d ≪ L₁. Montrer alors que θ₂ ≈ θ₁.

Nous posons α = T/(Mg). Représenter graphiquement la dépendance de la fonction α = α(v) vis-à-vis de la vitesse v.

La vitesse de la photosphère vient en premier lieu de la rotation du Soleil, dont l'axe de rotation est perpendiculaire au plan de l'orbite de la Terre, dans lequel se trouve également le satellite…

Préciser les degrés de liberté que possède la plateforme 3 et indiquer le type de mouvement qu'elle peut faire.

Justifier que les configurations du robot Delta étudiées ici sont invariantes par une rotation d'axe et d'angle à préciser, et qu'elles possèdent aussi plusieurs plans de symétrie que l'on précisera.

Indiquer l'ordre selon lequel sont effectués les trois mouvements imposés, en précisant l'intervalle de temps correspondant à chaque mouvement.

Donner, sans calcul, les torseurs cinématiques V_a/0_A et V_b/0_B, en fonction des composantes des vitesses de A et de B dans le référentiel R₀ = (O, x₀, y₀, z₀).

Faire un autre schéma où figurent les forces qui s'exercent sur Σ₂. On négligera toute force de frottement fluide due à l'air.

Discuter qualitativement la loi de Preston-Achard.

Exprimer le moment M_Δ(P) (scalaire) du poids de la tige par rapport à l'axe orienté KΔ, à l'instant initial: A) M_Δ(P) = mgb/3 B) M_Δ(P) = mgb/2 C) M_Δ(P) = mgb D) M_Δ(P) = 2mgb

Quelle est la longueur ℓ du ressort à l'instant initial? A) ℓ = ℓ₀ - mg/4K B) ℓ = ℓ₀ + mg/3K C) ℓ = ℓ₀ + mg/4K D) ℓ = ℓ₀ + mg/K

Initialement (t = 0⁻), le générateur n'est pas branché et la partie mobile est au repos. Quelle est alors la position de la partie mobile ? Justifier la réponse.

Par une analyse dimensionnelle, vérifier l'homogénéité de l'expression trouvée pour A.

On admet que la valeur de l'angle maximal atteint par la partie mobile est de 0,096 rad. En déduire l'amplitude du mouvement de l'aiguille.

À partir du document 8, évaluer la vitesse angulaire maximale de rotation d'une hélice en rad⁻¹.

En déduire la vitesse correspondante d'un point en bout de pale.

Le moment d'inertie J d'une pale par rapport à son axe de rotation est approximativement J = mR²/12, où m est sa masse et R sa longueur. Déterminer le moment d'inertie correspondant à une hélice de…

En déduire le moment cinétique lorsque cette hélice tourne à vitesse maximale.

Sur le document 8, on voit deux hélices contrarotatives, c'est-à-dire, pouvant tourner en sens inverse. Quel serait le moment cinétique de la deuxième hélice, tournant en sens contraire ?

En adaptant ce modèle de frottement solide à l'étude du système, établir l'expression de τ_f(x, t) lorsqu'une zone de l'interface glisse. On notera τ_r = f σ_N.

Quelle est l'expression de la vitesse angulaire limite ω_l que l'on peut atteindre avec ce dispositif ?

Estimer la valeur de la vitesse linéaire v_l pour un point de la périphérie de la fraise. Commenter le résultat obtenu.

Dès lors qu'on exerce une pression sur la fraise donc lors du contact avec une dent la vitesse angulaire de rotation diminue fortement, quasi de moitié. Expliquer ce phénomène.

Une turbine est toujours associée à une fibre optique à l'extrémité ainsi qu'à des jets d'eau. Quel est l'intérêt de ces dispositifs additionnels pour le patient ou pour le dentiste ?

Calculer le moment dΓ par rapport à l'axe de rotation (Oz) de cette force dF.

Quel moment doit-on appliquer sur le cylindre intérieur afin d'avoir ω₁ = 0 ?

Expliquer à partir de votre schéma pourquoi l'anémomètre va se mettre en mouvement, et représenter le sens de rotation sur le schéma.

Justifier que la force tangentielle F_T est sans importance pour l'étude du mouvement de rotation de l'anémomètre.

Exprimer Cₘ en fonction de m, g et de D. Calculer ce couple Cₘ.

En utilisant les caractéristiques de la grue, vérifier que le treuil pourra lever le bateau.

On considère que le moment du couple moyen exercé sur le pédalier correspond à la moyenne des 2 valeurs précédentes. Sachant que le pédalier tourne à la vitesse constante ω = 10 rad⁻¹, évaluer la…

De quel pourcentage l'effort du vacancier est-t-il réduit ?

Exprimer la période T des oscillations de tige en fonction de α et de T₀. Commenter le choix de α.

Reproduire la figure 1 et la compléter en indiquant toutes les actions mécaniques extérieures subies par la voiture.

L'étude du champ de gravitation par la sonde Juno permettra l'estimation de la constante K. En quoi la connaissance de K est-elle intéressante ?

En déduire l'expression de la position angulaire en fonction du temps et l'expression de la période du mouvement.

Déduire de ces deux résultats l'expression de la composante algébrique M du moment en fonction de F, L et x.

Nous posons K = 3D/L³. Exprimer, en fonction de K, L et F, la flèche f et l'angle θ (définis sur la figure (1)).

Déduire du résultat obtenu à la question (5) l'expression de la fonction φ = φ(u).

Décrire qualitativement les deux phases successives du mouvement de l'ensemble en précisant pour chacune d'elles si le fil est tendu ou non tendu.

On réalise l'expérience plusieurs fois de suite, en partant toujours de la valeur de H₀ = 40,0 cm. La masse du solide 1 vaut M = 50 g et celle du solide 2 vaut α M = 60 g. Calculer la valeur du…

On réalise plusieurs essais successifs de décrochement et la valeur moyenne de θ_lim est de l'ordre de 29,5°. En déduire l'ordre de grandeur du coefficient de frottement mesuré.

Dans le cas d'oscillations de faible amplitude au voisinage de la position d'équilibre, réécrire l'équation (1). L'équation obtenue sera notée (2).

On met la particule en rotation au moyen d'un laser exerçant un couple C_l = C_l u_z. À quelle vitesse angulaire maximale ωₘₐₓ = φₘₐₓ peut-on faire tourner la particule avec ce couple ? On négligera…

L'objet des questions suivantes de cette partie (i.e. des questions 26 à 31) est d'étudier les régimes dans lesquels la particule est stabilisée angulairement grâce au piège électrique. Pour ce…

La présence de deux charges électriques à la surface suggère qu'un couple de forces électriques peut exister, influençant la rotation de la particule. Cette rotation n'est a priori plus contrainte…

Comparer les deux équations différentielles obtenues pour φ₁ et φ₂ avec celles obtenues pour les variables x, y et z à la question 3. On fera apparaître trois constantes q_φ_1, q_φ_2 et ω_r jouant…

Comment cette équation est-elle modifiée si une masse ponctuelle m est placée en bout de l'avant-bras (au point B) et déplacée par l'utilisateur ?

Représenter un schéma illustrant l'essai réalisé, en le paramétrant. Expliquer comment déterminer le terme m₁ l₁ à partir des grandeurs mesurées par la plateforme.

Déterminer une relation entre θ₁ et θ₂, fonction de d, L₁ et α.

Déterminer la puissance des efforts extérieurs et la puissance intérieure, en précisant les différents termes qui interviennent.

Déterminer l'énergie cinétique de l'ensemble en mouvement.

Montrer, en précisant le théorème utilisé et le système étudié, que l'équation de mouvement obtenue prend la forme suivante : J θ + ν θ + f(θ) = C₁ + C₂ - C_s (3) On donnera l'expression des…

Déterminer la relation linéaire reliant θ et Δ C. Préciser l'expression de C₀.

L'utilisation du BMMD exige du spationaute qu'il se maintienne fortement à la barre, que ses pieds et ses genoux soient coincés et son menton collé à la planche. Expliquer pourquoi.

L'utilisation du BMMD exige du spationaute qu'il se maintienne fortement à la barre, que ses pieds et ses genoux soient coincés et son menton collé à la planche. Expliquer pourquoi.

Déterminer Γ_L le moment scalaire des forces de Laplace qui s'exercent sur le cadre par rapport à Δ (orienté) : A) Γ_L = 0 B) Γ_L = ILℓ B cos (θ/2) C) Γ_L = -ILℓ B sin θ D) Γ_L = mgℓ

Déterminer la ou les positions angulaires d'équilibre θₑ du cadre. A) θₑ = 0 B) θₑ = π C) θₑ = arccos (ILB/mg) D) θₑ = arcsin (ILB/mg)

À un instant pris comme origine temporelle (t = 0), on lance le cadre depuis la position initiale θ(0) = 0 avec une vitesse angulaire initiale θ(0) > 0. Déterminer θ(0) afin que le cadre puisse…

On coupe désormais le champ magnétique (B = 0) et on modifie les conditions de lancement du cadre de sorte qu'à l'instant initial : θ(0) = 0 et θ(0) = (3mgℓ/J_z)¹/² Déterminer la valeur absolue de…

Nous supposons que l'opérateur extérieur, en déplaçant l'élément (3), fait croître progressivement la force F_R, depuis la valeur nulle. En raisonnant sur la figure tracée précédemment, déterminer à…

Exprimer l'angle θ₁ à partir duquel le glissement du solide (1) apparaît.

Estimer la valeur du coefficient f_s.

Estimer la valeur de θ₁/π.

Montrer que les plans (C₁C₂C₃) et (A₁A₂A₃) sont parallèles et justifier que la base associée au solide 3 est la même que celle associée à la base 0.

Montrer, à partir du paramétrage proposé, que l'on obtient 3 équations de la forme : x² + y² + z² + A_i x + B_i y + C_i z = D_i On précisera les expressions des termes A_i, B_i, C_i et D_i en…

En combinant les relations (1), montrer que x, y, z vérifient les équations linéaires prenant la forme suivante : A_1,2.x + B_1,2.y + C_1,2.z = D_1,2 A_2,3.x + B_2,3.y + C_2,3.z = D_2,3 A_3,1.x +…

On s'intéresse ici aux configurations du robot Delta où les 3 angles pilotés θ_i sont égaux, soit : i 1,2,3, θ_i = θ. Dans cette question, on pourra, si besoin, utiliser les valeurs des angles α_i…

Montrer que les points O, A_i, B_i, C_i et C sont situés dans un même plan. Quelle forme particulière présente le parallélogramme B'_i B''_i C''_i C'_i ?

En se limitant aux configurations du robot Delta possédant les symétries identifiées précédemment pour lesquelles x = y = 0, déterminer les expressions des valeurs minimale z_min et maximale zₘₐₓ de…

On rappelle les valeurs des angles α_i : α_i = (i-1)2π/3 pour i 1,2,3. On s'intéresse maintenant aux configurations du robot Delta où deux des angles pilotés θ_i sont maintenus égaux, le troisième…

Justifier le modèle de liaison équivalente utilisé sur le schéma cinématique entre la plateforme et la tige t.

Après avoir tracé deux figures de calcul représentant les angles φ et θ, déterminer trois relations donnant Δ x, Δ y, Δ z, en fonction de λ, φ et θ. Inverser ces trois relations, de façon à…

Donner l'expression du torseur cinématique associé à la liaison entre la tige t et la plateforme a : V_t/a_A, en exprimant le vecteur vitesse angulaire Ω_t/a en fonction des paramètres définis…

Le pas de la liaison entre la tige t et la poignée p est noté pas et est supposé à droite. Exprimer le torseur cinématique associé à la liaison entre p et t, V_p/t_B en fonction de λ et ψ, en…

Montrer que l'on peut exprimer le vecteur vitesse angulaire Ω(p/0) et la vitesse linéaire V(G,p/0) en fonction des paramètres définis ou déterminés précédemment. Il est demandé de poser les calculs…

Recopier le tableau ci-dessous. À l'aide du schéma cinématique, compléter ses cases par les valeurs 0, V ou -V pour indiquer quelle vitesse imposer à chacun des degrés de liberté de chacune des deux…

Compte tenu de la forme de la poignée, visible sur la figure (5), proposer une simplification pour la matrice d'inertie I_p(G). Calculer ensuite le moment cinétique en G de p/0 : σ(G,p/0) en le…

Montrer que T_r/2 est nécessairement non nulle. On admettra que cette force est identique sur les quatre roues de la locomotive. Exprimer T_r/2 en fonction notamment de l'accélération a₀ et des…

Calculer le temps qu'a mis le train de Trevhitick à atteindre sa vitesse de croisière, en supposant que |T_r/2| = 0,1 fₐ |N_r/2|, de sorte que l'absence de glissement est assurée.

On note h = z_G_b(τ_dc) - z_G_b(0) la variation d'altitude du point G_b entre les instants de dates t = 0 et t = τ_dc (figure 7a). Exprimer la variation de l'énergie mécanique de (Σ) entre ces deux…

a) Parmi les paramètres intervenant dans l'expression de p_opt obtenue en Q23, indiquer lesquels sont inchangés par rapport au cas sans échasses et lesquels sont à modifier. On précisera ces…

a) Parmi les paramètres intervenant dans l'expression de p_opt obtenue en Q19, indiquer lesquels sont inchangés par rapport au cas sans échasses et lesquels sont à modifier. On précisera ces…

a) Exprimer (p_opt*)/p_opt en fonction du seul rapport (l*)/l_j dans le cas d'une jambe à répartition de masse uniforme. b) Calculer (p_opt*)/p_opt pour un berger adulte de longueur de jambe l_j = 1…

Montrer que l'équation différentielle du mouvement s'écrit à présent : θ + (2ℓ(t))/(ℓ(t)) θ + g/(ℓ(t)) sin θ = 0.

Entre les points M_n,2 et M_n,3, on admet que le moment résultant exercé sur le mobile est nul : son moment cinétique est donc conservé. En déduire la vitesse v_n,3 au point M_n,3 en fonction de g…

Exprimer la force F qu'exerce le ressort en M à l'instant initial: A) F = -mg/4 B) F = -mg/6 C) F = mg/2 D) F = mg/4

On étudie désormais le régime dynamique au voisinage de la position horizontale de T (x ≪ ℓ₀). Exprimer le moment scalaire M_Δ(F) de F par rapport à l'axe orienté KΔ : A) M_Δ(F) = mgb/2 - Kbx B)…

L'équation différentielle d'évolution de l'abscisse x(t) de M se met sous la forme suivante: x + ω₀² x = 0 où ω₀ est une constante temporelle. Exprimer ω₀ : A) ω₀ = (4K/m)¹/² B) ω₀ = (2K/m)¹/² C) ω₀…

Exprimer l'énergie cinétique E_k de T, au voisinage de sa position horizontale: A) E_k = mx² B) E_k = mx²/2 C) E_k = mx²/4 D) E_k = mx²/8

Établir l'expression de S en fonction de a et α. Établir l'expression de la surface S' de la voile située à la droite de la verticale et représentée en grisé sur la vue de face de la figure 1. On…

Résoudre l'équation différentielle pour déterminer l'expression de θ(t) tant que le contact est assuré.

Lorsqu'on insère un matériau ferromagnétique dans une bobine, on modifie l'expression du champ créé en le multipliant par µ_r, perméabilité magnétique relative du milieu. En reprenant l'expression…

Déterminer l'expression puis la valeur de l'instant t₁ pour lequel la partie mobile quitte l'arc conducteur.

Déterminer la nouvelle équation différentielle satisfaite par θ. La résoudre pour déterminer θ(t') tant que le contact est rompu.

Parmi les 4 courbes de la figure 3, choisir, en justifiant, celle représentant θ en fonction du temps. Les courbes ont parfois été tracées en accentuant fortement les caractéristiques : en réalité…

À partir de la question précédente, quel aurait été le problème rencontré si ces pales avaient eu un rayon de 1 m ?

Établir l'expression de Ω_p en fonction de U, Dₘ, φ, R, λ et a. Quelle est, dans ce modèle, l'influence du débit des roches sur la vitesse du tapis ?

En remarquant que les points I₀ et I₁, représentés sur la figure (3) (b), étaient initialement confondus (c'est-à-dire pour θ=0), justifier que θ₁=2 θ.

Justifier que l'énergie mécanique du système (0),(1) (en interaction gravitationnelle avec la Terre) est conservée.

Lors du roulement de la bille (1) sur la bille (0) (fixe), le centre de masse O₁ de la bille (1) décrit un arc de cercle de rayon D et d'angle au centre égal à θ (se reporter à la figure (3) (b))…

Nous écrivons l'énergie E_c 1 sous la forme suivante : E_c 1=1/2 J θ² Exprimer J en fonction de la masse m et du diamètre D.

Préciser quelle restriction à la généralité de cette étude introduit l'hypothèse H_α. On réfléchira, en particulier, à la situation où l'édifice oscille autour de la verticale. La réponse attendue…

Exprimer, en fonction des paramètres ρ, b, e, L et de la vitesse angulaire θ, l'énergie cinétique E_ct de la lame en ne considérant que l'effet de la translation décrite par le déplacement δ=δ(z).

Réaliser un bilan des forces exercées sur une tranche de solide située entre x et x+dx.

Appliquer le principe fondamental de la dynamique à cette même tranche et en déduire que la dynamique du champ de déplacement u(x, t) est donnée par l'équation suivante : (∂² u)/(∂ x²) - 1/c_p² (∂²…

Interpréter ce rapport sans dimension comme le rapport de deux forces s'exerçant sur le système au passage de la perturbation. On précisera leur nature.

Dans une zone où le solide ne glisse pas, traduire la condition de non-glissement comme une condition aux limites sur le champ de déplacement u et donner l'expression de la contrainte τ_f.

Exprimer la résultante R et le moment Γ_C en C des forces de pression et de pesanteur que Σ subit en fonction des grandeurs judicieuses parmi ρ_ℓ, ρ₁, ρ₂, V₀, V₁, V₂, CG₀, CG₁, CG₂ et g.

La relation précédente est supposée satisfaite. Montrer que le moment en C des forces s'exerçant sur l'ensemble Σ s'exprime sous la forme Γ_C = Mₘ G₁G₂ ∧ g et donner l'expression de Mₘ en fonction…

Proposer une situation électrostatique analogue à celle étudiée ici. En particulier, d'étailler cette analogie terme à terme pour la relation précédente.

Déduire de la relation précédente l'orientation prise par le vecteur G₁G₂ à l'équilibre stable de Σ. Vérifier la cohérence de la stabilité de l'équilibre à l'aide d'un ou de plusieurs dessins…

En revenant au système réel de la figure 3, expliquer le rôle de la vis V.

Déterminer l'expression de la puissance du couple de frottements. En déduire le signe de α.

Montrer que l'équation différentielle vérifiée par ε est dε/dt + α/J ε = αγ/J cos Ω t.

Montrer qu'au bout d'un temps suffisant, ε(t) est une fonction sinusoïdale de pulsation Ω que l'on cherchera sous la forme ε(t) = a cos (Ω t-φ). Exprimera a et φ en fonction de γ, J, Ω et α en…

Expliquer pourquoi, de façon à régulariser le fonctionnement d'objets en rotation, on adjoint aux parties tournantes un anneau massif et de grand rayon appelé volant d'inertie. Pourquoi un tel…

En déduire que le moment total Γ exercé par les forces de cisaillement sur le cylindre intérieur suivant l'axe (Oz) s'écrit Γ = 4πη L(ω₂ R₁² R₂²)/(R₂² - R₁²).

Lorsque le système est à l'équilibre mécanique, on mesure l'angle θ_eq = 8° à l'aide d'un rapporteur. Déterminer l'expression de la vitesse U du vent, en fonction de µ, m, g et θ_eq. Faire…

On représente sur la figure 2 un anémomètre composé de 4 coupelles coniques décalées de 90° les unes par rapport aux autres et soumises à un vent de vitesse U. Reproduire ce schéma sur votre copie…

Proposer une interprétation qualitative au fait que le couple aérodynamique Γ diminue avec la fréquence de rotation de l'anémomètre, comme constaté dans le document 3.

En négligeant la vitesse de démarrage U₀, estimer la distance d'étalonnage ℓ₀ de l'anémomètre étudié dans le document 3.

Exprimer le couple maximum C développé par le treuil en fonction de P_u, vₘₐₓ et de D. Calculer alors C.

Exprimer le moment de torsion M dû aux forces de cisaillement et montrer qu'il se met sous la forme M = C_z où la raideur du fil de torsion C est une constante (appelée constante de torsion) qu'on…

Exprimer la force F₁ exercée par le vent sur la pale n°1 dans la base (e_r, e_θ). Commenter l'effet de chacune des composantes sur la rotation de l'éolienne.

Exprimer M_z,1, moment de la force F₁ par rapport à l'axe Oz et montrer que M_z,1 = κ f(θ) où f(θ) = (1 + 2λ₀ sin θ + λ₀²) (cos ² θ)/((λ₀ + sin θ)²). En déduire κ.

Exprimer le couple Γ_z engendré par les trois pales sur le rotor de l'éolienne.

La puissance moyenne du couple est P = Γ_zω. En déduire la puissance moyenne transférée au rotor dans ce modèle. En donner une estimation numérique dans le cas considéré jusqu'ici. Donner un exemple…

Quelle sera(seront) la(les) fréquence(s) des composantes sinusoïdales du couple ? Donner leurs valeurs dans la plage de fonctionnement nominale, pour v_∞ allant de 0 à 16 m⁻¹ ?

Calculer la valeur du couple mécanique exercé par l'écoulement de l'air sur l'éolienne pour fournir une puissance moyenne de 5 kW à la charge de résistance R_u sous une tension efficace de 230 V à…

Déterminer l'énergie potentielle de pesanteur E_p de la tige en fonction de m, g, ℓ, α et θ.

a) Montrer que F = T₂ uₓ. b) En déduire Γₘ et faire l'application numérique.

La loi du moment cinétique scalaire appliquée à la voiture par rapport à l'axe (G, u_y) permet de montrer que (N₁ - N₂) b = T₂ h. a) Pourquoi le couple Γₘ n'intervient-il pas dans ce résultat ? b)…

Les lois de Coulomb sur le frottement solide permettent d'assurer que les roues ne glissent pas sur la chaussée si |T_k| < f N_k avec k 1, 2. a) Quelles roues risquent de glisser ? b) Montrer qu'un…

Lors de la préparation de leur plan, un des protagonistes suggère d'utiliser des voitures à propulsion arrière. a) Quelles sont alors les expressions de T₁ et de T₂ ? b) En admettant que N₁ et N₂…

Si Jupiter était assimilable en l'absence de rotation propre à une boule pleine, homogène, de masse volumique uniforme évaluée à la question Q2, quelle devrait être la valeur de la constante K =…

La figure F3 montre un mécanisme d'horlogerie avec le ressort spiral et le balancier mais aussi un système dit d'échappement avec une "ancre". À quoi peut servir ce système ?

En traduisant l'équilibre mécanique du tronçon élémentaire [x, x + dx] déduire d'une part que la composante algébrique T est uniforme, d'autre part l'équation différentielle liant T à M.

En appliquant la relation (1) à chacun des demi-tronçons élémentaires supérieur et inférieur, établir l'équation liant dα/dx à M, E, b et h. On se souviendra que |y'| ≪ 1 et donc que |α| ≪ 1.

À partir du résultat précédent et d'un raisonnement géométrique appliqué à la figure (4), établir que la déformée vérifie l'équation différentielle : D (d² y)/dx² = M (2) Le paramètre D est une…

Déduire des résultats précédents l'expression de la fonction y = y(x), paramétrée par les grandeurs D, L et F.

En sommant les participations de chaque tronçon élémentaire [x, x+dx], établir l'expression de l'énergie cinétique E_c de la lame. En déduire l'expression de sa masse effective m_eff en fonction de…

La nature « idéale » de la poulie et du fil permet de considérer que la norme F de la tension du fil est conservée tout le long du fil. En appliquant le théorème de la résultante cinétique au solide…

On s'intéresse à la première phase du mouvement. a) Exprimer le lien entre X et Z en le justifiant dans cette première phase. b) Établir dans cette phase la vitesse X(t) en fonction de α, f_g et g…

On s'intéresse à la deuxième phase du mouvement. a) Exprimer X(t) dans cette phase en fonction de t, t₁, V₁, X₀, H₀, g et f_g. b) Exprimer f_g en fonction de α, H₀ et D.

Établir les expressions : a) de l'allongement X₁ b) de la date t₁ associés au début de glissement du solide 1 par rapport au tapis.

Montrer qu'alors la fréquence approchée du mouvement est donnée par : ν = (ω₀² V)/(2 g f_s). Évaluer numériquement cette fréquence en supposant que la raideur vaut k = 4 kN⁻¹ et que la vitesse du…

Établir une intégrale première du mouvement à partir de l'équation (1). Cette équation sera notée (3).

Expliquer en quoi cette équation (3) fait apparaître les différentes formes d'énergies. Vérifier, à partir des unités de base du Système International, que les différents termes sont homogènes à des…

Expliquer, sans calcul, à partir de quelle équation, modifiée, on peut obtenir le portait de phase de la figure 3. Préciser l'évolution du tracé de ce portrait de phase au cours du temps.

Calculer numériquement ω₁ : A) ω₁ ≈ 1 rad.s⁻¹ B) ω₁ ≈ 2,3 rad.s⁻¹ C) ω₁ ≈ 5 rad.s⁻¹ D) ω₁ ≈ 12 rad.s⁻¹

Nous allons maintenant étudier la rotation de la particule, en se donnant un repère OXYZ défini ainsi : • Les axes de ce nouveau repère sont fixés à la particule • L'axe OZ pointe à chaque instant…

On suppose dans cette question que ω ≪ Ω et ω_r ≪ Ω. a - En déduire que les angles φ₁ et φ₂ subissent un couple de rappel autour de la valeur nulle sous l'action du piège électrique. b - Calculer…

Donner, sans développer les calculs de produits scalaires ou produits vectoriels, les 6 équations permettant de relier les forces Fₓ, F_y, F_z et les couples C_mi aux variables x, y, z, θ_i et à…

Déterminer les relations vectorielles entre F_A, F_B et F, M en fonction des paramètres géométriques et cinétiques. Préciser le(s) théorème(s) ou principe(s) utilisé(s) et le système isolé. On ne…

Déterminer l'expression de ℓ(τ) et en déduire la longueur du ressort ℓ(0) à l'instant τ = 0. Montrer qu'à l'instant τ₁ elle est devenue ℓ(τ₁) = ℓ(0) - 2α v₀/ω. En déduire la durée τ₂ qui devra alors…

Pour le rail identifié dans la question Q 28, comparer le degré d'usure des faces supérieure et intérieure du rail. Préciser les approximations réalisées.

a) Exprimer (p_opt*)/p_opt en fonction du seul rapport (l*)/l_j dans le cas d'une jambe à répartition de masse uniforme. b) Calculer (p_opt*)/p_opt pour un berger adulte de longueur de jambe l_j = 1…

En appliquant le théorème scalaire du moment cinétique en régime permanent de fonctionnement au système (Σ), établir l'équation mécanique (E₂) qui relie I, Ω_p, Dₘ, a et v.

Exprimer la composante, selon l'axe (Oz), du moment cinétique d²σ_z du domaine élémentaire, par rapport au référentiel R₀. On fera apparaître, dans cette expression, la vitesse v. En appliquant le…

Déterminer l'expression du champ de déformation u(x), en régime quasi-statique, le long de l'interface, c'est-à-dire à l'intérieur de la zone en glissement, et à l'extérieur de cette zone.

Estimer le couple mécanique résistant s'exerçant en moyenne sur l'anémomètre du fait de la présence de la bobine au voisinage de l'aimant. Cela est-il de nature à perturber le fonctionnement de…

Exprimer le moment Γ_v résultant de l'ensemble des forces visqueuses par rapport à l'axe de rotation (Fz) en fonction de η, Ω, a, ℓ_f et h.

a) Déterminer les fonctions allongement X(t) et vitesse X(t) pendant la phase de glissement. b) Pour quelle valeur de X(t = t₂), cette phase s'arrête-t-elle ? c) Représenter l'allure de X(t) et de…

Évaluer le travail des forces de frottement sur une période dans ce modèle. Commenter.

L'équation du mouvement se met sous la forme suivante: θ + ω₁² sin θ = 0 où ω₁ est une constante temporelle. Déterminer ω₁. A) ω₁ = (g/ℓ)¹/²(1 + (ℓ² B₀² C)/2m)⁻¹/² B) ω₁ = (g/ℓ)¹/²(1 - (ℓ² B₀²…

Justifier la valeur de l'angle d'inclinaison choisi. À l'aide d'une démarche que l'on présentera avec soin, estimer la puissance mécanique transmise par le fluide au premier étage de la turbine…