Feuille d'entraînement : Mécanique du solide

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie MPI 2024, Q14

   On étudie la jambe gauche (j_{\mathrm{g}}), solide indéformable de masse m_{\mathrm{j}}, dans le référentiel lié au buste, supposé galiléen selon l'énoncé.

   Dans ce référentiel, le point F_{\mathrm{g}} (pivot fémoral) est fixe. La jambe est en rotation autour de l'axe fixe \Delta = (F_{\mathrm{g}} y), orienté par \vec{u}_y.

   D'après la figure 7b, \theta(t) désigne l'écart angulaire de la jambe par rapport à la verticale descendante (l'énoncé mentionne par inadvertance la « verticale ascendante », mais la figure 7b ainsi que le caractère oscillatoire de la phase confirment qu'il s'agit de la verticale descendante passant par F_{\mathrm{g}}).

   • Moment cinétique : le moment d'inertie de la jambe par rapport à l'axe (F_{\mathrm{g}} y) étant noté J_F, la projection du moment cinétique sur cet axe s'écrit :

     \sigma_{\Delta} = J_F \, \dot{\theta}(t)

   • Bilan des actions mécaniques extérieures :

     • L'action de la liaison pivot en F_{\mathrm{g}}, dont le moment par rapport à l'axe de rotation est nul car la liaison est supposée parfaite : \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{R}) = 0.
     • Le poids \vec{P} = m_{\mathrm{j}}\vec{g} = -m_{\mathrm{j}}g\vec{u}_z, s'appliquant au centre de masse G_{\mathrm{jg}}, situé à la distance F_{\mathrm{g}}G_{\mathrm{jg}} = \Delta du pivot.

   • Moment scalaire du poids : Avec \vec{F_{\mathrm{g}}G_{\mathrm{jg}}} = \Delta \sin\theta \, \vec{u}_x - \Delta \cos\theta \, \vec{u}_z, le moment du poids par rapport à F_{\mathrm{g}} vaut :

     \begin{aligned} \vec{\mathcal{M}}_{F_{\mathrm{g}}}(\vec{P}) &= \vec{F_{\mathrm{g}}G_{\mathrm{jg}}} \times \vec{P} \\ &= (\Delta \sin\theta \, \vec{u}_x - \Delta \cos\theta \, \vec{u}_z) \times (-m_{\mathrm{j}}g\vec{u}_z) \\ &= - m_{\mathrm{j}} g \Delta \sin\theta \, (\vec{u}_x \times \vec{u}_z) \end{aligned}

     Le poids exerce un couple de rappel qui tend à ramener la jambe vers la position verticale d'équilibre \theta = 0. Sa projection sur l'axe de rotation s'écrit donc :

     \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{P}) = - m_{\mathrm{j}} g \Delta \sin\theta

   En appliquant le théorème du moment cinétique projeté sur l'axe (F_{\mathrm{g}} y) :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\sigma_{\Delta}}{\mathrm{d}t} &= \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{P}) + \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{R}) \\ J_F \, \ddot{\theta}(t) &= - m_{\mathrm{j}} g \Delta \sin\theta(t) \end{aligned}

   On obtient ainsi l'équation différentielle régissant le mouvement d'oscillation :

   \boxed{\ddot{\theta}(t) + \frac{m_{\mathrm{j}} g \Delta}{J_F} \sin\theta(t) = 0}

   Résultat

   $$\ddot{\theta }(t)+\frac{m_{\mathrm{j}}g\Delta }{J_F}\sin \theta (t)=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2E3A Physique-Chimie MPI 2025, Q11

   Le modèle utilisé aux questions Q8 à Q10 repose sur l'hypothèse que l'ensemble constitué du plateau mobile et du spationaute forme un solide indéformable unique de masse m = m_1 + m_2, animé d'un mouvement de translation rectiligne sinusoïdal selon z.

   Or, le corps humain est par nature déformable et articulé :

   • Solidariser la masse au dispositif : en se tenant fermement, en calant ses genoux, ses pieds et son menton, le spationaute s'immobilise par rapport au plateau et supprime tout mouvement relatif entre les différentes parties de son corps et le support. Toute la masse corporelle m_2 participe ainsi rigoureusement au même mouvement d'oscillation à la pulsation \omega_0.
   • Éviter l'apparition de modes propres parasites et d'amortissement : si des membres restaient libres ou fléchis, le système se comporterait comme une chaîne d'oscillateurs couplés (tissus mous, membres oscillant en déphasage), ce qui modifierait la période apparente d'oscillation T et dissiperait de l'énergie par frottements internes musculaires et articulaires.
   • Préserver la translation pure sans frottement : cette posture rigide et symétrique évite d'induire des moments de basculement qui provoqueraient des forces d'appui normales et des frottements mécaniques sur les glissières de guidage du chariot.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique-Chimie MPI 2024, Q15

   D'après la question Q14, l'équation différentielle régissant l'oscillation libre de la jambe gauche (j_{\mathrm{g}}) s'écrit :

   \ddot{\theta}(t) + \frac{m_{\mathrm{j}} g \Delta}{J_F}\sin\theta(t) = 0

   Dans l'approximation des petits angles, on a \sin\theta(t) \simeq \theta(t), ce qui conduit à l'équation d'un oscillateur harmonique :

   \ddot{\theta}(t) + \omega_{\mathrm{os}}^2\,\theta(t) = 0

   On en déduit l'expression de la pulsation d'oscillation :

   \boxed{\omega_{\mathrm{os}} = \sqrt{\frac{m_{\mathrm{j}} g \Delta}{J_F}}}

   La période propre associée à ces oscillations libres est :

   T_0 = \frac{2\pi}{\omega_{\mathrm{os}}} = 2\pi\sqrt{\frac{J_F}{m_{\mathrm{j}} g \Delta}}

   Durant la phase d'oscillation gauche, la jambe est libérée en arrière en \theta = -\theta_{\mathrm{a}} avec une vitesse angulaire nulle et oscille jusqu'à atteindre l'avant en \theta = +\theta_{\mathrm{a}} où elle reprend appui au sol. Ce mouvement d'un extremum à l'extremum opposé constitue une demi-oscillation (ou un aller simple), de sorte que la durée \tau_{\mathrm{os}} correspond à une demi-période :

   \tau_{\mathrm{os}} = \frac{T_0}{2} = \frac{\pi}{\omega_{\mathrm{os}}}

   Soit, en fonction des grandeurs du problème :

   \boxed{\tau_{\mathrm{os}} = \pi \sqrt{\frac{J_F}{m_{\mathrm{j}} g \Delta}}}

   Résultat

   $${\omega }_{\mathrm{os}}=\sqrt{\frac{m_{\mathrm{j}}g\Delta }{J_F}}$$

   $${\tau }_{\mathrm{os}}=\pi \sqrt{\frac{J_F}{m_{\mathrm{j}}g\Delta }}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique-Chimie MPI 2024, Q16

   L'énergie mécanique du marcheur est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle de pesanteur du système (\Sigma) = \{(j_{\mathrm{d}}), (j_{\mathrm{g}}), (b)\} :

   \Delta\mathcal{E} = \Delta E_{\mathrm{c}}(\Sigma) + \Delta E_{\mathrm{pp}}(\Sigma)

   1. Bilan d'énergie cinétique :

   • Le buste (b) est animé d'un mouvement de translation quasi-uniforme de vitesse V_{\mathrm{dc}} constante, donc sa variation d'énergie cinétique est négligée : \Delta E_{\mathrm{c}}(b) = 0.

   • La jambe droite (j_{\mathrm{d}}) est en rotation autour de l'axe fixe O_{\mathrm{d}}y. Sa vitesse angulaire valant \Omega(0) = 0 à t = 0 et \Omega(\tau_{\mathrm{dc}}) à t = \tau_{\mathrm{dc}}, on a :

     \Delta E_{\mathrm{c}}(j_{\mathrm{d}}) = \frac{1}{2} J_O \Omega(\tau_{\mathrm{dc}})^2 - \frac{1}{2} J_O \Omega(0)^2 = \frac{1}{2} J_O \Omega(\tau_{\mathrm{dc}})^2

   • D'après l'énoncé, les variations d'énergie cinétique des deux jambes sont supposées égales :

     \Delta E_{\mathrm{c}}(j_{\mathrm{g}}) = \Delta E_{\mathrm{c}}(j_{\mathrm{d}}) = \frac{1}{2} J_O \Omega(\tau_{\mathrm{dc}})^2

   La variation totale d'énergie cinétique vaut donc :

   \Delta E_{\mathrm{c}}(\Sigma) = \Delta E_{\mathrm{c}}(j_{\mathrm{d}}) + \Delta E_{\mathrm{c}}(j_{\mathrm{g}}) + \Delta E_{\mathrm{c}}(b) = J_O \Omega(\tau_{\mathrm{dc}})^2

   2. Bilan d'énergie potentielle de pesanteur :

   • Les variations d'énergie potentielle de pesanteur des deux jambes sont négligées : \Delta E_{\mathrm{pp}}(j_{\mathrm{d}}) \approx 0 et \Delta E_{\mathrm{pp}}(j_{\mathrm{g}}) \approx 0.

   • Le centre de masse G_b du buste subit une élévation d'altitude h = z_{G_b}(\tau_{\mathrm{dc}}) - z_{G_b}(0) dans le champ de pesanteur uniforme, d'où :

     \Delta E_{\mathrm{pp}}(b) = m_b g h

   La variation d'énergie potentielle totale s'écrit alors :

   \Delta E_{\mathrm{pp}}(\Sigma) = m_b g h

   En sommant les deux contributions, on obtient :

   \boxed{\Delta\mathcal{E} = J_O \Omega(\tau_{\mathrm{dc}})^2 + m_b g h}

   Résultat

   $$\Delta \mathcal{E}=J_O\Omega ({\tau }_{\mathrm{dc}}{)}^2+m_{b}gh$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique-Chimie MPI 2024, Q18

   D'après la question Q16, la variation d'énergie mécanique de l'ensemble marcheur (\Sigma) pendant la phase de double contact vaut :

   \Delta\mathcal{E} = J_O \Omega(\tau_{\mathrm{dc}})^2 + m_{\mathrm{b}} g h

   D'après la question Q17, la puissance musculaire moyenne s'écrit :

   \mathscr{P} = \frac{\Delta\mathcal{E}}{\tau_{\mathrm{dc}}} = \frac{1}{\tau_{\mathrm{dc}}} \left( J_O \Omega(\tau_{\mathrm{dc}})^2 + m_{\mathrm{b}} g h \right)

   D'après les hypothèses du préambule de la section III.2, la vitesse moyenne de translation du buste est liée au pas p et à la durée \tau_{\mathrm{dc}} par :

   V_{\mathrm{dc}} = \frac{p}{\tau_{\mathrm{dc}}} \quad \implies \quad \frac{1}{\tau_{\mathrm{dc}}} = \frac{V_{\mathrm{dc}}}{p}

   En utilisant la condition de marche \Omega(\tau_{\mathrm{dc}}) = \omega_{\mathrm{os}} et l'expression de la pulsation propre issue de la question Q15 :

   \omega_{\mathrm{os}}^2 = \frac{m_{\mathrm{j}} g \Delta}{J_F}

   le terme cinétique devient :

   J_O \Omega(\tau_{\mathrm{dc}})^2 = J_O \omega_{\mathrm{os}}^2 = \frac{J_O m_{\mathrm{j}} \Delta}{J_F} g

   En substituant ce terme ainsi que l'expression approchée de la montée du buste h \simeq \frac{p^2}{2l_{\mathrm{j}}}, il vient :

   \begin{aligned} \mathscr{P} &= \frac{V_{\mathrm{dc}}}{p} \left( \frac{J_O m_{\mathrm{j}} \Delta}{J_F} g + m_{\mathrm{b}} g \frac{p^2}{2l_{\mathrm{j}}} \right) \\ &= \left( \frac{J_O m_{\mathrm{j}} \Delta}{J_F p} + \frac{m_{\mathrm{b}} p}{2l_{\mathrm{j}}} \right) g V_{\mathrm{dc}} \end{aligned}

   On obtient bien la relation demandée :

   \boxed{\mathscr{P} = \left( \frac{J_O m_{\mathrm{j}} \Delta}{J_F p} + \frac{m_{\mathrm{b}} p}{2l_{\mathrm{j}}} \right) g V_{\mathrm{dc}}}

   Résultat

   $$\mathcal{P}=\left(\frac{J_O{m}_{\mathrm{j}}\Delta }{J_{F}p}+\frac{m_{\mathrm{b}}p}{2l_{\mathrm{j}}}\right)g{V}_{\mathrm{dc}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie MPI 2024, Q21

   a) D'après la question Q19, le pas optimal s'écrit :

   p_{\mathrm{opt}} = \sqrt{\frac{2 l_{\mathrm{j}} J_O m_{\mathrm{j}} \Delta}{m_{\mathrm{b}} J_F}}

   L'échasse est modélisée comme une tige de longueur l^* et de masse négligeable fixée au pied de la jambe :

   • Paramètres inchangés :

     • La masse du buste m_{\mathrm{b}} reste inchangée.
     • La masse de la jambe équivalente reste m_{\mathrm{j}} car la masse de l'échasse est négligée.
     • La position du centre de masse G_{\mathrm{j}} par rapport au pivot fémoral F ne change pas, donc la distance \Delta = F G_{\mathrm{j}} reste inchangée.
     • Le moment d'inertie de la jambe oscillante par rapport à l'axe fémoral Fy reste inchangé (J_F) car la masse de l'échasse est négligeable.

   • Paramètres modifiés :

     • La longueur de la jambe en contact avec le sol devient celle de la jambe équivalente :

       l_{\mathrm{j}} \longrightarrow l_{\mathrm{j}}^* = l_{\mathrm{j}} + l^*

     • Le point de rotation au sol n'est plus O mais E (extrémité inférieure de l'échasse), de sorte que le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation au sol est modifié :

       J_O \longrightarrow J_E^*

   b) En substituant ces modifications dans l'expression de p_{\mathrm{opt}}, le nouveau pas optimal s'écrit :

   \boxed{p_{\mathrm{opt}}^* = \sqrt{\frac{2 (l_{\mathrm{j}} + l^*) J_E^* m_{\mathrm{j}} \Delta}{m_{\mathrm{b}} J_F}}}

   En effectuant le quotient avec l'expression de p_{\mathrm{opt}} :

   \frac{p_{\mathrm{opt}}^*}{p_{\mathrm{opt}}} = \sqrt{\frac{l_{\mathrm{j}} + l^*}{l_{\mathrm{j}}} \cdot \frac{J_E^*}{J_O}}

   soit :

   \boxed{\frac{p_{\mathrm{opt}}^*}{p_{\mathrm{opt}}} = \sqrt{\left(1 + \frac{l^*}{l_{\mathrm{j}}}\right) \frac{J_E^*}{J_O}}}

   Résultat

   $$p_{\mathrm{opt}}^{\ast }=\sqrt{\frac{2(l_{\mathrm{j}}+l^{\ast })J_E^{\ast }{m}_{\mathrm{j}}\Delta }{m_{\mathrm{b}}{J}_F}}$$

   $$\frac{p_{\mathrm{opt}}^{\ast }}{p_{\mathrm{opt}}}=\sqrt{\left(1+\frac{l^{\ast }}{l_{\mathrm{j}}}\right)\frac{J_E^{\ast }}{J_O}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie MPI 2024, Q22

   a) D'après le tableau 1, les moments d'inertie valent respectivement :

   J_O = \frac{m_{\mathrm{j}}}{3} l_{\mathrm{j}}^2 \quad \text{et} \quad J_E^* = \frac{m_{\mathrm{j}}}{3}\left(l_{\mathrm{j}}^2 + 3\,l^*l_{\mathrm{j}} + 3\,l^{*2}\right)

   Le quotient des moments d'inertie s'écrit donc en fonction du seul rapport \frac{l^*}{l_{\mathrm{j}}} :

   \frac{J_E^*}{J_O} = 1 + 3\,\frac{l^*}{l_{\mathrm{j}}} + 3\left(\frac{l^*}{l_{\mathrm{j}}}\right)^2

   En injectant ce rapport dans l'expression établie à la question Q21.b, on obtient :

   \boxed{\frac{p_{\mathrm{opt}}^*}{p_{\mathrm{opt}}} = \sqrt{\left(1 + \frac{l^*}{l_{\mathrm{j}}}\right)\left(1 + 3\,\frac{l^*}{l_{\mathrm{j}}} + 3\left(\frac{l^*}{l_{\mathrm{j}}}\right)^2\right)}}

   b) Pour l_{\mathrm{j}} = 1\text{ m} et l^* = 1\text{ m}, le rapport des longueurs vaut \frac{l^*}{l_{\mathrm{j}}} = 1. L'application numérique donne :

   \begin{aligned} \frac{p_{\mathrm{opt}}^*}{p_{\mathrm{opt}}} &= \sqrt{(1 + 1)\left(1 + 3\times 1 + 3\times 1^2\right)} = \sqrt{2 \times 7} = \sqrt{14} \approx 3{,}74 \end{aligned}

   Soit :

   \boxed{\frac{p_{\mathrm{opt}}^*}{p_{\mathrm{opt}}} \approx 3{,}7}

   c) Pendant la phase d'oscillation, la jambe oscille autour de l'axe de son pivot fémoral F_{\mathrm{g}}y. La pulsation associée est donnée par (d'après Q15) :

   \omega_{\mathrm{os}} = \sqrt{\frac{m_{\mathrm{j}} g \Delta}{J_F}} \quad \text{et} \quad \tau_{\mathrm{os}} = \frac{\pi}{\omega_{\mathrm{os}}} = \pi \sqrt{\frac{J_F}{m_{\mathrm{j}} g \Delta}}

   L'échasse étant modélisée par une tige de masse négligeable fixée à la jambe :

   • la masse totale de la jambe mobile reste égale à m_{\mathrm{j}} ;
   • la position du centre de masse G_{\mathrm{jg}} par rapport à l'axe fémoral est inchangée, donc la distance \Delta est inchangée ;
   • le moment d'inertie par rapport à l'axe fémoral F_{\mathrm{g}}y est inchangé (J_F^* = J_F).

   Par conséquent, la pulsation \omega_{\mathrm{os}} ainsi que la durée de la phase oscillante restent inchangées :

   \boxed{\tau_{\mathrm{os}}^* = \tau_{\mathrm{os}} \quad \text{(la durée de la phase oscillante n'est pas modifiée)}}

   d) La vitesse moyenne de déplacement horizontal sur un cycle vérifiant V \propto p_{\mathrm{opt}}\,\omega_{\mathrm{os}}, le rapport des vitesses s'écrit :

   \frac{V^*}{V} = \frac{p_{\mathrm{opt}}^*}{p_{\mathrm{opt}}} \times \frac{\omega_{\mathrm{os}}^*}{\omega_{\mathrm{os}}}

   Comme \omega_{\mathrm{os}}^* = \omega_{\mathrm{os}}, on en déduit directement :

   \boxed{\frac{V^*}{V} = \frac{p_{\mathrm{opt}}^*}{p_{\mathrm{opt}}} = \sqrt{14} \approx 3{,}7}

   Commentaire : À puissance musculaire minimisée (conditions optimales), l'utilisation d'échasses de 1\text{ m} permet au berger de multiplier sa vitesse de déplacement par un facteur proche de 3{,}7 (le pas passe typiquement de 0{,}41\text{ m} à plus de 1{,}5\text{ m} pour une même cadence d'oscillation pendulaire des membres). Ce gain spectaculaire de rapidité et d'enjambée pour un moindre coût énergétique justifie pleinement le qualificatif de « marche à pied augmentée ».

   Résultat

   $$\frac{p_{\mathrm{opt}}^{\ast }}{p_{\mathrm{opt}}}=\sqrt{\left(1+\frac{l^{\ast }}{l_{\mathrm{j}}}\right)\left(1+3\frac{l^{\ast }}{l_{\mathrm{j}}}+3{\left(\frac{l^{\ast }}{l_{\mathrm{j}}}\right)}^2\right)}$$

   $$\frac{p_{\mathrm{opt}}^{\ast }}{p_{\mathrm{opt}}}\approx 3,7$$

   $${\tau }_{\mathrm{os}}^{\ast }={\tau }_{\mathrm{os}}\text{(la dureˊe de la phase oscillante n’est pas modifieˊe)}$$

   $$\frac{V^{\ast }}{V}=\frac{p_{\mathrm{opt}}^{\ast }}{p_{\mathrm{opt}}}=\sqrt{14}\approx 3,7$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question