Corrigé détaillé E3A Physique Chimie MPI 2025

• Référentiel géocentrique : il a pour origine le centre de masse O de la Terre et ses trois axes sont dirigés vers trois étoiles lointaines considérées comme fixes.
• Référentiel terrestre : il est lié à la Terre ; ses axes sont fixes par rapport au globe terrestre (par exemple définis localement par la verticale et le plan horizontal en un lieu donné).

• Mouvement relatif : le référentiel terrestre est en rotation uniforme par rapport au référentiel géocentrique autour de l'axe des pôles (axe Nord-Sud), de vitesse angulaire constante :

  \vec{\Omega} = \Omega\,\vec{u}_z

  où la période de rotation correspond au jour sidéral (T_{\text{sid}} \approx 23\text{ h } 56\text{ min } 4\text{ s}, soit \Omega \approx 7{,}3 \times 10^{-5}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}).

Dans le modèle à répartition sphérique de masse pour la Terre, la force gravitationnelle exercée par la Terre sur l'objet M de masse m situé à la surface (OM = R_T) s'exprime par :

où \vec{u}_z = \frac{\vec{OM}}{R_T} est le vecteur unitaire radial dirigé vers l'extérieur. Sa norme vaut :

Le référentiel terrestre \mathcal{R}_T étant en rotation uniforme à la vitesse angulaire \vec{\Omega} = \Omega \vec{u}_{\Delta} autour de l'axe des Pôles par rapport au référentiel géocentrique galiléen, la force d'inertie d'entraînement (force centrifuge) s'écrit :

où H est la projection orthogonale de M sur l'axe des Pôles (figure 1).

La distance de M à l'axe de rotation est HM = R_T \cos\lambda, ce qui donne pour la norme :

Vectoriellement, en projetant dans la base (\vec{u}_y, \vec{u}_z) représentée sur la figure 1, le vecteur unitaire porté par \vec{HM} s'écrit \vec{u}_{HM} = \cos\lambda\,\vec{u}_z - \sin\lambda\,\vec{u}_y, d'où :

D'après les résultats établis à la question Q2, les normes des deux forces s'écrivent :

1. Application numérique pour la force de gravitation :

2. Application numérique pour la force d'inertie d'entraînement :

3. Commentaire : Comparons les ordres de grandeur des deux forces par leur rapport :

La force d'inertie d'entraînement (force centrifuge liée à la rotation de la Terre) est environ 400 fois plus faible que la force de gravitation, représentant moins de 0{,}3\,\% de cette dernière.

En excellente approximation, le poids \vec{P} = \vec{F}_g + \vec{F}_{ie} est donc dominé par l'attraction gravitationnelle : la verticale du lieu (direction du fil à plomb) est quasiment confondue avec la direction radiale vers le centre de la Terre.

1. Principe du dispositif (peson ou dynamomètre)

On suspend verticalement l'objet de masse m à l'extrémité inférieure d'un ressort de raideur k connue et de longueur à vide \ell_0, l'autre extrémité étant attachée à une potence fixe dans le référentiel terrestre \mathcal{R}_{\text{T}}. À l'équilibre, l'élongation du ressort \Delta \ell = \ell_{\text{éq}} - \ell_0 permet de remonter directement à la masse.

2. Établissement de la formule

On étudie le système constitué de la masse m dans le référentiel terrestre \mathcal{R}_{\text{T}}, supposé galiléen pour cette expérience d'équilibre statique.

Le système est soumis à deux forces :

• son poids \vec{P} = m \vec{g} = m g \vec{u}_z, orienté selon la verticale descendante locale ;
• la force de rappel élastique exercée par le ressort : \vec{T} = - k (\ell_{\text{éq}} - \ell_0) \vec{u}_z = - k \Delta \ell \, \vec{u}_z.

À l'équilibre mécanique, le principe fondamental de la statique donne :

En projetant sur l'axe vertical descendant (Oz) :

On en déduit l'expression de la masse m de l'objet :

où g = \|\vec{g}\| est l'accélération locale de la pesanteur (sur Terre, g \approx 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}).

1. Expression de la vitesse orbitale :

On modélise l'ISS par son centre d'inertie S de masse M_S, en mouvement circulaire de rayon r = R_T + h autour du centre O de la Terre. L'étude est menée dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen.

En négligeant toute autre influence gravitationnelle et les frottements atmosphériques résiduels, la seule force appliquée est l'attraction gravitationnelle exercée par la Terre :

où \vec{u}_r = \frac{\overrightarrow{OS}}{\|\overrightarrow{OS}\|} est le vecteur unitaire radial centrifuge.

Dans la base de Frenet (\vec{u}_\tau, \vec{u}_n) liée au point S, orientée de telle sorte que \vec{u}_n = -\vec{u}_r, l'accélération d'un point en trajectoire circulaire s'écrit :

La deuxième loi de Newton donne M_S \vec{a} = \vec{F}, ce qui se projette :

• sur l'axe tangentiel \vec{u}_\tau : \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0 \implies v = \text{cte} (le mouvement est uniforme) ;

• sur l'axe normal \vec{u}_n :

  \begin{aligned} M_S \frac{v^2}{R_T + h} &= \frac{G M_T M_S}{(R_T + h)^2} \end{aligned}

On en déduit l'expression de la vitesse orbitale :

2. Vérification numérique :

Avec R_T = 6{,}4 \cdot 10^6\text{ m}, h = 400\text{ km} = 4{,}0 \cdot 10^5\text{ m} (soit r = 6{,}8 \cdot 10^6\text{ m}), M_T = 6{,}0 \cdot 10^{24}\text{ kg} et G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2} :

En kilomètres par heure :

La valeur annoncée par l'article de la Cité de l'Espace (28\,000\text{ km/h}) est donc parfaitement vérifiée.

3. Période de révolution :

Le mouvement étant uniforme sur une trajectoire circulaire de rayon r = R_T + h, la période de révolution T_{\text{ISS}} vérifie :

En utilisant la valeur imposée v = 28 \cdot 10^3\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{28 \cdot 10^3}{3{,}6}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 7{,}78 \cdot 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

1. Expression de la force gravitationnelle

Le spationaute de masse m, situé en M, subit de la part de la Terre de centre O et de masse M_T la force gravitationnelle :

avec r = OM.

2. Expression de la force d'inertie d'entraînement

L'énoncé précise que le référentiel lié à l'ISS est en rotation uniforme par rapport au référentiel géocentrique, à la vitesse angulaire orbitale \vec{\omega} = \omega\,\vec{u}_\perp (où \vec{u}_\perp est normal au plan orbital), autour d'un axe passant par O. D'après l'étude de l'orbite circulaire à la question Q5, la pulsation orbitale vérifie :

Pour le spationaute situé au voisinage de l'orbite (dans le plan orbital), l'accélération d'entraînement est purement centrifuge :

La force d'inertie d'entraînement s'écrit donc :

3. Somme des forces au centre de gravité S de l'ISS et impesanteur

Lorsque le spationaute se trouve au centre de gravité S de la station (M = S, soit r = OS = R_T + h) :

La somme de ces deux forces est donc strictement nulle :

dont la norme vaut numériquement :

À titre indicatif, la norme de chacune de ces forces vaut :

Bien que l'attraction terrestre reste intense à cette altitude (environ 89\,\% de sa valeur au sol), elle est exactement compensée par la force d'inertie d'entraînement centrifuge. Le spationaute ne subit aucune force résultante dans le référentiel de l'ISS : il n'exerce aucune action de contact sur les parois et se trouve en état d'impesanteur (ou chute libre permanente).

La méthode statique proposée à la question Q4 repose sur la condition d'équilibre d'une masse m accrochée à un ressort dans le référentiel d'étude :

Or, d'après le résultat de la question Q6, le référentiel de la station spatiale internationale est en chute libre autour de la Terre : la force d'inertie d'entraînement compense localement la force gravitationnelle. Le spationaute s'y trouve en situation d'impesanteur, si bien que le champ de pesanteur apparent y est nul :

À l'équilibre, le ressort n'exerce donc aucune tension et son élongation est nulle :

L'allongement étant nul quelle que soit la valeur de la masse m, une mesure statique de l'élongation ne permet pas de déterminer la masse du spationaute dans l'ISS.

On étudie le système constitué du plateau mobile et du spationaute, de masse totale m = m_1 + m_2, assimilé à un point matériel M de cote z le long de l'axe vertical (Oz).

L'étude est menée dans le référentiel lié à la station spatiale internationale (ISS). Dans ce référentiel, comme établi à la question Q6, le spationaute et le dispositif sont en impesanteur : la force gravitationnelle et la force d'inertie d'entraînement se compensent exactement. En l'absence de frottements, la seule force agissant selon l'axe (Oz) est la force de rappel élastique exercée par le ressort :

où \ell_0 est la longueur à vide du ressort et k sa constante de raideur.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué au système projeté sur l'axe (Oz) s'écrit :

soit, en posant la variable d'écart X(t) = z(t) - \ell_0 :

Il s'agit de l'équation différentielle canonique d'un oscillateur harmonique de pulsation propre :

La période propre d'oscillation T_0 (notée également T) s'en déduit immédiatement :

D'après la relation établie à la question Q8 :

• pour le dispositif à vide de masse mobile m_1 :

  T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}

• pour le dispositif avec le spationaute, de masse mobile totale m = m_1 + m_2 :

  T = 2\pi\sqrt{\frac{m_1 + m_2}{k}}

En élevant ces expressions au carré et en effectuant leur quotient, la raideur k du ressort s'élimine :

On en déduit l'expression littérale de la masse m_2 du spationaute :

Application numérique : Avec m_1 = 12{,}43\text{ kg}, T_1 = 0{,}82\text{ s} et T = 2{,}15\text{ s} :

La mesure de la période T_1 comportant deux chiffres significatifs, on retient :

1. Principe de la méthode de Monte-Carlo

La méthode de Monte-Carlo consiste à simuler numériquement la propagation des incertitudes lorsque la relation fonctionnelle liant la grandeur de sortie aux grandeurs d'entrée est non linéaire ou complexe :

• On modélise chaque grandeur mesurée X_k comme une variable aléatoire suivant une loi de probabilité (ici gaussienne), d'espérance égale à la valeur mesurée et d'écart-type égal à son incertitude-type u(X_k) ;
• On effectue un grand nombre N de tirages aléatoires indépendants pour chacune des variables d'entrée ;

• Pour chaque jeu de tirages, on calcule la valeur de la grandeur d'intérêt m_2 à l'aide de la formule établie à la question Q9 :

  m_2 = m_1 \left[ \left(\frac{T}{T_1}\right)^2 - 1 \right]
• L'incertitude-type u(m_2) est alors estimée par l'écart-type expérimental de l'échantillon des N valeurs calculées.

2. Complétion du script Python

import numpy as np

m1 = 12.43 # kg
um = 2.9e-3 # kg
T1 = 0.82 # s
T2 = 2.15 # s
uT = 2.9e-3 # s
N = 100000 # nombre de points a utiliser pour les calculs

# Tirages aleatoires gaussiens des grandeurs d'entree
m1_sim = np.random.normal(m1, um, N)
T1_sim = np.random.normal(T1, uT, N)
T2_sim = np.random.normal(T2, uT, N)

# Calcul des N realisations de la masse m2
m2_sim = m1_sim * ((T2_sim / T1_sim)**2 - 1)

# Estimation de l'incertitude-type u(m2)
u_m2 = np.std(m2_sim, ddof=1)
print("u(m2) =", u_m2, "kg")

Le modèle utilisé aux questions Q8 à Q10 repose sur l'hypothèse que l'ensemble constitué du plateau mobile et du spationaute forme un solide indéformable unique de masse m = m_1 + m_2, animé d'un mouvement de translation rectiligne sinusoïdal selon z.

Or, le corps humain est par nature déformable et articulé :

• Solidariser la masse au dispositif : en se tenant fermement, en calant ses genoux, ses pieds et son menton, le spationaute s'immobilise par rapport au plateau et supprime tout mouvement relatif entre les différentes parties de son corps et le support. Toute la masse corporelle m_2 participe ainsi rigoureusement au même mouvement d'oscillation à la pulsation \omega_0.
• Éviter l'apparition de modes propres parasites et d'amortissement : si des membres restaient libres ou fléchis, le système se comporterait comme une chaîne d'oscillateurs couplés (tissus mous, membres oscillant en déphasage), ce qui modifierait la période apparente d'oscillation T et dissiperait de l'énergie par frottements internes musculaires et articulaires.
• Préserver la translation pure sans frottement : cette posture rigide et symétrique évite d'induire des moments de basculement qui provoqueraient des forces d'appui normales et des frottements mécaniques sur les glissières de guidage du chariot.

1. Forme du champ magnétique

• Invariances : dans le cadre du modèle du solénoïde infini selon (Az) (L \gg a), la distribution de courant est invariante par translation le long de l'axe (Az). Par conséquent, le champ magnétique ne dépend pas de la coordonnée z :

  \vec{B}(M) = \vec{B}(x, y)

• Symétries : les spires sont planes et contenues dans des plans perpendiculaires à l'axe (Az). Tout plan \Pi d'équation z = \text{cste} est un plan de symétrie de la distribution de courants (le vecteur densité volumique de courant \vec{\jmath} appartient à ce plan).
  Le champ magnétique \vec{B} étant un vecteur axial (pseudovecteur), il est orthogonal à tout plan de symétrie des courants en tout point de ce plan. Tout point M(x, y, z) appartenant au plan z = \text{cste}, on en déduit que :

  \vec{B}(M) \parallel \vec{u}_z

En combinant symétrie et invariance, le champ magnétique s'écrit bien :

2. Expression du champ intérieur \vec{B}_{\text{int}}(M)

Appliquons le théorème d'Ampère sur un contour rectangulaire fermé \mathcal{C} = C_1 C_2 C_3 C_4 situé dans un plan parallèle à (xOz) ou (yOz) :

• le segment [C_1 C_2], de longueur \ell, est situé à l'intérieur du solénoïde, parallèle à l'axe (Az) et orienté dans le sens de \vec{u}_z ;
• le segment [C_3 C_4], de même longueur \ell, est situé à l'extérieur du solénoïde et orienté dans le sens opposé (-\vec{u}_z) ;
• les segments transverses [C_2 C_3] et [C_4 C_1] sont orthogonaux à (Az).

Calculons la circulation de \vec{B} le long de \mathcal{C} :

• sur les segments transverses, \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = 0 car \vec{B} \parallel \vec{u}_z \perp \mathrm{d}\vec{\ell} ;
• sur le segment extérieur, \vec{B}_{\text{ext}} = \vec{0} d'après l'énoncé ;
• sur le segment intérieur, \int_{C_1}^{C_2} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = B_{\text{int}}(x, y)\,\ell.

La circulation totale vaut donc :

Le nombre de spires enlacées par le contour est N_{\text{enl}} = n\,\ell, chacune étant parcourue par le courant I. D'après la règle de la main droite, le courant enlacé compte positivement :

D'après le théorème d'Ampère :

On en déduit que le champ ne dépend ni de x ni de y, il est donc uniforme à l'intérieur :

1. Explication qualitative (induction de Lorentz / loi de Lenz)

Lorsque la spire entre dans la zone de champ magnétique uniforme \vec{B}_0 = B_0\,\vec{u}_z à la vitesse \vec{v}_0 = v_0\,\vec{u}_x, la surface de la spire plongée dans le champ augmente, ce qui entraîne une augmentation du flux magnétique à travers celle-ci.

D'après la loi de modération de Lenz, les phénomènes d'induction s'opposent à la cause qui leur donne naissance. Le courant induit doit donc s'opposer à l'augmentation du flux magnétique en créant un champ magnétique induit \vec{B}_{\text{ind}} de sens opposé à \vec{B}_0, c'est-à-dire dirigé selon -\vec{u}_z.

D'après la règle de la main droite, le sens positif arbitraire choisi pour i sur la figure 6 (contour F \to C \to D \to E \to F) définit une normale orientée selon +\vec{u}_z, ce qui créerait un champ dans le sens +\vec{u}_z si i > 0. Par conséquent, le courant réel circule en sens inverse de la flèche : l'intensité algébrique i est négative.

2. Détermination quantitative de l'intensité i

Pour t \in \left[0, \frac{a}{v_0}\right], la partie avant EF est à l'abscisse x(t) = v_0 t. La surface de la spire située dans la zone de champ non nul est un rectangle de longueur x(t) et de largeur a :

Avec la convention d'orientation choisie sur la figure 6, le vecteur unitaire normal au plan de la spire est \vec{n} = +\vec{u}_z. Le flux magnétique à travers la spire s'écrit donc :

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans la spire vaut :

En négligeant l'auto-inductance de la spire et son champ propre, la loi d'Ohm appliquée au circuit fermé de résistance R donne :

L'intensité i est constante pendant toute la phase d'entrée et bien négative, en accord avec l'analyse qualitative.

La force de Laplace totale s'exerçant sur la spire fermée s'écrit :

Pendant la phase d'entrée dans la zone de champ magnétique (0 < x < a) :

• Le côté arrière (CD) est dans la région où le champ est nul : sa contribution est nulle.
• Les parties immergées des deux côtés latéraux (parallèles à \vec{u}_x) sont de même longueur x, baignent dans le même champ uniforme \vec{B}_0 = B_0 \vec{u}_z, et sont parcourues par des courants en sens opposés. Les forces de Laplace élémentaires exercées sur ces deux côtés sont donc directement opposées et leur résultante est nulle.
• Il ne subsiste ainsi que la force exercée sur le côté avant (EF), entièrement situé dans la zone de champ uniforme \vec{B}_0.

Avec le sens d'orientation associé à la normale \vec{n} = +\vec{u}_z, le vecteur déplacement élémentaire le long du segment EF orienté est porté par \vec{u}_y : \int_E^F \mathrm{d}\vec{\ell} = a\,\vec{u}_y. La force s'écrit donc :

En utilisant l'expression du courant induit établie à la question Q13, i = -\dfrac{B_0 a v_0}{R} :

Puisque les grandeurs B_0, a, R et v_0 sont indépendantes du temps pendant cette phase d'entrée, la force est constante.

Justification qualitative du sens : D'après la loi de modération de Lenz, les phénomènes d'induction s'opposent à la cause qui leur donne naissance. La cause de l'induction étant le déplacement de la spire à la vitesse \vec{v}_0 = v_0 \vec{u}_x, la force de Laplace induite tend à freiner la spire en s'opposant au mouvement : elle est donc orientée selon -\vec{u}_x.

Pendant la phase de sortie, la partie avant (EF) de la spire est déjà sortie de la zone de champ non nul (x > a), tandis que la partie arrière (CD) y est encore présente (x - a < a, soit x \in [a, 2a]).

La longueur de spire encore immergée dans la zone de champ magnétique selon l'axe (Ox) est donc :

La surface de la spire baignée par le champ magnétique \vec{B}_0 = B_0 \vec{u}_z vaut :

En conservant la même orientation que pour la question Q13 (normale \vec{n} = \vec{u}_z associée au sens positif du courant indiqué sur la figure 6), le flux magnétique à travers la spire s'écrit :

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite est :

L'auto-inductance étant négligée, la loi d'Ohm donne l'intensité du courant induit :

Le courant s'est donc inversé par rapport à la phase d'entrée (i_{\text{sortie}} = - i_{\text{entrée}}).

Calculons la résultante des forces de Laplace \vec{F} = \oint_{\text{spire}} i\,\mathrm{d}\vec{\ell} \wedge \vec{B} :

• La partie avant (EF) est en dehors de la zone de champ magnétique (\vec{B} = \vec{0}), donc \vec{F}_{\text{EF}} = \vec{0}.
• Sur les deux brins horizontaux, le champ étant uniforme et les courants opposés, les forces de Laplace se compensent deux à deux.
• Seule la branche arrière (CD) est soumise à une force non nulle. Sur ce segment, le courant circule en sens inverse de celui qui parcourait la branche EF : \vec{\ell}_{\text{CD}} = - \vec{\ell}_{\text{EF}}.

Comme le courant i et le vecteur déplacement le long du brin ont tous deux changé de signe par rapport à la phase d'entrée, la force de Laplace reste rigoureusement identique à celle obtenue en Q14 :

On retrouve bien :

Étudions la géométrie de l'interaction entre une spire de côté a et la zone de champ magnétique de longueur a :

• La phase d'entrée correspond au déplacement du bord avant de la spire dans la zone de champ, soit sur une distance a.
• La phase de sortie commence immédiatement après (la spire occupant alors entièrement la zone) et correspond au parcours du bord arrière dans la zone, soit également sur une distance a.

Une spire donnée est donc soumise à la force de Laplace sur un déplacement total de longueur :

Puisque les spires ont une largeur a et sont distantes de a, le pas spatial séparant les bords avant de deux spires consécutives est précisément :

Par conséquent :

• À l'instant précis où la spire j achève sa phase de sortie, la spire suivante j+1 commence sa phase d'entrée dans la zone de champ.
• Il y a donc en permanence exactement une spire en interaction avec le champ magnétique (sans période d'inactivité ni chevauchement).

Comme la force de freinage calculée aux questions Q14 et Q15 est identique lors des phases d'entrée et de sortie (\vec{F} = -\frac{B_0^2 a^2}{R}v_0\,\vec{u}_x), ce choix garantit que :

D'après la question Q16, grâce à l'espacement judicieux des spires, il y a à chaque instant une unique spire active (soit en phase d'entrée, soit en phase de sortie) soumise à la force de freinage permanente :

La puissance mécanique développée par cette force de Laplace est :

Cette puissance étant intégralement convertie et dissipée sous forme thermique par effet Joule dans la résistance R de la spire parcourue par le courant |i| = \frac{B_0 a v_0}{R} :

La puissance dissipée par le système de freinage s'écrit donc :

Cette puissance varie proportionnellement au carré de la vitesse v_0 : elle augmente donc de façon quadratique avec la vitesse.

D'un point de vue sportif et biomécanique, le fait que la puissance dissipée par freinage augmente avec la vitesse de défilement v_0 (et donc avec la cadence de pédalage) présente plusieurs intérêts :

1. Fidélité aux sensations réelles du cyclisme sur route : sur un vélo réel, la résistance imposée au cycliste (principalement la traînée aérodynamique) augmente avec la vitesse de progression, de sorte que la puissance à développer croît rapidement avec la vitesse. Un tel freinage par induction restitue ainsi une résistance dynamique naturelle et progressive.
2. Modulation intuitive de l'intensité de l'effort : pour un réglage donné du frein (courant d'alimentation I constant), le spationaute peut ajuster la puissance développée et l'intensité cardiovasculaire de sa séance simplement en modifiant son rythme de pédalage, ce qui facilite les entraînements fractionnés ou progressifs.
3. Stabilité du point de fonctionnement : à puissance motrice fournie constante, toute augmentation de vitesse entraîne une hausse de la puissance résistante dissipée, ce qui régule naturellement la cadence et évite tout emballement du pédalier.
4. Efficacité contre l'atrophie musculaire : pour lutter contre le déconditionnement cardiovasculaire et musculaire en impesanteur, la possibilité d'atteindre des puissances élevées à forte cadence permet de solliciter vigoureusement le système aérobie et les groupes musculaires des membres inférieurs.

Dans le sang, l'équilibre acido-basique du couple \text{H}_2\text{CO}_3/\text{HCO}_3^- est régi par la constante d'acidité K_{a1}, ce qui se traduit par la relation de Henderson-Hasselbalch :

On en déduit le rapport des concentrations :

Par définition de la concentration totale C_{t,0} :

On en déduit les expressions littérales des deux concentrations :

Avec \text{pH} = 7{,}4, \text{p}K_{a1} = 6{,}4 (soit \text{pH} - \text{p}K_{a1} = 1{,}0 et 10^{\text{pH} - \text{p}K_{a1}} = 10) et C_{t,0} = 0{,}0275\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} :

1. Diagramme de prédominance

Les deux couples acide-base mis en jeu sont caractérisés par :

• pour \text{HLa} / \text{La}^- : \text{p}K_{\text{a}2} = 3{,}9 ;
• pour \text{H}_2\text{CO}_3 / \text{HCO}_3^- : \text{p}K_{\text{a}1} = 6{,}4.

2. Équation de la réaction

L'acide lactique \text{HLa} réagit avec la base hydrogénocarbonate \text{HCO}_3^- selon le transfert de proton :

3. Expression et calcul de la constante d'équilibre

La constante thermodynamique d'équilibre associée s'écrit :

Application numérique avec \text{p}K_{\text{a}1} = 6{,}4 et \text{p}K_{\text{a}2} = 3{,}9 :

4. Analyse critique de l'hypothèse de réaction quasi-totale

Par convention, une réaction en solution aqueuse est considérée comme quasi-totale a priori si sa constante d'équilibre vérifie usuellement le critère K^\circ \ge 10^3 (ou 10^4, correspondant à \Delta \text{p}K_\text{a} \ge 3 ou 4).

Ici, K^\circ \approx 316 < 10^3 : l'équilibre est certes nettement favorisé dans le sens direct, mais la constante n'est pas suffisamment élevée pour qualifier d'office la réaction de « quasi-totale » sur la seule base de K^\circ. Toutefois, la forte présence initiale d'ions \text{HCO}_3^- dans le sang par rapport à la quantité d'acide lactique produite pourra déplacer très fortement cet équilibre.

L'équation de la réaction considérée est :

D'après les résultats de la question Q19, les concentrations initiales dans le sang avant apport d'acide lactique sont :

La concentration initiale apportée en acide lactique est C_0' = 2{,}0 \cdot 10^{-3}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} < [\text{HCO}_3^-]_0. L'acide lactique est donc le réactif limitant.

En considérant la réaction quasi-totale, l'avancement volumique maximal est \xi_V \approx C_0', d'où les concentrations à l'état final :

Le pH du milieu est fixé par le couple \text{H}_2\text{CO}_3/\text{HCO}_3^- :

Application numérique :

Validation de l'hypothèse a posteriori :
La concentration résiduelle en acide lactique s'exprime à l'aide de la constante d'acidité de son couple :

La fraction d'acide lactique non consommée est :

L'hypothèse d'une réaction quasi-totale est donc pleinement justifiée a posteriori.

Commentaire sur la valeur du pH :
L'énoncé stipule que le pH du sang doit rester impérativement compris entre 7{,}3 et 7{,}5 pour assurer la viabilité de l'organisme. La valeur obtenue (\text{pH} \approx 7{,}1) est nettement inférieure à la borne minimale de 7{,}3. Cet état d'acidose métabolique serait létal sans l'intervention immédiate d'un mécanisme de compensation (comme l'hyperventilation pulmonaire qui élimine le dioxyde de carbone dissous et permet de remonter le pH dans la plage vitale).

1. Équation de la réaction de titrage

L'acide lactique \text{HLa} présent dans la solution S est titré par les ions hydroxyde \text{HO}^- apportés par la solution de soude S_1 :

2. Constante d'équilibre et interprétation

La constante thermodynamique d'équilibre associée à cette réaction s'écrit :

Application numérique avec \text{p}K_e = 14 et \text{p}K_{\text{a}2} = 3{,}9 :

On a K^\circ \gg 10^4 : la réaction est quasi-totale (quantitative). De plus, s'agissant d'un échange direct de proton entre un acide et une base forte, la réaction est rapide et univoque. Elle vérifie donc tous les critères d'une réaction support de titrage.

3. Schéma annoté du montage

1. Concentration C dans la solution S

Par la méthode des tangentes parallèles (ou par repérage du point d'inflexion où la dérivée \frac{\mathrm{d}\text{pH}}{\mathrm{d}V} est maximale), le saut de pH est centré sur le volume équivalent :

D'après l'équation de titrage établie en Q22 :

les réactifs réagissent mole à mole. À l'équivalence, la quantité d'ions hydroxyde versée est égale à la quantité initiale d'acide lactique présente dans le bécher :

D'où l'expression de la concentration C dans la solution S :

Application numérique avec C_1 = 1{,}00 \cdot 10^{-3}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}, V = 50{,}0\text{ mL} et V_E = 11{,}0\text{ mL} :

2. Concentration C_0 dans le sang prélevé

L'acide lactique contenu dans la solution S provient intégralement de l'échantillon sanguin de volume V_0 = 5{,}0\text{ mL}. La conservation de la matière s'écrit :

On en déduit la concentration sanguine C_0 :

Application numérique :

3. Diagnostic d'acidose lactique

La masse molaire de l'acide lactique \text{C}_3\text{H}_6\text{O}_3 vaut, d'après les données de l'annexe :

La concentration massique en acide lactique dans le sang est donc :

Cette valeur coïncide avec le seuil limite recommandé de 200\text{ mg}\cdot\text{L}^{-1} :

• avec V_E = 11{,}0\text{ mL}, on trouve C_{m,0} = 198\text{ mg}\cdot\text{L}^{-1} \le 200\text{ mg}\cdot\text{L}^{-1} ;
• compte tenu de la précision de lecture sur la courbe (\pm 0{,}2\text{ mL}), le patient se situe au seuil critique de l'acidose lactique.

Pour qu'un indicateur coloré convienne lors d'un titrage acido-basique, sa zone de virage doit englober le pH à l'équivalence \text{pH}_E, ou tout au moins être comprise dans la zone de forte variation du pH correspondant au saut de titrage.

D'après la courbe de titrage (figure 8), le saut de pH est centré autour de l'abscisse équivalente V_E \approx 11{,}0\text{ mL}, pour laquelle :

Le saut de pH s'étend approximativement de \text{pH} \approx 6{,}0 à \text{pH} \approx 9{,}5.

Analysons les indicateurs proposés :

• Rouge congo : sa zone de virage (3{,}5 - 4{,}5) est située bien avant l'équivalence, sur la partie lentement croissante de la courbe de titrage. Il ne convient pas du tout.
• Rouge de phénol : sa zone de virage (6{,}8 - 7{,}8) contient le pH à l'équivalence \text{pH}_E et se trouve en plein dans la partie quasi-verticale du saut de pH. Le passage de la teinte acide (jaune) à la teinte basique (rouge) permettra de repérer l'équivalence avec une excellente netteté et une très faible erreur de titrage.
• Thymolphtaléine : sa zone de virage (9{,}0 - 10{,}0) est située tout en haut du saut de pH, à la limite du plateau final. Même si elle pourrait à la rigueur virer en fin de saut, elle conduirait à une surévaluation du volume équivalent versé.

Le découpage d'une durée \Delta t en N sous-intervalles conduit à un pas d'intégration temporel constant :

Ce découpage comporte N+1 points discrétisés t_i = i \times p pour i \in \{0, \dots, N\}, avec t_0 = 0 et t_N = \Delta t.

Le code Python demandé peut s'écrire indifféremment à l'aide de la bibliothèque numpy (tableau de type np.ndarray) :

p = Dt / N
L_t = np.linspace(0, Dt, N + 1)

ou sous forme d'une liste Python standard (de type list) par compréhension :

p = Dt / N
L_t = [i * p for i in range(N + 1)]

L'équation différentielle modélisant l'évolution de la concentration C(t) au cours du temps s'écrit :

Dans le cadre de la méthode d'Euler explicite, la dérivée temporelle de la concentration à la date t_i est approchée par le taux d'accroissement vers l'avant sur le pas de temps p = t_{i+1} - t_i :

En injectant cette approximation dans l'équation différentielle évaluée à la date t_i, on obtient :

d'où l'expression récurrente de C_{i+1} :

D'après la question Q26, la formule de récurrence s'écrit :

On implémente cette récurrence pour construire la liste L_C correspondant aux dates de la liste L_t :

L_C = [C0]
for i in range(len(L_t) - 1):
    C_actuel = L_C[i]
    C_suivant = C_actuel + p * (-alpha * C_actuel - beta * C_actuel**2 + gamma)
    L_C.append(C_suivant)

Dans le vide, en l'absence de charges électriques (\rho = 0) et de courants électriques (\vec{\jmath} = \vec{0}), les équations de Maxwell locales s'écrivent :

• Équation de Maxwell-Gauss :

  \boxed{\operatorname{div} \vec{E} = 0}

• Équation de Maxwell-Thomson (ou de conservation du flux magnétique) :

  \boxed{\operatorname{div} \vec{B} = 0}

• Équation de Maxwell-Faraday :

  \boxed{\vec{\operatorname{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}

• Équation de Maxwell-Ampère :

  \boxed{\vec{\operatorname{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}

où c = \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} désigne la célérité de la lumière dans le vide.

D'après les équations de Maxwell dans le vide établies en Q28, prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

En utilisant la formule du formulaire \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec{E}) - \Delta\vec{E} ainsi que \operatorname{div}\vec{E} = 0 et \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}, il vient :

On obtient l'équation de d'Alembert :

L'onde plane harmonique s'écrit \vec{E}(x,t) = E_0 \exp(i(\omega t - k x))\,\vec{u}_z. Le laplacien vectoriel se réduit à :

De même :

En substituant ces dérivées dans l'équation de d'Alembert :

Puisque cette égalité est vérifiée pour tout point (x,t), on obtient la relation de dispersion :

(avec \omega > 0 et k > 0).

• Direction de propagation : La phase s'écrit \phi(x,t) = \omega t - k x = \omega\left(t - \frac{x}{c}\right). Les plans d'onde d'égale phase se déplacent vers les x croissants : l'onde se propage selon la direction de l'axe (Ox), dans le sens du vecteur \vec{u}_x.
• Polarisation : Le vecteur champ électrique oscille selon une direction fixe dans l'espace, colinéaire au vecteur \vec{u}_z. L'onde présente donc une polarisation rectiligne selon l'axe (Oz).

1. Énergie en joules

Un électron-volt correspond à l'énergie cinétique acquise par une charge élémentaire e accélérée sous une différence de potentiel de 1\text{ V} :

Pour un photon de rayon X d'énergie \varepsilon_1 = 40\text{ keV} = 40 \cdot 10^3\text{ eV} :

2. Fréquence des rayons X

D'après la relation de Planck-Einstein, l'énergie d'un photon est liée à sa fréquence \nu_1 par :

Application numérique avec h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} :

3. Longueur d'onde

Dans le vide, la longueur d'onde \lambda_1 est reliée à la fréquence \nu_1 et à la célérité c par :

Application numérique avec c = 3{,}00 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Le conducteur ohmique étudié est localement neutre (\rho = 0), non magnétique (\mu = \mu_0, \varepsilon = \varepsilon_0) et obéit à la loi d'Ohm locale \vec{\jmath} = \sigma \vec{E}. Les équations de Maxwell s'écrivent :

Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) ou régimes lentement variables, le terme négligé dans le conducteur ohmique est le courant de déplacement (ou la dérivée temporelle du champ électrique) :

L'équation de Maxwell-Ampère se simplifie alors en :

Appliquons l'opérateur rotationnel à l'équation de Maxwell-Faraday :

D'une part, en utilisant l'identité vectorielle fournie dans l'énoncé et la neutralité locale du conducteur (\rho = 0 \implies \operatorname{div}\vec{E} = 0) :

D'autre part, en injectant l'équation de Maxwell-Ampère simplifiée dans le cadre de l'ARQS établie à la question Q31 (\vec{\operatorname{rot}}\vec{B} = \mu_0\sigma\vec{E}) :

En égalant les deux membres, on obtient :

Cette équation est une équation de diffusion (ou équation de la chaleur/diffusion magnétique).

Le champ électrique s'écrit sous forme complexe :

Calculons les dérivées intervenant dans l'équation de diffusion obtenue à la question Q32 (\Delta\vec{E} - \mu_0\sigma\,\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} = \vec{0}) :

En injectant ces dérivées dans l'équation de diffusion :

Comme cette relation est vérifiée pour tout x et tout t, on en déduit :

Écrivons le nombre complexe \underline{k} sous la forme \underline{k} = k_1 + i k_2 avec (k_1, k_2) \in \mathbb{R}^2 :

Par identification avec \underline{k}^2 = -i\mu_0\sigma\omega, on obtient le système :

La première équation donne k_2^2 = k_1^2, soit k_2 = \pm k_1.

Comme la conductivité \sigma, la perméabilité \mu_0 et la pulsation \omega sont strictement positives, le produit 2 k_1 k_2 = -\mu_0\sigma\omega est strictement négatif. Sachant que k_1 > 0, il vient nécessairement :

En reportant dans la seconde équation :

On en déduit donc :

L'expression du champ électrique réel s'écrit alors :

On introduit l'épaisseur de peau \delta, définie comme la distance caractéristique sur laquelle l'amplitude de l'onde est divisée par \mathrm{e} lors de sa pénétration dans le conducteur :

D'où l'expression de l'épaisseur de peau :

Le vecteur d'onde complexe peut ainsi se condenser sous la forme \underline{k} = \frac{1 - i}{\delta}.

Le vecteur de Poynting \vec{R} est défini à partir des champs électromagnétiques réels \vec{E} et \vec{B} par :

Le vecteur moyenne temporelle \vec{R}_m(x) = \langle\vec{R}(x,t)\rangle représente le vecteur densité surfacique de puissance électromagnétique moyenne (exprimé en \mathrm{W\cdot m^{-2}}) :

• Sa direction et son sens indiquent la direction et le sens du transport net (moyen) d'énergie par l'onde électromagnétique.

• Son flux à travers une surface orientée S correspond à la puissance électromagnétique moyenne \mathcal{P}_m transitant à travers cette surface :

  \mathcal{P}_m = \iint_S \vec{R}_m \cdot \mathrm{d}\vec{S}

D'après les relations données, pour chaque faisceau de rayons X d'indice i \in \{1, 2\}, la puissance transmise P_{Li} vérifie :

On applique cette relation aux deux énergies \varepsilon_1 = 40\text{ keV} et \varepsilon_2 = 70\text{ keV} :

En soustrayant la seconde équation à la première, on élimine la puissance incidente inconnue P_0 :

On en déduit l'expression de \sqrt{d} :

En élevant au carré, la méthode permet d'obtenir la densité osseuse d :

1. Symétries et invariances du champ électrique

• Invariances : La distribution de charge est invariante par translation le long de l'axe (Oz) (modèle du cylindre infini) et par rotation autour de l'axe (Oz) (symétrie de révolution). Le champ électrique ne dépend donc ni de z ni de \theta :

  \vec{E}(M) = \vec{E}(r)

• Symétries :

  • Tout plan contenant l'axe (Oz), notamment le plan (M, \vec{u}_r, \vec{u}_z), est un plan de symétrie de la distribution de charges. Par conséquent, \vec{E}(M) appartient à ce plan, ce qui impose E_\theta(r) = 0.
  • Le plan perpendiculaire à l'axe (Oz) passant par M, c'est-à-dire (M, \vec{u}_r, \vec{u}_\theta), est également un plan de symétrie de la distribution. Par conséquent, \vec{E}(M) appartient à ce plan, ce qui impose E_z(r) = 0.

Le champ électrique est donc radial et ne dépend que de la coordonnée radiale r :

2. Application du théorème de Gauss dans la membrane

Considérons une surface de Gauss fermée \mathcal{S}_G constituée d'un cylindre de rayon r situé dans la membrane (a \leqslant r \leqslant a+b), de hauteur H, coaxial à l'axe (Oz).

• Calcul du flux :

  • Sur les deux bases planes perpendiculaires à (Oz), le vecteur surface élémentaire est dirigé selon \pm \vec{u}_z. Comme \vec{E}(M) \cdot \vec{u}_z = 0, le flux à travers les bases est nul.

  • Sur la surface latérale \mathcal{S}_{\text{lat}}, le vecteur surface élémentaire sortant est \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S\,\vec{u}_r. Le champ y a une norme constante E(r) :

    \Phi = \iint_{\mathcal{S}_{\text{lat}}} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = E(r) \iint_{\mathcal{S}_{\text{lat}}} \mathrm{d}S = E(r) \cdot 2\pi r H

• Charge intérieure : La surface de Gauss n'englobe que la face intérieure de la membrane en r = a, d'aire 2\pi a H, chargée avec la densité surfacique uniforme \sigma :

  Q_{\text{int}} = \sigma \cdot 2\pi a H

En appliquant le théorème de Gauss dans le milieu de permittivité \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r :

On en déduit :

Le champ électrique dans la membrane s'écrit donc :

Le champ électrostatique dérive de l'énergie potentielle électrostatique, ce qui se traduit localement par la relation :

D'après les symétries établies à la question précédente, le potentiel ne dépend que de la coordonnée radiale r : V(M) = V(r). Dans la base cylindrique (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z), le gradient se réduit à sa composante radiale :

En utilisant l'expression du champ électrique dans la membrane (a \leqslant r \leqslant a+b) obtenue en Q36, \vec{E}(M) = \dfrac{\sigma a}{\varepsilon_0 \varepsilon_r r}\,\vec{u}_r, il vient :

Par intégration entre la face intérieure de la membrane en r = a, où le potentiel est celui de l'axoplasme V(a) = V_A, et un point quelconque de la membrane situé à la distance r :

Le potentiel à l'intérieur de la membrane s'écrit donc :

À la frontière extérieure de la membrane en r = a+b, le potentiel est continu et s'identifie à celui du liquide extérieur, soit V(a+b) = V_E :

On en déduit immédiatement :

d'où l'expression de la densité surfacique de charge :

1. Simplification de la charge surfacique \sigma :

D'après le résultat de la question Q37, la densité surfacique s'écrit :

Puisque a \gg b, on a \dfrac{b}{a} \ll 1. En effectuant un développement limité au premier ordre :

On en déduit l'expression approchée de \sigma :

2. Norme du champ électrique dans la membrane :

D'après la question Q36, le champ électrique en un point M(r) de la membrane (a \le r \le a+b) vaut :

Comme 0 \le r - a \le b \ll a, on a r \approx a en tout point de l'épaisseur de la membrane. Il vient :

Sa norme s'écrit donc bien sous la forme :

3. Charge Q portée par la face intérieure :

La face intérieure de la membrane sur une longueur L forme un cylindre de rayon a et d'aire :

La distribution surfacique de charge étant uniforme, la charge totale s'exprime par :

En injectant l'expression approchée de \sigma obtenue précédemment :