Feuille d'entraînement : Ondes électromagnétiques dans les milieux

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2026, Q32

   Dans le métal, chaque ion de charge q_i et de masse M_i subit l'action du champ électrique de l'onde. En négligeant la force magnétique conformément à l'hypothèse de la question Q31, l'équation du mouvement d'un ion s'écrit :

   M_i \frac{\mathrm{d}\vec{v}_i}{\mathrm{d}t} = q_i \vec{E}.

   La masse d'un ion est très supérieure à la masse effective des électrons de conduction (M_i \gg m^*, d'un facteur typiquement supérieur à 10^4). En régime sinusoïdal de pulsation \omega, les vitesses sont inversement proportionnelles aux masses, d'où :

   \frac{v_i}{v_e} \sim \frac{m^*}{M_i} \ll 1.

   Comme le plasma est localement neutre (n_i q_i = n_e e), la contribution ionique à la densité volumique de courant est négligeable devant la contribution électronique :

   \vec{j} = \vec{j}_e + \vec{j}_i \approx \vec{j}_e = - n_e e \vec{v}.

   Avec la convention temporelle adoptée en \mathrm{e}^{+i\omega t}, l'opérateur de dérivation temporelle devient \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \to i\omega. L'équation du mouvement de l'électron de conduction s'écrit en notation complexe :

   m^* (i\omega) \underline{\vec{v}} = -e \underline{\vec{E}} \implies \underline{\vec{v}} = -\frac{e}{i m^* \omega} \underline{\vec{E}}.

   On en déduit l'expression du vecteur densité de courant volumique :

   \underline{\vec{j}} = -e n_e \underline{\vec{v}} = \frac{n_e e^2}{i m^* \omega} \underline{\vec{E}} = -i \frac{n_e e^2}{m^* \omega} \underline{\vec{E}}.

   Par identification avec la loi d'Ohm locale \underline{\vec{j}} = \underline{\sigma} \underline{\vec{E}}, on obtient l'expression de la conductivité complexe :

   \boxed{\underline{\sigma} = \frac{n_e e^2}{i m^* \omega} = -i \frac{n_e e^2}{m^* \omega}}

   Résultat

   $$\underline{\sigma }=\frac{n_e{e}^2}{i{m}^{\ast }\omega }=-i\frac{n_e{e}^2}{m^{\ast }\omega }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2026, Q34

   Pour une onde plane progressive harmonique (opph) se propageant selon l'axe (Oz) dans le sens des z croissants, le champ magnétique s'écrit en notation complexe sous la forme :

   \underline{\vec{B}}(z, t) = \underline{\vec{B}}_0 \, \mathrm{e}^{i(\omega t - kz)}

   où \underline{\vec{B}}_0 est un vecteur constant transverse (orthogonal à \vec{e}_z).

   Le laplacien vectoriel de ce champ s'exprime simplement par la dérivée spatiale seconde selon z :

   \Delta \underline{\vec{B}} = \frac{\partial^2 \underline{\vec{B}}}{\partial z^2} = (-i k)^2 \underline{\vec{B}} = -k^2 \underline{\vec{B}}.

   En injectant cette expression dans l'équation aux dérivées partielles établie à la question Q33 :

   \Delta \underline{\vec{B}} + \left(\frac{\omega^2}{c^2} - \frac{\mu_0 n_e e^2}{m^*}\right)\underline{\vec{B}} = \vec{0},

   on obtient, pour un champ non identiquement nul :

   -k^2 + \frac{\omega^2}{c^2} - \frac{\mu_0 n_e e^2}{m^*} = 0.

   En utilisant la relation fondamentale \varepsilon_0 \mu_0 c^2 = 1, soit \mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}, on aboutit à la relation de dispersion :

   \boxed{k^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - \frac{n_e e^2}{\varepsilon_0 m^* c^2}}

   qui peut également s'écrire sous la forme équivalente :

   \boxed{\omega^2 = c^2 k^2 + \frac{n_e e^2}{\varepsilon_0 m^*}}.

   Résultat

   $$k^2=\frac{{\omega }^2}{c^2}-\frac{n_e{e}^2}{{\epsilon }_0{m}^{\ast }{c}^2}$$

   $${\omega }^2=c^2{k}^2+\frac{n_e{e}^2}{{\epsilon }_0{m}^{\ast }}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3E3A Physique-Chimie MPI 2025, Q32

   Appliquons l'opérateur rotationnel à l'équation de Maxwell-Faraday :

   \vec{\operatorname{rot}}\!\left(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}\right) = -\vec{\operatorname{rot}}\!\left(\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\operatorname{rot}}\vec{B}\right)

   D'une part, en utilisant l'identité vectorielle fournie dans l'énoncé et la neutralité locale du conducteur (\rho = 0 \implies \operatorname{div}\vec{E} = 0) :

   \vec{\operatorname{rot}}\!\left(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}\right) = \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec{E}) - \Delta\vec{E} = -\Delta\vec{E}

   D'autre part, en injectant l'équation de Maxwell-Ampère simplifiée dans le cadre de l'ARQS établie à la question Q31 (\vec{\operatorname{rot}}\vec{B} = \mu_0\sigma\vec{E}) :

   -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\operatorname{rot}}\vec{B}\right) = -\mu_0\sigma\,\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}

   En égalant les deux membres, on obtient :

   \boxed{\Delta\vec{E} - \mu_0\sigma\,\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} = \vec{0}}

   Cette équation est une équation de diffusion (ou équation de la chaleur/diffusion magnétique).

   Résultat

   $$\Delta \vec{E}-{\mu }_0\sigma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\vec{0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4X-ENS Physique MPI 2025, Q3

   On étudie le mouvement d'un électron de conduction de masse m et de charge -e dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen.

   Sous l'effet d'un déplacement d'ensemble x(t) \vec{u}_x, les électrons laissent apparaître par défaut une charge positive +Nex à l'arrière et un excès de charge négative -Nex à l'avant. Le champ électrique ainsi créé à l'intérieur s'oppose à cette séparation de charge et s'écrit :

   \vec{E}(t) = \frac{N e x(t)}{\epsilon_0} \vec{u}_x

   La force électrostatique subie par l'électron est donc une force de rappel :

   \vec{F} = -e \vec{E}(t) = -\frac{N e^2 x(t)}{\epsilon_0} \vec{u}_x

   D'après la deuxième loi de Newton appliquée à cet électron :

   \begin{aligned} m \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} &= -\frac{N e^2}{\epsilon_0} x(t) \\ \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{N e^2}{m \epsilon_0} x(t) &= 0 \end{aligned}

   Il s'agit de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre \omega_p, appelée pulsation plasma.

   L'amplitude x(t) oscille donc à la pulsation :

   \boxed{\omega_p = \sqrt{\frac{N e^2}{m \epsilon_0}}}

   Résultat

   $${\omega }_p=\sqrt{\frac{N{e}^2}{m{ϵ}_0}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5X-ENS Physique MPI 2025, Q17

   On étudie le mouvement d'un électron de conduction, de masse m et de charge -e, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

   Dans l'approximation des vitesses non relativistes (v \ll c), la force magnétique exercée par l'onde est négligeable devant la force électrique. De plus, dans le modèle du plasma dilué, on néglige tout terme d'amortissement phénoménologique par collisions.

   Le principe fondamental de la dynamique s'écrit alors :

   m \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = -e \vec{E}

   Le vecteur densité volumique de courant électronique associé est :

   \vec{\jmath} = -N e \vec{v}

   En dérivant par rapport au temps :

   \frac{\mathrm{d}\vec{\jmath}}{\mathrm{d}t} = \frac{N e^2}{m} \vec{E}

   En régime sinusoïdal établi à la pulsation \omega, en adoptant la convention temporelle usuelle en \mathrm{e}^{i\omega t} (\partial/\partial t \leftrightarrow i\omega) :

   i\omega \underline{\vec{\jmath}} = \frac{N e^2}{m} \underline{\vec{E}} \implies \underline{\vec{\jmath}} = \frac{N e^2}{i m \omega} \underline{\vec{E}} = -i\frac{N e^2}{m\omega} \underline{\vec{E}}

   Par identification avec la loi d'Ohm locale sous forme complexe \underline{\vec{\jmath}} = \gamma \underline{\vec{E}}, on en déduit :

   \boxed{\gamma = \frac{N e^2}{i m \omega} = -i \frac{N e^2}{m\omega}}

   Remarque : Avec la convention alternative \mathrm{e}^{-i\omega t} (\partial/\partial t \leftrightarrow -i\omega), très courante en optique et propagation d'ondes, on obtiendrait \gamma = i \frac{N e^2}{m\omega}.

   Résultat

   $$\gamma =\frac{N{e}^2}{im\omega }=-i\frac{N{e}^2}{m\omega }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6X-ENS Physique MPI 2025, Q18

   Dans le métal, le plasma est localement neutre en volume (\rho = 0), d'où :

   \mathrm{div}\,\vec{E} = 0.

   L'onde étant transverse, le champ électrique vérifie \vec{k}\cdot\vec{E} = 0. En utilisant l'identité vectorielle \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}) = \vec{\nabla}(\mathrm{div}\,\vec{E}) - \Delta\vec{E} = -\Delta\vec{E}, l'équation de Maxwell-Faraday fournit :

   \begin{aligned} \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}) &= -\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B}) \\ -\Delta\vec{E} &= -\mu_0 \frac{\partial \vec{j}}{\partial t} - \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}. \end{aligned}

   En régime harmonique avec la convention temporelle \mathrm{e}^{i\omega t}, la dérivée temporelle se traduit par \partial/\partial t \to i\omega. D'après la question 17, \vec{j} = \gamma \vec{E} avec \gamma = \dfrac{N e^2}{i m \omega}, d'où :

   \frac{\partial \vec{j}}{\partial t} = i\omega \gamma \vec{E} = \frac{N e^2}{m} \vec{E}.

   Pour une onde plane progressive monochromatique se propageant selon \vec{k}, le laplacien vectoriel s'écrit \Delta \vec{E} = -k^2 \vec{E} (avec k^2 = \vec{k}\cdot\vec{k}). L'équation de propagation devient alors :

   k^2 \vec{E} = -\mu_0 \frac{N e^2}{m} \vec{E} + \mu_0\epsilon_0 \omega^2 \vec{E}.

   En remarquant que \mu_0\epsilon_0 = \dfrac{1}{c^2} et \dfrac{\mu_0 N e^2}{m} = \dfrac{N e^2}{m \epsilon_0 c^2}, et en reconnaissant l'expression de \omega_p obtenue à la question 3 (\omega_p^2 = \dfrac{N e^2}{m\epsilon_0}), on obtient :

   \boxed{ \omega^2 = \omega_p^2 + c^2 k^2 \quad \Longleftrightarrow \quad k^2 = \frac{\omega^2 - \omega_p^2}{c^2} }

   Une onde se propage sans atténuation si et seulement si k^2 > 0, c'est-à-dire \omega > \omega_p. La pulsation de coupure est la pulsation minimale de propagation libre (k = 0) :

   \boxed{ \omega_{\text{coupure}} = \omega_p = \sqrt{\frac{N e^2}{m \epsilon_0}} }

   Cette pulsation coïncide bien avec la pulsation propre \omega_p trouvée à la question 3.

   Résultat

   $${\omega }^2={\omega }_p^2+c^2{k}^2⟺k^2=\frac{{\omega }^2-{\omega }_p^2}{c^2}$$

   $${\omega }_{\text{coupure}}={\omega }_p=\sqrt{\frac{N{e}^2}{m{ϵ}_0}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2023, Q1

   On applique le principe fondamental de la dynamique à un électron de conduction (de masse m et de charge -e), dans le référentiel du conducteur supposé galiléen.

   L'électron est soumis à :

   • la force électrique due au champ appliqué : \vec{F}_e = -e\vec{E}(t) ;
   • la force de frottement fluide phénoménologique modélisant les collisions avec le réseau cristallin : \vec{F}_f = -\dfrac{m}{\tau}\vec{v}(t) ;
   • son poids, négligé d'après l'énoncé, de même que la force magnétique liée à l'onde car la vitesse d'ensemble vérifie v \ll c.

   Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

   m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \vec{F}_e + \vec{F}_f = -e\vec{E}(t) - \frac{m}{\tau}\vec{v}(t)

   En divisant par la masse m, on obtient l'équation différentielle vérifiée par \vec{v}(t) :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} + \frac{\vec{v}}{\tau} = -\frac{e}{m}\vec{E}(t)}

   Compte tenu de l'orientation du champ électrique \vec{E}(t) = E_0\cos(\omega t)\vec{e}_x, le mouvement d'ensemble s'effectue selon la direction \vec{e}_x.

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}+\frac{\vec{v}}{\tau }=-\frac{e}{m}\vec{E}(t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2023, Q4

   D'après la question Q3, l'expression du vecteur densité volumique de courant en régime forcé s'écrit :

   \underline{\vec{\jmath}} = \frac{n^* e^2 \tau}{m(1 + \mathrm{i}\omega\tau)}\,\underline{\vec{E}}

   La loi d'Ohm locale en notation complexe s'énonce sous la forme :

   \underline{\vec{\jmath}} = \underline{\gamma}\,\underline{\vec{E}}

   où \underline{\gamma} désigne la conductivité électrique complexe du milieu conducteur. Par identification avec l'expression précédente, on obtient :

   \underline{\gamma} = \frac{\gamma_0}{1 + \mathrm{i}g(\omega)}

   avec :

   \boxed{\gamma_0 = \frac{n^* e^2 \tau}{m}} \quad \text{et} \quad \boxed{g(\omega) = \omega\tau}

   Résultat

   $${\gamma }_0=\frac{n^{\ast }{e}^2\tau }{m}$$

   $$g(\omega )=\omega \tau$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2023, Q11

   Dans le conducteur ohmique, les équations de Maxwell s'écrivent, compte tenu de la neutralité volumique (question Q10) et de l'approximation des régimes quasi stationnaires magnétiques (question Q8) associée à la loi d'Ohm locale \vec{\jmath} = \gamma_0 \vec{E}_c :

   \begin{aligned} \mathrm{div}\,\vec{E}_c &= 0 \\ \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}_c &= -\frac{\partial \vec{B}_c}{\partial t} \\ \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B}_c &= \mu_0 \vec{\jmath} = \mu_0 \gamma_0 \vec{E}_c \end{aligned}

   D'après la formule d'analyse vectorielle fournie :

   \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}_c) = \vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\,\vec{E}_c) - \Delta \vec{E}_c = -\Delta \vec{E}_c

   En utilisant l'équation de Maxwell-Faraday et en permutant les dérivées spatiale et temporelle :

   \begin{aligned} \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}_c) &= \vec{\mathrm{rot}}\!\left(-\frac{\partial \vec{B}_c}{\partial t}\right) \\ &= -\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B}_c) \\ &= -\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0 \gamma_0 \vec{E}_c) = -\mu_0 \gamma_0 \frac{\partial \vec{E}_c}{\partial t} \end{aligned}

   En égalant les deux expressions obtenues, il vient :

   -\Delta \vec{E}_c(z, t) = -\mu_0 \gamma_0 \frac{\partial \vec{E}_c(z, t)}{\partial t} \iff \Delta \vec{E}_c(z, t) - \mu_0 \gamma_0 \frac{\partial \vec{E}_c(z, t)}{\partial t} = \vec{0}

   Par identification avec l'équation proposée \Delta \vec{E}_c(z, t) - \frac{1}{D}\frac{\partial \vec{E}_c(z, t)}{\partial t} = \vec{0}, on obtient :

   \boxed{D = \frac{1}{\mu_0 \gamma_0}}

   Par analyse dimensionnelle de l'équation de diffusion :

   [\Delta \vec{E}_c] = \frac{[E]}{\mathrm{L}^2} \quad \text{et} \quad \left[\frac{\partial \vec{E}_c}{\partial t}\right] = \frac{[E]}{\mathrm{T}} \implies [D] = \frac{\mathrm{L}^2}{\mathrm{T}}

   La grandeur D s'exprime donc en :

   \boxed{\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-1}}

   Résultat

   $$D=\frac{1}{{\mu }_0{\gamma }_0}$$

   $${\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2026, Q31

    L'équation régissant le mouvement d'un électron de conduction s'écrit :

    m^* \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = -e \left[ \vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B} \right]

    Elle correspond au principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen :

    • m^* \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} est le terme d'inertie, où la masse effective m^* modélise l'influence du potentiel périodique du réseau cristallin sur la dynamique de l'électron ;
    • -e \vec{E} représente la force électrique exercée par le champ de l'onde électromagnétique sur la charge -e de l'électron ;
    • -e(\vec{v} \wedge \vec{B}) représente la force magnétique de Lorentz ;
    • aucun terme de frottement phénoménologique (tel que -m^*\vec{v}/\tau) n'apparaît, conformément à l'hypothèse de l'énoncé négligeant la relaxation des électrons.

    Pour comparer les deux composantes de la force de Lorentz, considérons une onde plane progressive pour laquelle les amplitudes des champs vérifient la relation de structure B \sim E / v_\varphi, où v_\varphi est la vitesse de phase de l'onde dans le milieu (ou B \sim E/c dans le vide). L'ordre de grandeur de la force magnétique par rapport à la force électrique s'écrit :

    \frac{\|-e\,(\vec{v} \wedge \vec{B})\|}{\|-e\,\vec{E}\|} \leqslant \frac{v B}{E} \sim \frac{v}{v_\varphi}

    Le terme magnétique est donc négligeable devant le terme électrique si :

    \boxed{v \ll v_\varphi \quad (\text{ou } v \ll c)}

    Cette condition correspond à l'approximation non relativiste pour le mouvement oscillatoire de l'électron sous l'action de l'onde, ce qui est vérifié tant que l'amplitude du champ électrique reste modérée.

    Résultat

    $$v\ll v_{\phi }(\text{ou }v\ll c)$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question