Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 MPI 2023

On applique le principe fondamental de la dynamique à un électron de conduction (de masse m et de charge -e), dans le référentiel du conducteur supposé galiléen.

L'électron est soumis à :

• la force électrique due au champ appliqué : \vec{F}_e = -e\vec{E}(t) ;
• la force de frottement fluide phénoménologique modélisant les collisions avec le réseau cristallin : \vec{F}_f = -\dfrac{m}{\tau}\vec{v}(t) ;
• son poids, négligé d'après l'énoncé, de même que la force magnétique liée à l'onde car la vitesse d'ensemble vérifie v \ll c.

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

En divisant par la masse m, on obtient l'équation différentielle vérifiée par \vec{v}(t) :

Compte tenu de l'orientation du champ électrique \vec{E}(t) = E_0\cos(\omega t)\vec{e}_x, le mouvement d'ensemble s'effectue selon la direction \vec{e}_x.

Le champ électrique excitateur est sinusoïdal de pulsation \omega :

On lui associe la grandeur complexe \underline{\vec{E}}(t) = E_0 \exp(\mathrm{i}\omega t)\vec{e}_x. En régime sinusoïdal forcé, la vitesse s'écrit sous la forme proposée :

La dérivation temporelle se traduit par une multiplication par \mathrm{i}\omega :

En injectant ces expressions dans l'équation différentielle du mouvement obtenue à la question Q1, il vient :

On en déduit l'amplitude vectorielle complexe \vec{v}_0 :

L'expression de la vitesse complexe en régime forcé est donc :

Par définition, le vecteur densité de courant volumique associé à un ensemble de porteurs de charge de densité volumique n^*, de charge q = -e et de vitesse d'ensemble \vec{v}(t) s'écrit :

En notation complexe, cette relation locale reste linéaire et se traduit directement par :

En injectant l'expression de la vitesse complexe \underline{\vec{v}}(t) obtenue à la question Q2, il vient :

En introduisant le champ électrique sous sa forme complexe \underline{\vec{E}}(t) = E_0 \exp(\mathrm{i}\omega t)\,\vec{e}_x, on obtient :

D'après la question Q3, l'expression du vecteur densité volumique de courant en régime forcé s'écrit :

La loi d'Ohm locale en notation complexe s'énonce sous la forme :

où \underline{\gamma} désigne la conductivité électrique complexe du milieu conducteur. Par identification avec l'expression précédente, on obtient :

avec :

D'après la question Q4, la loi d'Ohm locale en notation complexe s'écrit :

Pour pouvoir écrire la loi d'Ohm locale en régime sinusoïdal sous la forme réelle instantanée \vec{\jmath}(t) = \gamma_0 \vec{E}(t), la conductivité complexe doit être assimilable à sa valeur statique réelle \gamma_0, ce qui implique :

On définit conventionnellement la fréquence caractéristique limite associée au temps de relaxation \tau par :

Avec la valeur fournie par l'énoncé \tau = 1{,}0 \times 10^{-14}\text{ s} :

D'après l'introduction de la partie I, les ondes associées aux communications NFC-RFID ont une fréquence typique :

D'après la question Q5, la fréquence limite en dessous de laquelle la conductivité peut être assimilée à sa valeur statique \gamma_0 vaut f_{\mathrm{lim}} \approx 1{,}6 \times 10^{13}\text{ Hz}.

On constate donc que :

Le terme imaginaire \mathrm{i}\omega\tau dans l'expression de la conductivité complexe \underline{\gamma} = \frac{\gamma_0}{1+\mathrm{i}\omega\tau} est tout à fait négligeable devant 1, ce qui implique \underline{\gamma} \approx \gamma_0.

L'équation de Maxwell-Ampère dans un conducteur non magnétique (\mu_r = 1, \varepsilon_r = 1) s'écrit :

où \vec{\jmath}_D = \varepsilon_0 \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} est le vecteur densité de courant de déplacement.

D'après la question Q6, pour les ondes de fréquence f \approx 14\text{ MHz}, la loi d'Ohm locale s'écrit sous sa forme statique :

Pour un champ électrique sinusoïdal de pulsation \omega = 2\pi f, les amplitudes (ou les normes en notation complexe) vérifient :

Le rapport entre les normes des deux densités de courant s'exprime ainsi :

Application numérique avec les données de l'énoncé (\gamma_0 = 38 \times 10^6\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}, \varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} et f = 14\text{ MHz} = 14 \times 10^6\text{ Hz}) :

D'après la question Q7, le rapport entre la norme du vecteur densité de courant volumique \vec{\jmath} et celle du courant de déplacement \vec{\jmath}_D est de l'ordre de 5 \times 10^{10} \gg 1.

Le courant de déplacement est donc totalement négligeable devant le courant de conduction au sein du conducteur :

L'équation de Maxwell-Ampère générale, rappelée à la question Q7 :

se simplifie alors sous la forme :

Cette simplification correspond à l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS), plus précisément dans son volet magnétique.