Feuille d'entraînement : Circuits électriques et régimes transitoires

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2025, Q16

   L'ensemble des N spires mobiles constituant la bobine est le siège :

   • d'effets ohmiques, modélisés par la résistance totale R_b ;
   • d'effets d'auto-induction, modélisés par l'inductance propre L_b ;
   • d'un phénomène d'induction motionnelle caractérisé à la question Q13 par la force électromotrice e(t) = 2\pi r N B_0 \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}.

   Dans l'orientation du circuit associée au sens de comptage du courant i(t), la force électromotrice induite e(t) agit en convention générateur. Le circuit électrique équivalent est une maille unique fermée sur le générateur E(t) :

   En convention récepteur pour la bobine (composée de R_b, L_b et du siège de la f.é.m. e), la tension à ses bornes s'écrit :

   u_b(t) = R_b i(t) + L_b \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} - e(t)

   La loi des mailles impose E(t) = u_b(t), soit :

   E(t) = R_b i(t) + L_b \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} - e(t)

   En injectant l'expression de la f.é.m. issue de la question Q13, e(t) = 2\pi r N B_0 \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}, on obtient :

   E(t) = R_b i(t) + L_b \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} - 2\pi r N B_0 \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}

   Par identification avec la relation E(t) = R_b i(t) + L_b \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} - \gamma \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}, on en déduit :

   \boxed{\gamma = 2\pi r N B_0}

   Résultat

   $$\gamma =2\pi rN{B}_0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2025, Q16

   Considérons la maille unique du circuit représenté sur la figure 4. En choisissant le potentiel de référence nul au niveau du potentiel de la cathode (branche inférieure), le générateur impose une tension continue V_{cc} au sommet du montage.

   Le courant anodique I_a traverse la résistance de charge R_a du haut vers le bas (en entrant par l'anode du tube). En convention récepteur pour la résistance, la tension à ses bornes s'écrit U_{R_a} = R_a I_a.

   La loi des mailles (ou l'additivité des tensions) s'écrit alors :

   V_{cc} = R_a I_a + U_{ac}

   On en déduit l'expression de la droite de charge reliant I_a à U_{ac} :

   \boxed{I_a = \frac{V_{cc} - U_{ac}}{R_a}}

   ou, sous forme affine pour la tension :

   \boxed{U_{ac} = V_{cc} - R_a I_a}

   Résultat

   $$I_a=\frac{V_{cc}-U_{ac}}{R_a}$$

   $$U_{ac}=V_{cc}-R_a{I}_a$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2025, Q33

   La relation constitutive d'un condensateur parfait de capacité C s'écrit, en convention récepteur :

   i(t) = C \frac{\mathrm{d}u(t)}{\mathrm{d}t}

   En régime stationnaire (régime continu), toutes les tensions et toutes les charges sont constantes dans le temps, soit :

   \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = 0 \implies i = 0

   Un condensateur est donc traversé par un courant rigoureusement nul, quelle que soit la tension continue à ses bornes.

   \boxed{\text{En régime stationnaire, un condensateur se comporte comme un circuit ouvert (interrupteur ouvert).}}

   Par conséquent, dans le montage de la figure 7 :

   • la source alternative v_e(t) est déconnectée de la grille car le condensateur de liaison d'entrée C_e se comporte comme un circuit ouvert (de plus, par hypothèse de l'énoncé, la source variable est éteinte : v_e = 0) ;
   • le condensateur de découplage cathodique C_c en parallèle de la résistance de cathode R_c est également un circuit ouvert : aucun courant continu ne traverse cette branche, qui peut être supprimée du schéma.

   Le schéma électrique équivalent du montage en régime stationnaire est représenté ci-dessous :

   Résultat

   $$\text{En reˊgime stationnaire, un condensateur se comporte comme un circuit ouvert (interrupteur ouvert).}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2025, Q38

   La caractéristique statique de la triode s'écrit :

   I_a(U_{gc}, U_{ac}) = \beta' (\mu U_{gc} + U_{ac})^{3/2}

   En introduisant les petites variations u_{gc}, u_{ac} et i_a autour du point de repos (U_{gc}^0, U_{ac}^0, I_a^0), le développement de Taylor de I_a à l'ordre 1 s'écrit :

   I_a = I_a(U_{gc}^0 + u_{gc}, U_{ac}^0 + u_{ac}) = I_a^0 + \left( \frac{\partial I_a}{\partial U_{gc}} \right)_0 u_{gc} + \left( \frac{\partial I_a}{\partial U_{ac}} \right)_0 u_{ac}

   Soit, avec i_a = I_a - I_a^0 :

   i_a = g_m u_{gc} + \frac{1}{r_a} u_{ac}

   en posant par identification :

   g_m = \left( \frac{\partial I_a}{\partial U_{gc}} \right)_0 \quad \text{et} \quad \frac{1}{r_a} = \left( \frac{\partial I_a}{\partial U_{ac}} \right)_0

   Calculons les dérivées partielles de la fonction I_a :

   \begin{aligned} \frac{\partial I_a}{\partial U_{gc}} &= \frac{3}{2} \beta' \mu (\mu U_{gc} + U_{ac})^{1/2} \\ \frac{\partial I_a}{\partial U_{ac}} &= \frac{3}{2} \beta' (\mu U_{gc} + U_{ac})^{1/2} \end{aligned}

   Au point de fonctionnement, la relation statique impose :

   \mu U_{gc}^0 + U_{ac}^0 = \left(\frac{I_a^0}{\beta'}\right)^{2/3} \implies (\mu U_{gc}^0 + U_{ac}^0)^{1/2} = \left(\frac{I_a^0}{\beta'}\right)^{1/3}

   On en déduit l'expression de la transconductance (ou pente) g_m :

   g_m = \frac{3}{2} \beta' \mu \left(\frac{I_a^0}{\beta'}\right)^{1/3} = \frac{3}{2} \mu \beta'^{2/3} (I_a^0)^{1/3}

   De même, pour la résistance dynamique interne r_a :

   \frac{1}{r_a} = \frac{3}{2} \beta' \left(\frac{I_a^0}{\beta'}\right)^{1/3} = \frac{3}{2} \beta'^{2/3} (I_a^0)^{1/3} \implies r_a = \frac{2}{3} \beta'^{-2/3} (I_a^0)^{-1/3}

   \boxed{g_m = \frac{3}{2} \mu \beta'^{2/3} (I_a^0)^{1/3} \quad \text{et} \quad r_a = \frac{2}{3} \beta'^{-2/3} (I_a^0)^{-1/3}}

   Résultat

   $$g_m=\frac{3}{2}\mu {\beta }^{\prime 2/3}(I_a^0{)}^{1/3}\text{et}{r}_a=\frac{2}{3}{\beta }^{\prime -2/3}(I_a^0{)}^{-1/3}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique-Chimie MPI 2024, Q29

   D'après le schéma de l'étage 1 (figure 9) :

   • Les tensions u_1(t), u(t) et u_2(t) représentent les potentiels électriques en différents nœuds du circuit par rapport à la masse.
   • La résistance R est connectée entre le nœud de potentiel u_1(t) et le nœud de potentiel u_2(t).

   • Le condensateur C est connecté entre le nœud de potentiel u(t) (en sortie de la porte 1) et le nœud de potentiel u_2(t). La tension à ses bornes est définie par :

     u_c(t) = u_2(t) - u(t)

   Les résistances d'entrée des portes logiques étant infinies et le courant prélevé par l'étage 2 étant négligeable devant les courants de charge du condensateur, aucun courant ne s'échappe vers la porte 2 ni vers la résistance R_{\mathrm{h}}.

   En appliquant la loi des nœuds au point de potentiel u_2(t) :

   • Le courant issu de la résistance R entrant dans le nœud vaut :

     i_R(t) = \frac{u_1(t) - u_2(t)}{R}

   • En convention récepteur pour la tension u_c(t) = u_2(t) - u(t), le courant quittant le nœud à travers le condensateur vers le potentiel u(t) s'écrit :

     i_C(t) = C \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t}

   La conservation de la charge au nœud impose i_R(t) = i_C(t), soit :

   \begin{aligned} \frac{u_1(t) - u_2(t)}{R} &= C \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t} \\ R C \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t} + u_2(t) &= u_1(t) \end{aligned}

   En retranchant u(t) de part et d'autre :

   R C \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t} + \big(u_2(t) - u(t)\big) = u_1(t) - u(t)

   On obtient bien la forme demandée :

   \boxed{\tau \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t} + u_c = u_1 - u}

   avec le temps caractéristique :

   \boxed{\tau = RC}

   Résultat

   $$\tau \frac{\mathrm{d}{u}_c}{\mathrm{d}t}+u_c=u_1-u$$

   $$\tau =RC$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie MPI 2024, Q33

   D'après les résultats des questions Q30, Q31 et Q32, le fonctionnement s'organise en trois phases successives :

   • Pour 0 \leqslant t < t_b : la sortie de l'inverseur 1 vaut u(t) = 0. Le condensateur se charge depuis u_c(0) = 0 vers V_a, avec u_2(t) = u_c(t) = V_a(1 - \mathrm{e}^{-t/\tau}). À l'instant t_b^-, on atteint u_2(t_b^-) = V_b.

   • À t = t_b : u_2 atteint le seuil V_b, la porte 2 bascule à 0 (u_1 = 0), ce qui fait commuter la sortie 1 à u = V_a. Par continuité de la tension aux bornes d'un condensateur :

     u_c(t_b^+) = u_c(t_b^-) = V_b

     La loi des mailles impose donc un saut de potentiel pour u_2 :

     u_2(t_b^+) = u(t_b^+) + u_c(t_b^+) = V_a + V_b
   • Pour t_b < t < t'_b : u(t) = V_a. Le condensateur se décharge vers -V_a selon l'asymptote -V_a : u_c(t) = -V_a + (V_a + V_b)\mathrm{e}^{-(t - t_b)/\tau}, d'où u_2(t) = (V_a + V_b)\mathrm{e}^{-(t - t_b)/\tau}. À la date t = {t'_b}^-, u_2({t'_b}^-) = V_b et u_c({t'_b}^-) = V_b - V_a.

   • À t = t'_b : u_2 passe sous le seuil V_b, la porte 2 bascule à 1 (u_1 = V_a), donc la sortie 1 retombe à u = 0. Par continuité :

     u_c({t'_b}^+) = u_c({t'_b}^-) = V_b - V_a

     D'où un saut de tension vers le bas pour u_2 :

     u_2({t'_b}^+) = u({t'_b}^+) + u_c({t'_b}^+) = V_b - V_a < 0
   • Pour t'_b < t < t''_b : u(t) = 0. Le condensateur se recharge vers V_a avec u_2(t) = u_c(t) = V_a - (2V_a - V_b)\mathrm{e}^{-(t - t'_b)/\tau}, jusqu'à atteindre de nouveau le seuil u_2({t''_b}^-) = V_b, clôturant ainsi une période complète du régime établi (T = t''_b - t_b).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2024, Q41

   Les trois comparateurs de la figure 10 présentent une impédance d'entrée infinie (modélisés par des amplificateurs en régime non linéaire idéal, symbolisés par \triangleright \infty). Les courants prélevés par leurs bornes inverseuses sont donc rigoureusement nuls :

   i_- = 0.

   Par conséquent, la chaîne verticale constituée des quatre résistors de même résistance R est traversée par un unique courant d'intensité I. Elle forme un pont diviseur de tension non chargé entre le potentiel d'alimentation V_{cc} et la masse (0\text{ V}).

   La résistance équivalente de la branche vaut :

   R_{\mathrm{tot}} = 4R.

   L'intensité du courant traversant les résistors s'écrit alors :

   I = \frac{V_{cc} - 0}{4R} = \frac{V_{cc}}{4R}.

   Les potentiels des nœuds intermédiaires, pris par rapport à la masse, s'obtiennent par la loi d'Ohm ou la formule du pont diviseur de tension :

   \begin{aligned} V_0 &= R\,I = \frac{1}{4}V_{cc}, \\ V_1 &= 2R\,I = \frac{2}{4}V_{cc} = \frac{1}{2}V_{cc}, \\ V_2 &= 3R\,I = \frac{3}{4}V_{cc}. \end{aligned}

   On retrouve bien les valeurs attendues :

   \boxed{V_0 = \frac{1}{4}V_{cc}}, \quad \boxed{V_1 = \frac{1}{2}V_{cc}}, \quad \boxed{V_2 = \frac{3}{4}V_{cc}}.

   Résultat

   $$V_0=\frac{1}{4}{V}_{cc}$$

   $$V_1=\frac{1}{2}{V}_{cc}$$

   $$V_2=\frac{3}{4}{V}_{cc}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2024, Q44

   Lorsque l'interrupteur K est fermé, le courant d'entrée de l'amplificateur opérationnel (ALI supposé idéal) est nul : i_+ = 0. Par la loi des mailles, le circuit se réduit à un dipôle RC série soumis à la tension V_e(t) :

   V_e(t) = R i(t) + u_C(t) = RC \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t) + u_C(t)

   L'énoncé précise que les variations de V_e(t) sont très lentes devant la constante de temps \tau = RC. Sur la durée de charge, la tension d'entrée peut donc être considérée comme constante : V_e(t) \simeq V_e. Avec la condition initiale u_C(0) = 0, la solution s'écrit :

   u_C(t) = V_e \left(1 - \mathrm{e}^{-t/RC}\right)

   Le condensateur atteint 99 % de la tension V_e à un instant t_{99\%} tel que :

   \begin{aligned} u_C(t_{99\%}) = 0{,}99\,V_e &\iff 1 - \mathrm{e}^{-t_{99\%}/RC} = 0{,}99 \\ &\iff \mathrm{e}^{-t_{99\%}/RC} = 0{,}01 = 10^{-2} \\ &\iff t_{99\%} = RC \ln(100) = 2 \ln(10) RC \end{aligned}

   Numériquement, avec \ln(10) \simeq 2{,}30 :

   \boxed{t_{99\%} = RC \ln(100) \simeq 4{,}6 \, RC}

   L'interrupteur K est fermé pendant le niveau haut de l'horloge et s'ouvre à chaque front descendant. Pour que la tension u_C ait le temps d'atteindre la valeur de V_e à moins de 1 % près avant l'ouverture de l'interrupteur, la durée à l'état haut t_{\text{haut}} doit être supérieure ou égale à t_{99\%} :

   t_{\text{haut}} \geqslant t_{99\%} = RC \ln(100) \implies RC \leqslant \frac{t_{\text{haut}}}{\ln(100)} \simeq \frac{t_{\text{haut}}}{4{,}6}

   Dans le cas d'un signal d'horloge créneau symétrique de période T_e = 1/f_e (rapport cyclique de 50 %), le temps à l'état haut vaut t_{\text{haut}} = \frac{T_e}{2} = \frac{1}{2f_e}, d'où la contrainte :

   \boxed{RC \leqslant \frac{T_e}{2\ln(100)} \simeq \frac{T_e}{9{,}2} = \frac{1}{9{,}2\,f_e}}

   Résultat

   $$t_{99\%}=RC\ln (100)\simeq 4,6RC$$

   $$RC⩽\frac{T_e}{2\ln (100)}\simeq \frac{T_e}{9,2}=\frac{1}{9,2f_e}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Mines-Ponts Physique 2 MPI 2024, Q2

   La solution particulière u_P(t) correspond au régime permanent si la solution de l'équation homogène u_H(t) = A\,\mathrm{e}^{-t/\tau_\alpha} s'amortit au cours du temps, c'est-à-dire si :

   \lim_{t \to +\infty} u_H(t) = 0 \iff \tau_\alpha > 0

   Cette condition est bien satisfaite ici puisque les grandeurs physiques R, C et \alpha sont strictement positives. L'excitation E_0 étant constante, la solution particulière est elle aussi constante : u_P(t) = u_\infty.

   En régime permanent continu, la dérivée temporelle de la tension est nulle, de sorte que le courant à travers le condensateur s'annule :

   i_C = C \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = 0

   Le condensateur se comporte comme un circuit ouvert :

   • la valeur de u_\infty ne dépend donc pas de la capacité C ;
   • elle dépend en revanche des résistances R et R_L qui déterminent la répartition de la tension.

   En remplaçant le condensateur par une branche ouverte, on obtient le schéma équivalent suivant :

   Il s'agit d'un diviseur de tension non chargé alimenté par la tension E_0. On en déduit immédiatement :

   u_\infty = \frac{R_L}{R + R_L} E_0 = \frac{\alpha R}{R + \alpha R} E_0

   soit :

   \boxed{u_\infty = \frac{\alpha}{\alpha + 1} E_0}

   Résultat

   $$u_{\infty }=\frac{\alpha }{\alpha +1}{E}_0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CCINP Physique-Chimie MPI 2023, Q19

    1. Élimination de la composante continue :

    Pour supprimer la valeur moyenne (composante continue, de pulsation \omega = 0) d'un signal tout en transmettant ses variations temporelles, on utilise un filtre passe-haut passif RC (ou un condensateur de liaison suivi d'une résistance de tirage à la masse).

    Le montage est constitué d'un condensateur de capacité C placé en série avec l'entrée, et d'une résistance R reliée à la masse aux bornes de laquelle est prélevée la tension de sortie :

    \underline{H}(\mathrm{j}\omega) = \frac{\underline{s}_1}{\underline{e}} = \frac{\mathrm{j}RC\omega}{1 + \mathrm{j}RC\omega}

    En régime continu (\omega = 0), l'impédance du condensateur est infinie (circuit ouvert), d'où un gain nul : la composante continue est totalement éliminée.

    Pour que le créneau correspondant au passage de la goutte ne soit pas déformé, on choisit la fréquence de coupure f_c = \frac{1}{2\pi RC} très inférieure aux fréquences caractéristiques du signal (soit RC \gg \tau).

    \boxed{\text{Filtre passe-haut } RC \text{ (ou condensateur de liaison en série)}}

    2. Réalisation du bloc d'inversion :

    Pour réaliser un changement de signe (s_2(t) = -s_1(t)), on utilise un amplificateur opérationnel (ou amplificateur linéaire intégré, ALI/AOP) associé à deux résistances identiques R_0, câblé en montage amplificateur inverseur de gain unité :

    • la borne non-inverseuse (+) est reliée à la masse ;
    • le signal d'entrée est appliqué à la borne inverseuse (-) à travers une première résistance R_0 ;
    • une boucle de rétroaction négative comportant une seconde résistance R_0 relie la sortie à la borne inverseuse (-).

    En régime linéaire (V_+ = V_-), on obtient la relation :

    s_2(t) = -\frac{R_0}{R_0} s_1(t) = -s_1(t)

    \boxed{\text{Amplificateur opérationnel (AOP / ALI) en montage inverseur}}

    Résultat

    $$\text{Filtre passe-haut }RC\text{ (ou condensateur de liaison en seˊrie)}$$

    $$\text{Amplificateur opeˊrationnel (AOP / ALI) en montage inverseur}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question