Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 MPI 2025

En régime stationnaire, toutes les dérivées temporelles sont nulles (\partial/\partial t = 0). Les quatre équations de Maxwell s'écrivent :

D'après l'équation de Maxwell-Faraday en régime stationnaire, le champ électrique vérifie \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} = \vec{0}. Dans un domaine simplement connexe, tout champ vectoriel de rotationnel nul dérive d'un potentiel scalaire. D'après l'identité vectorielle rappelée dans le formulaire, \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{grad}} V) = \vec{0}, il existe donc un champ scalaire V, appelé potentiel électrostatique, tel que :

En injectant cette relation dans l'équation de Maxwell-Gauss :

où l'on a utilisé l'identité \operatorname{div}(\vec{\operatorname{grad}} V) = \Delta V. On obtient ainsi :

Cette équation aux dérivées partielles liant le potentiel V à la densité volumique de charge \rho est l'équation de Poisson.

Deux arguments physiques et géométriques justifient que le potentiel électrostatique ne dépende que de la coordonnée radiale r :

1. Invariance par rotation (indépendance selon \theta) :
   Les électrodes (cathode et anode) sont des cylindres coaxiaux d'axe (Oz). La géométrie du système ainsi que les conditions aux limites pour les potentiels (V(r_1) = 0 et V(r_2) = V_a) sont invariantes par toute rotation d'angle \theta autour de l'axe (Oz). L'émission d'électrons étant spatialement uniforme sur le pourtour de la cathode, la distribution de charges conserve cette symétrie axiale, d'où :

   \frac{\partial V}{\partial \theta} = 0

2. Négligence des effets de bord et invariance par translation (indépendance selon z) :
   Comparons la hauteur H des électrodes à l'écartement inter-électrodes :

   \frac{H}{r_2 - r_1} = \frac{45\text{ mm}}{5{,}0\text{ mm} - 2{,}0\text{ mm}} = \frac{45}{3{,}0} = 15 \gg 1

   De même, H \gg r_2 > r_1. Les cylindres sont donc très élancés. Loin des extrémités z = \pm H/2, les effets de bord sont négligeables et le système peut être modélisé comme invariant par translation le long de l'axe (Oz), d'où :

   \frac{\partial V}{\partial z} = 0

En combinant ces deux invariances, on en déduit que le potentiel ne dépend que de la coordonnée radiale r :

Le poids de l'électron s'écrit en norme :

Avec m = 9{,}1 \times 10^{-31}\text{ kg} et g \approx 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, on obtient :

Un électron circulant entre la cathode et l'anode est soumis à la force électrostatique \vec{F}_e = -e \vec{E}, de norme :

La distance séparant les deux cylindres vaut d = r_2 - r_1 = 5{,}0 - 2{,}0 = 3{,}0\text{ mm} = 3{,}0 \times 10^{-3}\text{ m}. La différence de potentiel appliquée V_a est typiquement de l'ordre de quelques dizaines à quelques centaines de volts (l'énoncé mentionne des tensions d'alimentation de l'ordre de 10\text{ V} à 350\text{ V}). Prenons comme ordre de grandeur V_a \sim 10^2\text{ V} :

La force électrostatique subie par l'électron est alors d'ordre de grandeur :

soit :

Le rapport des deux forces vaut :

Conclusion : La force électrostatique surpasse le poids de plus de quatorze ordres de grandeur. Le poids de l'électron est donc totalement négligeable devant la force électrostatique pour l'étude de la dynamique des électrons.

On étudie un électron, assimilé à un point matériel de masse m et de charge q = -e, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

D'après la question Q3, le poids de l'électron est totalement négligeable devant la force électrostatique. L'électron n'est donc soumis qu'à la force électrostatique :

Cette force dérive de l'énergie potentielle électrostatique :

Le système n'étant soumis à aucune force non conservative, son énergie mécanique \mathcal{E}_m se conserve au cours du mouvement :

À la cathode (r = r_1), les électrons sont émis sans vitesse initiale (v(r_1) = 0) et le potentiel est choisi nul (V(r_1) = V_c = 0). L'énergie mécanique initiale est donc nulle :

On en déduit que pour tout r \in [r_1, r_2] :

Comme V(r) \ge 0, la vitesse v(r) de l'électron à la distance r de l'axe s'écrit :

L'équation locale de conservation de la charge en régime quelconque s'écrit :

En régime stationnaire, les grandeurs locales ne dépendent pas explicitement du temps, d'où \dfrac{\partial \rho}{\partial t} = 0. Le vecteur densité de courant vérifie donc :

Le champ de vecteurs \vec{\jmath} est ainsi à flux conservatif.

Considérons une surface cylindrique \Sigma_r d'axe (Oz), de rayon r \in [r_1, r_2] et de hauteur H, fermée par deux disques aux extrémités z = \pm H/2. Les effets de bord étant négligés, l'écoulement électronique est purement radial : \vec{v}(r) = v(r)\,\vec{u}_r avec v(r) > 0.

La densité de courant volumique convective associée au mouvement des charges est :

Par convention, le courant anodique I_a > 0 circule de l'anode vers la cathode, c'est-à-dire vers le centre (selon -\vec{u}_r), à l'opposé du mouvement des électrons (dont la charge est négative, \rho(r) < 0). Le courant I_a correspond donc au flux de \vec{\jmath} orienté vers l'axe -\vec{u}_r à travers la paroi latérale de surface S = 2\pi r H :

On en déduit la relation demandée :

D'après la question Q1 et la formule du laplacien pour une fonction à symétrie uniquement radiale en coordonnées cylindriques (rappelée dans le formulaire de l'énoncé), l'équation de Poisson s'écrit :

En multipliant par r, il vient :

D'après la relation établie à la question Q5, le courant anodique I_a vérifie :

En injectant cette relation dans l'équation différentielle, on obtient :

Enfin, en remplaçant la vitesse v(r) par son expression obtenue à la question Q4, v(r) = \sqrt{\dfrac{2e V(r)}{m}}, on a :

Le potentiel V(r) vérifie donc bien la relation demandée :

avec :

D'après l'équation différentielle de la question Q6 :

Analysons dimensionnellement le membre de gauche :

• le rayon r s'exprime en mètres (\mathrm{m}) et le potentiel V en volts (\mathrm{V}) ;
• \left[\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}\right] = \mathrm{V\cdot m^{-1}} ;
• \left[r\,\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}\right] = \mathrm{m}\times(\mathrm{V\cdot m^{-1}}) = \mathrm{V} ;
• \left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\,\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}\right)\right] = \mathrm{V\cdot m^{-1}}.

Le second membre doit avoir la même dimension :

D'autre part, l'expression de k obtenue à la question Q6 est :

• L'intensité I_a s'exprime en \mathrm{A} et la hauteur H en \mathrm{m}.

• D'après l'équation de Poisson \Delta V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}, la permittivité diélectrique s'exprime par :

  [\varepsilon_0] = \frac{[\rho]}{[\Delta V]} = \frac{\mathrm{C\cdot m^{-3}}}{\mathrm{V\cdot m^{-2}}} = \mathrm{A\cdot s\cdot V^{-1}\cdot m^{-1}}

  Le premier facteur a donc pour unité :

  \left[\frac{I_a}{\varepsilon_0 H}\right] = \frac{\mathrm{A}}{(\mathrm{A\cdot s\cdot V^{-1}\cdot m^{-1}})\times \mathrm{m}} = \mathrm{V\cdot s^{-1}}

• D'après la relation de conservation de l'énergie établie à la question Q4, v = \sqrt{\frac{2e V}{m}}, soit \sqrt{\frac{m}{2e}} = \frac{V^{1/2}}{v}. Le second facteur a ainsi pour dimension :

  \left[\sqrt{\frac{m}{2e}}\right] = \frac{[V]^{1/2}}{[v]} = \frac{\mathrm{V}^{1/2}}{\mathrm{m\cdot s^{-1}}} = \mathrm{V}^{1/2}\cdot\mathrm{s}\cdot\mathrm{m}^{-1}

En effectuant le produit des deux termes :

Les deux approches conduisent à la même unité :

L'expression du facteur k est dimensionnellement cohérente.

Si le potentiel imposé à l'anode est multiplié par un facteur N, la fonction potentiel V(r) en tout point est multipliée par N : V'(r) = N\,V(r).

• Vitesse v : d'après la question Q4, la vitesse des électrons s'écrit :

  v(r) = \sqrt{\frac{2e\,V(r)}{m}}

  En remplaçant V(r) par N\,V(r), la vitesse devient :

  v'(r) = \sqrt{\frac{2e\,N\,V(r)}{m}} = N^{1/2}\,v(r)

  La vitesse v est donc multipliée par le facteur N^{1/2} = \sqrt{N}.

• Densité volumique de charge \rho : d'après l'équation de Poisson (question Q1) :

  \Delta V + \frac{\rho}{\varepsilon_0} = 0 \iff \rho(r) = -\varepsilon_0\,\Delta V(r)

  L'opérateur laplacien étant linéaire, si le potentiel est multiplié par N, son laplacien l'est également :

  \rho'(r) = -\varepsilon_0\,\Delta(N\,V) = N\,\rho(r)

  La densité volumique de charge \rho est donc multipliée par le facteur N.

• Courant anodique I_a : d'après la relation établie à la question Q5 :

  I_a = -2\pi r H\,\rho(r)\,v(r)

  En substituant les grandeurs transformées :

  I'_a = -2\pi r H\,\rho'(r)\,v'(r) = -2\pi r H\,[N\,\rho(r)]\,[N^{1/2}\,v(r)] = N^{3/2}\,I_a

  On retrouve de façon équivalente ce résultat à partir de l'équation différentielle de la question Q6 :

  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}\right) = k\,V^{-1/2}

  Le membre de gauche est multiplié par N tandis que V^{-1/2} est multiplié par N^{-1/2}. La constante k (proportionnelle à I_a) doit donc être multipliée par N / N^{-1/2} = N^{3/2}.

D'après la question Q6, le potentiel V(r) vérifie l'équation différentielle :

En injectant la forme V(r) = \alpha r^n (avec \alpha > 0) dans le membre de gauche, il vient successivement :

Le membre de droite s'écrit quant à lui :

L'égalité devant être vérifiée pour tout r, les puissances de r ainsi que les préfacteurs doivent coïncider, ce qui conduit au système d'équations suivant :

La première équation donne immédiatement :

En reportant cette valeur dans la seconde équation, on obtient :

D'où l'expression de \alpha :

D'après l'énoncé, la solution adoptée est V(r) = \alpha(r - r_1)^{2/3}. Comme V(r_1) = 0, la tension anode-cathode s'écrit :

D'après la question Q9, \alpha = \left(\frac{9}{4}k\right)^{\frac{2}{3}}, ce qui donne :

En injectant l'expression du facteur k établie à la question Q6, k = \frac{I_a}{2\pi\varepsilon_0 H}\sqrt{\frac{m}{2e}}, il vient :

En élevant cette expression à la puissance 3/2 pour isoler I_a, on obtient la loi caractéristique :

avec :

Application numérique :

Soit, avec deux chiffres significatifs :

Le résultat précédent I_a = \beta U_{ac}^{3/2} n'est pas valable pour U_{ac} < 0 pour deux raisons :

• Aspect mathématique : la fonction puissance non entière U_{ac}^{3/2} n'est pas définie dans \mathbb{R} pour des valeurs strictement négatives.

• Aspect énergétique : d'après la relation issue du théorème de l'énergie mécanique établie à la question Q4, la vitesse d'un électron s'écrit :

  v(r) = \sqrt{\frac{2e\,V(r)}{m}}

  Pour U_{ac} = V(r_2) - V(r_1) < 0, le potentiel V(r_2) = V_a est strictement négatif (puisque V_c = 0). Cela imposerait une énergie cinétique négative à l'anode, ce qui est physiquement impossible.

Comportement physique dans ce cas : Lorsque U_{ac} < 0, l'anode est à un potentiel plus bas que la cathode (V_a < V_c). Le champ électrique moyen régnant dans le tube est dirigé vers l'anode (\vec{E} = -\vec{\nabla}V). La force électrostatique subie par les électrons, de charge négative -e, est donc répulsive :

Elle est dirigée vers la cathode. Les électrons étant émis par émission thermoïonique avec une vitesse initiale nulle, ils ne possèdent pas l'énergie cinétique requise pour franchir cette barrière de potentiel retardatrice : ils sont immédiatement repoussés sur la cathode.

Aucun électron ne peut ainsi atteindre l'anode, ce qui conduit à :

D'après les questions Q10 et Q11, l'expression de l'intensité anodique en fonction de la tension anode-cathode U_{ac} est donnée par :

L'allure de cette caractéristique s'appuie sur les propriétés suivantes :

• Pour U_{ac} < 0, la diode est bloquée et le courant est strictement nul.
• En U_{ac} = 0, la fonction est continue : I_a(0) = 0.

• La dérivée pour U_{ac} > 0 vaut :

  \frac{\mathrm{d}I_a}{\mathrm{d}U_{ac}} = \frac{3}{2}\beta U_{ac}^{1/2}

  Elle tend vers 0 lorsque U_{ac} \to 0^+. La courbe admet donc une demi-tangente horizontale à l'origine, assurant le raccordement dérivable \mathcal{C}^1 avec le palier à courant nul.

• Pour U_{ac} > 0, la fonction est strictement croissante et sa dérivée seconde, \frac{\mathrm{d}^2I_a}{\mathrm{d}U_{ac}^2} = \frac{3}{4}\beta U_{ac}^{-1/2} > 0, montre que la courbe est convexe (concavité tournée vers les I_a croissants).

D'après la question Q10, pour une tension anode-cathode positive, la caractéristique de la diode à vide s'écrit :

Au point de fonctionnement préconisé (I_a^0, U_{ac}^0), on a donc :

Avec les valeurs numériques :

• I_a^0 = 1,2\text{ mA} = 1,2 \times 10^{-3}\text{ A} ;
• \beta = 2,2 \times 10^{-4}\text{ A}\cdot\text{V}^{-3/2} (valeur déterminée en Q10 et confirmée en partie A.III).

Le calcul donne :

D'après la question Q4, la vitesse d'un électron à la distance r de l'axe est reliée au potentiel par :

En utilisant la solution approchée adoptée à la question Q10, V(r) = \alpha (r-r_1)^{2/3}, et sachant que U_{ac}^0 = V(r_2) - V(r_1) = \alpha (r_2-r_1)^{2/3}, le potentiel s'écrit :

La vitesse de l'électron s'exprime donc sous la forme :

Comme la trajectoire est purement radiale, v(r) = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}, d'où la durée élémentaire \mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}r}{v(r)}. Le temps de vol \tau pour aller de r_1 à r_2 s'obtient par intégration :

Application numérique :

• U_{ac}^0 \approx 3,1\text{ V} (d'après la question Q13) ;
• v_a = \sqrt{\dfrac{2 \times 1,6\times 10^{-19}\times 3,1}{9,1\times 10^{-31}}} \approx 1,04\times 10^6\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• r_2 - r_1 = 5,0\text{ mm} - 2,0\text{ mm} = 3,0\times 10^{-3}\text{ m}.

Par analyse dimensionnelle, la seule échelle de temps du problème microscopique étant le temps de transit \tau, une fréquence de coupure s'écrit de manière générale :

(ou f_c \sim \frac{1}{2\pi\tau} si l'on introduit la pulsation de coupure \omega_c \tau \sim 1).

Application numérique :

(ou \frac{1}{2\pi\tau} \approx 37\text{ MHz}, soit un ordre de grandeur de quelques dizaines à quelques centaines de mégahertz).

D'après la loi caractéristique obtenue à la question Q10, pour un fonctionnement passant (U_{ac} > 0) :

Une petite variation \delta u autour du point de fonctionnement engendre une variation de courant \delta i, reliées à l'ordre 1 par :

Par définition, la résistance dynamique r_d s'écrit donc :

En dérivant la relation caractéristique par rapport à U_{ac} :

Or, U_{ac} = \left(\frac{I_a}{\beta}\right)^{2/3}, d'où U_{ac}^{1/2} = \left(\frac{I_a}{\beta}\right)^{1/3}. On en déduit :

On en déduit l'expression de la résistance dynamique r_d :

On remarque que cette expression peut également s'écrire r_d = \frac{2}{3}\frac{U_{ac}}{I_a} = \frac{2}{3} R_s, où R_s = \frac{U_{ac}}{I_a} est la résistance statique de la diode au point considéré.

Application numérique : Avec \beta = 2,2\times 10^{-4}\text{ A}\cdot\text{V}^{-3/2} et I_a^0 = 1,2\times 10^{-3}\text{ A} :

Considérons la maille unique du circuit représenté sur la figure 4. En choisissant le potentiel de référence nul au niveau du potentiel de la cathode (branche inférieure), le générateur impose une tension continue V_{cc} au sommet du montage.

Le courant anodique I_a traverse la résistance de charge R_a du haut vers le bas (en entrant par l'anode du tube). En convention récepteur pour la résistance, la tension à ses bornes s'écrit U_{R_a} = R_a I_a.

La loi des mailles (ou l'additivité des tensions) s'écrit alors :

On en déduit l'expression de la droite de charge reliant I_a à U_{ac} :

ou, sous forme affine pour la tension :

D'après l'équation de la droite de charge établie à la question Q16 :

Au point de repos souhaité, les grandeurs électriques prennent les valeurs (I_a^0, U_{ac}^0). On en déduit l'expression de la résistance R_a :

D'après la question Q13, la tension anode-cathode au point de repos vaut U_{ac}^0 \approx 3,1\text{ V} pour I_a^0 = 1,2\text{ mA}. Avec V_{cc} = 10\text{ V}, l'application numérique donne :

La droite de charge établie en Q16 s'écrit :

Il s'agit d'une droite de pente négative -1/R_a, qui coupe l'axe des abscisses en U_{ac} = V_{cc} et l'axe des ordonnées en I_a = V_{cc}/R_a.

Le point de fonctionnement (U_{ac}^0, I_a^0) se situe à l'intersection de cette droite de charge et de la caractéristique statique de la diode I_a(U_{ac}) = \beta U_{ac}^{3/2}.

Au point de repos (U_{ac}^0, I_a^0), la pente de la tangente à la caractéristique de la diode vaut :

Le filament est un conducteur cylindrique homogène de longueur L, de rayon r_{\mathrm{f}} et de conductivité électrique \gamma. Sa section droite vaut :

D'après la loi de Pouillet (résistance d'un conducteur cylindrique en régime continu), sa résistance électrique s'écrit :

Application numérique :

Soit, avec deux chiffres significatifs :

Le filament étant soumis à la tension continue U_{\mathrm{f}}, la puissance électrique reçue (dissipée par effet Joule) s'exprime par :

Application numérique :

Soit :

Il existe trois modes de transfert thermique :

• la conduction (ou diffusion) thermique : transfert d'énergie de proche en proche au sein de la matière sans déplacement macroscopique de matière ;
• la convection thermique : transfert d'énergie accompagné d'un déplacement macroscopique de matière, propre aux fluides (liquides ou gaz) ;
• le rayonnement thermique : transfert d'énergie sous forme d'ondes électromagnétiques (photons), ne nécessitant aucun milieu matériel pour se propager.

Le tube électronique est sous vide : l'espace séparant le filament chauffant de la cathode est dépourvu de milieu matériel. En l'absence de fluide, la convection est impossible ; de même, en l'absence de contact solide continu ou de gaz interstitiel, la conduction thermique dans cet espace est exclue.

Le chauffage de la cathode par le filament est donc assuré par rayonnement thermique.

Dans la loi de Stefan-Boltzmann \phi = \sigma T^4 :

• La grandeur \phi représente la densité surfacique de flux thermique émis (ou émittance énergétique, ou encore exitance) par la surface du corps noir à la température T.
• Il s'agit de la puissance thermique totale rayonnée par unité d'aire de la surface émettrice, intégrée sur l'ensemble du spectre électromagnétique (toutes les longueurs d'onde) et dans tout le demi-espace vers l'extérieur.

Considérons le système fermé constitué par le filament de tungstène entre les instants t et t+\mathrm{d}t. Le filament est modélisé par une phase condensée indilatable et incompressible de température uniforme T(t).

Sa masse s'exprime en fonction de son rayon r_{\mathrm{f}} et de sa longueur L par :

Sa capacité thermique est donc :

La variation de son énergie interne entre t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

Pendant cette durée \mathrm{d}t, le filament échange de l'énergie avec l'extérieur :

• Il reçoit un travail électrique (effet Joule) :

  \delta W = P_{\text{él}}\,\mathrm{d}t

• Il émet un flux thermique radiatif par sa surface extérieure. Le rayon r_{\mathrm{f}} étant très petit devant la longueur L (r_{\mathrm{f}}/L = 5{,}0\times 10^{-3} \ll 1), la surface d'échange se réduit à sa surface latérale :

  S_{\mathrm{f}} \approx 2\pi r_{\mathrm{f}} L

  D'après la loi de Stefan-Boltzmann et en négligeant le flux reçu du milieu extérieur, le transfert thermique s'écrit :

  \delta Q = - \phi S_{\mathrm{f}}\,\mathrm{d}t = - 2\pi r_{\mathrm{f}} L \sigma T^4\,\mathrm{d}t

D'après le premier principe de la thermodynamique :

Soit, en divisant par \mathrm{d}t et en explicitant C :

Ce qui conduit à l'équation différentielle :

En régime stationnaire, la température du filament est constante au cours du temps, soit :

L'équation différentielle établie à la question Q22 se réduit alors à l'équilibre entre la puissance électrique reçue et la puissance rayonnée :

On en déduit l'expression de la température d'équilibre T_{\text{éq}} :

En remplaçant la puissance électrique P_{\text{él}} = \dfrac{U_{\mathrm{f}}^2}{R_{\mathrm{f}}} = \dfrac{\pi \gamma r_{\mathrm{f}}^2 U_{\mathrm{f}}^2}{L} par son expression obtenue à la question Q19, on obtient :

soit finalement :

Application numérique : Avec les valeurs numériques fournies :

• \gamma = 8{,}9 \times 10^6\ \mathrm{S\cdot m^{-1}} ;
• r_{\mathrm{f}} = 0{,}20\ \mathrm{mm} = 2{,}0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m} ;
• U_{\mathrm{f}} = 1{,}5\ \mathrm{V} ;
• \sigma = 5{,}7 \times 10^{-8}\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}} ;
• L = 4{,}0\ \mathrm{cm} = 4{,}0 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}.

Le calcul donne :

D'où :

La capacité thermique du filament s'écrit :

Numériquement :

L'élévation de température du filament de la température ambiante T_0 \approx 300\ \mathrm{K} jusqu'à la température d'équilibre T_{\text{éq}} \approx 2{,}2\times 10^3\ \mathrm{K} requiert une variation d'énergie interne :

La puissance électrique injectée étant P_{\text{él}} \approx 63\ \mathrm{W} et les pertes radiatives étant nulles à l'instant initial pour croître jusqu'à compenser P_{\text{él}} à l'équilibre, le temps de mise en température est de l'ordre de :

Une analyse du temps caractéristique de l'équation différentielle linéarisée au voisinage de T_{\text{éq}} donne de même :

L'ordre de grandeur du temps de chauffage du filament seul est donc de l'ordre d'une fraction de seconde à la seconde :

Commentaire dans le cadre d'un amplificateur audio à tubes : Contrairement aux amplificateurs à transistors qui sont opérationnels quasi-instantanément, un équipement audio à tubes nécessite une phase de préchauffage à l'allumage. Bien que le filament atteigne sa température de fonctionnement en environ une seconde, le transfert thermique par rayonnement vers la cathode environnante (qui possède une masse et une capacité thermique plus grandes) requiert un délai supplémentaire pour stabiliser l'émission thermoïonique (typiquement de quelques secondes à plusieurs dizaines de secondes). C'est pourquoi le son n'est émis qu'après une phase de montée en température caractéristique des appareils à tubes.

D'après le formulaire, la loi de déplacement de Wien s'écrit :

À la température d'équilibre T_{\text{éq}} \approx 2{,}2 \times 10^3\ \mathrm{K} obtenue à la question Q23, la longueur d'onde au sommet du spectre d'émission vaut :

Cette longueur d'onde se situe dans le domaine du proche infrarouge (\lambda_{\max} > 750\ \mathrm{nm}).

Puisque le spectre d'émission du corps noir est une fonction strictement croissante de la longueur d'onde pour \lambda < \lambda_{\max}, l'émittance spectrale dans le domaine visible (\lambda \in [400\ \mathrm{nm},\, 750\ \mathrm{nm}]) est d'autant plus intense que la longueur d'onde est grande : le rouge et l'orange sont très prédominants par rapport au bleu et au vert.

Le filament présente donc une teinte chaude :

L'émission thermoïonique est un phénomène de transport microscopique d'électrons hors du métal :

• À l'échelle microscopique, les électrons de conduction du métal sont des fermions de spin 1/2, régis par la physique quantique et soumis au principe d'exclusion de Pauli.
• La distribution statistique de ces électrons suit la statistique de Fermi-Dirac, dans laquelle le dénombrement des états quantiques accessibles fait intervenir le volume d'une cellule élémentaire de l'espace des phases, égal à h^3 (ou une densité d'états proportionnelle à h^{-3}).
• Le calcul microscopique du flux d'électrons possédant une énergie cinétique suffisante pour franchir la barrière de potentiel W nécessite donc d'intégrer sur cette densité d'états quantiques.

Ainsi, la constante de Planck h, constante fondamentale de la physique quantique régissant la quantification des états et la densité d'états dans l'espace des phases, intervient nécessairement dans le préfacteur A.

Dans la loi de Richardson, l'argument de l'exponentielle est sans dimension, de sorte que :

où \mathrm{I} désigne la dimension d'intensité électrique, \mathrm{L} la longueur et \Theta la température thermodynamique.

Exprimons les dimensions fondamentales des grandeurs microscopiques considérées :

• Masse de l'électron : [m] = \mathrm{M} ;
• Charge élémentaire : [e] = \mathrm{I\cdot T} ;
• Constante de Boltzmann : k_B T est une énergie ([E] = \mathrm{M\cdot L^2\cdot T^{-2}}), d'où [k_B] = \mathrm{M\cdot L^2\cdot T^{-2}\cdot \Theta^{-1}} ;
• Constante de Planck : h\nu est une énergie avec [\nu] = \mathrm{T^{-1}}, d'où [h] = \mathrm{M\cdot L^2\cdot T^{-1}}.

On cherche une expression de la forme A = 4\pi\, m^\alpha e^\beta k_B^\gamma h^\delta. L'analyse dimensionnelle se traduit par :

Par identification des exposants dimension par dimension :

On vérifie la cohérence sur la dimension temporelle \mathrm{T} : \beta - 2\gamma - \delta = 1 - 4 - (-3) = 0, ce qui est bien vérifié.

On en déduit l'expression de la constante de Richardson A :

Application numérique : Avec les valeurs de l'énoncé :

Considérons la cathode en régime stationnaire. Par hypothèse de l'énoncé :

• la cathode reçoit la totalité de la puissance rayonnée par le filament, elle-même égale en régime stationnaire à la puissance électrique dissipée dans le filament (établie aux questions Q19 et Q23), soit P_{\text{él}} = \dfrac{U_{\mathrm{f}}^2}{R_{\mathrm{f}}} = \sigma T_{\text{éq}}^4 S_{\mathrm{f}} ;
• tout autre transfert thermique reçu est négligé.

La cathode évacue cette puissance par rayonnement thermique depuis sa surface latérale externe vers le reste du tube. Cette surface externe est un cylindre de rayon r_1 et de hauteur H, d'aire :

En assimilant la cathode à un corps noir à la température uniforme T_c, la puissance totale rayonnée vers l'extérieur s'écrit selon la loi de Stefan-Boltzmann :

À l'équilibre stationnaire, la conservation de l'énergie impose P_{\text{ray}} = P_{\text{él}}, ce qui conduit à :

soit encore, en reliant directement T_c à la température d'équilibre du filament T_{\text{éq}} :

D'où l'expression de la température de la cathode :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• P_{\text{él}} \approx 62{,}5\ \mathrm{W} ;
• r_1 = 2{,}0\times 10^{-3}\ \mathrm{m} et H = 45\times 10^{-3}\ \mathrm{m}, d'où S_c = 2\pi \times 2{,}0\times 10^{-3} \times 45\times 10^{-3} \approx 5{,}65\times 10^{-4}\ \mathrm{m}^2 ;
• \sigma = 5{,}7\times 10^{-8}\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}}.

D'après la loi de Richardson, la densité de courant émise par une surface métallique à la température T_c est :

La cathode cylindrique présente une surface émettrice latérale S_c = 2\pi r_1 H = 2\pi \times 2{,}0\times 10^{-3} \times 45\times 10^{-3} \approx 5{,}65\times 10^{-4}\text{ m}^2.

L'énergie thermique à la température T_c \approx 1{,}18\times 10^3\text{ K} vaut :

1. Émission côté filament (face interne en nickel, W_{\mathrm{Ni}} = 4{,}6\text{ eV}) Le rapport énergétique vaut :

La densité de courant d'émission est alors :

L'intensité émise vers l'intérieur (côté filament) est donc :

2. Émission côté anode (face externe recouverte de BaO, W_{\mathrm{BaO}} = 2{,}0\text{ eV}) Le rapport énergétique devient :

La densité de courant d'émission vaut :

L'intensité totale maximale émise (courant de saturation thermoïonique) est ainsi :

3. Comparaison et commentaire On constate que :

D'après l'étude précédente, le comportement réel de la diode à vide fait intervenir la limite imposée par l'émission thermoïonique de la cathode :

• Polarisation inverse (U_{ac} < 0) : le champ électrique repousse les électrons vers la cathode. La cathode n'étant pas une anode collectrice et l'anode froide n'émettant aucun électron, la diode est bloquée :

  I_a = 0

• Régime de charge d'espace (0 < U_{ac} < U_{\text{sat}}) : pour des tensions modérées, le courant est limité par l'effet d'écran créé par le nuage électronique entre les électrodes. C'est le domaine de validité de la loi de Child-Langmuir établie à la question Q10 :

  I_a = \beta U_{ac}^{3/2}

• Régime de saturation thermoïonique (U_{ac} \ge U_{\text{sat}}) : le champ électrique devient suffisamment intense pour capter la totalité des électrons émis par la cathode côté anode. Le courant ne dépend plus de la tension appliquée mais uniquement de la température de la cathode par la loi de Richardson (question Q29). Il atteint le courant de saturation :

  \boxed{I_a = I_{\text{th-A}} = \text{cte}}

La tension de saturation U_{\text{sat}} marquant la frontière entre ces deux derniers régimes vérifie :

Avec I_{\text{th-A}} \approx 3{,}6\text{ A} et \beta = 2{,}2\times 10^{-4}\text{ A}\cdot\text{V}^{-3/2}, on obtient U_{\text{sat}} \approx 6{,}5\times 10^2\text{ V}.

Le principe de superposition s'applique exclusivement aux circuits constitués de composants linéaires, c'est-à-dire régis par des équations différentielles linéaires liant tensions et courants.

Or, la triode présente une caractéristique courant-tension intrinsèquement non linéaire :

L'exposant 3/2 (non égal à 1) implique que la réponse du tube à la somme de deux signaux n'est pas la somme des réponses individuelles.

1. Argument numérique justifiant la démarche :

D'après le texte, l'amplitude du signal d'entrée variable v_e(t) est de quelques centaines de millivolts :

La tension continue d'alimentation impose un ordre de grandeur de :

Ainsi, le rapport d'amplitude vérifie :

Le signal variable d'entrée constitue donc une très faible perturbation devant les tensions continues de polarisation. On peut ainsi effectuer un développement limité à l'ordre 1 des caractéristiques de la triode au voisinage du point de fonctionnement fixé par la composante continue : c'est le régime des petits signaux.

2. Dépendance vis-à-vis des sources :

• La tension continue de polarisation V_s^0 ne dépend que de la source continue d'alimentation V_{cc}.
• La tension variable v_s(t) est engendrée par la source variable v_e(t) (l'amplification dépendant toutefois des paramètres dynamiques fixés par le point de repos, et donc indirectement de V_{cc}).

La relation constitutive d'un condensateur parfait de capacité C s'écrit, en convention récepteur :

En régime stationnaire (régime continu), toutes les tensions et toutes les charges sont constantes dans le temps, soit :

Un condensateur est donc traversé par un courant rigoureusement nul, quelle que soit la tension continue à ses bornes.

Par conséquent, dans le montage de la figure 7 :

• la source alternative v_e(t) est déconnectée de la grille car le condensateur de liaison d'entrée C_e se comporte comme un circuit ouvert (de plus, par hypothèse de l'énoncé, la source variable est éteinte : v_e = 0) ;
• le condensateur de découplage cathodique C_c en parallèle de la résistance de cathode R_c est également un circuit ouvert : aucun courant continu ne traverse cette branche, qui peut être supprimée du schéma.

Le schéma électrique équivalent du montage en régime stationnaire est représenté ci-dessous :

D'après le schéma équivalent continu obtenu à la question Q33 :

• La grille est isolée du générateur d'entrée par le condensateur C_e (circuit ouvert) et n'est reliée au reste du montage que par la résistance de fuite R_g connectée à la masse. Le potentiel de la grille est donc :

  V_g = -R_g I_g

• Le courant issu de l'anode traverse le tube puis la résistance cathodique R_c pour rejoindre la masse. En notant I_k = I_a + I_g le courant traversant R_c, le potentiel de la cathode s'écrit :

  V_c = R_c (I_a + I_g)

Rappelons les propriétés physiques des électrodes :

• Seule la cathode est chauffée par le filament : la grille, froide, n'est pas le siège d'une émission thermoïonique. Le courant I_g ne peut donc résulter que du captage d'électrons émis par la cathode, ce qui impose I_g \ge 0.
• Dès lors qu'un courant anodique circule (I_a > 0), la cathode est portée à un potentiel strictement positif (V_c > 0), tandis que la grille est à un potentiel négatif ou nul (V_g \le 0).

La tension grille-cathode est donc négative :

La grille se trouve ainsi à un potentiel électrostatique inférieur à celui de la cathode : elle exerce une force électrostatique répulsive sur les électrons (de charge négative -e) émis par la cathode. Aucun électron ne peut vaincre cette barrière de potentiel pour atteindre la grille.

Le flux d'électrons collectés par la grille est donc rigoureusement nul, ce qui impose :

Ce résultat est valable quelles que soient les valeurs des résistances R_a, R_g et R_c, dès lors que R_c > 0 et I_a > 0.

1. Détermination de U_{gc}^0 :

Au point de repos, le courant anodique est donné par la caractéristique de la triode (pour I_g = 0) :

En inversant cette relation :

Avec I_a^0 = 1{,}2\times 10^{-3}\ \mathrm{A}, \beta' = 3{,}3\times 10^{-6}\ \mathrm{A\cdot V^{-3/2}}, \mu = 100 et U_{ac}^0 = 2{,}5\times 10^2\ \mathrm{V} :

Il vient ainsi :

On remarque que U_{gc}^0 < 0, ce qui est parfaitement cohérent avec l'hypothèse d'une grille polarisée en inverse et I_g = 0.

2. Détermination de R_c :

D'après l'étude précédente (Q34), le courant de grille stationnaire est nul (I_g = 0). La résistance R_g n'est traversée par aucun courant, de sorte que le potentiel continu de la grille est nul :

Par la loi des nœuds à la cathode en continu, le courant traversant R_c vers la masse est l'intégralité du courant anodique I_k^0 = I_a^0. Le potentiel de la cathode est donc :

La tension grille-cathode s'écrit alors :

D'où l'expression de la résistance de cathode (principe de la polarisation automatique par résistance de cathode) :

Application numérique :

3. Détermination de R_a :

La loi des mailles le long de la branche principale s'écrit en régime continu :

On en déduit l'expression de R_a :

Application numérique avec V_{cc} = 350\ \mathrm{V} :

4. Rôle de R_g en régime continu :

Le courant de grille étant rigoureusement nul en régime stationnaire (I_g = 0), la chute de tension aux bornes de R_g est nulle (U_{R_g} = R_g \times 0 = 0) quelle que soit la valeur de cette résistance. La grille est donc fixée au potentiel de référence de la masse (V_g^0 = 0\ \mathrm{V}) indépendamment de R_g. La résistance R_g n'intervient donc pas dans la détermination du point de fonctionnement continu.

Le signal de sortie V_s(t) est prélevé à l'anode du tube et référencé par rapport à la masse (figure 7). En régime stationnaire, sa composante continue V_s^0 est donc le potentiel électrostatique continu de l'anode V_a^0.

En appliquant la loi des mailles le long de la branche anodique ou en exprimant le potentiel de l'anode par rapport à celui de la cathode :

D'après les résultats de la question Q35, le potentiel continu de la cathode vaut :

On en déduit :

Compte tenu de la précision des données de l'énoncé (U_{ac}^0 = 2{,}5\times 10^2\ \mathrm{V}) :

Le signal d'entrée v_e(t) a pour fréquence f = 1{,}0\text{ kHz}, ce qui correspond à une période temporelle :

D'après la question Q14, le temps de transit d'un électron entre la cathode et l'anode est de l'ordre de :

ce qui correspondait à une fréquence de coupure dynamique f_c \sim \frac{1}{\tau} \approx 2 \times 10^8\text{ Hz} = 200\text{ MHz}.

On constate que :

Pendant la traversée du tube par un électron, les potentiels de grille et d'anode demeurent quasi constants. Le régime est donc quasi-statique, ce qui justifie pleinement l'utilisation de la caractéristique statique I_a(U_{gc}, U_{ac}) à chaque instant.

La caractéristique statique de la triode s'écrit :

En introduisant les petites variations u_{gc}, u_{ac} et i_a autour du point de repos (U_{gc}^0, U_{ac}^0, I_a^0), le développement de Taylor de I_a à l'ordre 1 s'écrit :

Soit, avec i_a = I_a - I_a^0 :

en posant par identification :

Calculons les dérivées partielles de la fonction I_a :

Au point de fonctionnement, la relation statique impose :

On en déduit l'expression de la transconductance (ou pente) g_m :

De même, pour la résistance dynamique interne r_a :

D'après les résultats de la question Q38, les expressions de la transconductance g_m et de la résistance dynamique interne r_a au point de fonctionnement sont :

En effectuant le produit de ces deux grandeurs, les dépendances en I_a^0 et \beta' se simplifient exactement :

Commentaires :

• Indépendance vis-à-vis du point de repos : Le produit g_m r_a est strictement égal au paramètre sans dimension \mu. Il est indépendant de la polarisation du tube (I_a^0, U_{ac}^0, U_{gc}^0) ainsi que du paramètre \beta'. Il ne dépend donc que des caractéristiques géométriques des électrodes du tube (espacements, pas de bobinage de la grille).

• Facteur d'amplification (relation de Barkhausen) : À courant anodique constant (i_a = 0), la relation différentielle devient g_m u_{gc} + \frac{u_{ac}}{r_a} = 0, soit :

  \left(\frac{\partial U_{ac}}{\partial U_{gc}}\right)_{I_a} = - g_m r_a = -\mu

  \mu représente donc le facteur d'amplification maximal en tension de la triode.

• Efficacité de la grille : La valeur élevée \mu = 100 \gg 1 confirme que le potentiel de la grille est cent fois plus influent sur la charge d'espace et le courant anodique que le potentiel de l'anode, ce qui confère à la triode son rôle d'amplificateur de tension.

D'après la question Q38, la pente (ou transconductance) g_m s'exprime par :

Avec les grandeurs numériques fournies par l'énoncé et établies à la question Q35 :

• \mu = 100 ;
• \beta' = 3{,}3 \times 10^{-6}\ \mathrm{A\cdot V^{-3/2}} ;
• I_a^0 = 1{,}2\ \mathrm{mA} = 1{,}2 \times 10^{-3}\ \mathrm{A} ;
• \mu U_{gc}^0 + U_{ac}^0 = \left(\dfrac{I_a^0}{\beta'}\right)^{2/3} \approx 50{,}9\ \mathrm{V}.

On calcule g_m :

D'après la relation de Barkhausen établie à la question Q39 (g_m r_a = \mu), la résistance interne r_a vaut :

En ne conservant que deux chiffres significatifs :

D'après le schéma équivalent en régime variable (figure 8) :

• la cathode est reliée à la masse dynamique commune (court-circuitée par le condensateur de découplage C_c) ;

• la grille est portée au potentiel v_e(t) imposé par la source idéale, d'où :

  u_{gc} = v_e

• la tension de sortie v_s(t) est prise entre l'anode et la masse, tout comme la tension dynamique anode-cathode :

  u_{ac} = v_s

La résistance d'anode R_a est connectée entre l'anode et la masse dynamique (puisque la source V_{cc} impose une variation de potentiel nulle). La loi des nœuds au niveau de l'anode s'écrit donc :

En reportant ces expressions dans la relation petits signaux issue de la question Q38 :

On en déduit bien une relation de proportionnalité v_s = A_V v_e, où l'amplification en tension A_V s'exprime par :

Commentaire sur le signe : Le signe négatif de A_V traduit le caractère inverseur du montage amplificateur : le signal de sortie v_s(t) est en opposition de phase (\Delta \varphi = \pi\ \text{rad}) par rapport au signal d'entrée v_e(t).

Applications numériques : Avec g_m \approx 3{,}5\times 10^{-3}\ \text{S}, r_a \approx 28\ \text{k}\Omega (Q40) et R_a \approx 82\ \text{k}\Omega (Q35) (soit \mu = g_m r_a = 100) :

En décibels, le gain en tension associé est défini par :

En régime variable, le condensateur de liaison d'entrée C_e se comporte comme un fil. Si la source présente une résistance de sortie r_e, elle constitue avec la résistance de grille R_g un diviseur de tension à l'entrée de l'amplificateur.

Le courant de grille étant nul (i_g = 0, l'impédance d'entrée propre de la triode est infinie), la tension u_{gc} appliquée entre grille et cathode (cette dernière étant mise à la masse dynamique par le condensateur de découplage C_c) vaut :

L'amplification effective du montage avec la source réelle s'écrit donc :

Pour ne pas altérer l'amplification en tension, il faut que le signal d'entrée ne soit pas atténué par la résistance interne de la source, soit u_{gc} \approx v_e, ce qui impose la condition d'adaptation en tension :

Avec r_e = 50\ \Omega, il suffit donc de choisir R_g d'au moins quelques kilo-ohms (typiquement R_g \gtrsim 5\ \mathrm{k\Omega}, et couramment R_g \sim 100\ \mathrm{k\Omega} à 1\ \mathrm{M\Omega} dans les montages audio à triode).

La caractéristique statique de la triode s'écrit :

En posant U_{gc} = U_{gc}^0 + u_{gc} et U_{ac} = U_{ac}^0 + u_{ac}, avec u_{gc} et u_{ac} de petites variations, effectuons un développement limité au voisinage du point de repos (U_{gc}^0, U_{ac}^0) à l'ordre 2 en u_{gc} et à l'ordre 1 en u_{ac} :

Puisque I_a = I_a^0 + i_a, on identifie directement :

avec g_m = \left(\frac{\partial I_a}{\partial U_{gc}}\right)_0, \dfrac{1}{r_a} = \left(\frac{\partial I_a}{\partial U_{ac}}\right)_0 et le coefficient non linéaire :

Calculons les dérivées partielles par rapport à U_{gc} :

Au point de fonctionnement, on a par définition I_a^0 = \beta' (\mu U_{gc}^0 + U_{ac}^0)^{3/2}, d'où :

Il vient ainsi :

On en déduit l'expression du coefficient \xi :

Application numérique : Avec \mu = 100, \beta' = 3{,}3 \times 10^{-6}\ \mathrm{A\cdot V^{-3/2}} et I_a^0 = 1{,}2\ \mathrm{mA} = 1{,}2 \times 10^{-3}\ \mathrm{A} :