Feuille d'entraînement : Diffusion thermique et diffusion de particules

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2025, Q22

   Considérons le système fermé constitué par le filament de tungstène entre les instants t et t+\mathrm{d}t. Le filament est modélisé par une phase condensée indilatable et incompressible de température uniforme T(t).

   Sa masse s'exprime en fonction de son rayon r_{\mathrm{f}} et de sa longueur L par :

   m_{\mathrm{f}} = \mu_{\mathrm{W}} \pi r_{\mathrm{f}}^2 L

   Sa capacité thermique est donc :

   C = m_{\mathrm{f}} c = \mu_{\mathrm{W}} c \pi r_{\mathrm{f}}^2 L

   La variation de son énergie interne entre t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

   \mathrm{d}U = C\,\mathrm{d}T = \mu_{\mathrm{W}} c \pi r_{\mathrm{f}}^2 L\,\mathrm{d}T

   Pendant cette durée \mathrm{d}t, le filament échange de l'énergie avec l'extérieur :

   • Il reçoit un travail électrique (effet Joule) :

     \delta W = P_{\text{él}}\,\mathrm{d}t

   • Il émet un flux thermique radiatif par sa surface extérieure. Le rayon r_{\mathrm{f}} étant très petit devant la longueur L (r_{\mathrm{f}}/L = 5{,}0\times 10^{-3} \ll 1), la surface d'échange se réduit à sa surface latérale :

     S_{\mathrm{f}} \approx 2\pi r_{\mathrm{f}} L

     D'après la loi de Stefan-Boltzmann et en négligeant le flux reçu du milieu extérieur, le transfert thermique s'écrit :

     \delta Q = - \phi S_{\mathrm{f}}\,\mathrm{d}t = - 2\pi r_{\mathrm{f}} L \sigma T^4\,\mathrm{d}t

   D'après le premier principe de la thermodynamique :

   \mathrm{d}U = \delta W + \delta Q = \left( P_{\text{él}} - 2\pi r_{\mathrm{f}} L \sigma T^4 \right)\mathrm{d}t

   Soit, en divisant par \mathrm{d}t et en explicitant C :

   \mu_{\mathrm{W}} c \pi r_{\mathrm{f}}^2 L \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = P_{\text{él}} - 2\pi r_{\mathrm{f}} L \sigma T^4

   Ce qui conduit à l'équation différentielle :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} + \frac{2\sigma}{\mu_{\mathrm{W}} c r_{\mathrm{f}}} T^4 = \frac{P_{\text{él}}}{\mu_{\mathrm{W}} c \pi r_{\mathrm{f}}^2 L}}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}+\frac{2\sigma }{{\mu }_{\mathrm{W}}c{r}_{\mathrm{f}}}{T}^4=\frac{P_{\text{eˊl}}}{{\mu }_{\mathrm{W}}c\pi r_{\mathrm{f}}^{2}L}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique MPI 2024, Q14

   Les trois modes de transfert thermique sont :

   • La conduction thermique : transfert d'énergie de proche en proche au sein de la matière sans déplacement macroscopique de celle-ci, régi par la loi de Fourier ;
   • La convection : transfert d'énergie thermique couplé à un déplacement macroscopique de matière au sein d'un fluide, modélisé localement par la loi de refroidissement de Newton ;
   • Le rayonnement thermique : transfert d'énergie sous forme d'ondes électromagnétiques émises par tout corps porté à une température T, sans support matériel nécessaire.

   D'après la loi de Stefan-Boltzmann, la puissance surfacique totale rayonnée par un corps est proportionnelle à la puissance quatrième de sa température absolue :

   \varphi_{\text{ray}} \propto T^4

   Tandis que les transferts par conduction et par convection dépendent linéairement d'une différence de température \Delta T (au premier ordre), le flux radiatif net s'effondre très rapidement à très basse température (le dideutérium est maintenu à T \sim 20\text{ K}, où (20/300)^4 \approx 2\cdot 10^{-5}).

   \boxed{\text{Le rayonnement thermique devient inopérant à basse température.}}

   L'évacuation de la chaleur doit alors reposer exclusivement sur la conduction ou la convection forcée (circulation d'hélium ou de deutérium fluide cryogénique).

   Résultat

   $$\text{Le rayonnement thermique devient inopeˊrant aˋ basse tempeˊrature.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2023, Q37

   Le congélateur est séparé du laboratoire par des parois solides constituées d'un matériau isolant d'épaisseur D et de conductivité thermique \lambda.

   À travers ce milieu matériel solide opaque et immobile, le mécanisme majeur de transfert thermique est la conduction thermique (ou diffusion thermique), décrit macroscopiquement par la loi de Fourier.

   \boxed{\text{Le mécanisme majeur de transfert thermique est la conduction thermique.}}

   Résultat

   $$\text{Le meˊcanisme majeur de transfert thermique est la conduction thermique.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2023, Q38

   Considérons une paroi plane d'isolant de conductivité thermique \lambda uniforme, d'épaisseur D et de section transverse S. On oriente l'axe (Ox) perpendiculairement à la paroi de l'intérieur vers l'extérieur :

   • en x = 0 (face interne en contact avec l'enceinte froide) : T(0) = T_f ;
   • en x = D (face externe en contact avec le laboratoire) : T(D) = T_c.

   En l'absence de source volumique d'énergie et sous l'hypothèse d'un transfert thermique unidimensionnel, l'équation de la diffusion thermique vérifiée par le champ de température T(x, t) s'écrit :

   \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}

   En régime stationnaire, \dfrac{\partial T}{\partial t} = 0, ce qui conduit à :

   \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2} = 0

   Par double intégration successive par rapport à x, il vient :

   T(x) = A x + B

   où A et B sont deux constantes d'intégration déterminées par les conditions aux limites :

   \begin{aligned} T(0) = T_f &\implies B = T_f \\ T(D) = T_c &\implies A D + T_f = T_c \implies A = \frac{T_c - T_f}{D} \end{aligned}

   On obtient ainsi un profil de température affine au sein de la paroi :

   \boxed{T(x) = T_f + \frac{T_c - T_f}{D} x}

   Résultat

   $$T(x)=T_f+\frac{T_c-T_f}{D}x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Mines-Ponts Physique 1 MPI 2023, Q24

   1. Définition et dimension du vecteur densité de flux thermique

   Le vecteur densité de flux thermique (ou densité de courant thermique) \vec{j}_Q caractérise localement le transfert d'énergie thermique par conduction. Le transfert thermique élémentaire \delta Q (noté \delta\phi_Q dans l'énoncé) traversant un élément de surface orienté \mathrm{d}\vec{S} = \vec{n}\,\mathrm{d}S pendant une durée \mathrm{d}t s'exprime par :

   \delta Q = \vec{j}_Q \cdot \mathrm{d}\vec{S} \, \mathrm{d}t

   Le flux thermique surfacique correspond ainsi à une puissance par unité de surface :

   \left[\vec{j}_Q\right] = \frac{\left[\text{Puissance}\right]}{\left[\text{Surface}\right]} = \frac{\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-3}}{\mathrm{L}^2}

   \boxed{\left[\vec{j}_Q\right] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{T}^{-3}} \quad (\text{en }\mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2})

   2. Loi de Fourier et conditions d'application

   La loi phénoménologique de Fourier relie le vecteur densité de flux thermique au gradient local de température :

   \boxed{\vec{j}_Q = -\kappa\,\vec{\nabla}T}

   où \kappa désigne la conductivité thermique du milieu.

   Ses conditions d'application sont :

   • un milieu matériel continu au repos macroscopique (le transfert s'effectue uniquement par conduction, sans convection) ;
   • un milieu isotrope (la conductivité thermique \kappa est alors un scalaire) ;
   • un régime de réponse linéaire, valable pour de faibles gradients de température.

   3. Dimension de la conductivité thermique \kappa

   D'après la loi de Fourier, la dimension de \kappa s'obtient par analyse dimensionnelle :

   [\kappa] = \frac{\left[\vec{j}_Q\right]}{[\vec{\nabla}T]} = \frac{\mathrm{M}\cdot\mathrm{T}^{-3}}{\Theta \cdot \mathrm{L}^{-1}}

   \boxed{[\kappa] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-3}\cdot\Theta^{-1}} \quad (\text{en }\mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1})

   Résultat

   $$\left[{\vec{j}}_Q\right]=\mathrm{M}\cdot {\mathrm{T}}^{-3}$$

   $${\vec{j}}_Q=-\kappa \vec{\nabla }T$$

   $$[\kappa ]=\mathrm{M}\cdot \mathrm{L}\cdot {\mathrm{T}}^{-3}\cdot {\Theta }^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Mines-Ponts Physique 1 MPI 2023, Q25

   1. Énergie thermique reçue par la tranche :

   La tranche de sol est délimitée par les plans de cotes y et y+\mathrm{d}y, de section transverse \mathcal{S}. Le flux thermique entrant algébriquement selon les y croissants est \Phi(y,t) = j_Q(y,t)\,\mathcal{S}. Entre les instants t et t+\mathrm{d}t, l'énergie thermique nette reçue à travers les deux frontières vaut :

   \delta Q = \left[\Phi(y,t) - \Phi(y+\mathrm{d}y,t)\right]\mathrm{d}t = -\frac{\partial j_Q}{\partial y}(y,t)\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}t

   \boxed{\delta Q = -\frac{\partial j_Q}{\partial y}\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}t}

   2. Justification de l'échelle mésoscopique :

   On étudie une tranche « mésoscopique » pour que ses dimensions soient :

   • très grandes devant les distances interatomiques et le libre parcours moyen des porteurs de chaleur, de sorte que le milieu puisse être traité comme un milieu continu où la température et les grandeurs thermodynamiques ont un sens statistique moyen ;
   • très petites devant les échelles spatiales macroscopiques de variation des champs physiques, ce qui permet de considérer la température comme localement uniforme dans la tranche et de développer les flux au premier ordre en \mathrm{d}y.

   3. Expressions de la variation d'énergie interne :

   D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué à la tranche indéformable, sans travail mécanique ni source interne de chaleur :

   \boxed{\mathrm{d}U = \delta Q = -\frac{\partial j_Q}{\partial y}\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}t}

   Par ailleurs, pour cette phase condensée indéformable de masse \mathrm{d}m = \rho\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}y et de capacité thermique massique c, la variation d'énergie interne s'écrit également :

   \mathrm{d}U = \mathrm{d}m\,c\,\mathrm{d}T = (\rho\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}y)\,c\,\left(\frac{\partial T}{\partial t}\,\mathrm{d}t\right)

   \boxed{\mathrm{d}U = \rho\,c\,\mathcal{S}\,\frac{\partial T}{\partial t}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}t}

   4. Équation de la chaleur et coefficient de diffusion :

   En égalant les deux expressions de \mathrm{d}U, on obtient :

   \rho\,c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{\partial j_Q}{\partial y}

   D'après la loi de Fourier unidimensionnelle, j_Q(y,t) = -\kappa \frac{\partial T}{\partial y}. En supposant la conductivité thermique \kappa indépendante de y, il vient :

   -\frac{\partial j_Q}{\partial y} = \kappa\,\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}

   On en déduit l'équation de la chaleur à une dimension :

   \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\kappa}{\rho\,c}\,\frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = D\,\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}

   où le coefficient de diffusion thermique (ou diffusivité thermique) D est défini par :

   \boxed{D = \frac{\kappa}{\rho\,c}}

   La dimension de D est :

   [D] = \frac{[\kappa]}{[\rho][c]} = \frac{\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-3}\cdot\Theta^{-1}}{(\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-3})(\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-2}\cdot\Theta^{-1})} = \mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1}

   \boxed{[D] = \mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1} \quad (\text{en }\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-1})}

   5. Longueur caractéristique de diffusion :

   Par analyse dimensionnelle, ou en estimant les ordres de grandeur des dérivées dans l'équation de la chaleur (\frac{\Delta T}{t} \sim D\,\frac{\Delta T}{L^2}), on trouve L^2 \sim D\,t, d'où la longueur caractéristique de diffusion :

   \boxed{L \sim \sqrt{D\,t}}

   Résultat

   $$\delta Q=-\frac{\partial j_Q}{\partial y}\mathcal{S}\mathrm{d}y\mathrm{d}t$$

   $$\mathrm{d}U=\delta Q=-\frac{\partial j_Q}{\partial y}\mathcal{S}\mathrm{d}y\mathrm{d}t$$

   $$\mathrm{d}U=\rho c\mathcal{S}\frac{\partial T}{\partial t}\mathrm{d}y\mathrm{d}t$$

   $$D=\frac{\kappa }{\rho c}$$

   $$[D]={\mathrm{L}}^2\cdot {\mathrm{T}}^{-1}(\text{en }{\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{s}}^{-1})$$

   $$L\sim \sqrt{Dt}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Mines-Ponts Physique 1 MPI 2023, Q27

   La variable de similarité s'écrit :

   \eta(y,t) = \frac{y}{2\sqrt{D}}\, t^{-1/2}

   Ses dérivées partielles par rapport à t et à y sont :

   \begin{aligned} \frac{\partial \eta}{\partial t} &= -\frac{1}{2}\frac{y}{2\sqrt{D}}\, t^{-3/2} = -\frac{\eta}{2t} \\ \frac{\partial \eta}{\partial y} &= \frac{1}{2\sqrt{Dt}} \end{aligned}

   Puisque \theta ne dépend que de \eta, on applique la règle de dérivation composée :

   \frac{\partial \theta}{\partial t} = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\eta} \frac{\partial \eta}{\partial t} = -\frac{\eta}{2t} \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\eta}

   De même, pour les dérivées par rapport à y :

   \begin{aligned} \frac{\partial \theta}{\partial y} &= \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\eta} \frac{\partial \eta}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{Dt}} \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\eta} \\ \frac{\partial^2 \theta}{\partial y^2} &= \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{2\sqrt{Dt}} \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\eta} \right) = \frac{1}{2\sqrt{Dt}} \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\eta}\right) = \frac{1}{4Dt} \frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}\eta^2} \end{aligned}

   En reportant ces dérivées dans l'équation de diffusion vérifiée par \theta (établie à la question Q26) :

   \frac{\partial \theta}{\partial t} = D \frac{\partial^2 \theta}{\partial y^2} \implies -\frac{\eta}{2t} \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\eta} = D \left( \frac{1}{4Dt} \frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}\eta^2} \right) = \frac{1}{4t} \frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}\eta^2}

   Pour t > 0, en multipliant par 4t et en regroupant les termes du même côté, on obtient :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}^2\theta(\eta)}{\mathrm{d}\eta^2} + 2\eta \frac{\mathrm{d}\theta(\eta)}{\mathrm{d}\eta} = 0}

   Résultat

   $$\frac{{\mathrm{d}}^2\theta (\eta )}{\mathrm{d}{\eta }^2}+2\eta \frac{\mathrm{d}\theta (\eta )}{\mathrm{d}\eta }=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Mines-Ponts Physique 2 MPI 2023, Q21

   La loi de Fourier modélise le transfert thermique par conduction dans un milieu matériel isotrope. Elle relie localement le vecteur densité de flux thermique au gradient du champ de température sous la forme :

   \boxed{\vec{\jmath}_{\mathrm{th}} = -\lambda \, \overrightarrow{\operatorname{grad}} T}

   Les grandeurs introduites sont :

   • \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} : le vecteur densité de courant thermique (ou densité de flux thermique), exprimé en watt par mètre carré (\mathrm{W \cdot m^{-2}}) ;
   • \lambda : la conductivité thermique du milieu considéré, exprimée en watt par mètre par kelvin (\mathrm{W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}}) ;
   • T : la température, exprimée en kelvin (\mathrm{K}) ;
   • \overrightarrow{\operatorname{grad}} T : le gradient spatial de température, exprimé en kelvin par mètre (\mathrm{K \cdot m^{-1}}).

   Résultat

   $${\vec{ȷ}}_{\mathrm{th}}=-\lambda \overrightarrow{\mathrm{grad}}T$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Mines-Ponts Physique 2 MPI 2023, Q22

   Considérons un volume fixe quelconque V entièrement inclus dans le milieu i (i \in \{1, 2, 3, 4\}), délimité par une surface fermée S orientée vers l'extérieur par le vecteur normal unitaire \vec{n}_{\mathrm{ext}}. Le milieu est assimilé à une phase condensée indéformable de masse volumique \rho_i et de capacité thermique massique c_i.

   Le premier principe de la thermodynamique appliqué au système contenu dans V pendant une durée \mathrm{d}t, en l'absence de travail utile et de sources de chaleur internes volumiques, s'écrit :

   \mathrm{d}U_i = \delta Q

   La variation d'énergie interne s'exprime par :

   \mathrm{d}U_i = \left(\iiint_V \rho_i c_i \frac{\partial T_i}{\partial t}\,\mathrm{d}V\right)\mathrm{d}t

   Le transfert thermique traversant la frontière S s'écrit, d'après la définition du vecteur densité de flux thermique \vec{\jmath}_{\mathrm{th}, i} :

   \delta Q = - \left(\iint_S \vec{\jmath}_{\mathrm{th}, i} \cdot \vec{n}_{\mathrm{ext}}\,\mathrm{d}S\right)\mathrm{d}t

   Par le théorème de Green-Ostrogradski, le bilan thermique devient :

   \iiint_V \left(\rho_i c_i \frac{\partial T_i}{\partial t} + \operatorname{div}\vec{\jmath}_{\mathrm{th}, i}\right)\mathrm{d}V = 0

   Ce résultat étant valable pour tout volume V, on obtient la forme locale de conservation de l'énergie :

   \rho_i c_i \frac{\partial T_i}{\partial t} = -\operatorname{div}\vec{\jmath}_{\mathrm{th}, i}

   En utilisant la loi de Fourier rappelée à la question Q21 (\vec{\jmath}_{\mathrm{th}, i} = -\lambda_i\,\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,T_i) et compte tenu du fait que la conductivité thermique \lambda_i est uniforme et constante dans chaque milieu :

   \operatorname{div}\vec{\jmath}_{\mathrm{th}, i} = -\lambda_i \operatorname{div}(\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,T_i) = -\lambda_i \Delta T_i

   On aboutit ainsi à l'équation de la chaleur pour le milieu i :

   \boxed{\frac{\partial T_i}{\partial t} = D_i \Delta T_i}

   où le coefficient de diffusion thermique (ou diffusivité thermique) s'exprime par :

   \boxed{D_i = \frac{\lambda_i}{\rho_i c_i}}

   Unité de la diffusivité thermique :

   • [\lambda_i] = \mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}} = \mathrm{J\cdot s^{-1}\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}}
   • [\rho_i c_i] = \mathrm{J\cdot m^{-3}\cdot K^{-1}}

   On en déduit immédiatement que l'unité de D_i dans le Système International est le \mathrm{m^2\cdot s^{-1}}.

   Compte tenu de la symétrie sphérique du problème où T_i = T_i(r, t), le Laplacien donné dans les rappels de l'énoncé se réduit à sa partie radiale, ce qui donne explicitement :

   \boxed{\frac{\partial T_i}{\partial t} = \frac{D_i}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial T_i}{\partial r}\right)}

   Résultat

   $$\frac{\partial T_i}{\partial t}=D_i\Delta T_i$$

   $$D_i=\frac{{\lambda }_i}{{\rho }_i{c}_i}$$

   $$\frac{\partial T_i}{\partial t}=\frac{D_i}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial T_i}{\partial r}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2025, Q20

    Il existe trois modes de transfert thermique :

    • la conduction (ou diffusion) thermique : transfert d'énergie de proche en proche au sein de la matière sans déplacement macroscopique de matière ;
    • la convection thermique : transfert d'énergie accompagné d'un déplacement macroscopique de matière, propre aux fluides (liquides ou gaz) ;
    • le rayonnement thermique : transfert d'énergie sous forme d'ondes électromagnétiques (photons), ne nécessitant aucun milieu matériel pour se propager.

    Le tube électronique est sous vide : l'espace séparant le filament chauffant de la cathode est dépourvu de milieu matériel. En l'absence de fluide, la convection est impossible ; de même, en l'absence de contact solide continu ou de gaz interstitiel, la conduction thermique dans cet espace est exclue.

    Le chauffage de la cathode par le filament est donc assuré par rayonnement thermique.

    Indice, stratégie et pièges de cette question