Corrigé détaillé Mines Physique 1 MPI 2023

1. Définition d'un référentiel galiléen :

   Un référentiel galiléen (ou inertiel) est un référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié : tout système matériel mécaniquement isolé (ou pseudo-isolé, c'est-à-dire soumis à une résultante des forces extérieures nulle, \sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0}) possède un vecteur vitesse constant :

   \boxed{\vec{v} = \vec{\mathrm{cte}}}

   (mouvement rectiligne uniforme ou immobilité).

2. Validité du caractère galiléen du référentiel terrestre :

   Le référentiel terrestre est lié à la Terre solide. Il est en rotation propre autour de l'axe des pôles par rapport au référentiel géocentrique, à la vitesse angulaire \Omega \approx 7{,}29 \times 10^{-5}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, avec une période de rotation propre :

   T_{\text{rot}} \approx 24\text{ h} \approx 86\,400\text{ s}.

   Cette rotation induit deux effets non inertiels :

   • une force d'inertie d'entraînement (axifuge), statique, qui est directement incorporée dans la définition de l'accélération de la pesanteur locale \vec{g} ;
   • une force d'inertie de Coriolis, \vec{F}_{\text{ic}} = -2m\,\vec{\Omega} \wedge \vec{v}, d'accélération d'ordre de grandeur a_{\text{c}} \sim 2\Omega v.

   Le référentiel terrestre peut être supposé galiléen si la durée caractéristique de l'expérience \Delta t est très petite devant la période de rotation de la Terre :

   \boxed{\Delta t \ll T_{\text{rot}} \sim 24\text{ h}}

   Pour le tir d'un projectile où la durée de vol est de l'ordre de quelques secondes à quelques dizaines de secondes, cette condition est très largement vérifiée (\Delta t \ll 24\text{ h} et a_{\text{c}} \ll g). Les effets non inertiels sont donc tout à fait négligeables.

On étudie le projectile assimilé à un point matériel de masse m, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, muni du repère orthonormé (O, \vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z). Le champ de pesanteur s'écrit \vec{g} = -g\,\vec{u}_z.

Les conditions initiales à t = 0 sont :

Dans cette partie sans frottements, le projectile n'est soumis qu'à son poids \vec{P} = m\vec{g}. La deuxième loi de Newton s'écrit :

Par projection sur les trois axes du repère :

Une première intégration par rapport au temps avec les conditions initiales sur la vitesse donne le vecteur vitesse :

Une seconde intégration avec les conditions initiales de position (\vec{OM}(0) = \vec{0}) conduit aux équations horaires :

Puisque pour tout instant t, x(t) = 0, le projectile reste confiné dans le plan défini par le point O et les vecteurs \vec{u}_y et \vec{u}_z. Le mouvement est donc rigoureusement plan, dans le plan vertical (O, \vec{u}_y, \vec{u}_z).

D'après les équations horaires établies à la question 2, pour \theta_0 \neq \frac{\pi}{2}, on a :

En reportant cette expression dans la cote z(t), on obtient l'équation cartésienne de la trajectoire :

Forme de la trajectoire : l'équation z(y) est un polynôme du second degré en y dont le coefficient dominant est strictement négatif (-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta_0} < 0). La trajectoire est donc une parabole située dans le plan vertical (O, \vec{u}_y, \vec{u}_z), de concavité orientée vers les z décroissants et d'axe vertical.

Symétrie : la trajectoire est symétrique par rapport à la droite verticale passant par son sommet S. En effet, en mettant le trinôme sous forme canonique :

la fonction vérifie la parité z(y_S - \Delta y) = z(y_S + \Delta y).

1. Coordonnées du sommet S :

Le sommet S est le point d'altitude maximale de la trajectoire, atteint lorsque la vitesse verticale s'annule :

En injectant t_S dans les équations horaires établies à la question 2 :

Les coordonnées du sommet sont donc :

2. Définition et expression de la portée \ell :

La portée \ell est la distance horizontale parcourue par le projectile entre son point de tir O et son point de retombée au sol (z = 0 avec t > 0) : \ell = y(t_\text{sol}).

L'instant de retombée t_\text{sol} > 0 vérifie :

On en déduit l'expression de la portée :

3. Angle \theta_0 de portée maximale :

Pour une vitesse initiale v_0 fixée, la portée \ell est proportionnelle à \sin(2\theta_0). Pour un angle de tir \theta_0 \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right], le terme \sin(2\theta_0) est maximal et vaut 1 lorsque :

La portée maximale atteignable vaut alors \ell_\text{max} = \frac{v_0^2}{g}.

D'après la loi de frottement fluide \vec{f} = -\alpha \vec{v}, les dimensions vérifient :

Le coefficient \alpha a donc pour dimension :

Son unité dans le Système international est le \mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-1}.

En appliquant la deuxième loi de Newton au projectile de masse m dans le référentiel terrestre galiléen :

Le terme \alpha/m est homogène à l'inverse d'un temps, ce qui permet de définir le temps caractéristique :

Projetons l'équation du mouvement sur l'axe horizontal (Ox) orthogonal au plan de tir (O, \vec{u}_y, \vec{u}_z) :

Or, le vecteur vitesse initiale appartient au plan (O, \vec{u}_y, \vec{u}_z), donc v_x(0) = 0, d'où v_x(t) = 0 pour tout t \geqslant 0.

Comme la position initiale est l'origine O (x(0) = 0), on en déduit :

\boxed{\text{\text{Le mouvement reste plan dans le plan }(O, \vec{u}_y, \vec{u}_z).}}

On étudie le projectile de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen, repéré par la base orthonormée directe (O, \vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z). Le système est soumis à :

• son poids : \vec{P} = -mg\,\vec{u}_z ;
• la force de frottement fluide : \vec{f} = -\alpha \vec{v} = -\frac{m}{\tau}\vec{v}.

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

À t = 0, les conditions initiales sont :

1. Mouvement selon \vec{u}_x : L'absence de force et de vitesse initiale selon \vec{u}_x confirme que le mouvement est confiné au plan vertical (O, \vec{u}_y, \vec{u}_z) :

2. Mouvement selon \vec{u}_y : L'équation différentielle projetée s'écrit :

Avec v_y(0) = v_0\cos\theta_0, la composante de la vitesse vaut :

Sachant que y(0) = 0, on intègre entre 0 et t :

3. Mouvement selon \vec{u}_z : L'équation différentielle projetée s'écrit :

La solution générale est de la forme v_z(t) = A\,e^{-t/\tau} - g\tau, où la constante d'intégration A est fixée par v_z(0) = v_0\sin\theta_0 :

Sachant que z(0) = 0, on intègre entre 0 et t :

Les équations horaires du mouvement s'écrivent ainsi :

D'après la question Q6, les équations horaires du mouvement sont :

Pour t \ll \tau, soit \frac{t}{\tau} \ll 1, effectuons un développement limité de l'exponentielle à l'ordre 2 :

d'où :

1. Équation horaire selon \vec{u}_y :

Au premier ordre non nul en t/\tau :

2. Équation horaire selon \vec{u}_z : Injectons le développement limité à l'ordre 2 :

Les termes en g\tau t se compensent exactement. En négligeant le terme correctif \frac{v_0\sin\theta_0}{2\tau}t^2 = (v_0\sin\theta_0\,t)\times \mathcal{O}\left(\frac{t}{\tau}\right) devant le terme linéaire, il reste :

3. Allure du mouvement : En éliminant le temps t \approx \frac{y}{v_0\cos\theta_0}, on retrouve l'équation de la trajectoire sans frottement de la question Q3 :

Pour des temps courts devant le temps caractéristique \tau, la force de frottement fluide a un effet cumulé négligeable : le mouvement est parabolique, identique à celui du tir dans le vide.

D'après les équations horaires obtenues à la question Q6, on a :

Pour t \gg \tau, on a e^{-t/\tau} \to 0. La vitesse s'écrit alors :

Le vecteur vitesse tend vers une vitesse limite purement verticale descendante :

En injectant v_\infty et en négligeant e^{-t/\tau}, les équations horaires se simplifient en :

Point de chute du projectile :
Pour t \gg \tau, le mouvement est une chute verticale uniforme à la vitesse v_\infty le long de l'asymptote d'abscisse y_\infty = v_0\tau\cos\theta_0. Dès lors, si le projectile ne touche le sol qu'à un instant t^* \gg \tau, il retombe en :

Comme 1 - e^{-t/\tau} < 1 pour tout t > 0, l'abscisse vérifie y(t) < v_0\tau\cos\theta_0 : le projectile retombe donc toujours strictement en deçà de cette abscisse limite.

Lorsque le temps de séjour en l'air est très grand devant \tau, le mouvement se décompose en trois phases distinctes :

1. Phase initiale (t \ll \tau) : régime quasi-balistique parabolique
   D'après la question Q7, l'effet de la force de frottement est négligeable devant l'inertie du projectile. La trajectoire est quasi identique à la parabole du tir sans frottement :

   y(t) \simeq (v_0 \cos\theta_0)\,t \quad \text{et} \quad z(t) \simeq (v_0 \sin\theta_0)\,t - \frac{1}{2}gt^2

   Le projectile s'élève rapidement avec une vitesse tangentielle proche de \vec{v}_0.

2. Phase intermédiaire (t \sim \tau) : transition et sommet de la trajectoire
   La force de frottement ralentit significativement le mobile selon les deux axes. La composante horizontale v_y(t) = v_0\cos\theta_0\,e^{-t/\tau} chute de manière exponentielle, réduisant la progression en y. La composante verticale s'annule à un instant t_S, marquant le sommet S de la trajectoire. Contrairement au cas sans frottement, la trajectoire perd sa symétrie : la courbure s'accentue après le sommet et le projectile plonge plus abruptement qu'il n'est monté.

3. Phase asymptotique (t \gg \tau) : chute rectiligne quasi-verticale
   D'après la question Q8, la vitesse horizontale s'est presque totalement amortie (v_y \approx 0). Le projectile s'approche de l'asymptote verticale d'équation :

   y = y_\infty = v_0 \tau \cos\theta_0

   Le mouvement selon z devient un mouvement rectiligne uniforme descendant à la vitesse limite v_\infty = g\tau :

   z(t) \approx -v_\infty t + \tau(v_0\sin\theta_0 + v_\infty)

   Le projectile retombe ainsi sur le sol au point d'abscisse y_{\text{sol}} \approx v_0\tau\cos\theta_0 selon une trajectoire pratiquement verticale.

Lorsque la durée du vol est de l'ordre de grandeur de \tau (t^* \sim \tau) :

• Conditions initiales : le mobile part de l'origine O avec une tangente faisant l'angle \theta_0 avec l'horizontale.
• Dissymétrie : au fur et à mesure du vol, le frottement fluide dissipe l'énergie cinétique et réduit la composante horizontale de la vitesse selon v_y(t) = v_0 \cos\theta_0\,\mathrm{e}^{-t/\tau}. Par conséquent, le sommet S de la trajectoire est décalé vers la gauche par rapport au milieu de la portée (y_S < \frac{\ell}{2}), et la branche descendante est plus raide que la branche ascendante.
• Impact au sol : pour t \sim \tau, la vitesse horizontale n'est pas nulle (v_y(t^*) \approx \frac{v_0\cos\theta_0}{\mathrm{e}} \approx 0{,}37\,v_0\cos\theta_0). Le projectile n'atteint pas l'asymptote verticale y = v_0\tau\cos\theta_0 : l'angle d'impact avec le sol est simplement plus incliné que l'angle d'émission \theta_0.

1. Tableau de variation de la fonction T et minimum global

La fonction T : \chi \mapsto \chi e^\chi est définie et dérivable sur \mathbb{R}. Sa dérivée s'écrit :

L'exponentielle étant strictement positive sur \mathbb{R}, le signe de T'(\chi) est celui de 1+\chi :

• pour \chi < -1, T'(\chi) < 0, donc T est strictement décroissante ;
• pour \chi = -1, T'(-1) = 0 ;
• pour \chi > -1, T'(\chi) > 0, donc T est strictement croissante.

Aux bornes du domaine :

• par croissances comparées, \lim_{\chi \to -\infty} T(\chi) = \lim_{\chi \to -\infty} \chi e^\chi = 0^- ;
• par produit de limites, \lim_{\chi \to +\infty} T(\chi) = +\infty.

La fonction T admet donc un minimum global strict en \chi = -1, dont la valeur vaut :

On en déduit le tableau de variation de T :

2. Graphe de T et obtention du graphe de W

Sur l'intervalle [-1, +\infty[, la fonction T est continue et strictement croissante. D'après le théorème de la bijection, elle réalise un homéomorphisme de [-1, +\infty[ sur son image [\beta, +\infty[ = [-1/e, +\infty[. Sa fonction réciproque (appelée branche principale de la fonction W de Lambert), notée W, est donc définie sur [-1/e, +\infty[ à valeurs dans [-1, +\infty[.

Dans un repère orthonormé, la courbe représentative d'une fonction réciproque s'obtient par symétrie axiale par rapport à la première bissectrice d'équation y = \chi. Pour obtenir le graphe de W à partir de la branche de T pour \chi \ge -1 :

• on échange les axes (l'abscisse devient l'ordonnée et réciproquement) ;
• le point du minimum (-1, \beta) de tangente horizontale devient pour W le point (\beta, -1) où la tangente est verticale (W'(\beta) \to +\infty) ;
• l'origine (0,0) est un point invariant, de pente W'(0) = 1/T'(0) = 1 ;
• le point (1, e) pour T devient le point (e, 1) pour W.

Par définition, la fonction \mathrm{W} de Lambert est la bijection réciproque de T : \chi \mapsto \chi e^\chi sur l'intervalle [-1/e, +\infty[. Comme T(0) = 0 \times e^0 = 0, on en déduit immédiatement :

L'équation différentielle fournie se réécrit sous forme résolue en \mathrm{W}'(\chi) :

Le schéma d'Euler explicite avec un pas h = 0{,}0001 s'écrit, en notant \chi_k = k h et \mathrm{W}_k \approx \mathrm{W}(\chi_k) :

avec la condition initiale \mathrm{W}_0 = 0 pour \chi_0 = 0.

Le code Python suivant permet de réaliser cette intégration numérique et de tracer \mathrm{W}(\chi) sur [0 ; 2{,}5[ :

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parametres de la discretisation
h = 0.0001
chi = np.arange(0.0, 2.5, h)
N = len(chi)

# Initialisation du tableau des valeurs de W
W = np.zeros(N)
W[0] = 0.0  # Condition initiale W(0) = 0

# Schema d'Euler explicite
for k in range(N - 1):
    W[k + 1] = W[k] + h / (chi[k] + np.exp(W[k]))

# Trace de la fonction W(chi)
plt.figure()
plt.plot(chi, W, label="W(chi)")
plt.xlabel("chi")
plt.ylabel("W(chi)")
plt.title("Trace de la fonction W de Lambert (Euler explicite)")
plt.grid(True)
plt.show()

D'après la question Q6, l'altitude du projectile est donnée pour tout instant t \geqslant 0 par :

Le projectile touche le sol à un instant t^* > 0 tel que z(t^*) = 0, soit :

Cette équation est de la forme a t^* + b + c e^{d t^*} = 0, où l'on identifie :

Ces grandeurs vérifient bien ad = g \neq 0. Exprimons les termes intervenant dans la formule de résolution :

où l'on a posé conformément à l'énoncé :

Calculons l'argument de la fonction \mathrm{W} de Lambert :

Il vient ainsi :

En appliquant la relation fournie par l'énoncé, l'instant de retombée s'écrit :

soit finalement :

La portée \ell est l'abscisse du point de chute du projectile au sol à l'instant t^* > 0. D'après l'équation horaire y(t) obtenue à la question 6, on a :

D'après le résultat de la question 13, l'instant d'impact s'écrit :

On en déduit l'expression du terme exponentiel :

Par définition de la fonction \mathrm{W} de Lambert, pour tout X \in [-\frac{1}{e}, +\infty[, on a \mathrm{W}(X) e^{\mathrm{W}(X)} = X, soit :

En appliquant cette relation à X = u e^u (où u < -1), il vient :

On reporte cette expression dans le calcul de l'exponentielle :

En substituant ce terme dans l'expression de \ell, on aboutit directement à :

D'après la question Q8, la vitesse limite de chute verticale s'écrit :

Le paramètre adimensionné \gamma vaut donc :

On en déduit :

Avec e \approx 2{,}72, l'argument de la fonction de Lambert vaut :

Par lecture graphique sur la partie droite de la figure 2 (ou en cherchant l'antécédent de 2 par T sur la courbe de gauche car T(\mathrm{W}(2)) = 2), pour \chi = 2, on lit :

Comme \gamma \neq 1, l'expression de l'angle assurant la portée maximale fournie par l'énoncé donne :

Sachant que \sin(30^\circ) = 0{,}50 et \sin(28^\circ) \approx 0{,}47, on obtient :

Une estimation approchée à 30^\circ est également tout à fait recevable en l'absence de calculatrice.