Mines Physique 1 MPI 2023 - Sujet, corrigé et rapport du jury

Présentation du sujet

Difficile

Fonctions spéciales en physique : fonction W de Lambert, intégrale elliptique de première espèce et fonction d'erreur de Gauss

Le sujet utilise des fonctions spéciales comme fil conducteur pour aborder mécanique puis thermodynamique. La première partie étudie le tir d'un projectile avec frottements via la fonction W de Lambert. La deuxième revient sur le pendule simple au-delà des petits angles avec une intégrale elliptique. La troisième étudie la diffusion thermique dans un demi-espace chauffé avec la fonction d'erreur de Gauss, appliquée à une croûte de lave.

1I. La fonction W de Lambert : tir d'un projectileTir d'un projectile sans frottements puis avec frottements, recherche de la portée maximale à l'aide de la fonction W de Lambert.
2II. L'intégrale elliptique de première espèce : pendule simpleÉtude du pendule simple et de la perte de l'isochronisme des oscillations lorsqu'on s'écarte des petits angles.
3III. La fonction d'erreur de Gauss : problème de Stefan et croûte de laveRésolution de l'équation de la chaleur dans un demi-espace chauffé, faisant apparaître la fonction erf de Gauss, appliquée à la formation d'une croûte de lave et comparée à l'expérience.

Difficile. Le jury a été surpris de trouver la première partie très sélective, la résolution des équations différentielles avec conditions aux limites ayant particulièrement trié les candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,99 / 20 · écart-type 3,81 · 664 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,99/ 20
Écart-type: 3,81
Présents: 664
Coefficient: 3
Durée: 3 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 4 mai 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Confusion entre équation horaire et trajectoire · Nature de la trajectoire mal identifiée · Conditions initiales mal exploitées

Le sujet comportait des questions mathématiques globalement bien traitées, mais le jury a été surpris par la sélectivité de la première partie, notamment sur la résolution des équations différentielles avec conditions aux limites. De nombreuses copies n'ont pas mis à contribution leur esprit physique sur la chute d'un projectile, peut-être troublées par l'aspect mathématique de l'épreuve. Plus largement, le jury regrette un manque de soin dans la présentation et des lacunes dans la maîtrise des outils mathématiques de base.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion entre équation horaire et trajectoireQ1
Un certain nombre de copies ne connaissent pas la définition d'équation horaire (x(t), y(t), z(t)) et la confondent avec la notion de trajectoire.
2
Nature de la trajectoire mal identifiéeQ2
De nombreuses confusions étonnantes apparaissent : une parabole n'est ni une hyperbole, ni un arc de cercle, ni un morceau d'ellipse.
3
Conditions initiales mal exploitéesQ5
Certaines copies n'ont pas su intégrer les équations, et de trop nombreuses copies n'ont pas réussi à exploiter les conditions initiales.
4
Manque de sens physique sur les résultats obtenusQ6, Q9
Les copies manquaient cruellement de sens physique, en particulier lorsqu'une erreur aboutissait à des grandeurs négatives non physiques.
5
Implémentation numérique attendue explicitementQ11
En Q11, il était attendu une implémentation explicite du schéma d'Euler, et non une importation de la fonction d'une bibliothèque Python.
6
Tentatives d'arnaques sanctionnéesQ17, Q27
Certaines questions ont fait l'objet de nombreuses tentatives d'arnaques, systématiquement sanctionnées par le jury.

Ce qui a été bien réussi

L'écrasante majorité des copies sait dériver l'équation de la chaleur
Les questions Q1, Q3, Q4 et Q10 ont été très bien traitées
La dérivation de l'équation de la chaleur (Q24) est maîtrisée par une très grande majorité de copies, y compris celles ne connaissant pas la définition du vecteur densité de courant thermique
La question Q29 a été bien réussie par les copies l'ayant abordée

Conseils du jury

Travailler en profondeur les outils mathématiques de base : projections dans une base, base mobile, trigonométrie
Vérifier systématiquement l'homogénéité des équations et le sens physique des résultats obtenus
Encadrer un résultat littéral, souligner une application numérique et la présenter au format scientifique avec une unité
Éviter les tentatives de bluff, moins nombreuses cette année mais lourdement sanctionnées
Lire attentivement l'énoncé et répondre précisément à la question posée plutôt que de la paraphraser

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

34 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question.

34 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré. Chaque question est vérifiée avant publication.

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Sujet en PDF

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2023
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Durée de l'épreuve :

3

heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - MPI
L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Fonctions spéciales

Ce sujet comporte trois parties indépendantes.
Bon nombre de problèmes rencontrés en physique peuvent être résolus à l'aide de «fonctions spéciales ». Ces fonctions définies mathématiquement sont implémentées dans de nombreuses bibliothèques informatiques (comme scipy) et peuvent être utilisées aussi simplement qu'une fonction sinus ou racine carrée qui sont elles aussi d'une certaine manière des fonctions spéciales et tout aussi analytiques . . .
On rencontre bien souvent des résolutions numériques de problèmes physiques alors que l'utilisation de ces fonctions spéciales permet une résolution complète et analytique. Ce problème se propose d'illustrer l'intérêt de ces «fonctions spéciales».

I La fonction de W de Lambert

I.A Tir d'un projectile sans frottements

Un projectile assimilé à un point matériel de masse

m

est lancé à partir du sol en

O

avec une vitesse initiale

v⃗_0 \in (O, u⃗_y, u⃗_z)

et faisant un angle

θ_0

avec l'horizontale dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

1. Rappeler la définition d'un référentiel galiléen. Dans quelle mesure le référentiel terrestre peut-il être supposé galiléen?
1. Établir les équations horaires du mouvement.

Montrer que le mouvement est plan.

1. Établir l'équation de la trajectoire. Quelle est la forme de la trajectoire? Est-elle symétrique?

Figure 1 - Tir d'un projectile

1. Déterminer les coordonnées du sommet $S$ de la trajectoire. Définir la portée $ℓ$ du tir et établir son expression. Quel est l'angle $θ_0$ assurant un tir de portée maximale?

I.B Tir d'un projectile avec frottements

On considère maintenant que le projectile est soumis à une force de frottements proportionnelle à la vitesse:

f⃗ = - αv⃗

avec

α > 0

.

1. Quelle est la dimension du coefficient $α$ ? Définir à partir de $α$ un temps caractéristique $τ$ . Le mouvement reste-t-il plan?
  $◻ - 6$ . Établir, en fonction $g, τ, v_0 = ‖v⃗_0‖, θ_0$ et $t$ , les nouvelles équations horaires du mouvement.
1. Dans la situation où $t≪τ$ , simplifier les équations horaires de la trajectoire et donner l'allure du mouvement.
1. Dans la situation où $t≫τ$ , simplifier les équations horaires du mouvement en faisant apparaitre une vitesse limite $v_\infty$ .
  Où retombe le projectile?
1. Déduire des résultats précédents, l'allure globale de la trajectoire dans une situation où le temps de vol est grand devant $τ$ , en séparant la trajectoire en trois phases.
1. Tracer l'allure de la trajectoire pour un temps de vol de l'ordre de $τ$ .

I.C La portée maximale d'un tir avec frottement

1. Dresser le tableau de variation de la fonction $T : χ \mapsto T(χ) = χe^χ$ et déterminer la valeur $β$ de son minimum global.
  La fonction W de Lambert est définie comme étant la fonction réciproque de $T$ sur $[β, + \infty[$ . Reproduire le graphe de $T$ représenté sur la partie gauche de la figure 2 et expliquer comment en déduire l'allure de W représenté sur la partie droite.

Figure 2 - Représentations graphiques de

T(χ)

(à gauche) et

W(χ)

(à droite)

1. On peut montrer que : $(χ + exp[W(χ)])W^'(χ) = 1$ . Quelle est la valeur de $W(0)$ ?

On souhaite appliquer le schéma d'Euler explicite avec un pas

h = 0.0001

pour résoudre cette équation différentielle. Donner le code python permettant d'obtenir une représentation graphique de

W(χ)

sur l'intervalle

[0; 2, 5[

.
La fonction

W(χ)

est implémentée dans scipy. On peut l'appeler avec : from scipy.special import lambertw.
On montre que si

ad \neq 0

, la solution de l'équation

at + b + ce^(dt) = 0

pour l'inconnue

t

est donnée par l'expression

t = - b/a - 1/d W((cd)/aexp(- (bd)/a)).

◻ - 13

. En déduire à quel instant

t^* > 0

le projectile touche le sol. On posera

u = - (1 + (v_0 sinθ_0)/(gτ))

.

◻ - 14

. On rappelle que par définition

Wexp(W) = Id

où Id est la fonction identité :

χ \mapsto χ

.
En déduire que la portée est donnée par

ℓ = τv_0 cosθ_0(1 - W(ue^u)/u)

.
En posant

γ = v_0/v_\infty

, on montre que l'angle initial donnant la portée maximale est :

θ_(max) = {arcsin((γW((γ^2 − 1)/e))/(γ^2 − 1 − W((γ^2 − 1)/e))), si γ ≠ 1; arcsin(1/(e − 1)) ≃ 35, 6^∘, si γ = 1

1. À l'aide de la figure 2, déterminer la valeur numérique de l'angle assurant la portée maximale pour $v_0 = 10 m \cdot s^(- 1), g = 9, 8 m \cdot s^(- 2)$ et $τ = 0, 4 s$ .

II L'intégrale elliptique de première espèce

Dans toute cette partie on néglige les frottements de l'air.
On étudie un pendule simple constitué d'une masse ponctuelle

m

et d'une tige rigide de longueur

ℓ

et de masse négligeable, astreint à évoluer dans un plan vertical (

O, u⃗_x, u⃗_y

).
On repère sa position par l'angle

θ(t)

. À

t = 0

on lâche le pendule sans vitesse initiale avec

θ(t = 0) = θ_0 \in ]0, π/2[

.

1. Établir l'équation différentielle du mouvement vérifiée par la fonction $θ(t)$ .

Figure 3 - Pendule simple

1. On fait l'approximation des petits angles tels que $sinθ \sim θ$ . Établir dans ces conditions la période $T_0$ des oscillations.
1. Déterminer l'expression générale de $(dθ)/(dt)$ sans faire l'approximation des petits angles. En déduire que la période $T$ des oscillations du pendule est donnée par :

T = (2T_0)/π\int_0^(θ_0)(dθ)/(\sqrt(2(cosθ - cosθ_0)))

En effectuant le changement de variable

sinθ/2 = sinφsin(θ_0)/2

, on montre que :

T = (2T_0)/πK(sin^2(θ_0)/2) avec K(χ) = \int_0^(π/2)(dφ)/(\sqrt(1 - χsin^2 φ)).

On souhaite calculer l'intégrale

K(χ)

par la méthode des rectangles médians pour un angle

θ_0 = π/3

.

1. Après avoir tracé le graphe de la fonction $χ \mapsto 1 + \sqrtχ$ pour $χ \in [0; 9]$ , illustrer le principe de la méthode des rectangles médians pour calculer le réel $I = \int_0^9(\sqrtχ + 1)dχ$ en utilisant 9 rectangles.
  Si on double le nombre de rectangles utilisés qu'en est-il de la différence entre la valeur exacte de $I$ et la valeur approchée numériquement par la méthode des rectangles médians?
1. Recopier et compléter le code suivant permettant de calculer $K(χ)$ par la méthode des rectangles médians.

import math as m
def f(x,phi):
    return.............
S = 0.
N = 100
a = 0.
b = m.pi/2.
pas = ...........
theta_0 = m.pi/3.
x = m.sin(theta_0)**2
for i in range(N):
    phi = ...........
    S = ...........
print(pas * S)

La fonction

χ \mapsto K(χ)

est nommée intégrale elliptique complète de première espèce. La commande from scipy.special import ellipk permet de l'appeler directement dans scipy.

◻ - 21

. En utilisant la figure 4 , pour un pendule tel que

T_0 = 1 s

, évaluer

T

lorsque

θ_0 = 50^\circ

. Quel est le décalage temporel induit par la prise en compte de l'approximation des petits angles si l'on envisage de mesurer une heure?

Au XVII

^e

siècle les puissances maritimes désiraient posséder des instruments précis pour la mesure du temps afin de faciliter la navigation (notamment pour déterminer la longitude). Les rois de France et d'Angleterre avaient offert des prix importants à qui serait capable de réaliser un chronomètre précis, fiable et utilisable en mer.

Figure

4 - θ_0 \mapsto T(θ_0)/T_0

◻ - 22

. Dans quelle situation courante rencontre-t-on la cycloïde?

III La fonction d'erreur de GAUSS : $erf(χ)$

III.A Introduction au problème de Stefan

Un certain nombre de problèmes géologiques importants peuvent être modélisés par le chauffage ou le refroidissement instantané d'un demi-espace semi-infini. Au milieu du XIX

^e

siècle Lord Kelvin a ainsi utilisé cette idée pour estimer l'âge de la Terre. Il supposa qu'à la surface le flux d'énergie thermique résultait du refroidissement d'un flux initialement chaud de la Terre et a conclu que l'âge de la Terre était environ 65 millions d'années. On retrouve ces phénomènes en étudiant le refroidissement de la lithosphère océanique ou l'évolution d'une coulée de magma.

1. Comment explique-t-on de nos jours le résultat erroné obtenu par Lord Kelvin?

On étudie un milieu matériel semi-infini défini par

y > 0

dont la surface subit un changement instantané de température. Initialement à

t = 0^-

, le demi-espace est à la température uniforme

T_1

; pour

t > 0

, la surface

y = 0

est maintenue à une température constante

T_0

. Si

T_1 > T_0

, le milieu matériel se refroidit et sa température diminue. La situation est représentée à la figure 5 pour le cas

T_1 > T_0

.

Figure 5 - Évolution de la température

Le flux thermique élémentaire, défini comme la quantité d'énergie traversant une surface élémentaire

dS

pendant

dt

, est noté

δφ_Q

.

1. Rappeler la définition du vecteur $j⃗_Q$ , densité de flux thermique. Quelle est sa dimension?

Rappeler la loi de Fourier, ainsi que ses conditions d'application.
En déduire la dimension de la conductivité thermique

κ

.
On étudie une tranche mésoscopique de sol de masse

m

de masse volumique

ρ

et de capacité thermique massique

c

comprise entre

y

et

y + dy

de surface

S

.

1. Quelle est l'énergie thermique $δQ$ reçue par cette tranche entre $t$ et $t + dt$ ?

Pourquoi étudie-t-on une tranche «mésoscopique»?
Établir l'expression de sa variation d'énergie interne

dU

en fonction de

(\partialj_Q)/(\partialy), S, dy

et

dt

puis en fonction de

ρ, c, S, (\partialT)/(\partialt), dy

et

dt

.
En déduire l'équation de la chaleur à une dimension

(\partialT)/(\partialt) = D(\partial^2 T)/(\partialy^2)

dans laquelle on précisera l'expression et la dimension du coefficient

D

de diffusion thermique.
En déduire l'expression d'une longueur caractéristique

L

en fonction de

D

et du temps

t

.
On introduit la température adimensionnée

θ(y, t) = (T(y, t) - T_1)/(T_0 - T_1).

1. Quelle est l'équation vérifiée par $θ(y, t)$ ?

Déterminer les valeurs de

θ(y > 0, t = 0), θ(y = 0, t > 0)

et

θ(y \to + \infty, t > 0)

.
On introduit une variable de similarité sans dimension

η = y/(2\sqrt(Dt))

et on suppose que

θ

n'est une fonction que de cette seule variable

η

.

◻ - 27

. Montrer que

(d^2 θ(η))/(dη^2) + 2η(dθ(η))/(dη) = 0.

◻ - 28

. En utilisant la fonction

φ(η) = (dθ(η))/(dη)

, montrer que

θ(η) = 1 - 2/(\sqrtπ)\int_0^η e^(- z^2) dz

.
On donne

\int_0^(+ \infty)e^(- z^2) dz = (\sqrtπ)/2

. En déduire une expression de

T(y, t)

faisant apparaître une intégrale.

La fonction

χ \mapsto 2/(\sqrtπ)\int_0^χ e^(- z^2) dz

est appelée fonction d'erreur de GAUSS, elle est implémentée dans scipy.
Elle est souvent notée

erf(χ)

. On peut l'appeler directement en utilisant la commande : from scipy.special import erf.

III.B Formation d'une croûte de lave solide.

Dans cette dernière partie on s'intéresse à une coulée de lave en fusion et à la formation d'une croûte solide à sa surface. On étudie alors l'augmentation de l'épaisseur de cette croûte en fonction du temps.

À la surface extérieure, en

y = 0

, la lave est en contact avec l'air à la température constante

T_0

. La lave en fusion à la température

T_f

est donc soudainement portée à la température

T_0

à

t = 0

. Dans ces conditions, la couche superficielle de la lave se solidifie, et on note

y_s(t)

l'épaisseur de la couche de lave solide.

Nous devons donc résoudre l'équation de la chaleur dans l'espace

0 ⩽ y ⩽ y_s(t)

avec comme conditions aux limites

T = T_0

en

y = 0

, et

T = T_f

en

y = y_s(t)

, et comme condition initiale

y_s = 0

à

t = 0

.

Figure 6 - Formation d'une croûte de lave solide

La position

y_s(t)

de l'interface de transition de phase est une fonction a priori inconnue du temps. Comme dans la situation précédente il n'y a pas d'échelle de longueur définie dans ce problème. Pour cette raison, on travaillera également avec la variable de similarité sans dimension

η = y/(2\sqrt(Dt))

.
On utilisera également la température adimensionnée

θ(y, t) = (T(y, t) - T_0)/(T_f - T_0)

La profondeur de l'interface de solidification

y_s(t)

doit enfin s'adapter à la longueur caractéristique de la diffusion thermique. Nous supposerons que celle-ci varie proportionnellement à la racine carrée du temps, de telle sorte que :

η_s = (y_s(t))/(2\sqrt(Dt)) = cte = λ

. Cette constante est inconnue et reste à déterminer.

◻ - 29

. En reprenant l'équation de la question 27, montrer que

θ(η) = (erf(η))/(erf(λ)).

Afin d'obtenir l'expression puis la valeur de la constante

λ

, nous allons étudier la solidification d'une tranche de lave d'épaisseur d

y_s

entre les instants

t

et

t + dt

1. Quelle est l'énergie $δQ$ libérée par la solidification à la température $T_f$ d'une tranche $dy_s$ de lave de surface $S$ en fonction de la masse volumique $ρ$ de la lave en fusion et l'enthalpie de fusion massique : $Δh_(sol \to liq)$ .
1. Toute l'énergie libérée par la solidification doit être évacuée par diffusion dans la lave solide car la lave en fusion reste à la température $T_f$ . Montrer que :

ρΔh_(sol \to liq)(T_f)(dy_s(t))/(dt) = κ((\partialT)/(\partialy))_(y = y_s)

Figure 7 - Graphe de

λ \mapsto (exp(- λ^2))/(λerf(λ))

1. En déduire que

(exp(- λ^2))/(λerf(λ)) = (\sqrtπ)/(c(T_f - T_0))Δh_(sol \to liq)(T_f).

1. Quel algorithme peut on utiliser pour obtenir la constante $λ$ numériquement?
  Expliquer en quelques mots son fonctionnement.

On donne les valeurs numériques suivantes :

- Δh_(sol \to liq)(T_f) = 400 kJ \cdot kg^(- 1), - ρ = 2600 kg \cdot m^(- 3); - c = 1 kJ \cdot kg^(- 1) \cdot K^(- 1), - D = 7 \times 10^(- 7)SI; - T_f - T_0 = 1000 K, - \sqrtπ \sim 1, 77

1. À l'aide de la figure 7, estimer la valeur numérique de $λ$ .

En déduire l'épaisseur de la croûte de lave six mois après l'éruption.
Comparer votre résultat à ceux de la figure 8 tirés d'une expérience

^1

.

Figure 8 - Épaisseurs des croûtes de lave solides à la surface des lacs de lave dans les trois cratères à fosse Kilauea lki (1959), Alae (1963) et Makaopuhi (1965) sur le volcan Kilauea, Hawaii (Wright et al., 1976), et résultat théorique.

FIN DE L'ÉPREUVE

1. Wright, T. L., Peck, D. L., and Shaw, H. R. (1976). Kilauea lava lakes : Natural laboratories for study of cooling, crystallization, and differentiation of basaltic magma. In The Geophysics of the Pacific Ocean Basin and its Margin, eds. G. H. Sutton, M. H. Manghnani, R. Moberly, and E. U. McAfee, vol. 19 of Geophysical Monograph Series, Washington, D.C. : American Geophysical Union, pp. 375-90

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de physique 1 Mines MPI 2023 ?

Le sujet porte sur la chute d'un projectile avec frottements, le pendule simple au-delà des petits angles, et la diffusion thermique dans un demi-espace, autour des fonctions spéciales W de Lambert, intégrale elliptique et fonction d'erreur de Gauss.

Le sujet de physique 1 Mines MPI 2023 est-il difficile ?

Le jury indique avoir été surpris par la grande sélectivité de la première partie, en particulier sur la résolution des équations différentielles avec conditions aux limites.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur le sujet physique 1 Mines MPI 2023 ?

Le jury relève surtout un manque de sens physique face à des résultats non physiques, des confusions entre équation horaire et trajectoire, et une mauvaise exploitation des conditions initiales.

Faut-il savoir programmer un schéma d'Euler pour ce sujet Mines physique 1 MPI 2023 ?

Oui, le rapport précise qu'une implémentation explicite du schéma d'Euler était attendue en Q11, et non une importation de fonction d'une bibliothèque Python.

Mines Physique 1 MPI 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

Faisable en sup ?

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L'épreuve en chiffres

Ce qu'a observé le jury

Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

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Description

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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

Fonctions spéciales

I La fonction de W de Lambert

I.A Tir d'un projectile sans frottements

I.B Tir d'un projectile avec frottements

I.C La portée maximale d'un tir avec frottement

II L'intégrale elliptique de première espèce

III La fonction d'erreur de GAUSS : $erf(χ)$

III.A Introduction au problème de Stefan

III.B Formation d'une croûte de lave solide.

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de physique 1 Mines MPI 2023 ?

Le sujet de physique 1 Mines MPI 2023 est-il difficile ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur le sujet physique 1 Mines MPI 2023 ?

Faut-il savoir programmer un schéma d'Euler pour ce sujet Mines physique 1 MPI 2023 ?

Commentaires• Mines Physique 1 MPI 2023

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Fonctions spéciales

I La fonction de W de Lambert

I.A Tir d'un projectile sans frottements

I.B Tir d'un projectile avec frottements

I.C La portée maximale d'un tir avec frottement

II L'intégrale elliptique de première espèce

III La fonction d'erreur de GAUSS : erf(χ)

III.A Introduction au problème de Stefan

III.B Formation d'une croûte de lave solide.

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de physique 1 Mines MPI 2023 ?

Le sujet de physique 1 Mines MPI 2023 est-il difficile ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur le sujet physique 1 Mines MPI 2023 ?

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III La fonction d'erreur de GAUSS : $erf(χ)$