Mines Physique 2 MPI 2023 - Sujet, corrigé et rapport du jury

Présentation du sujet

Difficile

La Lune, notre satellite : mesures d'Aristarque, télémétrie laser, théories de formation et étude thermique du noyau lunaire

Le sujet comporte deux parties largement indépendantes sur l'étude de la Lune. La première s'appuie sur les mesures antiques d'Aristarque de Samos puis sur la télémétrie laser moderne, via l'étude d'une cavité optique. La seconde confronte deux théories sur l'origine de la Lune : la théorie de la fission, étudiée en référentiel non galiléen, et la théorie de l'impact, abordée par la thermodynamique du noyau lunaire.

1I.A : la Lune dans l'antiquitéDétermination des dimensions de la Lune et de la distance Terre-Lune à partir des mesures d'Aristarque de Samos.
2I.B : la mesure moderne de la distance Terre-LuneÉtude d'une cavité optique laser (ondes électromagnétiques, vecteur de Poynting) utilisée pour la télémétrie Terre-Lune.
3II.A : la théorie de la fissionÉtude des forces d'inertie dans le référentiel terrestre non galiléen pour tester la validité de la théorie de la fission.
4II.B : la théorie de l'impactÉtude thermique du noyau lunaire : rayonnement du corps noir, équation de la chaleur et énergie interne de la Lune.

Difficile. Le rapport signale que, malgré une longueur raisonnable, de nombreux candidats n'ont traité qu'une petite partie du sujet, et plusieurs questions, notamment sur les forces d'inertie et la thermique du noyau, n'ont été que rarement traitées convenablement.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,27 / 20 · écart-type 4,01 · 664 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,27/ 20
Écart-type: 4,01
Présents: 664
Coefficient: 3
Durée: 3 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 5 mai 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Diamètre confondu avec circonférence · Champ de pesanteur confondu avec la force gravitationnelle · Sens du vecteur d'onde non pris en compte

Le sujet, composé de deux parties indépendantes, a permis de classer convenablement les candidats grâce à des questions souvent indépendantes les unes des autres. Il évalue une étendue variée du programme (ondes électromagnétiques, mécanique, thermodynamique) ainsi que l'appropriation de l'énoncé et l'analyse d'un graphe. Malgré une longueur raisonnable, de nombreux candidats n'ont traité qu'une petite partie du sujet, et le défaut de soin apporté aux copies est jugé préoccupant.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Diamètre confondu avec circonférenceQ3
Dans l'exploitation des mesures d'Ératosthène, le diamètre et la circonférence terrestre ont été souvent confondus.
« Diamètre et circonférence ont été souvent confondus. »
2
Champ de pesanteur confondu avec la force gravitationnelleQ6
De nombreuses erreurs d'unité et un oubli fréquent de la puissance 3 dans le calcul du volume de la Lune conduisent à des valeurs aberrantes.
« Champ de pesanteur et force d'attraction gravitationnelle sont régulièrement confondus. »
3
Sens du vecteur d'onde non pris en compteQ9
Pour l'onde réfléchie dans la cavité optique, le sens du vecteur d'onde comme sens de propagation est rarement pris en compte.
« le sens du vecteur d'onde comme sens de propagation n'est que rarement pris en compte »
4
Facteur 2 de l'aller-retour oubliéQ14
Pour la distance Terre-Lune obtenue par télémétrie, près de la moitié des candidats oublie le facteur 2 lié à l'aller-retour du laser.
« près de la moitié des candidats a oublié le facteur 2 lié à l'aller-retour »
5
Réaction du support omise dans le bilan des forcesQ17
Pour un objet posé au sol, la réaction du support doit être prise en compte dans le bilan des forces, ce qui est fréquemment oublié.
« L'objet est posé sur terre, la réaction du support doit donc être prise en compte, elle a été fréquemment oubliée. »
6
Force d'inertie de Coriolis confondue avec la force d'entraînementQ18
Les effets des deux forces d'inertie, de Coriolis et d'entraînement, sont fréquemment confondus par les candidats.
« Les effets de la force d'inertie de Coriolis et d'entrainement sont fréquemment confondus. »

Ce qui a été bien réussi

La première question, sans difficulté, a été plutôt bien traitée.
La question de cours sur les caractéristiques du champ électrique dans la cavité a été plutôt bien traitée, bien que souvent incomplète.
La question sur la longueur d'onde du laser de télémétrie a été très bien traitée dans l'ensemble quand elle a été abordée.
Les candidats qui poursuivent le raisonnement sur le bilan des forces jusqu'au bout aboutissent souvent à un résultat convenable.

Conseils du jury

Être vigilant sur l'homogénéité des expressions littérales.
Être rigoureux dans la manipulation des grandeurs vectorielles ou scalaires.
S'entraîner aux calculs numériques sans calculatrice et aux conversions d'unités.
Avoir un esprit critique sur les résultats numériques obtenus et commenter leurs incohérences.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

28 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question.

28 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré. Chaque question est vérifiée avant publication.

Voir les 20 autres questions

Ouvrir le corrigé détaillé Comment sont produits nos corrigés

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

A2023 - PHYSIQUE II MPI

Concours commun
Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2023

DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve :

3

heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - MPI

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

La Lune, notre satellite

La Lune est le satellite naturel de la Terre. De tout temps, elle a été pour les humains un objet de mesure du temps, une source de lumière nocturne voire une divinité. Elle est aujourd'hui un objet de recherche scientifique et un symbole de la conquête spatiale.

Ce sujet aborde différents aspects de l'étude de la Lune. Il comporte, tout d'abord, l'étude antique qu'a réalisée Aristarque de Samos sur la Lune, puis la télémétrie Terre-Lune moderne. On étudie ensuite une théorie sur l'origine de la Lune avant de s'intéresser à l'étude de son noyau. Les deux parties sont largement indépendantes.

Les applications numériques seront données avec 2 chiffres significatifs. Plusieurs données numériques et formules sont fournies en fin de sujet.

I Les caractéristiques de la Lune et de son orbite

I.A La Lune dans l'antiquité

Dès l'antiquité les humains se sont intéressés à la Lune et à ses caractéristiques.
La Lune réalisant une révolution autour de la Terre tout en étant éclairée par le Soleil, la partie visible de la Lune depuis la Terre change. La succession des phases de la Lune vue depuis la Terre s'appelle un cycle lunaire et a permis de définir la notion de mois. La durée d'un cycle lunaire est environ

τ_(cℓ) = 30

jours.
L'écart entre la période de révolution

τ_ℓ

de la Lune et le cycle lunaire provient du fait qu'en même temps que la Lune tourne autour de la Terre, cette dernière tourne également autour du Soleil. Après une révolution de la Lune autour de la Terre, la phase de la Lune n'est pas la même. La Lune doit parcourir une plus grande distance pour finir le cycle lunaire.

1. Rappeler quelle est la période de révolution $τ_t$ de la Terre autour du Soleil.

En déduire la fraction

φ

de l'orbite que parcourt la Terre durant un cycle lunaire.

1. En déduire la période de révolution de la Lune autour du centre de la Terre.

Au III

è^(ème)

siècle avant Jésus-Christ, Aristarque de Samos réalise des mesures astronomiques afin de déterminer les dimensions de la Lune ainsi que le rayon de son orbite autour de la Terre. À partir de ses observations il mesure que :

la Lune met 1 heure à parcourir son propre diamètre vu depuis la Terre;
lors d'une éclipse totale de Lune, la Lune reste 2 heures dans l'ombre de la Terre;
l'angle sous lequel on voit la Lune depuis la Terre est de $2^\circ$ (on sait aujourd'hui que c'est environ 4 fois moins).
1. À la même période, Ératosthène mesure qu'un arc de $7, 2^\circ$ de la circonférence terrestre mesure environ 800 km . En déduire la valeur du diamètre terrestre.
1. En utilisant les mesures d'Aristarque de Samos, déterminer le rapport entre le diamètre lunaire et le diamètre terrestre. On pourra s'aider d'un schéma.
  En déduire la valeur du diamètre lunaire évaluée par Aristarque.
  Calculer l'écart relatif de ce résultat avec le véritable diamètre de la Lune qui est d'environ 3500 km . Commenter.
1. On conserve désormais la valeur du diamètre de la Lune valant 3500 km . Déterminer la distance Terre-Lune à partir des mesures d'Aristarque de Samos.
1. La masse volumique moyenne d'une roche est de l'ordre de quelques tonnes par mètre cube. En déduire une estimation de la masse de la Lune puis de l'intensité du champ de pesanteur lunaire. Comparer avec l'intensité du champ de pesanteur terrestre.

I.B La mesure moderne de la distance Terre-Lune

La mesure actuelle de la distance Terre-Lune se fait à l'aide de la télémétrie laser. Depuis la surface de la Terre, on envoie une impulsion laser vers des miroirs déposés à la surface de la Lune par différentes missions, dont celui le plus utilisé, déposé par la mission Apollo 15 en 1971.
Pour produire le laser nécessaire à cette expérience, on réalise une cavité optique constituée de deux miroirs en vis-à-vis séparés par de l'air dans lequel on place un amplificateur optique. La cavité optique est paramétrée sur la figure 1. Le repère orthonormé (

e⃗_x; e⃗_y; e⃗_z

) est direct.
On considère que les miroirs sont constitués de

Figure 1 - Cavité optique.

métal idéal, c'est-à-dire qu'un champ électrique ne peut pas se propager à l'intérieur. Le champ électrique

E⃗_i = E_0 cos(ωt - kx)e⃗_y

est introduit dans la cavité optique. Enfin, l'amplificateur optique ne sera pas pris en compte pour la propagation de l'onde dans la cavité remplie d'air qui sera supposé avoir les mêmes propriétés que le vide pour le champ électromagnétique.
On rappelle la relation de passage pour le champ électrique entre deux milieux 1 et

2 : E⃗_2 - E⃗_1 = σ/(ε_0)n⃗_(12)

où

E⃗_1

et

E⃗_2

sont les champs électriques dans les milieux 1 et

2; σ

est la charge surfacique de l'interface entre les deux milieux;

ε_0

est la permittivité diélectrique du vide;

n⃗_(12)

est le vecteur normal à l'interface dirigé du milieu 1 vers le milieu 2 .
7. Quelles sont les caractéristiques du champ électrique

E⃗_i

introduit dans la cavité optique? On précisera le nom et l'unité des grandeurs

E_0, ω

et

k

.

1. En utilisant la relation de passage fournie, déterminer l'expression du champ électrique réfléchi par le miroir situé en $x = L$ .

Déterminer les expressions du champ magnétique incident $B⃗_i$ et du champ magnétique réfléchi $B⃗_r$ existants dans la cavité.

1. En déduire l'expression du champ électrique résultant $E⃗$ et du champ magnétique résultant $B⃗$ dans la cavité. Commenter le résultat obtenu en terme d'amplitude, de phase et de tout autre caractère pertinent.
1. Déterminer l'expression du vecteur de Poynting $Π⃗$ de l'onde électromagnétique résultante ainsi que sa valeur moyenne au cours d'une période $τ = 2π/ω$ . L'un des deux miroirs n'est pas parfaitement réfléchissant, quel en est l'intérêt? Expliquer le rôle de l'amplificateur optique.
1. Justifier que la forme du champ électromagnétique ne permet pas d'utiliser la cavité pour obtenir n'importe quelle fréquence laser. Déterminer l'expression des fréquences possibles en fonction notamment de la longueur $L$ de la cavité.
1. Le laser utilisé pour la télémétrie Terre-Lune est un laser YAG-Nd de longueur d'onde $λ = 1064 nm$ auquel on a adjoint un doubleur de fréquence. Quelle est la longueur d'onde utilisée pour cette mesure et quel est le domaine électromagnétique correspondant?
1. La durée moyenne de l'aller-retour pour un très grand nombre d'impulsions laser entre la Terre et la Lune est $Δt = 2, 56 s$ . Déterminer la distance Terre-Lune obtenue par la télémétrie laser. Comparer avec le résultat obtenu par la mesure d'Aristarque de Samos. Commenter.

II Les origines de la Lune

L'origine de la Lune a été soumise à de nombreuses hypothèses. Des hypothèses les plus folkloriques aux hypothèses les plus sérieuses, l'origine de la Lune est toujours soumise à controverses, malgré un consensus important de la communauté scientifique sur la théorie de l'impact.

II.A La théorie de la fission

La théorie de la fission est introduite par l'astronome Georges Darwin, fils du célèbre biologiste, à la fin du XIX

è^(ème)

siècle. Dans cette théorie Darwin suppose que, lorsque la Terre était encore en formation et liquide, sa rotation a suffi à la déformer et à en expulser une partie. Ce morceau expulsé de la Terre serait à l'origine de la Lune. Darwin imaginait même que le grand océan pacifique était le vestige de cet évènement.
On a représenté sur la figure 2 ci-après les différentes phases de cette théorie : 1.La Terre non déformée, 2.La Terre déformée par rotation, 3.La création d'un bourrelet pré-lunaire et l'expulsion de la Lune et 4.La Lune créée.

Figure 2 - Étapes de la formation de la Lune dans la théorie de Darwin de la fission.

1. Expliquer en quoi la plus faible densité de la Lune par rapport à la Terre est un argument en faveur de la théorie de la fission.

On étudie un morceau de roche terrestre de masse

m

, posé sur la surface de la Terre. On se place dans le référentiel terrestre non galiléen en coordonnées sphériques

(e⃗_r; e⃗_θ; e⃗_φ)

. On rappelle que la latitude d'un point de la surface terrestre est l'angle entre le rayon de la Terre en ce point et le plan de l'équateur, lui-même orthogonal à l'axe de rotation terrestre.

1. Rappeler le nom et l'expression générale de chacune des forces d'inertie. On précisera clairement la signification des différentes grandeurs introduites.
1. Réaliser un bilan des forces exercées sur l'élément de masse $m$ posé à la surface de la Terre. Réaliser un schéma de la situation dans le cas où la masse considérée se trouve à la latitude $λ$ .
1. Justifier la forme de la Terre déformée par rotation représentée sur la seconde étape de la figure 2. Déterminer une estimation de la variation $ρ$ du rayon de la terre entre sa valeur au pôle et celle à l'équateur.

On considère désormais que la masse se situe au niveau de l'équateur.

1. En reprenant le bilan des forces sur la masse $m$ dans ce cas, calculer la période de rotation terrestre nécessaire pour expulser de la Terre cette masse. Comparer cette valeur avec la période actuelle de rotation terrestre. Faire un commentaire sur la validité de la théorie de la fission.

II.B La théorie de l'impact

La théorie de l'impact propose qu'une petite planète ait percuté la Terre, provoquant le mélange des deux astres et l'expulsion de débris qui se sont regroupés pour former la Lune. Cette théorie est celle qui fait actuellement consensus dans la communauté scientifique.
Les études sismologiques sur la Lune ont montré qu'elle possède un noyau dont une partie est solide. On retrouve la structure interne de la Lune sur la figure 3.

Figure 3 - Structure interne de la Lune.

La croûte est constituée d'anorthosite, une roche magmatique. Le manteau est constitué d'un mélange d'olivine, d'orthopyroxène et de clinopyroxène. Le noyau liquide et la graine sont principalement constitués de fer. On considère que chacune des couches est homogène.
On s'intéresse dans un premier temps à l'évolution de la température de la Lune suite à l'impact. On note :

$T_s$ et $T_ℓ$ , les températures à la surface du Soleil et de la Lune;
$R_s$ et $R_ℓ$ , les rayons du Soleil et de la Lune;
$D_(s - ℓ)$ , la distance entre le Soleil et la Lune;
$A$ , l'albédo de la Lune, c'est-à-dire la fraction de l'énergie solaire reçue qui est réfléchie par la Lune.
1. En utilisant la loi de Stefan-Boltzmann, fournie en fin de sujet, déterminer l'expression de la puissance solaire absorbée par la Lune. En l'assimilant à un corps noir, déterminer ensuite l'expression de la puissance perdue par la Lune par rayonnement. Déterminer enfin l'expression de la puissance totale perdue par la Lune.
  L'application numérique de cette grandeur donne une puissance de l'ordre de $10^(15) W$ .
1. Rappeler la loi de Fourier en indiquant les noms et les unités des grandeurs introduites.
1. Établir l'équation de la chaleur. Donner l'expression du coefficient de diffusion thermique et son unité. On notera les grandeurs avec l'indice $i = 1, 2, 3, 4$ correspondant aux différents milieux décrits sur la figure 3. On considèrera les conductivités thermiques uniformes et constantes en les prenant égales à leur moyenne sur le volume de la couche considérée.
1. Établir les quatre équations traduisant la conservation du flux thermique au niveau des quatre interfaces que l'on doit considérer.

Différentes études permettent d'obtenir une estimation de la température de la Lune en fonction de la profondeur. Les résultats de cette estimation sont fournis sur la figure 4.

Figure 4 - Estimation de la température interne de la Lune en trait noir plein. Modèle simplifié (affine par morceau) en trait gris pointillé.

1. Expliquer en quoi le profil de température dans le noyau n'est pas incompatible avec l'existence de la graine.

On adopte dorénavant une vision simplifiée dans laquelle :

la Lune n'est constituée que de deux couches : la couche rocheuse jusqu'à 1400 km de profondeur et le noyau de fer au centre;
la température de chacune des deux couches est modélisable par une fonction affine de la coordonnée radiale : $T_n(r) = a_n - b_n r$ pour le noyau (n) et $T_r = a_r - b_r r$ pour la roche (r). Ce modèle simplifié est représenté en trait gris pointillé sur la figure 4 ;
les capacités thermiques volumiques du noyau et de la roche peuvent être considérées comme constantes en les prenant égales à leur moyenne sur le volume de la couche correspondante.
1. Déterminer les valeurs numériques des constantes $a_n, b_n, a_r$ et $b_r$ .
1. En utilisant la modélisation affine de la température, déterminer l'expression de l'énergie interne de la Lune en fonction notamment des capacités thermiques volumiques de la roche et du noyau ainsi que des rayons $R_n$ du noyau et $R_ℓ$ de la Lune.
  L'application numérique de cette grandeur donne $4, 1 \cdot 10^(28) J$ .
1. Déterminer l'expression de l'énergie interne de la Lune lorsqu'elle sera totalement refroidie et thermalisée à la température $T_f = 250 K$ .
  L'application numérique de cette grandeur donne $1, 4 \cdot 10^(28) J$ .
1. Donner une estimation du temps nécessaire pour que la Lune soit uniformément refroidie dans ce modèle. Commenter le résultat obtenu.

Données

Constante de gravitation universelle : $G = 6, 7 \cdot 10^(- 11) m^3 \cdot kg^(- 1) \cdot s^(- 2)$
Permittivité diélectrique du vide : $ε_0 = 8, 9 \cdot 10^(- 12) F \cdot m^(- 1)$
Perméabilité magnétique du vide : $μ_0 = 1, 3 \cdot 10^(- 6) m \cdot kg \cdot s^(- 2) \cdot A^(- 2)$
La puissance surfacique $P$ rayonnée par un corps noir dont la surface est à la température $T$ est donnée par la loi de Stefan-Boltzmann. Elle s'exprime sous la forme $P = σT^4$ où $σ$ est la constante de Stefan-Boltzmann.
Gradient en coordonnées sphériques :

grad^(\to-)T = (\partialT)/(\partialr)e⃗_r + 1/r(\partialT)/(\partialθ)e⃗_θ + 1/(rsinθ)(\partialT)/(\partialφ)e⃗_φ

Laplacien en coordonnées sphériques:

ΔT = 1/(r^2)\partial/(\partialr)(r^2(\partialT)/(\partialr)) + 1/(r^2 sinθ)\partial/(\partialθ)(sinθ(\partialT)/(\partialθ)) + 1/(r^2 sin^2 θ)(\partial^2 T)/(\partialφ^2)

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de physique 2 Mines-Ponts MPI 2023 ?

Il porte sur l'étude de la Lune : mesures antiques d'Aristarque de Samos, télémétrie laser moderne, puis théories de la fission et de l'impact sur son origine.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Mines-Ponts physique 2 MPI 2023 ?

Des confusions entre diamètre et circonférence, entre champ de pesanteur et force gravitationnelle, et des oublis récurrents comme la réaction du support ou le facteur 2 de l'aller-retour du laser.

Le sujet de physique 2 Mines-Ponts MPI 2023 est-il difficile ?

Le rapport indique que, malgré une longueur raisonnable, de nombreux candidats n'ont traité qu'une petite partie du sujet et plusieurs questions ont été rarement traitées convenablement.

Ce sujet Mines-Ponts MPI 2023 sur la Lune fait-il appel à plusieurs domaines de la physique ?

Oui, il combine mécanique céleste, ondes électromagnétiques, mécanique en référentiel non galiléen et thermodynamique (rayonnement, diffusion thermique).

Mines Physique 2 MPI 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

Faisable en sup ?

Explorer les annales

Téléchargements

Présentation du sujet

L'épreuve en chiffres