La loi de Wiedemann-Franz : conductivités électrique et thermique du cuivre
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Le problème s'intéresse à la loi de Wiedemann-Franz, qui relie conductivité thermique et conductivité électrique d'un métal. Il comporte trois parties indépendantes : la mesure expérimentale de la conductivité électrique du cuivre via une résistance faible, la modélisation microscopique du lien entre conduction électrique et thermique, puis la détermination expérimentale de la conductivité thermique par la méthode flash.
1I. Détermination expérimentale de la conductivité électrique du cuivreMesure d'une résistance faible par les méthodes courte et longue dérivation, et analyse des erreurs de mesure.
2II. Relation entre conductivités thermique et électrique dans un métalModélisation microscopique de la conduction électrique puis thermique dans un gaz d'électrons, pour établir la loi de Wiedemann-Franz.
3III. Détermination expérimentale de la conductivité thermique du cuivreExploitation de données expérimentales issues de la méthode flash pour déterminer la conductivité thermique.
Difficile. Le rapport indique que les bases ne sont pas maîtrisées pour la plupart des candidats et conclut que cette épreuve s'est avérée assez décevante, malgré des questions jugées abordables et des parties totalement indépendantes.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Démonstrations peu rigoureuses d'un résultat donné · Conductivité thermique négative non détectée · Passage du modèle monodimensionnel au tridimensionnel mal traité
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Les correcteurs ont été déçus de la qualité des copies, de nombreux candidats ayant renoncé dès les premières difficultés alors que les trois parties étaient indépendantes et abordables. Le manque de rigueur dans l'argumentation, notamment sur les questions de cours et les démonstrations de résultats donnés, a fait perdre beaucoup de points.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Démonstrations peu rigoureuses d'un résultat donnéQ6, Q9
Lorsqu'il fallait démontrer un résultat annoncé par l'énoncé, de nombreuses tentatives de démonstrations peu convaincantes ont été proposées ; il est préférable d'admettre clairement le résultat plutôt que de tordre la logique pour l'obtenir.
« il est préférable d'admettre clairement le résultat plutôt que de tordre la logique pour l'obtenir »
2
Conductivité thermique négative non détectéeQ10
Bien que trouvant en majorité la bonne expression, trop de candidats obtiennent une conductivité thermique négative sans que cela ne les alerte.
« trop de candidats trouvent une conductivité thermique négative sans que cela ne les gène »
3
Passage du modèle monodimensionnel au tridimensionnel mal traitéQ12
Le passage du cas monodimensionnel au cas tridimensionnel n'est que partiellement pris en compte, de nombreux candidats introduisant un facteur 9 là où un facteur 3 est attendu.
4
Confusion conductivité et conductanceQ4
Une confusion fréquente est relevée entre la conductivité et la conductance, deux grandeurs pourtant distinctes.
« Confusion fréquente entre conductivité et conductance »
5
Signe de la constante d'intégration mal justifiéQ17
La justification du signe de la constante d'intégration est souvent absente ou peu convaincante ; il fallait s'appuyer sur la non-divergence de la fonction g et non sur la fonction f.
6
Parité invoquée à tort, honnêteté intellectuelle mise à malQ19
La notion de parité d'une fonction définie sur [0,L] n'a pas de sens, et une somme nulle de termes n'implique pas la nullité de chaque terme ; ces raccourcis témoignent d'un manque d'honnêteté intellectuelle.
« L'honnêteté intellectuelle est mise à mal sur ces questions »
Ce qui a été bien réussi
La question 5, de cours, a été bien réussie en général.
La question 21 a été correctement traitée en admettant les résultats des questions précédentes.
Certaines copies de bonne facture montrent une bonne maîtrise de la physique et des outils mathématiques nécessaires.
Conseils du jury
Arriver au concours avec une parfaite maîtrise du cours pour aborder aussi bien les situations classiques qu'inédites.
Maintenir son sens critique en éveil et prendre le temps de réfléchir plutôt que de se décourager à la première difficulté.
Se méfier des questions où la réponse est donnée : elles demandent encore plus de rigueur que les questions ouvertes.
Toujours assortir une application numérique de son unité, sous peine de ne pas être valorisée.
Vérifier l'homogénéité, le signe et la cohérence physique de chaque résultat obtenu.
Soigner la présentation de la copie : écriture lisible, orthographe et syntaxe correctes.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Corrigé détaillé
24 questions
Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.
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24 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.
Le problème s'intéresse à la loi de Wiedemann-Franz, qui relie conductivité thermique et conductivité électrique d'un métal. Il comporte trois parties indépendantes : la mesure expérimentale de la conductivité électrique du cuivre via une résistance faible, la modélisation microscopique du lien entre conduction électrique et thermique, puis la détermination expérimentale de la conductivité thermique par la méthode flash.
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
La loi de Wiedemann-Franz
En 1853 les physiciens allemands Gustav Wiedemann et Rudolf Franz remarquèrent expérimentalement que le rapport de la conductivité thermique λ d'un métal par sa conductivité électrique γ semblait constant pour tous les métaux.
Une vingtaine d'années plus tard, en 1872, le physicien danois Ludvig Lorenz découvrit qu'en fait ce rapport dépendait linéairement de la température selon la relation
λ/γ = κT.
Cette relation est désormais connue sous le nom de loi de Wiedemann-Franz et la constante κ, appelée coefficient de Lorenz, est indépendante du métal considéré.
Après sa découverte expérimentale, cette relation est restée pendant longtemps un grand mystère pour les physiciens et questionnait sur le problème du transport de l'électricité et de la chaleur dans les métaux. Elle résista à la modélisation pendant un demi-siècle.
Avec la découverte de l'électron et de ses propriétés en 1897 par le physicien anglais Joseph Thompson des modèles furent envisageables. L'un des tout premiers est établi par le physicien allemand Paul Drude en 1900, il permet d'interpréter le transport des électrons dans les métaux dans le cadre d'un modèle classique.
Ce modèle permet de justifer certains traits de la loi de Wiedemann-Franz mais n'apporte pas toute satisfaction.
Il sera repris une trentaine d'années plus tard dans un contexte quantique par les physiciens allemands Arnold Sommerfeld et Hans Bethe. L'analyse microscopique fine des solides devenait possible : elle fut à l'origine de très grandes avancées technologiques qui jalonnèrent le Xx^e siècle et reste encore tout à fait d'actualité.
Nous proposons dans ce sujet de commencer (Partie I) par étudier un protocle expérimental permettant de déterminer la conductivité électrique d'un métal (le cuivre). La loi de WiedemannFranz sera alors démontrée dans un modèle statistique simple (Partie II), puis elle sera testée expérimentalement pour le cuivre (Partie III). Ces trois parties sont très largement indépendantes.
Sauf mention contraire, on limitera les applications numériques à des estimations ne comportant au plus que deux chiffres significatifs. Les données numériques utiles pour réaliser les applications numériques ainsi qu'un formulaire sont rassemblés en fin d'énoncé. Les vecteurs unitaires sont surmontés d'un chapeau : ‖u^_x‖ = 1.
I. - Détermination expérimentale de la conductivité électrique du cuivre
Dans cette partie, on cherche à mettre en place un protocole expérimental permettant de déterminer la conductivité électrique du cuivre et à exploiter un résultat de mesure.
Pour ce faire, on dispose d'un fil de cuivre de longueur 10,0 mètres, de section circulaire de diamètre 2, 0 mm, recouvert d'une résine isolante, que l'on enroule grossièrement pour réduire l'encombrement (on néglige toute déformation due à l'enroulement). Ce fil est plongé dans un bain thermostaté, muni d'un agitateur, pour maintenir sa température au voisinage de 20^∘C. On commence par connecter le fil aux bornes d'un ohmmètre dont un extrait de la notice est fourni dans la table 1.
On se place sur le calibre le mieux adapté. L'ohmmètre affiche 0, 1Ω. ◻1 - Quel calibre est le mieux adapté pour cette mesure (on justifiera ce choix) ? Quelle incertitude doit-on associer à la valeur affichée? Commenter.
Calibres
Précision
Courant de
Mesure
Résolution
500Ω
0, 3% L + 3 UR
1 mA
0, 1Ω
125μ A
1Ω
5kΩ
10Ω
50kΩ
1, 25μ A
100Ω
500kΩ
125 nA
1kΩ
5MΩ
0, 5% L + 3 UR
30 nA
10kΩ
50MΩ
1% L + 3 UR
Table 1 - Tableau extrait de la notice de l'ohmmètre utilisé.
On cherche à déterminer la résistance électrique du fil à l'aide d'un autre montage, exploitant la loi d'OHM, un générateur de courant continu pouvant délivrer quelques ampères sous quelques volts, un voltmètre et un ampèremètre, dont les notices indiquent :
Calibres
Précision
Chute de tension maximale
Résolution
50 mA DC
0,3% L + 2 UR
< 800mV
100μ A DC
500 mA DC
0,3% L + 3 UR
< 800mV
100μ A DC
10 A DC
1% L + 3 UR
< 700mV
10 mA DC
TABLE 2 - Tableau extrait de la notice de l'ampèremètre.
Calibres
Précision
Impédance d'entrée
Résolution
500 mV DC
0,3% L + 2 UR
11MΩ
0, 1mV DC
5 V dc
11MΩ
1 mV DC
50 V Dc
10MΩ
10 mV DC
500 V DC
100 mV DC
600 V Dc
1 V dc
Table 3 - Tableau extrait de la notice du voltmètre.
Pour mesurer une résistance à l'aide d'un voltmètre et d'un ampèremètre, deux montages sont possibles et représentés sur la figure 1 .
Figure 1 - Mesure d'une résistance
◻2 - En notant respectivement R_A et R_V les résistances internes de l'ampèremètre et du voltmètre, évaluer pour chacun de ces montages l'erreur systématique ε_i = (|R_i − R|)/R où R_i = (U_i)/(I_i) représente la résistance mesurée dans chacun des montages i = 1 ou i = 2. Représenter sur un même graphe les variations de cette erreur relative en fonction de R. Justifier que, dans cette expérience, seul l'un des deux montages est pertinent.
Avec le montage adapté, pour une intensité lue à l'ampèremètre de 5, 23 A, le voltmètre affiche 287, 5mV (à chaque fois, on se place sur le calibre le mieux adapté). ◻3 - Estimer (avec un chiffre significatif) la résistance électrique du fil. Comparer (de manière chiffrée) la précision de cette seconde méthode de mesure à celle de la question 1. Comment procéder pour améliorer encore la qualité de cette seconde mesure?
4 - Déduire de la question précédente une estimation de la conductivité électrique du cuivre.
II. - Relation entre conductivités thermique et électrique dans un métal
Dans cette partie, on se propose d'établir la loi de Wiedemann-Franz. Pour ce faire, on considère un fil de cuivre rectiligne d'axe Ox, homogène et comportant n électrons de conduction par unité de volume. Lorsqu'un champ électrique uniforme et permanent E⃗ est appliqué à ce matériau, chaque électron de vitesse v⃗ et de masse m est soumis à la force de CouLOMB f⃗_C imposée par ce champ et à une force de frottement fluide f⃗_D = − m/τv⃗ qui modélise macroscopiquement l'interaction de l'électron avec le matériau. ◻5 - En écrivant le principe fondamental de la dynamique à cet électron, déterminer sa vitesse limite dans ce modèle. En déduire l'expression de la conductivité électrique γ du matériau.
On peut s'interroger sur le sens physique de la durée τ. On adopte pour cela le modèle suivant : Soit un ensemble de N électrons de conduction. On désigne par v⃗_i(t) la vitesse, à l'instant t, du i-ème électron de cet ensemble. On note p⃗(t) la quantité de mouvement à l'instant t moyennée sur l'ensemble des porteurs de charge, soit
p⃗(t) = 1/N∑_(i = 1)^N mv⃗_i(t)
Lors de son déplacement, un électron subit diverses collisions; on note p⃗_(i, 0)^+la quantité de mouvement du i-ème après l'une de ces collisions. Un électron pris au hasard subit une collision
entre les instants t et t + dt avec une probabilité dt/θ où θ est une constante positive. On rappelle qu'en l'absence de collision il est uniquement soumis à f⃗_C. ◻6 - Justifier la relation p⃗_i(t + dt) = (dt)/θp⃗_(i, 0)^+ + (1 − (dt)/θ)p⃗_i(t) + f⃗_C dt
7 - Déduire de l'équation précédente une relation entre (dp⃗(t))/(dt), p⃗(t), f⃗_C et θ dans la limite dt → 0. Commenter l'expression obtenue et relier θ à la durée τ.
On note Π(t) la probabilité qu'un électron n'ait pas subi de collision entre un instant initial t = 0 et l'instant t. L'instant initial est choisi tel que l'électron a subi sa dernière collision à l'instant t = 0^−, c'est-à-dire juste avant l'instant initial.
8 - Par une approche semblable à celle de la question 6 , établir l'équation différentielle vérifiée par Π(t) pour t > 0. Intégrer cette équation pour obtenir l'expression de Π(t) en fonction de τ, puis calculer la moyenne temporelle de la durée entre deux collisions subies par un électron. En déduire une interprétation physique de la durée τ.
Pour obtenir l'expression de la conductivité thermique, on adopte un modèle unidimensionnel de type gaz parfait. On note v la vitesse quadratique moyenne des électrons et on considère qu'ils se déplacent de façon équiprobable selon + uˆ_x ou − uˆ_x à la vitesse v. Dans ce modèle, l'énergie thermique est véhiculée globalement par les électrons le long de l'axe Ox, au grè des chocs. On se place également en régime stationnaire. On note E(T(x)) l'énergie cinétique moyenne d'un électron situé en x (à la température T(x) ).
9 - À l'aide d'un bilan sur une section droite de métal située à l'abscisse x, montrer que le flux thermique j_q par unité de surface s'écrit :
j_q = 1/2nv[E(T(x − vτ)) − E(T(x + vτ))]
10 - En précisant les différentes hypothèses de votre calcul, exprimer j_q en fonction de v, τ, n, (dT)/(dx) et de la chaleur spécifique d'un électron C_V = (dE)/(dT). En retrouvant la loi de Fourier dans cette relation, déduire l'expression de la conductivité thermique λ du gaz d'électrons.
11 - Dans le cadre du modèle du gaz parfait classique monodimensionnel exprimer finalement λ en fonction de n, T, k_B, τ et de la masse m de l'électron.
12 - Exprimer le rapport λ/(γT) en fonction de e et k_B dans le modèle classique monodimensionnel étudié jusqu'à présent. Comment se généralise cette relation dans le cas tridimensionnel ? On justifiera sa réponse. Cette relation donne le coefficient de Lorenz dans le modèle classique de Drude.
En fait le gaz formé par les électrons libres contenus dans un métal ne peut absolument pas être décrit dans un contexte classique même à température ambiante. Un modèle quantique tridimensionnel proposé par Arnold Sommerfeld en 1926 donne les résultats suivants :
C_V = (π^2)/2((k_B T)/(ε_F))k_B avec ε_F = 1/2mv_F^2
où ε_F et v_F sont respectivement l'énergie de Fermi et la vitesse de Fermi du gaz d'électron. Dans ce modèle quantique la vitesse des électrons est donnée par leur vitesse de Fermi. On admet enfin que les expressions de la conductivité thermique obtenue à la question 10 révisée à la question 12 et celle de la conductivité électrique de la question 5 restent valides dans un contexte quantique.
13 - Exprimer le coefficient de Lorenz κ en fonction de e et k_B dans le modèle quantique proposé par Sommerfeld. Cette relation constitue la loi de Wiedemann-Franz dans le modèle de Drude-Sommerfeld.
14- Comparer les valeurs du coefficient de Lorenz dans les cas classique et quantique. Pour les métaux conducteurs l'énergie de Fermi des électrons est de l'ordre de l'électron-volt et on rappelle qu'à température ambiante k_B T ≃ 1/(40)eV. Que peut-on dire du modèle classique?
III. - Détermination expérimentale de la conductivité thermique du cuivre
Pour déterminer expérimentalement la conductivité thermique du cuivre, il est utile de connaître sa capacité thermique massique et sa masse volumique ρ. ◻15 - Proposer une expérience permettant de déterminer la masse volumique ρ du cuivre, puis une autre permettant de déterminer sa capacité thermique massique c.
Pour accéder expérimentalement à la conductivité thermique du cuivre, on se propose d'étudier la méthode du << flash >>. Dans cette méthode, on utilise une plaque de cuivre d'épaisseur constante L = 3, 12 mm selon l'axe Ox et de dimensions grandes devant L suivant les axes Oy et Oz - en sorte que la température dans la plaque est supposée ne dépendre que de x et t. La plaque est située entre les abscisses x = 0 et x = L et on néglige les pertes latérales par convection ou par rayonnement. Par linéarité de l'équation qui sera établie à la question 16, on supposera (sans perte de généralité) que la température (exprimée en degrés Celsius) est nulle partout dans la plaque pour t < 0. À l'instant t = 0, une lampe à infrarouge, positionnée du côté x < 0, émet un flash lumineux puissant. Il en résulte, en t = 0, un profil de température dans la plaque T(x, 0), dont la forme sera détaillée plus loin.
16 - Établir l'équation différentielle vérifiée par T(x, t) dans laquelle on fera apparaître le coefficient de diffusion thermique D que l'on exprimera en fonction des paramètres du problème.
On cherche des solutions sous la forme T(x, t) = f(x) × g(t).
17 - Déterminer deux équations différentielles vérifiées par f(x) et g(t). En déduire la forme générale de la fonction T(x, t).
Pour modéliser l'effet de la lampe flash, on utilise le profil de température initial suivant :
T(x, 0) = {(ΓL)/δ, si 0 ≤ x ≤ δ; 0, sinon
où Γ, δ et L sont trois constantes. L'évolution est suffisamment rapide pour que la plaque puisse être supposée isolée, en première approximation, pour t > 0.
18 - Justifier qu'il faut chercher la solution du problème sous la forme :
L'épaisseur δ est supposée très petite devant L. Un capteur optique permet de mesurer la température T(L, t) de la face arrière de la plaque (située à l'abscisse x = L ) en fonction du temps t.
21 - Déduire de l'expression obtenue à la question précédente, que l'expression approchée de T(L, t), pour t > 0, est :
La figure 2 représente la courbe ζ(t) en fonction de α_1 t.
Figure 2 - Graphe de la fonction ζ en fonction de la variable α_1 t obtenu à l'aide d'une simulation en Python.
On note t_(1/2) l'instant en lequel ζ(t_(1/2)) = 1/2. ◻22 - Exprimer une relation entre α_1 et t_(1/2).
La figure 3 représente la courbe expérimentale T(L, t) obtenue pour la plaque de cuivre étudiée.
Figure 3 - Graphe expérimental de la température (en unités arbitraires) de la face de la plaque en x = L en fonction du temps.
◻23 - Estimer la valeur de la conductivité thermique du cuivre. ◻24 - Les valeurs obtenues aux questions 4 et 23 (on prendra T ≃ 300 K ) sont-elles compatibles avec la loi de Wiedemann-Franz?
Données numériques
e = 1, 6 × 10^(− 19)C est la charge élémentaire
k_B = 1, 4 × 10^(− 23) J ⋅ K^(− 1) est la constante de Boltzmann
c = 4, 0 × 10^2 J ⋅ K^(− 1) ⋅ kg^(− 1) est la capacité thermique massique du cuivre
ρ = 9, 0 × 10^3 kg ⋅ m^(− 3) est la masse volumique du cuivre
m = 9, 1 × 10^(− 31) kg est la masse d'un électron
Formulaire
Pour tout réel α ≠ 0 et pour tout couple ( m, n ) d'entiers positifs on a :
∫_0^α cos((πmu)/α)cos((πnu)/α)du = {α/2, si m = n ≠ 0; 0, si m ≠ n
FIN DE L'ÉPREUVE
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Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Physique II Mines MP 2020 sur la loi de Wiedemann-Franz ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Physique II Mines MP 2020 sur la loi de Wiedemann-Franz ?
+
Le sujet porte sur la mesure de résistances faibles, la conduction électrique et thermique modélisée à l'échelle microscopique, et l'équation de diffusion thermique.
Le sujet Physique II Mines MP 2020 est-il difficile ?
+
Oui, le rapport indique que les bases ne sont pas maîtrisées pour la plupart des candidats et conclut que l'épreuve s'est avérée assez décevante.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Physique II Mines MP 2020 ?
+
Des démonstrations peu rigoureuses de résultats donnés par l'énoncé, une conductivité thermique négative non détectée, et une confusion fréquente entre conductivité et conductance.
Ce sujet Physique II Mines MP 2020 est-il un bon entraînement sur la conduction thermique et électrique ?
+
Oui, il relie directement le modèle microscopique de la conduction électrique à celui de la conduction thermique, à travers la loi de Wiedemann-Franz.
Pas de description pour le moment
Commentaires• Mines Physique 2 MP 2020
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