Mines Mathématiques 2 MP 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Marches aléatoires sur Z^d : retour à l'origine et nombre moyen de points visités

Le sujet étudie une marche aléatoire sur Z^d : retour éventuel à l'origine, premier instant de retour et nombre moyen de positions visitées après n pas. Il combine probabilités et séries entières, via deux fonctions génératrices liées par un produit de Cauchy. Il traite ensuite la marche de Bernoulli sur Z, établit un résultat asymptotique sur les suites, puis l'applique à la marche simple sur Z².

1A. Préliminairespremière et deuxième annéeIdentité sur les coefficients binomiaux, formule de Stirling, comparaison série-intégrale, équivalent d'une intégrale et développement en série entière de (1+x)^α.
2B. Marches aléatoires, récurrencedeuxième annéeFonctions génératrices F et G, relation F = 1 + FG, critère de retour presque sûr et limite de E(N_n)/n.
3C. Les marches de Bernoulli sur Zdeuxième annéeCalcul de P(S_2n = 0), expression explicite de G, loi du temps de retour et équivalent de E(N_n) dans le cas symétrique.
4D. Un résultat asymptotiquepremière et deuxième annéeEncadrements et équivalents pour des suites liées par une relation de convolution, indépendamment des parties précédentes.
5E. La marche aléatoire simple sur Z² : un théorème d'Erdös et Dvoretzkydeuxième annéeCalcul de P(S_2n = 0) en dimension 2 et équivalent de E(N_n).

Difficile. Le jury décrit une épreuve progressive dont seules les six premières questions étaient abordables ; les questions 7 et 11 ont été réussies par une copie sur dix et une sur vingt, et les quatre dernières par environ une copie sur cent.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Cours non su : formule de Stirling et séries entières usuelles · Comparaisons série-intégrale et intégrales mal justifiées · Confusions sur la convergence des séries entières

Le jury déplore le manque de rigueur en analyse et en probabilités, notamment sur la convergence des séries et la notion d'indépendance. Beaucoup de candidats affirment sans preuve des résultats dont la démonstration portait justement les points, ou truquent leurs calculs pour atteindre la formule demandée. Le sujet a bien distingué les excellents candidats, très rares à traiter tout le sujet, des candidats sérieux et des plus fragiles.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Cours non su : formule de Stirling et séries entières usuellesQ2, Q5
Une part importante des candidats ne connaît pas la formule de Stirling, pourtant au programme. En Q5, le développement de (1+x)^α est parfois confondu avec un développement limité.
« la part des élèves ne connaissant pas la formule de Stirling est de 28% »
2
Comparaisons série-intégrale et intégrales mal justifiéesQ3, Q4
Les encadrements sont souvent écrits sans étapes, avec des erreurs d'indices et de bornes. En Q4, les hypothèses de l'intégration des relations de comparaison ne sont pas vérifiées.
« Seul un candidat sur cinq a montré proprement cette relation de négligeabilité. »
3
Confusions sur la convergence des séries entièresQ6, Q9
Le critère de d'Alembert ne pouvait pas servir faute d'expression des probabilités. Certains majorent une somme dont la convergence n'est pas encore établie.
« Beaucoup pensent qu’une série entière converge uniformément ou normalement sur son disque ouvert de convergence. »
4
Indépendance affirmée par commoditéQ7, Q13, Q20
L'indépendance est confondue avec l'incompatibilité ou invoquée pour faire aboutir les calculs. En Q20, l'abscisse et l'ordonnée de S_n ne sont pas indépendantes. En Q7, il fallait utiliser le lemme des coalitions, et les événements (R = k) ne forment pas un système complet.
« La notion d’indépendance a donné lieu à bien des errements. »
5
Passages à la limite abusifsQ8, Q10, Q12
Des relations entre fonctions sont transposées aux limites sans savoir si elles existent. En Q10, une limite de suite et une limite de fonction sont traitées comme un même objet.
« comme si ces deux objets avaient la même nature alors que l’un est la limite d’une suite et l’autre est celle d’une fonction »
6
Mauvais usage des équivalents et des petits oQ17, Q18
En Q17, au lieu d'un encadrement propre suivi du théorème d'encadrement, beaucoup utilisent de fausses règles sur les équivalents et les limites.
« les candidats ont préféré user de leur imagination pour étaler leur mauvaise compréhension des petits o, des équivalents et des limites »

Ce qui a été bien réussi

À la question 8, beaucoup ont reconnu un produit de Cauchy.
À la question 12, presque tous ont vu qu'il fallait appliquer le théorème de Cesàro.
La démarche suivie à la question 13 était généralement la bonne.
La question 19, difficile, a été résolue avec brio par quelques candidats.

Conseils du jury

Soigner les six premières questions, abordables, plutôt que de disperser ses efforts sur quelques questions isolées ou difficiles.
Quand une formule est donnée, montrer une démarche rigoureuse ; ne jamais truquer un calcul pour y parvenir.
Préciser le domaine des variables et vérifier les hypothèses des théorèmes (intégration par parties, relations de comparaison, continuité).
Justifier chaque usage de l'indépendance à partir des variables en jeu.
Rendre une copie lisible, dans l'ordre, sans abréviations non définies.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2020

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Dans tout le texte,

d

est un élément de

ℕ^*

. On note

0_d

d

-uplet dont toutes les coordonnées valent 0 , c'est-à-dire le vecteur nul de

ℝ^d

On considère une variable aléatoire

X

à valeurs dans

ℤ^d, (X_k)_(k \in ℕ^*)

une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant chacune la loi de

X

et définies sur un même espace probabilisé. La suite de variables aléatoires

(S_n)_(n \in ℕ)

est définie par

S_0 = 0_d

\foralln \in ℕ^*, S_n = \sum_(k = 1)^n X_k

La suite

(S_n)_(n \in ℕ)

est une marche aléatoire de pas

X

, à valeurs dans

ℤ^d

.
On note

R

la variable aléatoire à valeurs dans

ℕ^∗ ∪ { + ∞}

définie par

R = {min{n ∈ ℕ^∗, S_n = 0_d}, si {n ∈ ℕ^∗, S_n = 0_d} ≠ ∅; + ∞, sinon.

Autrement dit,

R

est égal à

+ \infty

si la marche aléatoire

(S_n)_(n \in ℕ)

ne revient jamais en

0_d

, au premier instant auquel cette marche aléatoire revient en

0_d

sinon.

Pour

n

dans

ℕ

, soit

N_n

le cardinal du sous-ensemble

{S_k, k ∈ {0, …, n}}

ℤ^d

. Le nombre

N_n

est donc le nombre de points de

ℤ^d

visités par la marche aléatoire

(S_n)_(n \in ℕ)

après

n

pas.

Le but du problème est d'étudier asymptotiquement l'espérance

E(N_n)

de la variable aléatoire

N_n

La partie D est indépendante des parties précédentes.

A. Préliminaires

Les cinq questions de cette partie sont indépendantes et utilisées dans les parties C et E .

Soit $n \in ℕ$ . En utilisant la factorisation

(X + 1)^(2n) = (X + 1)^n(X + 1)^n

montrer que

\sum_(k = 0)^n(n/k)^2 = ((2n)/n)

Rappeler la formule de Stirling, puis déterminer un nombre réel $c > 0$ tel que

((2n)/n) \sim _(n \to + \infty)c(4^n)/(\sqrtn)

Si $α$ est un élément de $]0, 1[$ , montrer, par exemple en utilisant une comparaison série-intégrale, que

\sum_(k = 1)^n 1/(k^α) \sim _(n \to + \infty)(n^(1 - α))/(1 - α)

α

est un élément de

]1, + \infty[

, montrer de même que

\sum_(k = n + 1)^(+ \infty)1/(k^α) \sim _(n \to + \infty)1/((α - 1)n^(α - 1))

Pour $x \in [2, + \infty[$ , on pose

I(x) = \int_2^x(dt)/(ln(t))

Justifier, pour

x \in [2, + \infty[

, la relation

I(x) = x/(ln(x)) - 2/(ln(2)) + \int_2^x(dt)/((ln(t))^2)

Établir par ailleurs la relation

\int_2^x(dt)/((ln(t))^2) = _(x \to + \infty)o(I(x))

En déduire finalement un équivalent de

I(x)

lorsque

x

tend vers

+ \infty

.
5. Pour

α \in ℝ

, rappeler, sans donner de démonstration, le développement en série entière de

(1 + x)^α

sur

] - 1, 1[

Justifier la formule :

\forallx \in ] - 1, 1[, 1/(\sqrt(1 - x)) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)(((2n)/n))/(4^n)x^n.

B. Marches aléatoires, récurrence

On considère les fonctions

F

G

définies par les formules

\forallx \in ] - 1, 1[, F(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)P(S_n = 0_d)x^n; \forallx \in [ - 1, 1], G(x) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)P(R = n)x^n

Montrer que les séries entières définissant $F$ et $G$ ont un rayon de convergence supérieur ou égal à 1 . Justifier alors que les fonctions $F$ et $G$ sont définies et de classe $C^\infty$ sur $] - 1, 1[$ .

Montrer que

G

est définie et continue sur

[ - 1, 1]

et que

G(1) = P(R \neq + \infty)

Si $k$ et $n$ sont des entiers naturels non nuls tels que $k \leq n$ , montrer que

P((S_n = 0_d) \cap (R = k)) = P(R = k)P(S_(n - k) = 0_d)

En déduire que

\foralln \in ℕ^*, P(S_n = 0_d) = \sum_(k = 1)^n P(R = k)P(S_(n - k) = 0_d)

Montrer que

\forallx \in ] - 1, 1[, F(x) = 1 + F(x)G(x)

Déterminer la limite de

F(x)

lorsque

x

tend vers

1^-

, en discutant selon la valeur de

P(R \neq + \infty)

.
9. Soit

(c_k)_(k \in ℕ)

une suite d'éléments de

ℝ^+

telle que la série entière

\sumc_k x^k

ait un rayon de convergence 1 et que la série

\sumc_k

diverge. Montrer que

\sum_(k = 0)^(+ \infty)c_k x^k ⟶ _(x \to 1^-) + \infty

L'élément

A

ℝ^(+ *)

étant fixé, on montrera qu'il existe

α \in ]0, 1[

tel que

\forallx \in ]1 - α, 1[, \sum_(k = 0)^(+ \infty)c_k x^k > A

Montrer que la série $\sumP(S_n = 0_d)$ est divergente si et seulement si $P(R \neq + \infty) = 1$ .
Pour $i \in ℕ^*$ , soit $Y_i$ la variable de Bernoulli indicatrice de l'événement

(S_i ∉ {S_k, 0 ≤ k ≤ i − 1})

Montrer que, pour

i \in ℕ^*

P(Y_i = 1) = P(R > i)

En déduire que, pour

n \in ℕ^*

E(N_n) = 1 + \sum_(i = 1)^n P(R > i)

Conclure que

(E(N_n))/n ⟶ _(n \to + \infty)P(R = + \infty).

On pourra admettre et utiliser le théorème de Cesàro : si

(u_n)_(n \in ℕ^*)

est une suite réelle convergeant vers le nombre réel

ℓ

, alors

1/n\sum_(k = 1)^n u_k ⟶ _(n \to + \infty)ℓ

C. Les marches de Bernoulli sur $ℤ$

Dans cette question,

d

est égal à 1 et on note donc simplement

0_d = 0

. Par ailleurs,

p

est un élément de

]0, 1[, q = 1 - p

et la loi de

X

est donnée par

P(X = 1) = p et P(X = - 1) = q.

Pour $n \in ℕ$ , déterminer $P(S_(2n + 1) = 0)$ et justifier l'égalité :

P(S_(2n) = 0) = ((2n)/n)(pq)^n

Pour $x \in ] - 1, 1[$ , donner une expression simple de $G(x)$ .

Exprimer

P(R = + \infty)

en fonction de

|p - q|

.
Déterminer la loi de

R

.
15. On suppose que

p = q = 1/2

Donner un équivalent simple de

P(R = 2n)

lorsque

n

tend vers

+ \infty

. En déduire un équivalent simple de

E(N_n)

lorsque

n

tend vers

+ \infty

D. Un résultat asymptotique

Soient

(a_n)_(n \in ℕ)

(b_n)_(n \in ℕ)

deux suites d'éléments de

ℝ^(+ *)

. On suppose que

(a_n)_(n \in ℕ)

est décroissante et que

\foralln \in ℕ, \sum_(k = 0)^n a_k b_(n - k) = 1.

On pose, pour

n \in ℕ

B_n = \sum_(k = 0)^n b_k

Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels tels que $m > n$ . Montrer que

a_n \leq 1/(B_n) et 1 \leq a_n B_(m - n) + a_0(B_m - B_(m - n)).

On suppose dans cette question qu'il existe une suite $(m_n)_(n \in ℕ)$ vérifiant $m_n > n$ pour $n$ assez grand et

B_(m_n - n) \sim _(n \to + \infty)B_n et B_(m_n) - B_(m_n - n) ⟶ _(n \to + \infty)0.

Montrer que

a_n \sim _(n \to + \infty)1/(B_n).

On suppose dans cette question qu'il existe $C > 0$ tel que

b_n \sim _(n \to + \infty)C/n.

En utilisant la question 17 pour une suite

(m_n)_(n \in ℕ)

bien choisie, montrer que

a_n \sim _(n \to + \infty)1/(Cln(n))

E. La marche aléatoire simple sur $ℤ^2$ : un théorème d'Erdös et Dvoretzky

Soit $n \in ℕ^*$ . Montrer que

1 = \sum_(k = 0)^n P(S_k = 0_d)P(R > n - k).

Dans les questions 20 et 21 , on suppose que

d = 2

et que la loi de

X

est donnée par

P(X = (0, 1)) = P(X = (0, - 1)) = P(X = (1, 0)) = P(X = (- 1, 0)) = 1/4

Soit $n \in ℕ$ . Établir l'égalité

P(S_(2n) = 0_2) = ((((2n)/n))/(4^n))^2.

Donner un équivalent simple de $E(N_n)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ .

Fin du problème

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Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 2 MP 2020 ?

Il porte sur les probabilités discrètes et les séries entières, avec des outils d'analyse asymptotique : formule de Stirling, comparaison série-intégrale, équivalents et produit de Cauchy. Le thème est la marche aléatoire sur Z^d.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Maths 2 MP 2020 ?

Une indépendance affirmée sans justification, des erreurs sur la convergence des séries entières, des passages à la limite abusifs et un mauvais usage des équivalents. Le jury sanctionne aussi les calculs truqués pour retrouver la formule demandée.

Le sujet Mines Maths 2 MP 2020 est-il difficile ?

Le jury le décrit comme progressif : les six premières questions étaient abordables, puis plusieurs questions difficiles ont été très peu réussies. Quelques rares copies excellentes ont traité tout le sujet correctement.

Faut-il connaître la formule de Stirling pour Mines Maths 2 MP 2020 ?

Oui, la question 2 demande de la rappeler. Le jury note que 28 % des candidats ne la connaissaient pas, alors qu'elle figure au programme.

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Les erreurs les plus sanctionnées

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CONCOURS 2020

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

A. Préliminaires

B. Marches aléatoires, récurrence

C. Les marches de Bernoulli sur ℤ

D. Un résultat asymptotique

E. La marche aléatoire simple sur ℤ^2 : un théorème d'Erdös et Dvoretzky

Fin du problème

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 2 MP 2020 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Maths 2 MP 2020 ?

Le sujet Mines Maths 2 MP 2020 est-il difficile ?

Faut-il connaître la formule de Stirling pour Mines Maths 2 MP 2020 ?

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C. Les marches de Bernoulli sur $ℤ$

E. La marche aléatoire simple sur $ℤ^2$ : un théorème d'Erdös et Dvoretzky