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CCINP Mathématiques 1 MP 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Développement ternaire propre d'un réel et fonction de Cantor-Lebesgue
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Le problème, en quatre parties indépendantes, étudie le développement ternaire propre d'un réel de [0,1[ et quelques applications. Il mobilise les espaces vectoriels normés et les séries numériques, puis une série de fonctions, des probabilités sur des développements ternaires aléatoires et une suite de fonctions définie par récurrence qui converge vers la fonction de Cantor-Lebesgue. Des questions d'informatique en Python sont réparties dans le sujet.

  1. 1Partie I : développement ternaireNorme sur l'espace des suites bornées, forme linéaire continue σ, existence du développement ternaire propre et fonctions Python de conversion.
  2. 2Partie II : étude d'une fonction définie par une sérieClasse C1 de la somme d'une série de fonctions et permutation série-intégrale pour calculer une intégrale.
  3. 3Partie III : développements ternaires aléatoiresEspérance et variance d'une variable aléatoire construite sur des chiffres aléatoires, puis inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
  4. 4Partie IV : fonction de Cantor-LebesgueSuite de fonctions définie par récurrence, fonction Python récursive, convergence uniforme et propriétés de la fonction limite.

Difficulté moyenne. Le jury juge le sujet progressif et de longueur raisonnable, avec une moyenne de 10,28, tout en notant que la partie probabilités s'est avérée difficile pour une majorité de candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,28 / 20 · écart-type 4,24 · 7 294 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,28/ 20
Écart-type
4,24
Présents
7 294
Coefficient
21
Durée
4 h
moyenne 10,2805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 2 juillet 2020. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Norme mal justifiée · Théorème hors sujet pour la continuité · Noyau d'une application non linéaire
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Le sujet couvre une large partie du programme d'analyse et de probabilités. Beaucoup de candidats ont abordé presque toutes les questions, mais très peu ont soigné l'ensemble de leurs réponses. Les probabilités ont posé problème à une majorité, alors que l'informatique a été bien réussie, même dans des copies faibles.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Norme mal justifiéeQ2

    L'existence de la borne supérieure est rarement justifiée, l'inégalité triangulaire peu prouvée avec rigueur et la positivité souvent oubliée.

    « Très rares sont les candidats qui pensent à justifier l’existence de la borne supérieure. »
  2. 2
    Théorème hors sujet pour la continuitéQ3

    Pour la continuité d'une forme linéaire, beaucoup invoquent la continuité d'une série de fonctions uniformément convergente ; pour la linéarité, la convergence des séries est rarement rappelée.

    « beaucoup de candidats croient judicieux d’utiliser le théorème de continuité d’une série de fonctions continues uniformément convergente (totalement hors-sujet ici). »
  3. 3
    Noyau d'une application non linéaireQ5

    Certains candidats étudient le noyau de σ restreinte à T alors que cette application n'est pas linéaire.

  4. 4
    Manipulation des inégalitésQ6

    Des candidats butent sur l'inégalité qui définit la partie entière, voire soustraient des inégalités membre à membre.

  5. 5
    Hypothèses des théorèmes d'intégrationQ11, Q14

    Convergence uniforme ou convergence dominée sont invoquées, mais les hypothèses sont rarement vérifiées correctement.

  6. 6
    Inclusion d'événements non démontréeQ16, Q18

    Les réponses contiennent beaucoup de phrases mais aucun argument rigoureux ; la variance comporte aussi souvent une erreur de calcul à la question 16.

    « Très peu de réponses justes ; l’inclusion des évènements est rarement démontrée proprement »

Ce qui a été bien réussi

  • L'informatique a été bien, voire très bien réussie, et l'algorithme de création d'une liste est bien maîtrisé (Q8 à Q10).
  • La question 1 est généralement bien traitée.
  • La question 13, calculatoire, est plutôt bien réussie.
  • Le calcul de l'espérance à la question 16 est en général correct.
  • La question 17 est bien traitée par ceux qui pensent à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Conseils du jury

  • Citer tous les théorèmes utilisés et rappeler sur le moment toutes leurs hypothèses.
  • Indiquer à quel moment chaque hypothèse de la question est utilisée.
  • Commencer par une lecture rapide de l'ensemble du sujet.
  • Ne pas recopier l'énoncé avant chaque réponse et savoir répondre en une ou deux lignes quand c'est possible.
  • Soigner la présentation et mettre les résultats en évidence en les soulignant ou en les encadrant.
  • Ne pas utiliser dans une démonstration le résultat à prouver.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

Lundi 4 mai : 8 h − 12 h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé d'un problème qui comprend quatre parties indépendantes.

Objectifs

L'objectif de la partie I est de montrer l'existence d'un développement ternaire propre pour certains nombres réels.
La partie II propose l'étude d'une série de fonctions où les coefficients du développement ternaire sont remplacés par une fonction continue.
La partie III étudie des développements ternaires aléatoires.
La partie IV définit et présente quelques propriétés de la fonction de Cantor-Lebesgue.

Notations

On note T l'ensemble des suites réelles t = (t_n)_(n ∈ ℕ^∗) à valeurs dans {0; 1; 2} :
∀n ∈ ℕ^∗, t_n ∈ {0; 1; 2}.
On désigne par ℓ^∞ l'ensemble des suites réelles u = (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) bornées et on pose ‖u‖ = sup_(n ∈ ℕ^∗)|u_n|.
On note ⌊y⌋ la partie entière d'un réel y.

PARTIE I - Développement ternaire

Étude de l'application σ

Q1. Démontrer que ℓ^∞ est un espace vectoriel réel et que l'application u ↦ ‖u‖ est une norme sur ℓ^∞.
Q2. Pour u = (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) ∈ ℓ^∞, démontrer que la série de terme général (u_n)/(3^n) est convergente.
On note alors :
σ(u) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(u_n)/(3^n)
Q3. Démontrer que l'application σ est une forme linéaire continue sur ℓ^∞.
Q4. Démontrer que si t = (t_n)_(n ∈ ℕ^∗) ∈ T, alors le réel σ(t) est dans l'intervalle [0, 1].
Q5. On note τ = (τ_n)_(n ∈ ℕ^∗) et τ^′ = (τ^′_n)_(n ∈ ℕ^∗) les éléments de T définis par :
τ_1 = 1 et ∀n ∈ ℕ^∗∖{1}, τ_n = 0 τ_1^′ = 0 et ∀n ∈ ℕ^∗∖{1}, τ_n = 2
Calculer σ(τ) et σ(τ^′). L'application σ est-elle injective sur T ?

Développement ternaire propre

On fixe x ∈ [0, 1[. On définit une suite t(x) = (t_n(x))_(n ∈ ℕ^∗) par :
∀n ∈ ℕ^∗, t_n(x) = ⌊3^n x⌋ − 3⌊3^(n − 1)x⌋.
Q6. Démontrer que t(x) ∈ T.
Q7. On définit deux suites réelles (x_n)_(n ∈ ℕ^∗) et (y_n)_(n ∈ ℕ^∗) par :
∀n ∈ ℕ^∗, x_n = (⌊3^n x⌋)/(3^n) et y_n = x_n + 1/(3^n).
Démontrer que les suites (x_n) et (y_n) sont adjacentes de limite x. En déduire que :
x = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(t_n(x))/(3^n)
Que peut-on en conclure concernant l'application {T → [0, 1]; u ↦ σ(u) ?
La suite t(x) = (t_n(x))_(n ∈ ℕ^∗) est appelée développement ternaire propre de x.
Q8. Informatique pour tous. Écrire en langage Python une fonction flotVersTern(n, x) d'arguments un entier naturel n et un flottant x et qui renvoie sous forme d'une liste les n premiers chiffres t_1(x), …, t_n(x) définis dans la question précédente du développement ternaire de x.
Par exemple flotVersTern(4, 0.5) renvoie [ 1, 1, 1, 1 ].
Q9. Informatique pour tous. Si ℓ = [ℓ_1, …, ℓ_n] est une suite finie d'entiers de {0; 1; 2}, on la complète avec des 0 pour en faire un élément de T encore noté ℓ.
Écrire en langage Python une fonction ternVersFlot (ℓ) d'arguments une liste d'entiers ℓ. Cette fonction renvoie en sortie le flottant σ(ℓ). Par exemple ternVersFlot([1,1,1,1]) renvoie 0.493827……
Q10. Informatique pour tous. Si ℓ = [ℓ_1, …, ℓ_n] est une suite finie d'entiers de {0; 1; 2}, on lui ajoute un élément égal à -1 si la somme ℓ_1 + ⋯ + ℓ_n est paire et un élément égal à -2 sinon. Ce dernier élément permet alors d'essayer de détecter d'éventuelles erreurs de transmission. Écrire en langage Python une fonction ajout (ℓ) qui ajoute à la liste ℓ un élément comme expliqué précédemment et qui renvoie la nouvelle liste.
Écrire en langage Python une fonction verif( ℓ ) qui renvoie True si la valeur du dernier élément de ℓ est correcte et False sinon.
Par exemple ajout([ 1, 0, 2, 1, 0 ]) renvoie [1, 0, 2, 1, 0, − 1] et verif( [1, 0, 2, 1, 0, − 2] ) renvoie False.

PARTIE II - Étude d'une fonction définie par une série

Dans cette partie, on définit une fonction φ à l'aide d'un développement en série analogue au développement ternaire propre d'un réel, mais où la suite (t_n)_(n ∈ ℕ^∗) est remplacée par une fonction numérique à valeurs dans l'intervalle [0, 2].
Pour tout réel x on pose :
φ(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(1 + sin(nx))/(3^n)

Étude de l'application φ

Q11. Démontrer que φ est définie et de classe C^1 sur ℝ.
Q12. Pour tout x réel, justifier l'écriture :
φ(x) = 1/2 + Im(∑_(n = 1)^(+ ∞)(e^(inx))/(3^n))
et en déduire une expression simple de φ(x) en fonction de sin(x) et cos(x).
Q13. Pour x ∈ ℝ, en déduire une expression simple de ∑_(n = 1)^(+ ∞)(ncos(nx))/(3^n) en fonction de cos(x).
Q14. À l'aide de ∫_0^π φ(x)dx démontrer que :
∫_0^π(sin(x))/(10 − 6cos(x))dx = ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n3^(n + 1))((− 1)^(n − 1) + 1)
puis en calculant la somme de la série du second membre, en déduire la valeur de l'intégrale :
∫_0^π(sin(x))/(10 − 6cos(x))dx
Q15. Retrouver cette valeur par un calcul direct.

PARTIE III - Développements ternaires aléatoires

Dans cette partie, (T_(n, N))_(n ≥ 1, N ≥ 2) est une suite de variables aléatoires discrètes réelles, mutuellement indépendantes, définies sur un même espace probabilisé (Ω, A, ℙ) et vérifiant :
∀n ≥ 1, ∀N ≥ 2, T_(n, N)(Ω) = {0; 1; 2}; avec ℙ(T_(n, N) = 0) = ℙ(T_(n, N) = 1) = 1/N et ℙ(T_(n, N) = 2) = 1 − 2/N
Soit N ≥ 2 fixé. On pose:
X_N = ∑_(n = 1)^N(T_(n, N))/(3^n).
On admet que X_N est une variable aléatoire discrète réelle définie sur ( Ω, A, ℙ ).
Q16. Démontrer que X_N admet une espérance et une variance. Donner leur valeur en fonction de N.
Q17. Justifier que, pour tout ε > 0 :
lim_(N → + ∞)ℙ(|X_N − 𝔼(X_N)| ≥ ε) = 0
Q18. Soit ε > 0, démontrer que :
ℙ(|X_N − 1| ≥ ε) ≤ ℙ(|X_N − 𝔼(X_N)| ≥ ε/2) + ℙ(|𝔼(X_N) − 1| ≥ ε/2).
En déduire que, pour tout ε > 0 :
lim_(N → + ∞)ℙ(|X_N − 1| ≥ ε) = 0

PARTIE IV - Fonction de Cantor-Lebesgue

Dans cette partie, on va définir et étudier la fonction de Cantor-Lebesgue.

Étude d'une suite de fonctions

On note f_0 la fonction définie sur [0, 1] par f_0(x) = x. Pour tout entier n ∈ ℕ, on pose :
∀x ∈ [0, 1], f_(n + 1)(x) = {(f_n(3x))/2, si x ∈ [0, 1/3]; 1/2, si x ∈ [1/3, 2/3[; 1/2 + (f_n(3x − 2))/2, si x ∈ [2/3, 1].
Q19. Représenter l'allure graphique des fonctions f_0, f_1 et f_2 sur trois schémas différents (pour f_2 on envisagera sept sous-intervalles de [0, 1] ).
Pour tout n ∈ ℕ, démontrer que f_n est à valeurs dans [0, 1].
Q20. Informatique. Écrire en langage Python une fonction récursive cantor( n, x ) qui renvoie la valeur de f_n(x).
Q21. Pour tout entier n ∈ ℕ, démontrer que :
∀x ∈ [0, 1], |f_(n + 1)(x) − f_n(x)| ≤ 1/(3 × 2^(n + 1))
Q22. En déduire que la suite de fonctions (f_n)_(n ∈ ℕ) converge uniformément sur [0, 1].
La limite de la suite de fonctions (f_n)_(n ∈ ℕ) est notée f.
On l'appelle fonction de Cantor-Lebesgue.
Q23. Démontrer que la fonction f est à valeurs dans [0, 1] et qu'elle est croissante et continue sur [0, 1]. Démontrer aussi qu'elle est surjective de [0, 1] vers [0, 1].
La fonction f est aussi nommée «escalier du diable». Les développements ternaires étudiés en début de problème permettent d'obtenir une expression analytique de f(x).

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet CCINP maths 1 MP 2020 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet CCINP maths 1 MP 2020 ?

Le sujet mobilise les espaces vectoriels normés, les séries numériques, les séries et suites de fonctions, l'intégration, les probabilités et des questions d'informatique en Python sur les listes et la récursivité.

Quelle est la moyenne de l'épreuve CCINP maths 1 MP 2020 ?

Selon le rapport du jury, la moyenne est de 10,28 avec un écart-type de 4,24.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en CCINP maths 1 MP 2020 ?

Le jury relève l'existence de la borne supérieure non justifiée, l'usage hors sujet d'un théorème sur les séries de fonctions, des hypothèses de théorèmes mal vérifiées et des inclusions d'événements non démontrées.

Les questions d'informatique de CCINP maths 1 MP 2020 étaient-elles difficiles ?

Non. Le jury indique que l'informatique a été bien, voire très bien réussie, même dans des copies faibles, avec quelques erreurs d'indices et l'oubli du cas de base dans la fonction récursive.

Pas de description pour le moment