CCINP Mathématiques 2 MP 2020Sujet, corrigé et rapport du jury
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Moyenne 10,01 / 20 · écart-type 4,74 · 7 294 présents · où vous situez-vous ?
- Moyenne
- 10,01/ 20
- Écart-type
- 4,74
- Présents
- 7 294
- Coefficient
- 21
- Durée
- 4 h
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : document officiel du concours, épreuve du 3 juillet 2020. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP
MATHÉMATIQUES 2
Mardi 5 mai : 8 h-12 h
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
- Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
- Ne pas utiliser de correcteur.
- Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.
Les calculatrices sont interdites
Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.
EXERCICE I
Dans cet exercice, il est inutile de reproduire tous les calculs sur la copie.
On considère la matriceA = (2, 1, 1; 1, 2, 1; 1, 1, 2) .
Q1. Justifier, sans calcul, que la matriceA est diagonalisable puis déterminer une matrice
D diagonale réelle et une matrice
P ∈ GL_3(ℝ) telles que
A = PDP^(− 1) .
On considère la matrice
Q1. Justifier, sans calcul, que la matrice
Q2. Déterminer une matrice
B de
ℳ_3(ℝ) , que l'on explicitera, vérifiant
B^2 = A .
Q3. Déterminer, pour tout entier naturel non nul
n , les 9 coefficients de la matrice
A^n en utilisant la matrice de passage
P .
Q4. Donner le polynôme minimal de la matrice
A et en déduire, à l'aide d'une division euclidienne de polynômes, la matrice
A^n comme une combinaison linéaire des matrices
A et
I_2 .
EXERCICE II
On considère l'espace vectoriel normé
ℳ_n(ℝ) .
On noteGL_n(ℝ) l'ensemble des matrices inversibles de
ℳ_n(ℝ) .
On pourra utiliser librement dans cet exercice que l'application déterminant est continue surm_n(ℝ) .
On note
On pourra utiliser librement dans cet exercice que l'application déterminant est continue sur
Q5. L'ensemble
GL_n(ℝ) est-il fermé dans
ℳ_n(ℝ) ?
Q6. Démontrer que l'ensembleGL_n(ℝ) est ouvert dans
ℳ_n(ℝ) .
Q7. SoitM un élément de
ℳ_n(ℝ) , justifier que :
Q6. Démontrer que l'ensemble
Q7. Soit
Démontrer que l'ensemble
GL_n(ℝ) est dense dans
ℳ_n(ℝ) .
Q8. Application
SiA et
B sont deux matrices de
ℳ_n(ℝ) , démontrer que les matrices
A ⋅ B et
B ⋅ A ont le même polynôme caractéristique.
À l'aide des matricesA = (1, 0; 0, 0) et
B = (0, 0; 1, 0) , prouver que le résultat n'est pas vrai pour les polynômes minimaux.
Q8. Application
Si
À l'aide des matrices
Q9. Démontrer que
GL_n(ℝ) n'est pas connexe par arcs.
On rappelle que l'image d'une partie connexe par arcs par une application continue est une partie connexe par arcs.
On rappelle que l'image d'une partie connexe par arcs par une application continue est une partie connexe par arcs.
PROBLÈME
Dans ce problème,
E est un espace vectoriel euclidien muni d'un produit scalaire que l'on notera
⟨|⟩ de norme associée
‖‖ .
Un endomorphisme
u de
E est une similitude de
E lorsqu'il existe un réel
k > 0 tel que pour tout vecteur
x de
E, ‖u(x)‖ = k‖x‖ . On dira que
u est la similitude de rapport
k .
On notera
Sim(E) , l'ensemble des similitudes de
E .
O(E ) désigne l'ensemble des automorphismes orthogonaux de
E .
L'objectif de ce problème est de définir et de caractériser les similitudes d'un espace euclidien.
O(
L'objectif de ce problème est de définir et de caractériser les similitudes d'un espace euclidien.
Partie I - Exemples, propriétés
Q10. Démontrer que la matrice
A = (1, 2; − 2, 1) est, dans la base canonique de
ℝ^2 , la matrice d'une similitude
u dont on précisera le rapport.
Q11. Interprétation géométrique avec la similitude
u de la question précédente.
Le planℝ^2 est rapporté à un repère orthonormé
(O, e_1^(→−), e_2^(→−)) .
On considère les trois pointsM(2, 1), N(4, 1), P(4, 2) et on définit les points
M^′, N^′, P^′ par les relations
u(OM^(→−)) = OM^′^(→−), u(ON^(→−)) = ON^′^(→−), u(OP^(→−)) = OP^′^(→−) .
Représenter les trianglesMNP et
M^′ N^′ P^′ et comparer leurs aires.
Q12. Démontrer que tout élément deSim(E) est bijectif et établir que
Sim(E) , muni de la loi de composition, est un groupe.
Le plan
On considère les trois points
Représenter les triangles
Q12. Démontrer que tout élément de
Q13. Soient
u un endomorphisme de
E, Z une base orthonormée de
E et
A la matrice de
u dans la base
Z .
Démontrer queu est un automorphisme orthogonal de
E , si et seulement si,
^t A ⋅ A = I_n .
Caractériser par une relation matricielle une similitude de rapportk .
Q14. Exemple
Démontrer que la matriceA = (2, 2, 1; − 2, 1, 2; 1, − 2, 2) est la matrice dans la base canonique de
ℝ^3 d'une similitude
u dont on donnera le rapport. Donner la matrice de la similitude
u^(− 1) . Vérifier que, pour tout élément
f de
O(E), u^(− 1) ∘ f ∘ u ∈ O(E) .
Démontrer que
Caractériser par une relation matricielle une similitude de rapport
Q14. Exemple
Démontrer que la matrice
Q15. On appelle sphère de centre 0 et de rayon
r > 0 , l'ensemble des vecteurs
x de
E tels que
‖x‖ = r . Démontrer que si
u est un endomorphisme de
E tel que l'image par
u de toute sphère de
E de centre 0 est une sphère de
E de centre 0 , alors
u est une similitude de
E .
On pourra remarquer que poury vecteur non nul,
‖y/(‖y‖)‖ = 1 .
On pourra remarquer que pour
Partie II - Assertions équivalentes
Q16. On rappelle qu'une homothétie vectorielle de
E est une application de la forme
αid_E .
Démontrer queu ∈ Sim(E) , si et seulement si,
u est la composée d'une homothétie vectorielle non nulle de
E et d'un élément de
O(E) .
Démontrer que
Q17. Exemple
Écrire la matrice
A = (1, 2; − 2, 1) comme produit de la matrice d'une homothétie vectorielle et de la matrice d'un automorphisme orthogonal de
ℝ^2 dont on précisera la nature.
Q18. Démontrer que :
∀(x, y) ∈ E^2, ⟨x|y⟩ = 1/4(‖x + y‖^2 − ‖x − y‖^2) .
En déduire queu est une similitude de rapport
k , si et seulement si ,
∀(x, y) ∈ E^2, ⟨u(x)|u(y)⟩ = k^2⟨x|y⟩ .
En déduire que
Q19. Démontrer que, si
u est une similitude de rapport
k , alors, pour tout couple
(x, y) de vecteurs de
E, ⟨x|y⟩ = 0 ⇒ ⟨u(x)|u(y)⟩ = 0 .
On dit que l'endomorphismeu conserve l'orthogonalité.
Réciproquement, on suppose queu est un endomorphisme de
E conservant l'orthogonalité.
Soit (e_1, e_2, …, e_n ) une base orthonormée de
E . Démontrer que :
∀(i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, ⟨e_i + e_j|e_i − e_j⟩ = 0 , puis que:
∀(i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, ‖u(e_i)‖ = ‖u(e_j)‖ .
On notek la valeur commune prise par tous les
‖u(e_i)‖ .
Après avoir justifié que, pour touti ∈ [ [1, n] ], ‖u(e_i)‖ = k‖e_i‖ démontrer que
u est une similitude de rapport
k .
On dit que l'endomorphisme
Réciproquement, on suppose que
Soit (
On note
Après avoir justifié que, pour tout
Q20. Soit
u une application de
E dans
E (non supposée linéaire) telle qu'il existe un réel
k > 0 pour lequel:
∀(x, y) ∈ E^2, ⟨u(x)|u(y)⟩ = k^2⟨x|y⟩ .
Démontrer queu est un endomorphisme de
E , puis que
u est une similitude de
E .
Démontrer que
FIN
Pas de description pour le moment