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CCINP Mathématiques 2 MP 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Déterminant de Vandermonde, exponentielle d'une matrice symétrique positive et produit de Hadamard
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Le sujet propose deux exercices et un problème. Le premier exercice fait démontrer la formule du déterminant de Vandermonde puis propose deux applications. Le deuxième retrouve des résultats sur l'exponentielle d'une matrice (définition, continuité, différentiabilité). Le problème étudie l'exponentielle d'une matrice symétrique positive puis, à l'aide du produit de Hadamard, la matrice formée des exponentielles des termes d'une matrice symétrique positive.

  1. 1Exercice 1 : déterminant de VandermondeDémonstration guidée de la formule du déterminant de Vandermonde et deux applications indépendantes.
  2. 2Exercice 2 : exponentielle d'une matriceDéfinition de l'exponentielle d'une matrice à l'aide d'une norme d'algèbre, continuité de la somme et différentiabilité en la matrice nulle.
  3. 3Problème, partie I : exponentielle d'une matrice symétrique positiveMise en place d'un exemple puis étude de l'exponentielle d'une matrice symétrique positive.
  4. 4Problème, partie II : produit de Hadamard de deux matricesDéfinition du produit de Hadamard puis étude de la matrice des exponentielles des termes d'une matrice symétrique positive.

Difficulté moyenne. Le rapport qualifie le sujet d'accessible, couvrant à la fois l'analyse et l'algèbre, avec une moyenne de 10,12/20 et un écart-type de 4,29, ce qui a permis de bien trier les candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,12 / 20 · écart-type 4,29 · 7 315 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,12/ 20
Écart-type
4,29
Présents
7 315
Coefficient
12
Durée
4 h
moyenne 10,1205101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 10 mai 2022. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Nullité du déterminant avec deux colonnes égales oubliée · Récurrence mal rédigée avec la forme développée du polynôme · Confusions sur la convergence et objets mathématiques inexistants
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Le sujet, accessible, a été compris par les candidats, avec peu de copies vides par rapport aux années précédentes et une majorité de candidats ayant pu le traiter dans sa totalité. Ce type de sujet abordable permet de mieux valoriser la rigueur, certaines questions n'accordant de points que pour une réponse parfaite.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Nullité du déterminant avec deux colonnes égales oubliéeQ1

    Trop de candidats ne pensent pas à mentionner cette propriété de base du déterminant.

    « Trop de candidats ne pensent pas à indiquer que le déterminant est nul si deux colonnes sont »
  2. 2
    Récurrence mal rédigée avec la forme développée du polynômeQ2

    Beaucoup de candidats tentent à tort de démontrer le résultat en développant le polynôme plutôt qu'en suivant la méthode attendue.

    « Beaucoup tentent de démontrer le résultat avec la forme »
  3. 3
    Confusions sur la convergence et objets mathématiques inexistantsQ5

    Le passage de la convergence absolue à la convergence simple n'est souvent pas justifié, avec des confusions entre convergence absolue et normale, et l'apparition d'un « quotient de matrice » inexistant.

    « On rencontre sur certaines copies un quotient de matrice ! »
  4. 4
    Critères de continuité d'une série de fonctions mal connusQ6

    Cette méconnaissance a donné lieu à des rédactions farfelues.

    « les critères de continuité d’une série de fonctions sont mal connus. »
  5. 5
    Vecteur propre non nul oublié dans une réciproqueQ12

    La plupart des candidats ne jugent pas important de préciser que le vecteur propre utilisé doit être non nul.

    « la nécessité d’utiliser un vecteur propre NON NUL »
  6. 6
    Caractère orthogonal de la matrice de passage non exploitéQ14

    Cette propriété était indispensable pour justifier que la matrice obtenue était bien symétrique.

    « le caractère orthogonal de la matrice de passage était indispensable »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 1 sur le déterminant de Vandermonde a été bien traitée dans l'ensemble.
  • La question 8 sur le calcul du polynôme caractéristique a été dans l'ensemble bien traitée.
  • La question 16 a été en général bien traitée.

Conseils du jury

  • Éviter de trafiquer un calcul pour retomber sur un résultat attendu, ce qui indispose fortement le correcteur.
  • Utiliser explicitement chaque hypothèse d'une question et préciser à quel moment elle intervient.
  • Citer tous les théorèmes utilisés et rappeler leurs hypothèses au moment opportun.
  • Commencer l'épreuve par une lecture diagonale du sujet pour mieux s'en imprégner.
  • Ne pas recopier l'énoncé avant chaque réponse, ce qui fait perdre du temps.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.

EXERCICE 1

Pour n entier, n ≥ 2, on définit le déterminant de Vandermonde de n nombres complexes x_1, x_2, …, x_n par:
V(x_1, x_2, …, x_n) = |1, 1, …, 1; x_1, x_2, …, x_n; x_1^2, x_2^2, …, x_n^2; ⋅, ⋅, ⋅, ⋅; ⋅, ⋅, ⋅, ⋅; ⋅, ⋅, ⋅, ⋅; x_1^(n − 1), x_2^(n − 1), …, x_n^(n − 1)|.
L'objet de cet exercice est de démontrer par récurrence que l'on a : V(x_1, x_2, …, x_n) = ∏_(1 ≤ i < j ≤ n)(x_j − x_i).
Q1. Calculer V(x_1, x_2). Expliquer pourquoi il suffit de faire la démonstration pour n nombres complexes x_1, x_2, …, x_n deux à deux distincts.
Dans la suite, x_1, x_2, …, x_n sont n nombres complexes deux à deux distincts.
Q2. On considère la fonction t ↦ P(t) = V(x_1, x_2, …, x_(n − 1), t).
Démontrer que P est une fonction polynomiale de degré au plus n − 1 et justifier que le coefficient de t^(n − 1) est un déterminant de Vandermonde.
Démontrer par récurrence que V(x_1, x_2, …, x_n) = ∏_(1 ≤ i < j ≤ n)(x_j − x_i).
Q3. Première application
Calculer le déterminant de la matrice A = (i^j)_(1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ n) en faisant apparaître le déterminant de Vandermonde V(1, 2, …, n).
Q4. Deuxième application
Donner un exemple de n nombres complexes a_1, a_2, …, a_n deux à deux distincts et tous non nuls, tels que ∑_(k = 1)^n a_k^2 = 0.
Soit n nombre complexes x_1, x_2, …, x_n deux à deux distincts et tous non nuls, démontrer que l'une au moins des sommes ∑_(k = 1)^n x_k, ∑_(k = 1)^n x_k^2, ∑_(k = 1)^n x_k^3, …, ∑_(k = 1)^n x_k^n est non nulle.
On pourra utiliser un déterminant de Vandermonde non nul.

EXERCICE 2

Dans cet exercice, ‖‖ désigne une norme d'algèbre sur M_n(ℝ), c'est-à-dire une norme vérifiant, pour tout couple (A, B) de matrices de M_n(ℝ), ‖A ⋅ B‖ ≤ ‖A‖.‖B‖.
Q5. Démontrer que pour toute matrice A de M_n(ℝ), la série ∑_(k ≥ 0)1/(k!)A^k converge. On notera e^A sa somme.
Q6. Démontrer que l'application A ↦ e^A est continue sur M_n(ℝ).
Q7. Si H ∈ M_n(ℝ) est une matrice non nulle de la boule de centre 0 et de rayon r > 0, déterminer la limite de 1/(‖H‖)∑_(k = 2)^(+ ∞)1/(k!)H^k lorsque H tend vers 0 .
En déduire que l'application A ↦ e^A est différentiable en la matrice 0 . On précisera sa différentielle en 0 .

PROBLÈME

Pour toute matrice A de M_n(ℝ), on note e^A = ∑_(k = 0)^(+ ∞)1/(k!)A^k.
Dans ce problème, on note S_n l'espace vectoriel des matrices de M_n(ℝ) symétriques.
On dit que la matrice A ∈ S_n est symétrique positive lorsque toutes ses valeurs propres sont positives ou nulles.
On note S_n^+l'ensemble des matrices symétriques positives.

Partie I - Exponentielle d'une matrice symétrique

Pour a et b deux réels, on note :
A = (a, b, b; b, a, b; b, b, a) et J = (1, 1, 1; 1, 1, 1; 1, 1, 1)
Q8. Démontrer, en détaillant les calculs, que A ∈ S_3^+, si et seulement si, (a + 2b ≥ 0 et a ≥ b).
Q9. Calculer J^k pour tout entier k non nul. Cette relation est-elle valable pour k = 0 ?
En utilisant la relation A = (a − b)I_3 + bJ, calculer et expliciter e^A.
On pourra utiliser sans démonstration que, si deux matrices A et B de M_n(ℝ) commutent, alors e^(A + B) = e^A e^B.
Vérifier que e^A ∈ S_3^+.
Q10. Soit P une matrice inversible de M_n(ℝ).
Justifier que l'application M ↦ PMP^(− 1) est continue sur M_n(ℝ).
Si A ∈ S_n^+est semblable à une matrice diagonale D, déterminer une matrice diagonale semblable à la matrice e^A.
En déduire que e^A ∈ S_n^+.

Partie II - Produit de Hadamard de deux matrices

Dans cette partie, pour une matrice A = (a_(i, j)) de M_n(ℝ), on note E(A) la matrice de M_n(ℝ), de terme général e^(a_(i, j)) : E(A) = (e^(a_(i, j))).
Nous allons démontrer que si A ∈ S_n^+, alors E(A) ∈ S_n^+.
On définit le produit de Hadamard de deux matrices A = (a_(i, j)) et B = (b_(i, j)) de M_n(ℝ) noté * par :
A∗B = (a_(i, j)b_(i, j)) ∈ M_n(ℝ).
On note le produit usuel de deux matrices A et B par AB.
On confond une matrice de M_(1, 1)(ℝ) avec son terme réel.
Q11. Vérifier que, lorsque la matrice A = (a, b, b; b, a, b; b, b, a) ∈ S_3^+, la matrice E(A) ∈ S_3^+.
Q12. Si D est une matrice diagonale dont tous les termes sont positifs ou nuls et si Y est matrice de M_(n, 1)(ℝ), quel est le signe de ^t YDY ?
En déduire qu'une matrice A de S_n appartient à S_n^+si, et seulement si, pour toute matrice X ∈ M_(n, 1)(ℝ) on a ^t XAX ≥ 0.
Q13. Si A et B sont deux matrices de S_n^+et α, β deux réels positifs, démontrer, en utilisant la question Q12, que αA + βB est une matrice de S_n^+.
Si A et B sont deux matrices de S_n^+a-t-on nécessairement AB ∈ S_n^+?
Q14. Si A ∈ S_n^+, démontrer qu'il existe une matrice R ∈ S_n^+telle que A = R^2.
Q15. Si A et B sont deux matrices de S_n^+, si on pose A = U^2 et B = V^2 avec U = (u_(i, j)) ∈ S_n^+, V = (v_(i, j)) ∈ S_n^+et si A∗B = (c_(i, j)), vérifier que, pour tout couple (i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, c_(i, j) = (∑_(k = 1)^n u_(k, i)u_(k, j))(∑_(l = 1)^n v_(l, i)v_(l, j)).
En déduire que, si A et B sont deux matrices de S_n^+, on a A∗B ∈ S_n^+.
Q16. Pour toute matrice A de M_n(ℝ) et pour tout entier naturel p ≥ 2, on note A^(∗p) la matrice A∗A∗…∗A ( p fois).
On note A^(∗0) = (1) la matrice dont tous les termes sont égaux à 1 et A^(∗1) = A.
Soit une matrice A de M_n(ℝ), déterminer la limite de la suite de matrices ( T_N ) définie pour tout entier naturel N non nul par T_N = ∑_(p = 0)^N 1/(p!)A^(∗p).
Q17. Pour X ∈ M_(n, 1)(ℝ), justifier que l'application M ↦ ^t XMX est continue sur M_n(ℝ), puis démontrer que S_n^+est une partie fermée de S_n.
En déduire que si A ∈ S_n^+alors E(A) ∈ S_n^+.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de Mathématiques 2 CCINP MP 2022 ?
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Sur quoi porte le sujet de Mathématiques 2 CCINP MP 2022 ?

Le sujet porte sur le déterminant de Vandermonde, l'exponentielle d'une matrice, puis l'exponentielle d'une matrice symétrique positive et le produit de Hadamard.

Ce sujet de Mathématiques 2 CCINP MP 2022 est-il difficile ?

Le rapport le qualifie d'accessible, avec une moyenne de 10,12/20, mais certaines questions n'accordent des points que pour une réponse parfaitement rigoureuse.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet CCINP Maths 2 MP 2022 ?

Le jury relève une méconnaissance des critères de continuité d'une série de fonctions, l'oubli de préciser qu'un vecteur propre doit être non nul, et des confusions sur la convergence de séries de matrices.

Faut-il bien connaître la réduction des matrices symétriques pour ce sujet CCINP Maths 2 MP 2022 ?

Oui, le problème repose largement sur la réduction des matrices symétriques positives, notamment pour définir leur exponentielle et le produit de Hadamard associé.

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