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Centrale Mathématiques 1 MP 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Algèbre symplectique : formes, matrices symplectiques et plongements symplectiques linéaires
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Le sujet introduit l'algèbre symplectique réelle. Après deux questions préliminaires, il définit les formes, l'orthogonalité et les endomorphismes symplectiques, montre qu'un espace symplectique est de dimension paire, puis prouve par deux méthodes (décomposition polaire, transvections symplectiques) qu'une matrice symplectique a pour déterminant 1. La dernière partie aborde le plongement d'une boule dans un cylindre par un endomorphisme symplectique.

  1. 1Partie I : préliminairesdeuxième annéeDeux questions classiques sur les matrices, dont l'existence d'une racine carrée symétrique à valeurs propres strictement positives de MᵀM.
  2. 2Partie II : objets symplectiquespremière et deuxième annéesFormes symplectiques, ω-orthogonal, parité de la dimension, forme standard sur ℝⁿ et caractérisations matricielles des endomorphismes symplectiques.
  3. 3Partie III : déterminant d'une matrice symplectique réelledeuxième annéeOn montre que toute matrice symplectique est de déterminant 1, d'abord par la décomposition polaire et le commutant de J, puis par la génération du groupe symplectique par les transvections symplectiques.
  4. 4Partie IV : plongements symplectiques linéairesdeuxième annéeOn compare l'injection d'une boule dans un cylindre ou dans une autre boule par un endomorphisme de déterminant 1 et par un endomorphisme symplectique, jusqu'au théorème de non-tassement linéaire.

Difficulté moyenne. Le jury qualifie le sujet de long, avec quelques questions délicates mais assez peu de très difficiles, et estime que des réponses correctes aux 25 premières questions font déjà une très bonne copie.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,94 / 20 · écart-type 4,14 · 4 792 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,94/ 20
Écart-type
4,14
Présents
4 792
Coefficient
17
Durée
4 h
1er quartile
6
Médiane
8,6
3e quartile
12
moyenne 8,9405101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 3 mai 2022. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Confusion sur la nature des objets · Affirmations sans justification ni contre-exemple · Arguments incomplets pour un isomorphisme
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La partie préliminaire, la partie II et la première moitié de la partie III ont été abordées dans la plupart des copies, tandis que les questions à partir de Q30 ne l'ont été sérieusement que par les meilleurs. Le sujet a bien classé les candidats, les questions abordables valorisant la maîtrise du cours. Un malus a été appliqué aux copies mal écrites ou mal numérotées.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion sur la nature des objetsQ1

    Dès Q1, certaines copies parlent d'inverse ou de déterminant d'une matrice colonne. Le jury demande de distinguer matrices carrées, colonnes, endomorphismes, vecteurs et scalaires.

  2. 2
    Affirmations sans justification ni contre-exempleQ5

    En Q5, un contre-exemple précis était attendu. Répondre oui était incohérent avec la suite du sujet, qui cherche une condition pour que la somme soit directe.

    « Dans cette question, comme dans d’autres, une affirmation sans justification n’est pas valorisée. Le jury attendait ici un contre-exemple précis. »
  3. 3
    Arguments incomplets pour un isomorphismeQ6

    Il fallait établir dans l'ordre la linéarité, l'injectivité et l'égalité des dimensions. Dire seulement que l'on est en dimension finie ne suffit pas.

  4. 4
    Supplémentaire confondu avec complémentaireQ7

    Prolonger une forme linéaire par 0 sur le complémentaire ensembliste de F révèle une incompréhension de l'algèbre linéaire.

  5. 5
    Structure de la preuve mal choisieQ16, Q17, Q18

    Une équivalence ne se prouve pas comme une seule implication, et une égalité d'ensembles demande deux inclusions. En Q16, l'inclusion dans GLₙ(ℝ) est souvent oubliée.

    « Dans cette question, comme dans certaines autres, rappelons qu’une équivalence ne se démontre pas comme une seule implication. »
  6. 6
    Résultats hors programme utilisés sans preuveQ21

    La compacité de Oₙ(ℝ) n'est pas au programme et devait être démontrée. Un déterminant égal à 1 ou -1 ne caractérise pas une matrice orthogonale.

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions préliminaires ont été correctement traitées dans une majorité de copies.
  • En Q13, le développement de ⟨x, j(y)⟩ en coordonnées a souvent permis de conclure.
  • En Q29, la plupart des candidats ont respecté l'objectif de la partie III sans s'appuyer sur Q26, ce que le jury salue.
  • Quelques candidats ont traité le sujet presque intégralement.

Conseils du jury

  • Prendre le temps de donner tous les arguments, par exemple justifier que F^ω est non vide en Q4 ou que J est inversible avant de l'utiliser.
  • Être concis et précis sans abuser des abréviations.
  • Identifier clairement le type de raisonnement : équivalence, double implication, double inclusion.
  • Prendre du recul et vérifier la cohérence de ses réponses avec les résultats précédents du sujet.
  • Ne pas mobiliser de notions hors programme (espace dual, endomorphisme antisymétrique, matrice symétrique définie positive) sans explication, mais ne pas redémontrer les résultats du cours.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

Exemples de contraintes symplectiques linéaires

Notations

  • Dans tout le problème, n et m désignent des entiers naturels non nuls.
  • On note M_n(ℝ) l'ensemble des matrices carrées de taille n × n à coefficients réels et I_n la matrice identité dans M_n(ℝ).
  • Pour tous entiers naturels non nuls p et q, on note M_(p, q)(ℝ) l'ensemble des matrices à p lignes et q colonnes à coefficients réels. Ainsi, M_(n, 1)(ℝ) est l'ensemble des matrices colonnes à n lignes et M_(n, n)(ℝ) = M_n(ℝ).
  • On note S_n(ℝ) l'ensemble des matrices réelles symétriques de M_n(ℝ).
  • On note GL_n(ℝ) le groupe linéaire réel d'ordre n (matrices carrées inversibles dans M_n(ℝ) ) et SL_n(ℝ) le sous-groupe des matrices de déterminant égal à 1 :
SL_n(ℝ) = {A ∈ M_n(ℝ)|det(A) = 1}.
  • On note A^⊤ la transposée d'une matrice A.
  • Le produit scalaire canonique de ℝ^n et la norme euclidienne associée sont notés respectivement ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ et ‖ ⋅ ‖.
  • Le groupe orthogonal réel d'ordre n est noté O_n(ℝ) :
O_n(ℝ) = {A ∈ M_n(ℝ)|A^⊤A = I_n}.
  • Si E est un ℝ-espace vectoriel, on note L(E) l'ensemble des endomorphismes de E et L(E, ℝ) l'ensemble des applications linéaires de E dans ℝ.

Objectif

Ce problème a pour objectif de définir la notion d'espace symplectique réel et d'étudier certaines propriétés des endomorphismes symplectiques de ℝ^n.
La première partie établit quelques résultats utiles dans la suite.
La deuxième partie définit toutes les notions relatives aux objets symplectiques utilisés dans la suite du problème.
La troisième partie vise plus spécifiquement à montrer que toute matrice symplectique réelle a un déterminant égal à 1 .
La quatrième partie aborde la définition des contraintes permettant d'injecter un objet dans un autre au moyen d'un endomorphisme symplectique.
Les deux dernières parties sont largement indépendantes.

I Préliminaires

Q 1. Soient A et B deux matrices de M_n(ℝ) telles que
∀(X, Y) ∈ (M_(n, 1)(ℝ))^2, X^⊤AY = X^⊤BY.
Montrer que A = B.
Q 2. Soit M ∈ GL_n(ℝ). Montrer que les valeurs propres de M^⊤M sont toutes strictement positives.
En déduire qu'il existe une matrice S symétrique à valeurs propres strictement positives telle que S^2 = M^⊤M.

II Objets symplectiques

II.A - Structure d'espace vectoriel symplectique réel

Soit E un ℝ-espace vectoriel de dimension finie n.
On appelle forme symplectique sur E toute application ω de E^2 dans ℝ qui vérifie les trois propriétés suivantes:
  • bilinéarité : ∀(x, y, z) ∈ E^3, ∀λ ∈ ℝ, ω(x + λy, z) = ω(x, z) + λω(y, z) et ω(x, y + λz) = ω(x, y) + λω(x, z);
  • antisymétrie: ∀(x, y) ∈ E^2, ω(x, y) = − ω(y, x);
  • non dégénérescence : {x ∈ E|∀y ∈ E, ω(x, y) = 0} = {0_E}.
Un espace vectoriel symplectique réel ( E, ω ) est un ℝ-espace vectoriel de dimension finie E muni d'une forme symplectique ω sur E.
Q 3. Montrer que, si ω est une forme symplectique sur E, alors pour tout vecteur x de E, ω(x, x) = 0.
Pour tout sous-espace vectoriel F d'un espace symplectique ( E, ω ), on appelle ω-orthogonal de F et on note F^ω l'ensemble
F^ω = {x ∈ E|∀y ∈ F, ω(x, y) = 0}.
Soit F un sous-espace vectoriel d'un espace symplectique ( E, ω ).
Q 4. Justifier que F^ω est un sous-espace vectoriel de E.
Q 5. Le sous-espace F^ω est-il nécessairement en somme directe avec F ?
Pour tout x ∈ E, on note ω(x, ⋅) l'application linéaire de E dans ℝ, y ↦ ω(x, y) et on considère
d_ω : | E, →, L(E, ℝ); x, ↦, ω(x, ⋅)
Q 6. Montrer que d_ω est un isomorphisme.
Pour ℓ ∈ L(E, ℝ), on note ℓ|_F la restriction de ℓ à F.
Q 7. Montrer que l'application de restriction r_F : | L(E, ℝ), →, L(F, ℝ); ℓ, ↦, ℓ|_F est surjective.
Q 8. Préciser le noyau de r_F ∘ d_ω. En déduire que dimF^ω = dimE − dimF.
Q 9. Montrer que la restriction ω_F de ω à F^2 définit une forme symplectique sur F si et seulement si F ⊕ F^ω = E.

II.B - Structure symplectique standard sur ℝ^n

On suppose qu'il existe une forme symplectique ω sur ℝ^n et on note Ω ∈ M_n(ℝ) la matrice définie par
Ω = (ω(e_i, e_j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)
où (e_1, …, e_n) désigne la base canonique de ℝ^n.
Q 10. Montrer que
∀(x, y) ∈ ℝ^n × ℝ^n, ω(x, y) = X^⊤ΩY
où X et Y désignent les colonnes des coordonnées de x et y dans la base canonique de ℝ^n.
Q 11. En déduire que Ω est antisymétrique et inversible.
Q 12. Conclure que l'entier n est pair.
Jusqu'à la fin du problème, on suppose que n est pair et on note m ∈ ℕ^∗ l'entier naturel tel que n = 2m. On note J ∈ M_n(ℝ)(= M_(2m)(ℝ)) la matrice définie par blocs par
J = (0, − I_m; I_m, 0)
et on note j l'endomorphisme de ℝ^n canoniquement associé à J.
Q 13. Montrer que l'application b_s : | ℝ^n × ℝ^n, →, ℝ; (x, y), ↦, ⟨x, j(y)⟩ est une forme symplectique sur ℝ^n.
Il existe donc des formes symplectiques en dimension paire, et seulement en dimension paire.
La forme symplectique b_s est appelée la forme symplectique standard sur ℝ^n.

II.C - Endomorphismes et matrices symplectiques réels

On appelle endomorphisme symplectique d'un espace vectoriel symplectique réel ( E, ω ) tout endomorphisme u ∈ L(E) tel que
∀(x, y) ∈ E^2, ω(u(x), u(y)) = ω(x, y)
On note Symp_ω(E) l'ensemble des endomorphismes symplectiques de l'espace symplectique ( E, ω ).
Soit u ∈ Symp_ω(E) un endomorphisme symplectique de E.
Soient λ, μ des valeurs propres réelles de u, et soient E_λ(u), E_μ(u) les sous-espaces propres associés.
Q 14. Montrer que, si λμ ≠ 1, alors les sous-espaces E_λ(u) et E_μ(u) sont ω-orthogonaux, c'est-à-dire:
∀x ∈ E_λ(u), ∀y ∈ E_μ(u), ω(x, y) = 0
Soit u ∈ L(ℝ^n) un endomorphisme de ℝ^n. On note M la matrice de u dans la base canonique de ℝ^n.
Q 15. Montrer que u est un endomorphisme symplectique de l'espace symplectique standard ( ℝ^n, b_s ) si et seulement si M^⊤JM = J.
Une matrice M ∈ M_n(ℝ) est dite symplectique si M^⊤JM = J.
On note Sp_n(ℝ) l'ensemble des matrices symplectiques réelles dans M_n(ℝ) = M_(2m)(ℝ) :
Sp_n(ℝ) = Sp_(2m)(ℝ) = {M ∈ M_n(ℝ)|M^⊤JM = J}
Q 16. Montrer que Sp_n(ℝ) est un sous-groupe de GL_n(ℝ), stable par transposition et contenant la matrice J. Ce groupe est appelé groupe symplectique réel d'ordre n = 2m.
Soient A, B, C, D dans M_m(ℝ) et soit M = (A, B; C, D) ∈ M_(2m)(ℝ) (décomposition par blocs).
Q 17. Montrer que M ∈ Sp_(2m)(ℝ) si et seulement si
A^⊤C et B^⊤D sont symétriques et A^⊤D − C^⊤B = I_m.

III Déterminant d'une matrice symplectique réelle

L'objectif de cette partie est de montrer l'inclusion Sp_n(ℝ) ⊂ SL_n(ℝ) par deux méthodes différentes qui reposent chacune sur une propriété structurelle du groupe symplectique Sp_n(ℝ) qu'on examine au préalable.

III.A - Le cas de la dimension 2

Q 18. Montrer que Sp_2(ℝ) = SL_2(ℝ).

III.B - Commutant de J

On note C_J = {M ∈ M_n(ℝ)|JM = MJ} le commutant de la matrice J, c'est-à-dire l'ensemble des matrices de M_n(ℝ) qui commutent avec J.
Q 19. Montrer que, pour toute matrice M ∈ M_n(ℝ)(= M_(2m)(ℝ)),
M ∈ C_J ⟺ ∃(U, V) ∈ M_m(ℝ) × M_m(ℝ), M = (U, − V; V, U).
Q 20. En déduire que, pour toute matrice M ∈ C_J, det(M) ⩾ 0.
On pourra considérer le produit de matrices par blocs (I_m, 0; iI_m, I_m)(U, − V; V, U)(I_m, 0; − iI_m, I_m).

III.C - Décomposition polaire d'une matrice symplectique réelle

On note OSp_n(ℝ) = Sp_n(ℝ) ∩ O_n(ℝ) l'ensemble des matrices symplectiques et orthogonales réelles de M_n(ℝ). On munit M_n(ℝ) de sa topologie d'espace vectoriel normé de dimension finie.
Q 21. Montrer que OSp_n(ℝ) est un sous-groupe compact du groupe symplectique Sp_n(ℝ).
Q 22. Montrer que OSp_n(ℝ) ⊂ C_J.
Q 23. En déduire que, pour toute matrice M de OSp_n(ℝ), det(M) = 1.
Jusqu'à la fin de la sous-partie III.C, on considère une matrice M ∈ Sp_n(ℝ).
Soit S ∈ S_n(ℝ) une matrice symétrique à valeurs propres strictement positives telle que S^2 = M^⊤M.
Q 24. Montrer que S est symplectique.
On pourra considérer une base de vecteurs propres de l'endomorphisme s de ℝ^n canoniquement associé à S, et montrer que s est un endomorphisme symplectique de l'espace standard ( ℝ^n, b_s ).
Q 25. Justifier que S est inversible puis montrer que la matrice O définie par O = MS^(− 1) appartient au groupe OSp_n(ℝ).
Q 26. Conclure que le déterminant de la matrice M est égal à 1 .

III.D - Génération du groupe symplectique par les transvections symplectiques

Soit ( E, ω ) un espace vectoriel symplectique de dimension n = 2m.
On appelle transvection de E tout endomorphisme τ de E tel qu'il existe ℓ ∈ L(E, ℝ) et a ∈ ker(ℓ) vérifiant
∀x ∈ E, τ(x) = x + ℓ(x)a

III.D.1) Transvection symplectique

Q 27. Soit a ∈ E un vecteur non nul et λ ∈ ℝ un réel. Montrer que l'application τ_a^λ définie par
∀x ∈ E, τ_a^λ(x) = x + λω(a, x)a
est une transvection de E et qu'il s'agit d'un endomorphisme symplectique de ce même espace.
Les applications τ_a^λ pour a ∈ E∖{0_E} et λ ∈ ℝ sont appelées transvections symplectiques de E.
Q 28. Soit a ∈ E un vecteur non nul et soient λ et μ des réels. Montrer que τ_a^μ ∘ τ_a^λ = τ_a^(λ + μ).
Q 29. Soient a ∈ E un vecteur non nul et λ un réel. Montrer que det(τ_a^λ) > 0.
Q 30. La réciproque (τ_a^λ)^(− 1) est-elle encore une transvection symplectique ?
On se propose de montrer le théorème suivant :
Tout endomorphisme symplectique de E peut s'écrire comme la composée d'au plus 2n = 4m transvections symplectiques de E :
si u ∈ Symp_ω(E), il existe un entier p ⩽ 4m et τ_1, τ_2, …, τ_p des transvections symplectiques de E telles que u = τ_p ∘ ⋯ ∘ τ_2 ∘ τ_1.

III.D.2) Un lemme

On commence par montrer le lemme suivant :
Pour tous vecteurs non nuls x et y de E, il existe une composée γ d'au plus deux transvections symplectiques de E telle que γ(x) = y.
On fixe x et y, non nuls, dans E.
Q 31. Supposons que ω(x, y) ≠ 0. Montrer qu'il existe λ ∈ ℝ tel que τ_(y − x)^λ(x) = y.
Q 32. Supposons que ω(x, y) = 0. Montrer qu'il existe un vecteur z ∈ E tel que ω(x, z) ≠ 0 et ω(y, z) ≠ 0.
Q 33. Montrer le lemme cité ci-dessus.

III.D.3) Le théorème

Soit u ∈ Symp_ω(E) un endomorphisme symplectique de E.
Soit e_1 ∈ E un vecteur non nul.
Q 34. Justifier l'existence de f_1 ∈ E, non colinéaire à e_1, tel que ω(e_1, f_1) = 1.
On pose P = Vect(e_1, f_1) le plan vectoriel engendré par les vecteurs e_1 et f_1. On va montrer l'existence d'une composée δ d'au plus quatre transvections symplectiques de E telle que
{δ(u(e_1)) = e_1; δ(u(f_1)) = f_1
Q 35. Pourquoi existe-t-il une composée δ_1 d'au plus deux transvections symplectiques de E telle que δ_1(u(e_1)) = e_1 ?
Q 36. Notons f~_1 le vecteur δ_1(u(f_1)). Montrer qu'il existe une composée δ_2 d'au plus deux transvections symplectiques de E telle que
{δ_2(e_1) = e_1; δ_2(f~_1) = f_1
On pourra adapter la démonstration du lemme précédent.
La composée δ = δ_2 ∘ δ_1 d'au plus quatre transvections symplectiques vérifie bien les conditions (III.1) souhaitées.
On pose v = δ ∘ u.
Q 37. Montrer que P est stable par v et déterminer v_P, endomorphisme induit par v sur P.
Q 38. Montrer que P^ω est stable par v.
Q 39. Montrer que la restriction ω_(Pω) de ω à P^ω × P^ω munit P^ω d'une structure d'espace symplectique et que l'endomorphisme v_(Pω) induit par v sur P^ω est un endomorphisme symplectique.
Q 40. À l'aide de ce qui précède, montrer le théorème annoncé.

III.D.4) Une conséquence topologique

On munit toujours l'espace M_n(ℝ) de sa topologie d'espace vectoriel normé.
Q 41. Montrer que le groupe symplectique Sp_n(ℝ) est une partie connexe par arcs de cet espace.

III.D.5) Deuxième conséquence

Q 42. Utiliser les résultats de cette sous-partie III.D pour prouver l'inclusion Sp_n(ℝ) ⊂ SL_n(ℝ).

IV Exemples de problèmes de plongements symplectiques linéaires

Dans cette partie, on fixe n = 2m ⩾ 4.
On rappelle que Symp_(b_s)(ℝ^(2m)) désigne le groupe des endomorphismes symplectiques de l'espace symplectique standard (ℝ^(2m), b_s). On note de plus SL(ℝ^(2m)) le groupe des endomorphismes de ℝ^(2m) de déterminant égal à 1 . Pour r ⩾ 0, on considère les parties suivantes de ℝ^(2m).
  • La boule euclidienne fermée de rayon r :
B^(2m)(r) = {(x_1, …, x_m, y_1, …, y_m) ∈ ℝ^(2m), x_1^2 + ⋯ + x_m^2 + y_1^2 + ⋯ + y_m^2 ⩽ r^2}
  • Le cylindre symplectique de rayon r basé sur les axes de coordonnées numéro 1 et m + 1 :
Z^(2m)(r) = {(x_1, …, x_m, y_1, …, y_m) ∈ ℝ^(2m), x_1^2 + y_1^2 ⩽ r^2}
Sur des exemples (boules ou cylindres) de parties A et B de ℝ^(2m), on étudie l'existence d'un endomorphisme u tel que u(A) ⊂ B lorsque u ∈ SL(ℝ^(2m)), puis lorsque u ∈ Symp_(b_s)(ℝ^(2m)).

IV.A - Injection par u ∈ SL(ℝ^(2m)) d'une boule dans un cylindre

Q 43. Montrer que, pour tout r > 0, il existe u ∈ SL(ℝ^(2m)) tel que u(B^(2m)(1)) ⊂ Z^(2m)(r).

IV.B - Injection par u ∈ SL(ℝ^(2m)) d'une boule dans une autre

Soit r > 0 tel qu'il existe u ∈ SL(ℝ^(2m)) vérifiant u(B^(2m)(1)) ⊂ B^(2m)(r).
Notons U ∈ M_(2m)(ℝ) la matrice de u dans la base canonique de ℝ^(2m).
Soit λ ∈ ℂ une valeur propre complexe de la matrice U.
Q 44. Montrer que |λ| ⩽ r.
Pour le cas λ non réel, si P et Q dans M_(2m, 1)(ℝ) sont telles que Z = P + iQ est une colonne propre de U pour la valeur propre λ, on pourra montrer que ‖UP‖^2 + ‖UQ‖^2 = |λ|^2(‖P‖^2 + ‖Q‖^2).
Q 45. En déduire que 1 ⩽ r.
Q 46. À quelle condition nécessaire et suffisante sur r > 0 existe-t-il u appartenant à SL(ℝ^(2m)) tel que u(B^(2m)(1)) ⊂ B^(2m)(r) ?

IV.C - Injection symplectique d'une boule dans un cylindre

Soit r > 0 tel qu'il existe un endomorphisme symplectique ψ ∈ Symp_(b_s)(ℝ^(2m)) vérifiant ψ(B^(2m)(1)) ⊂ Z^(2m)(r).
On note M ∈ Sp_(2m)(ℝ) la matrice de ψ dans la base canonique ( e_1, …, e_m, f_1, …, f_m ) de ℝ^(2m) et ψ^⊤ l'endomorphisme canoniquement associé à M^⊤.
Q 47. Montrer que |b_s(ψ^⊤(e_1), ψ^⊤(f_1))| = 1 puis que ‖ψ^⊤(e_1)‖ ⩾ 1 ou ‖ψ^⊤(f_1)‖ ⩾ 1.
Q 48. Montrer que 1 ⩽ r.
Q 49. Montrer le théorème de non-tassement linéaire :
Pour R > 0 et R^′ > 0, il existe ψ ∈ Symp_(b_s)(ℝ^(2m)) tel que ψ(B^(2m)(R)) ⊂ Z^(2m)(R^′) si et seulement si R ⩽ R^′.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de maths 1 Centrale MP 2022 ?
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Sur quoi porte le sujet de maths 1 Centrale MP 2022 ?

Il porte sur l'algèbre symplectique : formes symplectiques, matrices symplectiques, déterminant d'une matrice symplectique et plongements symplectiques linéaires. Il mobilise l'algèbre linéaire, le calcul matriciel par blocs, les espaces euclidiens et un peu de topologie.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en maths 1 Centrale MP 2022 ?

Le jury cite des confusions sur la nature des objets (matrice colonne traitée comme une matrice carrée), des affirmations sans contre-exemple, des équivalences prouvées comme de simples implications et l'usage sans preuve de résultats hors programme comme la compacité de Oₙ(ℝ).

Combien de questions faut-il traiter pour réussir Centrale maths 1 MP 2022 ?

Selon le jury, des réponses correctes aux 25 premières questions constituent déjà une très bonne copie. Les questions à partir de Q30 n'ont été sérieusement abordées que par les meilleurs candidats.

Le sujet Centrale maths 1 MP 2022 est-il difficile ?

Le jury le décrit comme long, avec quelques questions délicates mais assez peu de très difficiles. Q24 est signalée comme délicate.

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