Centrale Mathématiques 1 MP 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

5,0(1 vote)

Explorer les annales

BanqueCentrale Année2021 FilièreMP MatièreMathématiques

Annales Centrale MP Mathématiques Centrale MP 2021 MP Mathématiques Mathématiques 2021

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Corrigé 2

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Présentation du sujet

Difficile

Loi du demi-cercle de Wigner pour les valeurs propres de grandes matrices symétriques aléatoires

Le sujet démontre la loi du demi-cercle, qui décrit la répartition des valeurs propres de matrices symétriques aléatoires de grande taille. Il enchaîne une inégalité d'algèbre bilinéaire (Hoffman-Wielandt), un dénombrement par série entière génératrice, puis deux parties de probabilités et d'analyse qui établissent la loi dans le cas borné puis dans le cas général.

1Partie I : inégalité de Hoffman-Wielandtdeuxième annéeContrôle des écarts entre valeurs propres de deux matrices symétriques par la norme de Frobenius de leur différence, via le théorème spectral et le théorème des bornes atteintes.
2Partie II : dénombrement des mots bien parenthésésdeuxième annéeComptage des mots bien parenthésés de longueur 2n à l'aide de leur fonction génératrice, partie classique sans très grosse difficulté.
3Partie III : loi du demi-cercle, cas uniformément bornédeuxième annéeQuelques calculs d'intégrales, puis lien entre mots bien parenthésés et cycles de longueur k, avec des questions délicates de probabilités et de dénombrement.
4Partie IV : loi du demi-cercle, cas généraldeuxième annéeExtension à toute fonction continue bornée par troncature de variables aléatoires et approximation de fonctions continues.

Difficile. Le jury qualifie le sujet de très long, avec une fin comportant des questions très difficiles, et estime que les 25 premières questions suffisent à faire une très bonne copie.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,98 / 20 · écart-type 4,23 · 5 035 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 8,98/ 20
Écart-type: 4,23
Présents: 5 035
Coefficient: 17
Durée: 4 h
1er quartile: 6
Médiane: 8,8
3e quartile: 12

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 20 avril 2021. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Existence d'un minimum mal justifiée · Critère de d'Alembert mal utilisé · Fonction génératrice non exploitée

Les parties I et II ainsi que la sous-partie III.A ont été abordées par presque tous les candidats, la fin de la partie III et la partie IV seulement par les meilleures copies. Le jury privilégie des réponses complètes, précises et honnêtes, même partielles, à une course aux points en fin de sujet. Un malus a sanctionné les copies très mal présentées.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Existence d'un minimum mal justifiéeQ4, Q7
Montrer qu'une fonction est minorée ne suffit pas à prouver qu'elle atteint un minimum ; il faut invoquer le théorème des bornes atteintes avec ses hypothèses. En Q7, certains supposent sans le dire que le minimum est unique ou l'inégalité stricte.
2
Critère de d'Alembert mal utiliséQ10
Les récurrences proposées reposent sur des inégalités non justifiées entre termes consécutifs. Majorer chaque terme ne permet pas de majorer le rapport de deux termes.
« la règle de d’Alembert n’est pas une condition nécessaire et suffisante de convergence »
3
Fonction génératrice non exploitéeQ13, Q15
Peu de candidats ont résolu l'équation du second degré satisfaite par la série génératrice, et les manipulations de coefficients du développement de (1+x)^a ont rarement été satisfaisantes.
« Les réponses sont globalement décevantes »
4
Techniques de base du calcul intégralPartie III
Les premières questions de la partie III ont révélé des bornes non modifiées lors d'un changement de variable et des primitives ou dérivées fausses.
« pas de modification des bornes lors d’un changement de variable, primitives ou dérivées fausses pour l’intégration par parties »
5
Paraphraser l'énoncé au lieu de démontrerQ36
Environ 500 candidats ont abordé Q36, une dizaine seulement l'ont réussie.
« une paraphrase de l’énoncé ne constituant pas une preuve »
6
Stone-Weierstrass hors de son cadrePartie IV
La fin du sujet exige de bien manier la troncature de variables aléatoires et l'approximation des fonctions continues.
« le théorème de Stone-Weierstrass n’est valable que sur un segment »

Ce qui a été bien réussi

Le début de la partie I, très largement abordé, a été convenablement réussi, et les calculs détaillés de Q3 ont été appréciés.
Environ les trois quarts des candidats pensent au théorème des bornes atteintes en Q4 et en vérifient les hypothèses.
Le produit de Cauchy semble bien maîtrisé (Q12).
Le jury a valorisé les candidats signalant honnêtement qu'ils n'aboutissent pas au résultat attendu (Q16).

Conseils du jury

Soigner le début du problème plutôt que grappiller des points en fin de sujet.
Citer précisément les résultats du cours et les numéros des questions utilisées, surtout quand le résultat est donné par l'énoncé.
Vérifier la cohérence des réponses avec la suite : la réponse à Q17 figure dans Q20.
Utiliser directement les résultats du cours comme tr(AB) = tr(BA) sans les redémontrer.
Annoncer clairement une réponse partielle plutôt que présenter comme complète une preuve incomplète.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

La loi du demi-cercle

Notations

Pour tous entiers naturels $p$ et $q$ tels que $p ⩽ q$ on note $[ [p, q] ]$ l'ensemble ${i \in ℕ|p ⩽ i ⩽ q}$ .
Pour tout entier naturel $n$ tel que $n ⩾ 1$ , on note $M_n(ℝ)$ l'ensemble des matrices à $n$ lignes et $n$ colonnes à coefficients réels, $S_n(ℝ)$ l'ensemble des matrices symétriques et à coefficients réels de taille $n$ et $O_n(ℝ)$ l'ensemble des matrices réelles orthogonales de taille $n$ .
Pour toute matrice symétrique réelle $M \in S_n(ℝ)$ on note $λ_1(M) ⩾ λ_2(M) ⩾ \dots ⩾ λ_n(M)$ ses valeurs propres rangées dans l'ordre décroissant.
On note $M^⊤$ la transposée d'une matrice $M$ .
Pour tout $(i, j) \in [ [1, n] ]^2$ , on note $E_(ij)$ la matrice de la base canonique de $M_n(ℝ)$ dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé sur la $i$ -ème ligne et la $j$ -ième colonne qui vaut 1 .
Pour toute matrice $M \in M_n(ℝ)$ , on note $‖M‖_F = \sqrt(tr(MM^⊤))$ sa norme euclidienne canonique.
Dans tout le problème, on note ( $Ω, A, ℙ$ ) un espace probabilisé. Toutes les variables aléatoires considérées sont définies sur $Ω$ .
Étant donnée une variable aléatoire discrète $X$ à valeurs réelles admettant une espérance, on note $𝔼(X)$ son espérance. Si $X$ admet une variance, on note $𝕍(X)$ sa variance.

Problématique

En essayant d'expliquer la répartition des niveaux d'énergie des noyaux des atomes lourds, Eugene Wigner a été amené, dans les années 1950, à étudier le spectre de matrices symétriques réelles aléatoires de grande taille. La figure 1 montre un histogramme qui représente la répartition des valeurs propres d'une matrice symétrique réelle de taille

n = 2500

constituée de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées, d'espérance nulle et de variance égale à 1 .

Figure 1

On voit que les valeurs propres se répartissent suivant un profil en demi-cercle de rayon

2\sqrtn

. En normalisant par un facteur

1/\sqrtn

on obtient le profil d'un demi-cercle de rayon 2 .

Plus précisément, on considère

(X_(ij))_((i, j) \in (ℕ^⋆)^2)

une famille de variables aléatoires discrètes réelles telles que

pour tout $(i, j) \in (ℕ^⋆)^2, X_(ij) = X_(ji)$ ;
les variables aléatoires $X_(ij)$ sont de même loi, d'espérance nulle et de variance 1;
pour $n ⩾ 1$ , les variables aléatoires $X_(ij)$ , pour $1 ⩽ i ⩽ j ⩽ n$ , sont mutuellement indépendantes.

Pour tout

n \in ℕ^⋆

et pour tout

ω \in Ω

, on note

M_n(ω)

la matrice

(X_(ij)(ω))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) \in M_n(ℝ)

.
Pour tout

ω \in Ω

, on note

Λ_(1, n)(ω) ⩾ \dots ⩾ Λ_(n, n)(ω)

les valeurs propres de

1/(\sqrtn)M_n(ω)

.
On définit ainsi, pour

n \in ℕ^⋆

i \in [ [1, n] ]

, des variables aléatoires réelles discrètes

Λ_(i, n)

sur (

Ω, A, ℙ

).
On se propose de montrer le résultat suivant :

Loi du demi-cercle
Pour toute fonction

f : ℝ \to ℝ

, continue et bornée,

𝔼(1/n\sum_(i = 1)^n f(Λ_(i, n))) \to-^(n \to + \infty)1/(2π)\int_(- 2)^2 f(x)\sqrt(4 - x^2) dx.

Dans la partie I, on établit une inégalité portant sur les valeurs propres d'un couple de matrices symétriques. La partie II est consacrée à la résolution d'un problème de dénombrement qui est utilisée dans la partie III où la loi du demi-cercle est démontrée pour des variables aléatoires uniformément bornées. Dans la partie IV, on établit la loi du demi-cercle dans le cas général en utilisant les résultats des parties I et III.

I Inégalité de Hoffman-Wielandt

A -

Soient

A

B

deux matrices de

S_n(ℝ)

Q 1. Montrer que, pour tout

M

dans

M_n(ℝ)

et pour tous

P

Q

dans

O_n(ℝ)

, on a

‖PMQ‖_F = ‖M‖_F

.
Q 2. On note

D_A = diag(λ_1(A), \dots, λ_n(A))

D_B = diag(λ_1(B), \dots, λ_n(B))

. Montrer qu'il existe une matrice orthogonale

P = (p_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)

telle que

‖A - B‖_F^2 = ‖D_A P - PD_B‖_F^2

Q 3. Montrer que

‖A - B‖_F^2 = \sum_(1 ⩽ i, j ⩽ n)p_(i, j)^2(λ_i(A) - λ_j(B))^2.

I.B - On note

B_n(ℝ)

l'ensemble des matrices bistochastiques de

M_n(ℝ)

, c'est-à-dire l'ensemble des matrices

M = (m_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)

dont tous les coefficients sont positifs ou nuls et tels que

\sum_(j = 1)^n m_(i, j) = \sum_(j = 1)^n m_(j, i) = 1

pour tout

i \in [ [1, n] ]

On note

f : | M_n(ℝ), \to, ℝ; M, \mapsto, \sum_(1 ⩽ i, j ⩽ n)m_(i, j)(λ_i(A) - λ_j(B))^2.

Q 4. Justifier que

f

admet un minimum sur

B_n(ℝ)

.
On se propose de montrer que ce minimum est atteint en la matrice identité.
Q 5. Soit

(i, j, k) \in [ [1, n] ]^3

tel que

j ⩾ i

k ⩾ i

. Montrer que, pour

M \in M_n(ℝ)

et pour

x \in ℝ^+

f(M + xE_(ii) + xE_(jk) - xE_(ik) - xE_(ji)) - f(M) = 2x(λ_i(A) - λ_j(A))(λ_k(B) - λ_i(B)) ⩽ 0

Q 6. Soient

n ⩾ 2

M = (m_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) \in B_n(ℝ)

une matrice différente de l'identité. On note

i

le plus petit entier appartenant à

[ [1, n] ]

tel que

m_(i, i) \neq 1

. Montrer qu'il existe une matrice

M^' = (m_(i, j)^')_(1 ⩽ i, j ⩽ n) \in B_n(ℝ)

telle que

f(M^') ⩽ f(M)

m_(j, j)^' = 1

pour tout

j \in [ [1, i] ]

Q 7. En déduire que

min{f(M)|M ∈ B_n(ℝ)} = f(I_n).

I. $C$ -

Q 8. En déduire que

\forall(A, B) \in S_n(ℝ)^2, \sum_(i = 1)^n(λ_i(A) - λ_i(B))^2 ⩽ ‖A - B‖_F^2.

II Dénombrement des mots bien parenthésés

Dans cette partie, on s'intéresse à des chaines de caractères constituées uniquement des deux caractères parenthèse ouvrante et parenthèse fermante. On dit qu'un mot est bien parenthésé s'il commence par une parenthèse ouvrante et qu'à toute parenthèse ouvrante est associée une (unique) parenthèse fermante qui lui est postérieure. Par exemple le mot

( ) ( ( ) )

est bien parenthésé. En revanche, le mot

())()

n'est pas bien parenthésé. Un mot bien parenthésé est ainsi forcément constitué d'un nombre pair de caractères, chaque parenthèse qui s'ouvre doit se refermer.

Pour tout entier

n ⩾ 1

, on note

C_n

le nombre de mots bien parenthésés de longueur

2n

. On pose par commodité

C_0 = 1

II.A -

Q 9. En énumérant les différents mots bien parenthésés de longueur 2, 4 et 6 , montrer que

C_1 = 1, C_2 = 2

et déterminer

C_3

Q 10. Montrer que, pour tout entier naturel

n, C_n ⩽ 2^(2n)

. Que peut-on en déduire pour le rayon de convergence de la série entière

\sumC_k x^k

Q 11. Montrer par un raisonnement combinatoire que, pour tout entier

k ⩾ 1

C_k = \sum_(i = 0)^(k - 1)C_i C_(k - i - 1).

On peut remarquer qu'un mot bien parenthésé est forcément de la forme

(m)m^'

avec

m

m^'

deux mots bien parenthésés, éventuellement vides.
II.B - Pour tout

x \in ] - 1/4, 1/4[

, on pose

F(x) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)C_k x^k

Q 12. Montrer que, pour tout

x \in ] - 1/4, 1/4[, F(x) = 1 + x(F(x))^2

.
Q 13. Montrer que la fonction

f : | ], - 1/4, 1/4[\to, ℝ; x, \mapsto; \to, 2xF(x) - 1

ne s'annule pas.
Q 14. Déterminer, pour tout

x \in ] - 1/4, 1/4[

, une expression de

F(x)

en fonction de

x

.
Q 15. Déterminer le développement en série entière de la fonction

u \mapsto \sqrt(1 - u)

. On écrira les coefficients sous la forme d'un quotient de factorielles et de puissances de 2 .

Q 16. Montrer que, pour tout entier naturel

n

C_n = ((2n)!)/((n + 1)!n!).

III Loi du demi-cercle, cas uniformément borné

On suppose, uniquement dans cette partie, que les variables aléatoires

X_(ij)

sont uniformément bornées :

\existsK \in ℝ \forall(i, j) \in (ℕ^⋆)^2 |X_(ij)| ⩽ K.

III.A - Pour tout entier naturel

k

on pose

m_k = 1/(2π)\int_(- 2)^2 x^k\sqrt(4 - x^2) dx.

Q 17. Pour

k \in ℕ

, que vaut

m_(2k + 1)

?
Q 18. En utilisant le changement de variable

x = 2sint

, calculer

m_0

.
Q 19. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que, pour tout entier naturel

k

m_(2k + 2) = (2(2k + 1))/(k + 2)m_(2k).

Q 20. En déduire que

m_k = {C_(k/2), si k est pair,; 0, si k est impair.

III. B - Soit

k

un entier naturel. On se propose de montrer que

lim_(n \to + \infty)𝔼(1/n\sum_(i = 1)^n Λ_(i, n)^k) = m_k,

où

Λ_(i, n)^k = (Λ_(i, n))^k

est la puissance

k

-ième de

Λ_(i, n)

.
Q 21. Justifier que la variable aléatoire

\sum_(i = 1)^n Λ_(i, n)^k

admet une espérance et que

𝔼(1/n\sum_(i = 1)^n Λ_(i, n)^k) = 1/(n^(1 + k/2))𝔼(tr(M_n^k)) = 1/(n^(1 + k/2))\sum_((i_1, \dots, i_k) \in [ [1, n] ]^k)𝔼(X_(i_1 i_2)X_(i_2 i_3)\dotsX_(i_(k - 1)i_k)X_(i_k i_1)).

On appelle cycle de longueur

k

à valeurs dans

[ [1, n] ]

, tout

(k + 1)

-uplet

ı⃗ = (i_1, i_2, \dots, i_k, i_1)

d'éléments de

[ [1, n] ]

. Les éléments

i_1, \dots, i_k

sont appelés sommets du cycle

ı⃗

. On dit aussi que le cycle passe par ces sommets. On note

|ı⃗|

le nombre de sommets distincts du cycle

ı⃗

On appelle arêtes du cycle

(i_1, i_2, \dots, i_k, i_1)

les couples non ordonnés (l'ordre des deux éléments de chaque couple n'est pas significatif)

(i_1, i_2), (i_2, i_3), \dots, (i_k, i_1)

Par exemple

ı⃗ = (1, 3, 5, 3, 2, 2, 1)

est un cycle de longueur 6 dans

[ [1, 5] ]

. Les sommets de ce cycle sont les éléments

1, 2, 3

et 5 , donc

|ı⃗| = 4

. Les arêtes distinctes de ce cycle sont

(1, 3), (3, 5), (3, 2), (2, 2)

(2, 1)

. Les arêtes

(3, 5)

(5, 3)

sont les mêmes.

Q 22. Montrer que le nombre de cycles de longueur

k

dans

[ [1, n] ]

passant par

ℓ

sommets distincts est inférieur ou égal à

n^ℓ ℓ^k

Q 23. En déduire que

1/(n^(1 + k/2))\sum_(u⃗ \in [ [1, n] ]^k; |ı⃗| ⩽ (k + 1)/2)|𝔼(X_(i_1 i_2)X_(i_2 i_3)\dotsX_(i_(k - 1)i_k)X_(i_k i_1))|\to-^(n \to + \infty)0.

On classe les cycles de longueur

k

en trois sous-ensembles :

l'ensemble $A_k$ , constitué des cycles où au moins une arête n'apparait qu'une fois ;
l'ensemble $B_k$ , constitué des cycles où toutes les arêtes apparaissent exactement deux fois;
l'ensemble $C_k$ , constitué des cycles où toutes les arêtes apparaissent au moins deux fois et il en existe au moins une qui apparait au moins trois fois.

Q 24. Montrer que, si le cycle

(i_1, i_2, \dots, i_k, i_1)

appartient à

A_k

, alors

𝔼(X_(i_1 i_2)X_(i_2 i_3)\dotsX_(i_(k - 1)i_k)X_(i_k i_1)) = 0

Q 25. Montrer que, pour tout cycle

ı⃗

appartenant à

C_k, |ı⃗| ⩽ (k + 1)/2

.
Q 26. Que peut-on dire de

B_k

k

est impair ? En déduire que

lim_(n \to + \infty)𝔼(1/n\sum_(i = 1)^n Λ_(i, n)^k) = 0

dans ce cas.
On suppose dans la suite que

k

est pair et que

ı⃗ \in B_k

est un cycle passant par

k/2 + 1

sommets distincts. Autrement dit

|ı⃗| = k/2 + 1

On parcourt les arêtes de

ı⃗

dans l'ordre. À chaque arête de

ı⃗

on associe une parenthèse ouvrante si cette arête apparait pour la première fois et une parenthèse fermante si elle apparait pour la deuxième fois. Par exemple, au cycle

(1, 3, 2, 3, 1)

correspond

(())

, au cycle

(1, 2, 1, 3, 1)

correspond ()() .

Q 27. Justifier que l'on obtient ainsi un mot bien parenthésé de longueur

k

.
Q 28. Dénombrer les cycles

ı⃗

qui correspondent à un mot bien parenthésé fixé.
Q 29. Déduire de ce qui précède que

lim_(n \to + \infty)𝔼(1/n\sum_(i = 1)^n Λ_(i, n)^k) = C_(k/2)

III. C -

Q 30. En déduire que, pour tout polynôme

P \in ℝ[X]

lim_(n \to + \infty)𝔼(1/n\sum_(i = 1)^n P(Λ_(i, n))) = 1/(2π)\int_(- 2)^2 P(x)\sqrt(4 - x^2) dx

III.D -

Soit

A > 2

Q 31. Montrer que, pour tout

(p, q) \in ℕ^2

𝔼(\sum_(1 ⩽ i ⩽ n; |Λ_(i, n)| ⩾ A)|Λ_(i, n)|^p) ⩽ 1/(A^(p + 2q))𝔼(\sum_(i = 1)^n|Λ_(i, n)|^(2(p + q)))

Q 32. Montrer que

lim_(n \to + \infty)1/n𝔼(\sum_(1 ⩽ i ⩽ n; |Λ_(i, n)| ⩾ A)|Λ_(i, n)|^p) = 0.

Q 33. Soient

f

une fonction continue et bornée de

ℝ

dans

ℝ

P

un polynôme de degré

p

. Justifier qu'il existe une constante

K

telle que

\forallx \in ℝ∖] - A, A[, |f(x) - P(x)| ⩽ K|x|^p

Q 34. En déduire que

lim_(n \to + \infty)1/n𝔼(\sum_(1 ⩽ i ⩽ n; |Λ_(i, n)| ⩾ A)|f - P|(Λ_(i, n))) = 0

III.E -

Q 35. Soit

f

une fonction continue et bornée de

ℝ

dans

ℝ

. Montrer que

lim_(n \to + \infty)𝔼(1/n\sum_(i = 1)^n f(Λ_(i, n))) = 1/(2π)\int_(- 2)^2 f(x)\sqrt(4 - x^2) dx.

IV Loi du demi-cercle, cas général

On revient au cas général. On note

𝟙 𝟙_A

la variable aléatoire indicatrice d'un événement

A

.
Pour tout

(i, j) \in (ℕ^⋆)^2

et pour tout

C > 0

, on pose

𝟙 σ_(ij)(C) = \sqrt(𝕍(X_(ij)𝟙_(|X_(ij)| ⩽ C))).

σ_(ij)(C) \neq 0

, on pose

𝟙 𝟙 Xˆ_(ij)(C) = 1/(σ_(ij)(C))(X_(ij)𝟙_(|X_(ij)| ⩽ C) - 𝔼(X_(ij)𝟙_(|X_(ij)| ⩽ C))).

IV.A -

Q 36. Soit

X

une variable aléatoire discrète d'espérance finie. Montrer que

𝟙 𝔼(X𝟙_(|X| ⩽ C))\to-^(C \to + \infty)𝔼(X).

Q 37. En déduire que

lim_(C \to + \infty)σ_(ij)(C) = 1.

Q 38. Justifier que, pour

C

assez grand, les variables

Xˆ_(ij)(C)

sont bien définies et qu'elles sont alors bornées, centrées, de variance 1 et qu'elles sont mutuellement indépendantes pour

1 ⩽ i ⩽ j

Q 39. Montrer que

𝟙 𝟙 X_(ij) - Xˆ_(ij)(C) = (1 - 1/(σ_(ij)(C)))X_(ij) + 1/(σ_(ij)(C))(X_(ij)𝟙_(|X_(ij)| > C) - 𝔼(X_(ij)𝟙_(|X_(ij)| > C))).

Q 40. Montrer que

lim_(C \to + \infty)𝔼((X_(ij) - Xˆ_(ij)(C))^2) = 0.

IV.B - Pour tout entier

n

tel que

n ⩾ 1

, on note

Mˆ_n(C) = (Xˆ_(ij)(C))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)

. Pour tout

ω \in Ω

, on note

Λˆ_(1, n)(ω) ⩾ \dots ⩾ Λˆ_(n, n)(ω)

les valeurs propres de

1/(\sqrtn)Mˆ_n(C)(ω)

rangées dans l'ordre décroissant.
On obtient ainsi des variables aléatoires réelles discrètes

Λˆ_(1, n), \dots, Λˆ_(n, n)

sur

(Ω, A, ℙ)

.
Soit

f : ℝ \to ℝ

une fonction

K

-lipschitzienne.
Q 41. Montrer que

|𝔼(1/n\sum_(i = 1)^n f(Λ_(i, n))) - 𝔼(1/n\sum_(i = 1)^n f(Λˆ_(i, n)))| ⩽ K/n𝔼(‖M_n - Mˆ_n(C)‖_F).

Q 42. On suppose de plus

f

bornée. Montrer

𝔼(1/n\sum_(i = 1)^n f(Λ_(i, n))) \to-^(n \to + \infty)1/(2π)\int_(- 2)^2 f(x)\sqrt(4 - x^2) dx.

IV.C -

Q 43. Montrer la loi du demi-cercle dans le cas général.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 1 MP 2021 ?

Sur l'algèbre bilinéaire (théorème spectral, trace), les séries entières et le produit de Cauchy, le dénombrement, le calcul intégral et les probabilités. Le fil conducteur est la loi du demi-cercle de Wigner.

Quelles erreurs le jury de Centrale a-t-il relevées en maths 1 MP 2021 ?

Un minimum affirmé sans le théorème des bornes atteintes (Q4), un usage abusif de la règle de d'Alembert (Q10), des erreurs de calcul intégral au début de la partie III et des paraphrases de l'énoncé en guise de preuve (Q36).

Centrale maths 1 MP 2021 est-il un sujet difficile ?

Oui selon le jury : il est très long et sa fin contient des questions très difficiles. Traiter correctement les 25 premières questions constituait déjà une très bonne copie.

Quelles parties du sujet Centrale maths 1 MP 2021 travailler en priorité ?

Les parties I et II et le début de la partie III, abordés par presque tous les candidats. La fin de la partie III et la partie IV n'ont été sérieusement traitées que par les meilleures copies.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Centrale Mathématiques 1 MP 2021

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...