Étude d'un modèle probabiliste de ferromagnétisme : spectre d'une matrice d'interaction et convergence de la magnétisation
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Le sujet étudie des modèles probabilistes de ferromagnétisme construits à partir d'une matrice d'interaction symétrique et d'un paramètre de température. La partie A étudie le spectre de cette matrice dans plusieurs cas particuliers, en mobilisant l'algèbre linéaire et la réduction des matrices. La partie B, indépendante, étudie la convergence de quantités probabilistes (magnétisation, pression) associées à ces modèles, à l'aide d'outils d'analyse puis de probabilités.
1Partie A : étude du spectre de la matrice d'interactionÉtude des valeurs propres de plusieurs exemples de matrices d'interaction, à l'aide de l'algèbre linéaire et de la réduction des matrices, avec une sous-partie sur les produits de matrices par blocs.
2Partie B : étude de la convergence de la magnétisationÉtude de variables aléatoires à valeurs dans {-1,1}^n et du passage à la limite de deux quantités associées, la magnétisation et la pression, en s'appuyant sur le modèle d'Ising puis sur le modèle de Curie-Weiss.
Difficile. Le rapport souligne une épreuve de 44 questions très longue, où les réponses satisfaisantes ne concernent essentiellement qu'une trentaine de questions hormis une centaine de copies, et où le sujet devient assez difficile à partir de la question 31, atteinte par moins de 5 % des candidats.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : document officiel du concours, épreuve du 2 mai 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Transformation d'une forme quadratique matricielle mal comprise · Polynôme annulateur confondu avec le spectre exact · Fausses propriétés du spectre appliquées
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La partie A, essentiellement d'algèbre linéaire, a été moyennement bien traitée, avec des points bien maîtrisés et d'autres qui font statistiquement défaut. La partie B, centrée sur l'analyse et les probabilités, a été beaucoup moins bien traitée car plusieurs questions exigent une vision globale du programme.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Transformation d'une forme quadratique matricielle mal compriseQ2
Près d'un tiers des candidats échouent sur cette question, qui demande de transformer une expression faisant intervenir les coefficients de la matrice d'interaction en une expression utilisant ses valeurs propres.
« près d’un tiers des candidats échouent sur la questionQ2, qui nécessite de comprendre comment transformer une expression de la forme »
2
Polynôme annulateur confondu avec le spectre exactQ11
De nombreuses copies déduisent à tort d'un polynôme annulateur la description exacte du spectre d'une matrice, alors que cela ne donne qu'une inclusion.
« le fait queX n − 1 soit un polynôme annulateur semble suffisant pour en déduire directement la description exacte du spectre avec »
3
Fausses propriétés du spectre appliquéesQ12
Le jury rappelle que l'égalité de spectre d'une somme de matrices est un mythe, sauf cas particulier, tout comme l'idée que les valeurs propres réelles d'une matrice réelle seraient les parties réelles de ses valeurs propres complexes.
« somme de matrices Sp(A + B) = Sp(A) +Sp(B) est un mythe (hormis siA ou B est une matrice scalaire). »
4
Convergence de l'intégrale de Gauss décevanteQ26
Le jury est déçu des prestations sur une question qui devrait être une formalité, notamment à cause d'oublis de continuité et d'arguments de majoration compliqués ou incorrects.
« est globalement déçu des prestations car il devrait s’agit d’une formalité. Voici »
5
Manipulation des symboles somme et produit difficileQ29
La difficulté de cette question réside dans la manipulation simultanée des symboles de somme et de produit sur plusieurs indices.
« La difficulté de la question réside sans doute dans la manipulation des symboles∑ et ∏ »
6
Rédaction relâchée et abréviations interdites
Le jury proscrit des formulations abrégées ou fautives comme celles mêlant abréviations et fautes de frappe mathématiques.
« Des expressions telles que « théorème spectralE, reccurence, on a que » sont à proscrire. »
Ce qui a été bien réussi
La partie A.V, qui nécessite de bien maîtriser les produits de matrices par blocs, a donné lieu à des prestations jugées globalement satisfaisantes par le jury.
La question 8 a été bien réussie dans les trois quarts des copies l'ayant abordée.
Le jury a apprécié que seule une minorité de copies soit passée à côté du théorème de transfert à la question 18.
Conseils du jury
Mettre en avant les hypothèses d'un théorème avant de l'appliquer directement, pour mieux cerner les difficultés inhérentes à une question.
Ne pas se précipiter vers la conclusion donnée par l'énoncé au prix de calculs hasardeux ; les calculs sont lus intégralement.
Annoncer explicitement un raisonnement par récurrence avant de l'effectuer, même rapidement dans les cas faciles.
Éviter les quantificateurs mathématiques et les abréviations dans les phrases rédigées en français, et soigner la lisibilité et la clarté de la copie.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Soit n ∈ ℕ^∗. On rappelle que, pour un n-uplet (X_1, …, X_n) de variables aléatoires réelles finies sur un univers Ω, la formule de transfert s'écrit : pour toute fonction f définie sur X_1(Ω) × ⋯ × X_n(Ω) et à valeurs réelles,
Pour tout n ∈ ℕ∖{0, 1}, on note Λ_n l'ensemble { − 1, 1}^n.
Pour (n, p) ∈ (ℕ^∗)^2, M_(n, p)(ℝ) désigne l'ensemble des matrices de taille n × p à coefficients réels. Si n = p, on obtient l'ensemble M_n(ℝ) des matrices carrées réelles de taille n, et on note I_n la matrice identité de M_n(ℝ).
Problématique et objectifs
On étudie un modèle de ferromagnétisme : un matériau est constitué de particules qui peuvent, chacune, être orientées dans un sens ou un autre, Nord (+1) ou Sud (-1). Elles sont soumises, d'une part à un champ magnétique extérieur, d'autre part à une température extérieure qui a tendance à les agiter dans tous les sens, et enfin à une interaction locale qui a tendance à les aligner dans le même sens.
Dans tout le sujet, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 , et β est un réel strictement positif, qui représente l'inverse de la température.
On considère une matrice symétrique J_n = (J_n(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) de M_n(ℝ), appelée matrice d'interaction. Pour tout (i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, J_n(i, j) mesure l'interaction entre les particules numérotées i et j.
On définit une fonction H_n sur ℝ_+ × Λ_n par
Pour tous x ∈ Λ_n et h ∈ ℝ_+, H_n(h, x) mesure l'énergie de la configuration x couplée avec un champ magnétique extérieur d'intensité h. Le premier terme dans son expression est l'interaction locale des particules.
On définit alors, h étant fixé, un n-uplet de variables aléatoires ( X_(n, 1), X_(n, 2), …, X_(n, n) ) tel que, pour tout x = (x_1, …, x_n) ∈ Λ_n, la probabilité que ( X_(n, 1), X_(n, 2), …, X_(n, n) ) prenne la valeur x est proportionnelle à e^(− H_n(h, x)), c'est-à-dire que, pour tout x ∈ Λ_n,
On introduit la variable aléatoire M_(n, h) = 1/n∑_(i = 1)^n X_(n, i), puis les fonctions
m_n : h ∈ ℝ_+ ⟼ 𝔼(M_(n, h)) et ψ_n : h ∈ ℝ_+ ⟼ 1/nln(Z_n(h)).
On note enfin, sous réserve d'existence, m et ψ les limites simples des suites de fonctions (m_n)_(n ⩾ 1) et (ψ_n)_(n ⩾ 1). La fonction m est appelée magnétisation et la fonction ψ, pression.
Ce problème est constitué de deux parties indépendantes A et B .
La partie A consiste en l'étude du spectre de la matrice d'interaction dans plusieurs cas particuliers. Elle est elle-même découpée en cinq sous-parties, lesquelles sont indépendantes, à l'exception de la sous-partie V, qui fait appel à des résultats de la sous-partie IV.
La partie B utilise des notations introduites dans la première mais en est totalement indépendante. Elle consiste en l'étude de la convergence de la magnétisation. Elle est elle-même découpée en quatre sous-parties.
La sous-partie I comporte une seule question préliminaire.
La sous-partie II se concentre sur le modèle d'Ising. On y montre que les particules ne conservent pas d'aimantation lorsque l'on retire le champ magnétique extérieur.
Les sous-parties III et IV sont indépendantes de la sous-partie II. Elles explorent le cas particulier du modèle de Curie-Weiss. Dans la sous-partie III, on montre que la conservation de l'aimantation dépend de la valeur de β par rapport à 1 . Dans la sous-partie IV, on étudie le comportement asymptotique du champ magnétique moyen au point critique β = 1 et sans champ magnétique extérieur.
Partie A - Étude du spectre de la matrice d'interaction
On fixe h ∈ ℝ_+.
I - Quelques inégalités générales
Q1. Expliquer pourquoi la matrice J_n est diagonalisable.
Q2. On note λ_(max) la plus grande des valeurs propres de J_n et λ_(min) la plus petite. Montrer que
Q4. Donner un encadrement de H_n dans le cas où J_n est de plus une matrice orthogonale distincte de ± I_n.
Plus généralement, l'étude du spectre complet de J_n présente un intérêt physique pour l'étude du modèle. Dans cette partie, on s'intéresse à quelques cas particuliers.
II - Le modèle de Curie-Weiss
On note J_n^((C)) la matrice de M_n(ℝ) dont tous les coefficients valent 1/n, à l'exception de ses coefficients diagonaux, qui sont nuls. Chaque particule interagit donc de la même façon avec toutes les autres particules.
Q5. Déterminer le spectre de U_n = nJ_n^((C)) + I_n, puis celui de J_n^((C)).
III - Le modèle sinus
On note J_n^((S)) la matrice de M_n(ℝ) définie par
Q7. En déduire que J_n^((S)) est une matrice orthogonale symétrique.
IV - Le modèle d'Ising unidimensionnel
Pour tout k ∈ [ [1, n] ], on note C_(n, k) la matrice de M_n(ℝ) définie par
∀(i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, C_(n, k)(i, j) = {1, si (i ∈ [ [1, k] ] et j = i + n − k) ou (i ∈ [ [k + 1, n] ] et j = i − k); 0, sinon
On remarque que C_(n, n) = I_n. On pose J_n^((1)) = C_(n, 1) + C_(n, n − 1).
Q8. Vérifier que, dans le cas où n = 9, J_n^((1)) est la matrice dont, pour tout (i, j) ∈ [ [1, 9] ]^2, le coefficient d'indice ( i, j ) vaut 1 si les sommets i et j du graphe ci-contre sont reliés par une arrête et vaut 0 sinon. Cela signifie que chaque particule n'est en interaction qu'avec ses deux voisins les plus proches.
Q9. Écrire, en langage Python, une fonction mat_adj (graphe) qui prend en argument un graphe de m ∈ ℕ^∗ sommets, orienté ou non, représenté par un dictionnaire ayant pour clefs les entiers de 0 à m − 1, et pour valeur associée à une telle clef la liste d'adjacence du sommet correspondant, et qui renvoie, en respectant l'énumération des sommets, la matrice d'adjacence de ce graphe.
Ainsi mat_adj ({0 : [1, 2], 1 : [0], 2 : [0, 1, 2]}) doit renvoyer
[[0, 1, 1], [1, 0, 0], [1, 1, 1]].
Q10. Montrer que, pour tout k ∈ [ [1, n] ], C_(n, 1)^k = C_(n, k).
Q11. En déduire un polynôme annulateur de C_(n, 1), puis son spectre.
Q12. En déduire que J_n^((1)) admet les valeurs propres suivantes, énumérées avec leur multiplicité :
λ_k = 2cos((2πk)/n), k ∈ [ [0, n − 1] ].
V - Le modèle d'Ising bidimensionnel
Soit (u, v, r, s) ∈ (ℕ^∗)^4. Soient A = (a_(ij))_(1 ⩽ i ⩽ u; 1 ⩽ j ⩽ v) ∈ M_(u, v)(ℝ) et B ∈ M_(r, s)(ℝ). On définit le produit de Kronecker de A par B, et on note A ⊗ B, la matrice de M_(ur, vs)(ℝ) qui est définie par uv blocs de taille r × s de telle manière que, pour tout (i, j) ∈ [ [1, u] ] × [ [1, v] ], le bloc d'indice ( i, j ) soit a_(i, j)B. Autrement dit,
A ⊗ B = (a_(11)B, a_(12)B, ⋯, a_(1v)B; a_(21)B, a_(22)B, ⋯, a_(2v)B; ⋮, ⋮, ⋱, ⋮; a_(u1)B, a_(u2)B, ⋯, a_(uv)B)
Outre u, v, r et s, on se donne encore deux entiers naturels non nuls, w et t.
Q13. Montrer que ⊗ est une application bilinéaire de M_(u, v)(ℝ) × M_(r, s)(ℝ) dans M_(ur, vs)(ℝ).
Q14. Montrer que, pour toutes matrices A ∈ M_(u, v)(ℝ), A^′ ∈ M_(v, w)(ℝ), B ∈ M_(r, s)(ℝ) et B^′ ∈ M_(s, t)(ℝ), (A ⊗ B)(A^′ ⊗ B^′) = (AA^′) ⊗ (BB^′).
Q15. Montrer que si A ∈ M_u(ℝ) et B ∈ M_r(ℝ) sont diagonalisables, alors A ⊗ B est diagonalisable et
Sp(A ⊗ B) = {λμ|λ ∈ Sp(A), μ ∈ Sp(B)}.
On pourra commencer par déterminer l'inverse du produit de Kronecker de deux matrices inversibles.
Q16. Vérifier que, dans le cas où n = 3, J_N^((2)) est la matrice telle que, pour tout (i, j) ∈ [ [1, 9] ]^2, le coefficient d'indice ( i, j ) vaut 1 si les sommets i et j du graphe ci-contre sont reliés par une arête (les arêtes comptent qu'elles soient en pointillés ou en plein), et vaut 0 sinon.
Q17. On revient au cas général. Montrer que les valeurs propres de J_N^((2)) sont les λ_j + λ_k, pour (j, k) ∈ [ [1, n] ]^2.
Partie B - Étude de la convergence de la magnétisation
Cette partie reprend les notations de la précédente mais les résultats sont totalement indépendants.
On se donne h ∈ ℝ_+.
I - Magnétisation spontanée
Q18. Justifier que la fonction ψ_n est dérivable sur ℝ_+et que ψ_n^′ = m_n.
On admet que, lorsque ψ est dérivable sur ℝ_+^∗, alors (limψ_n)^′ = limψ_n^′, c'est-à-dire ψ^′ = m, sur ℝ_+^∗.
Enfin on note (toujours sous réserve d'existence) m^+ = lim_(h → 0^+)m(h) la magnétisation spontanée : il s'agit du champ magnétique moyen lorsque l'on fait tendre le champ magnétique extérieur vers 0 . S'il reste strictement positif, les particules conservent une aimantation. Ce n'est pas le cas s'il est nul.
II - Le modèle d'Ising
Dans cette sous-partie, on suppose que J_n = J_n^((1)), matrice introduite dans la sous-partie A-IV.
On adoptera la convention suivante : pour tout x = (x_1, …, x_n) ∈ Λ_n, on note x_(n + 1) = x_1 et x_0 = x_n.
Q19. Vérifier que
Q20. Montrer que, pour tous entiers naturels p et q supérieurs ou égaux à 2 , pour toute matrice M = (M(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ q) ∈ M_q(ℝ) et pour tout (i, j) ∈ [ [1, q] ]^2, le coefficient d'indice ( i, j ) de la matrice M^p est
le produit valant 1 dans le cas où p = 2.
On pose A = (e^(β − h), e^(− β − h); e^(− β + h), e^(β + h)).
Q21. Montrer que Z_n(h) = tr(A^n), où tr désigne la trace d'une matrice carrée.
Q22. Déterminer les valeurs propres de la matrice A.
Q23. Montrer alors que
Q24. En déduire une expression de la fonction m et conclure que m^+ = 0.
On rappelle que m = ψ^′ lorsque ψ est dérivable sur ℝ_+^∗.
III - Le modèle de Curie-Weiss
Dans cette sous-partie, on suppose que J_n = J_n^((C)), matrice introduite dans la sous-partie A-II.
Q25. Pour tout x ∈ Λ_n, on pose s_n(x) = ∑_(k = 1)^n x_i. Vérifier que
Q31. En distinguant les cas selon que β ⩽ 1 ou β > 1, montrer que G_h admet un minimum sur ℝ_+atteint en un unique point u_h. Montrer de plus que
(a) si β ⩽ 1 et h = 0, alors u_h = 0;
(b) si β > 1, alors u_h > 0;
(c) quel que soit β ∈ ℝ_+^∗,
(i) G_h^′(u_h) = 0;
(ii) h = βG_0^′(u_h);
(iii) G_h^(′′)(u_h) > 0 lorsque h > 0.
On suppose désormais que h > 0.
Q32. Justifier que G_h atteint son minimum sur ℝ en un unique point qui est u_h.
Q33. On note Gˆ_h : x ⟼ G_h(x + u_h) − minG_h. Montrer que
Q34. On pose γ_h = G_h^(′′)(u_h) et on note f_h : x ⟼ (Gˆ_h(x))/(x^2). Montrer que f_h est prolongeable en une fonction continue sur ℝ tout entier en posant f_h(0) = (γ_h)/2.
Q35. Justifier que f_h est minorée par un réel strictement positif c_h (que l'on ne cherchera pas à déterminer).
Q36. Montrer alors que
Q37. Montrer que G_0^′ réalise une bijection continue de [u_0; + ∞[ dans ℝ_+. En déduire que la fonction u : h ⟼ u_h est continue sur ℝ_+et dérivable sur ℝ_+^∗.
Q38. En déduire que ψ est dérivable sur ℝ_+^∗ et que m(h) = (u(h) − h)/β pour tout h ∈ ℝ_+^∗.
Q39. Montrer alors que m^+ = 0 si β ⩽ 1, et m^+ > 0 si β > 1.
IV - Convergence en loi pour la loi de Curie-Weiss au point critique
Dans cette sous-partie, on suppose toujours que J_n = J_n^((C)). De plus, on suppose que β = 1 et h = 0.
On note Z_∞ = ∫_(− ∞)^(+ ∞)exp(− (x^4)/(12))dx et on considère la fonction
φ_∞ : x ⟼ 1/(Z_∞)exp(− (x^4)/(12)).
Q40. Justifier que, pour toute fonction f continue et bornée sur ℝ, la quantité
Sur quoi porte le sujet de mathématiques 2 Centrale MP-MPI 2025 ?
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Sur quoi porte le sujet de mathématiques 2 Centrale MP-MPI 2025 ?
+
Le sujet étudie un modèle probabiliste de ferromagnétisme, avec une partie d'algèbre linéaire sur le spectre d'une matrice d'interaction et une partie d'analyse-probabilités sur la convergence de la magnétisation.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 2 Centrale MP-MPI ?
+
Des confusions entre polynôme annulateur et spectre exact d'une matrice, de fausses propriétés du spectre appliquées sans justification, et des prestations décevantes sur la convergence de l'intégrale de Gauss, pourtant classique.
Le sujet de mathématiques 2 Centrale MP-MPI 2025 est-il difficile ?
+
Oui, le rapport le décrit comme une épreuve très longue de 44 questions, dont le sujet devient assez difficile à partir de la question 31, atteinte par moins de 5 % des candidats.
Faut-il bien maîtriser la réduction des matrices pour ce sujet de maths 2 Centrale MP-MPI ?
+
Oui, toute la partie A repose sur l'étude du spectre de matrices d'interaction et sur la réduction des matrices, notamment leur diagonalisabilité et leurs produits par blocs.
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Commentaires• Centrale Mathématiques 2 MP MPI 2025
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