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CCINP Mathématiques 1 MP MPI 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Connexité par arcs, minimum global d'une fonction polynomiale à deux variables, et théorème de comparaison série-intégrale
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Le sujet s'ouvre sur un exercice de connexité par arcs illustré par un dessin, puis un exercice où il faut rechercher le minimum global d'une fonction polynomiale à deux variables par deux méthodes différentes, l'une utilisant la matrice hessienne, l'autre le projeté orthogonal sur un espace de dimension finie. Le problème final démontre le théorème de comparaison série-intégrale et l'applique à des exemples, jusqu'à la non convergence uniforme d'une série de fonctions et l'étude de contre-exemples.

  1. 1Exercice I : connexité par arcsÉtude de la connexité par arcs d'un ensemble, avec un dessin autorisé par le sujet pour visualiser la notion.
  2. 2Exercice II : minimum global d'une fonction polynomiale à deux variablesRecherche du minimum global par deux méthodes : point critique et matrice hessienne, puis projeté orthogonal sur un espace de dimension finie.
  3. 3Problème, partie I : théorème de comparaison avec une intégraleDémonstration du théorème de comparaison série-intégrale et application à des exemples, dont la série de Bertrand et la non convergence uniforme d'une série de fonctions.
  4. 4Problème, partie II : contre-exemplesÉtude de contre-exemples autour des résultats établis dans la partie I.

Difficulté moyenne. Le rapport précise que le texte de l'épreuve était clair et qu'aucune question ne présentait de grosses difficultés, tout en notant un écart-type important qui a permis de bien classer les candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,17 / 20 · écart-type 4,56 · 6 871 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,17/ 20
Écart-type
4,56
Présents
6 871
Coefficient
12
Durée
4 h
moyenne 10,1705101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 5 mai 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Boule pour la norme 2 mal connue · Valeurs de minimum incohérentes entre les deux méthodes · Passages à la limite non justifiés
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Le sujet a permis de bien classer les candidats grâce à un écart-type de 4,56, pour une moyenne de 10,17/20, avec des questions de niveaux variés allant de très accessibles à plus originales. Le texte de l'épreuve était clair et aucune question ne présentait de grosses difficultés. Le jury insiste sur l'importance d'une connaissance précise du cours et sur le soin apporté à la présentation des copies.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Boule pour la norme 2 mal connueQ2b

    En Q2b, l'inégalité est généralement bien traitée mais la boule pour la norme 2 semble inconnue de bon nombre de candidats.

  2. 2
    Valeurs de minimum incohérentes entre les deux méthodesQ3, Q4

    Certains candidats obtiennent en Q4 une valeur de minimum différente de celle trouvée en Q3 sans sembler inquiets, alors que les deux méthodes doivent donner le même résultat.

  3. 3
    Passages à la limite non justifiésQ7

    En Q7, question de cours, des passages à la limite non justifiés sont très souvent mis en place et l'argument de monotonie est souvent oublié.

  4. 4
    Cas particulier de la série de Bertrand mal traitéQ8

    Beaucoup de candidats omettent de préciser le cas alpha différent de 1 dans l'étude de la série de Bertrand, ce qui les amène à diviser par 0 sans s'en rendre compte, fortement sanctionné.

  5. 5
    Conclusion erronée sur la convergence normaleQ10

    En Q10, de nombreux candidats concluent à tort à la convergence normale de la série, en déduisant à tort la convergence normale sur tout l'espace à partir de la convergence normale sur tout compact.

Ce qui a été bien réussi

  • Certaines questions très accessibles, comme Q5, Q6 et Q9b, ont fourni facilement des points aux candidats assez fragiles
  • La comparaison série-intégrale de Q5 et Q6 est bien réalisée par la quasi-totalité des candidats
  • Le développement asymptotique de Q9b est souvent correctement justifié
  • La question 12 de contre-exemple est globalement bien traitée

Conseils du jury

  • Apprendre le cours avec précision, y compris les démonstrations des points importants et les exercices de base
  • Citer tous les théorèmes utilisés et rappeler leurs hypothèses même si elles figurent à la question précédente
  • Utiliser chaque hypothèse d'une question et préciser sur la copie à quel moment elle est utile
  • Éviter de recopier l'énoncé avant chaque réponse pour ne pas perdre de temps
  • Soigner la présentation de sa copie, par exemple en soulignant ou encadrant les résultats

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

EXERCICE I

Q1. Soit une application f : ] − 1, 1[ → ℝ^2 de classe C^1.
Justifier que f^′(] − 1, 1[) est une partie connexe par arcs de ℝ^2.
Q2. On considère l'application f : ] − 1, 1[ → ℝ^2 définie par :
f(t) = {(0, 0) si t ∈ ] − 1, 0]; (t^2 sin1/t, t^2 cos1/t) si t ∈ ]0, 1[
On note pour tout (x, y) ∈ ℝ^2, ‖(x, y)‖_2 = √(x^2 + y^2).
a) Démontrer que f est dérivable en 0 puis sur l'intervalle ] − 1, 1[.
Préciser le vecteur f^′(t) pour tout t ∈ ] − 1, 0] et pour tout t ∈ ]0, 1[.
b) Démontrer que ∀t ∈ ]0, 1[, ‖f^′(t)‖_2 ≥ 1 et en déduire que f^′(] − 1, 1[) n'est pas connexe par arcs de ℝ^2.
On pourra tracer la boule unité de ℝ^2 pour la norme ‖‖_2 et on acceptera un dessin pertinent comme preuve.

EXERCICE II

On pose pour tout (x, y) ∈ ℝ^2, f(x, y) = (2 − x − y)^2 + (1 − x)^2 + (1 − 2x − y)^2.
On se propose de déterminer le réel min_((x, y) ∈ ℝ^2)f(x, y) par deux méthodes différentes.

Q3. Première méthode

Déterminer le seul point critique de la fonction f sur ℝ^2. Démontrer à l'aide d'une matrice Hessienne que f admet en ce point un minimum local.
En admettant que ce minimum est global, donner la valeur du min_((x, y) ∈ ℝ^2)f(x, y).

Q4. Deuxième méthode

Sur l'espace vectoriel euclidien ℝ^3, on note le produit scalaire canonique par ⟨|⟩ et sa norme associée par ‖(x, y, z)‖ = √(x^2 + y^2 + z^2).
On note a = (2, 1, 1), u = (1, 1, 2), v = (1, 0, 1) et F = vect{u, v}.
On note b ∈ F le projeté orthogonal du vecteur a sur le sous-espace vectoriel F. Justifier que ⟨a − b|u⟩ = ⟨a − b|v⟩ = 0 et en déduire le vecteur b.
Déterminer la valeur de min_((x, y) ∈ ℝ^2)f(x, y).

PROBLÈME Autour du théorème de comparaison avec une intégrale

Dans ce problème, on se propose de démontrer le théorème de comparaison avec une intégrale, puis de traiter des exemples et des applications. On terminera par deux contre-exemples.

Partie I - Théorème de comparaison avec une intégrale

Dans cette partie, f est une fonction continue, positive et décroissante sur ℝ^+.
On pose, pour tout entier naturel n, S_n = ∑_(k = 0)^n f(k), J_n = ∫_0^n f(t)dt et pour tout entier k non nul, I_k = ∫_(k − 1)^k f(t)dt.
Q5. Préciser la monotonie des suites (S_n) et (J_n), puis démontrer que pour tout entier k non nul, f(k) ≤ ∫_(k − 1)^k f(t)dt ≤ f(k − 1).
Q6. Démontrer que pour tout entier n non nul, S_n − f(0) ≤ J_n ≤ S_(n − 1).
Q7. Démontrer enfin les deux résultats :
(1) f est intégrable sur ℝ^+, si et seulement si, la série ∑f(n) converge.
(2) La série ∑_(n ≥ 1)[∫_(n − 1)^n f(t)dt − f(n)] converge.
Q8. Un exemple.
On pose pour α > 0 et x ∈ [2, + ∞[, f(x) = 1/(x(lnx)^α).
a) Étudier la monotonie de la fonction f, calculer ∫_2^x f(t)dt et en déduire la nature de la série ∑_(n ≥ 2)1/(n(lnn)^α).
b) Dans le cas où α = 2, déterminer en fonction de ln2, un encadrement de ∑_(n = 2)^(+ ∞)1/(n(lnn)^2).
Q9. Une application.
On pose pour n entier naturel non nul, T_n = ∑_(k = 1)^n 1/k − lnn.
a) En utilisant le résultat (2) de la question Q7., établir que la suite ( T_n ) converge. On notera γ sa limite (constante d'Euler).
b) Justifier que, au voisinage de + ∞, ∑_(k = 1)^n 1/k = lnn + γ + o(1) et en déduire un équivalent au voisinage de + ∞ de ∑_(k = 1)^n 1/k.
Q10. Une application sur une série de fonctions.
On considère la série de fonctions ∑_(n ≥ 1)g_n où pour tout x ∈ ]0, + ∞[, g_n(x) = x/(n^2 + x^2).
a) Étudier la convergence normale de cette série de fonctions sur ]0, + ∞[.
b) On pose pour x fixé non nul, f(t) = x/(t^2 + x^2).
Établir que, pour n entier non nul, ∫_1^(n + 1)f(t)dt ≤ ∑_(k = 1)^n f(k) ≤ ∫_0^n f(t)dt.
c) En déduire que, pour tout x non nul, π/2 − arctan1/x ≤ ∑_(n = 1)^(+ ∞)g_n(x) ≤ π/2.
d) Déterminer lim_(x → + ∞)∑_(n = 1)^(+ ∞)g_n(x).
La série de fonctions ∑_(n ≥ 1)g_n converge-t-elle uniformément sur ]0, + ∞[ ?

Partie II - Contre-exemples

Q11. On pose pour x ∈ [1, + ∞[, f(x) = |sin(2πx)|.
a) Calculer pour n entier naturel non nul, ∫_n^(n + 1)f(t)dt.
On pourra remarquer que ∫_n^(n + 1)f(t)dt = ∫_n^(n + 1/2)f(t)dt + ∫_(n + 1/2)^(n + 1)f(t)dt.
On note ⌊x⌋ la partie entière du réel x.
b) Établir que pour x ∈ [1, + ∞[, ∫_1^x|sin(2πt)|dt ≥ 2/π(⌊x⌋ − 1).
La fonction f est-elle intégrable sur [1, + ∞[ ? Que dire de la nature de la série ∑_(n ≥ 1)f(n) ?
Q12. On se propose de construire un contre-exemple d'une fonction f continue, positive et intégrable sur [1, + ∞[ telle que ∑_(n ≥ 1)f(n) diverge.
Pour tout entier n non nul, trouver un réel a_n de sorte que le triangle de base [n − a_n, n + a_n] et de hauteur 1 ait une aire égale à 1/(n^2).
Dessiner l'allure d'une courbe de fonction f définie et continue sur [1, + ∞[ de la manière suivante : chaque entier naturel n non nul a pour image 1 et autour de chaque n (sur chaque intervalle [n − a_n, n + a_n] ) tracer l'allure du triangle de base [n − a_n, n + a_n] et de hauteur 1 . Enfin, la fonction est nulle en dehors de tous les intervalles [n − a_n, n + a_n].
Démontrer que cette fonction f fournit un contre-exemple.
FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 CCINP MP 2025 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 CCINP MP 2025 ?

Le sujet porte sur la connexité par arcs, la recherche d'extremums de fonctions de deux variables avec la matrice hessienne et la projection orthogonale, ainsi que sur le théorème de comparaison série-intégrale et la convergence des suites de fonctions.

Quelle est la moyenne du sujet de maths 1 CCINP MP 2025 ?

La moyenne était de 10,17/20 avec un écart-type de 4,56, jugé important par le jury car il a permis de bien classer les candidats.

Le sujet de maths 1 CCINP MP 2025 est-il difficile ?

Le rapport indique que le texte était clair et qu'aucune question ne présentait de grosses difficultés, avec des questions de niveaux variés allant de très accessibles à plus originales.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur le sujet maths 1 CCINP MP 2025 ?

Le jury relève surtout des passages à la limite non justifiés, une mauvaise gestion du cas particulier de la série de Bertrand, et des conclusions erronées sur la convergence normale d'une série de fonctions.

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