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Requêtes SQL, fonctions génératrices de variables aléatoires et formule sommatoire de Poisson

Ce sujet de mathématiques 1 commence par deux exercices indépendants : des requêtes SQL sur une base de données scolaire, puis l'étude des fonctions génératrices de variables aléatoires à valeurs entières et de la loi d'une somme de deux variables de Poisson indépendantes. Le problème qui suit calcule une intégrale à paramètre définissant une fonction résolvant une équation différentielle, puis établit une formule sommatoire de Poisson appliquée au calcul explicite d'une fonction périodisée.

1Exercice I : bases de donnéesÉcrire des requêtes SQL sur deux tables représentant des élèves et leurs paiements de scolarité.
2Exercice II : fonctions génératricesDéfinir la fonction génératrice d'une variable aléatoire entière, l'expliciter pour la loi de Poisson, et l'utiliser pour trouver la loi d'une somme de deux variables de Poisson indépendantes.
3Partie I : calcul d'une intégraleÉtudier une fonction définie par une intégrale à paramètre et montrer qu'elle est solution d'une équation différentielle du second ordre.
4Partie II : formule sommatoire de PoissonConstruire une fonction périodisée à partir d'une fonction de la partie I et calculer ses coefficients de Fourier.
5Partie III : applicationsIdentifier deux fonctions périodiques ayant les mêmes coefficients de Fourier pour en déduire une expression explicite de la fonction périodisée.

L'épreuve en chiffres

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Moyenne: 9,92/ 20
Écart-type: 4,01
Présents: 6 790
Coefficient: 12
Durée: 4 h

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Source : document officiel du concours, épreuve du 20 avril 2026. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

-Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
-Ne pas utiliser de correcteur.
-Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème.

EXERCICE I

On considère deux tables : ELEVES et PAIEMENTS. La première contient des informations sur des élèves dans une grande école d'ingénieur et la deuxième permet d'identifier quels sont les paiements effectués par les élèves pour la scolarité dans cette école.

La table ELEVES contient les attributs suivants :

-id : identifiant d'un individu (entier), clé primaire ;
-nom (chaîne de caractères) ;
-prenom (chaîne de caractères) ;
-email (chaîne de caractères) ;
-promo : année d'admission dans l'école (int).

La table PAIEMENTS contient les attributs suivants :

-id : identifiant de suivi (entier), clé primaire ;
-id_eleve : identifiant du client représenté par l'attribut id dans la table ELEVES (entier) ;
-montant : montant payé en euros (entier) ;
-date_paiement : date du paiement (chaîne de caractères).
Q1.Écrire une requête SQL affichant les emails différents (sans doublons) de tous les élèves qui ne sont pas de la promotion 2025.
Q2.Écrire une requête SQL affichant le nom, le prénom et le montant total payé pour chaque élève. Cette requête devra être triée par nom, puis prénom.
Q3.On souhaite trouver les doublons dans la table ELEVES. Écrire une requête SQL affichant les id et emails des élèves qui ont au moins deux lignes identiques dans la table ELEVES (à l'exception de l'attribut id).
Q4.Écrire une requête SQL affichant l'id des élèves n'ayant effectué aucun paiement.

EXERCICE II

Soit

X

une variable aléatoire à valeurs dans

ℕ

.
On note

G_X

la fonction génératrice de

X

définie par :

G_X(t) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)P(X = n)t^n.

Q5.Montrer que $G_X$ est bien définie sur $[ - 1, 1]$ .
Q6.Si $X$ est une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $λ > 0$ , rappeler et démontrer l'expression de $G_X$ .
Q7.En utilisant un produit de Cauchy de deux séries entières, démontrer que si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $ℕ$ , alors on a :
$\forallt \in ] - 1, 1[, G_(X + Y)(t) = G_X(t)G_Y(t).$
Q8.On suppose désormais que $X$ et $Y$ sont indépendantes et suivent des lois de Poisson de paramètres respectifs $λ$ et $μ$ . Déterminer la loi de $Z = X + Y$ .

PROBLÈME

Les parties I et II de ce problème sont indépendantes mais les résultats seront utilisés pour la résolution de la partie III.

Partie I - Calcul d'une intégrale

Dans toute cette partie, on pose

g(x) = \int_(- \infty)^(+ \infty)x/(x^2 + t^2)e^(it) dt

pour tout

x > 0

Q9. Démontrer que

g

est bien définie sur

]0, + \infty[

.
Q10. Pour tout

x > 0

, démontrer que

g(x) = \int_(- \infty)^(+ \infty)(e^(ixu))/(1 + u^2) du

.
En déduire que

g

est bornée sur

]0, + \infty[

.
Q11. Démontrer que

lim_(x \to 0^+)g(x) = π

.
Q12. Démontrer que

g

est de classe

C^2

sur

]0, + \infty[

.
Q13. Calculer

(\partial^2)/(\partialx^2)(x/(x^2 + t^2)) + (\partial^2)/(\partialt^2)(x/(x^2 + t^2))

pour

(x, t) \in ]0, + \infty[ \times ℝ

.
En déduire que

g

est solution de l'équation différentielle

y^('') - y = 0

sur

]0, + \infty[

.
Q14. Pour tout

x > 0

, déterminer une expression de

g(x)

Partie II - Formule sommatoire de Poisson

Dans toute la suite, on pose :

\forallt \in ℝ, f(t) = 1/(1 + t^2),

\forallx \in ℝ, F(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)f(x + n) + \sum_(n = 1)^(+ \infty)f(x - n).

Q15. Démontrer que

F

est bien définie sur

ℝ

et 1 périodique.
Q16. Démontrer que

F

est continue sur

[0, 1]

et en déduire que

F

est continue sur

ℝ

Pour toute fonction

u

continue sur

ℝ

et 1 périodique, on pose, pour tout

k \in ℤ

c_k(u) = \int_0^1 u(t)e^(- 2iπkt) dt.

Q17. Démontrer que

c_k(F) = \int_(- \infty)^(+ \infty)f(t)e^(- 2iπkt) dt

pour tout

k \in ℤ

.
Q18. Pour tout

k, n \in ℤ

, calculer la valeur de l'intégrale

\int_0^1 e^(- 2iπ(n + k)t) dt

Partie III - Applications

On rappelle les notations:

\forallx \in ℝ, F(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)f(x + n) + \sum_(n = 1)^(+ \infty)f(x - n)

f : t \mapsto 1/(1 + t^2)

.
Q19. Calculer

c_0(F)

.
En utilisant les résultats des parties I et II, calculer

c_k(F)

pour tout entier

k > 0

.
On admettra que

c_(- k)(F) = c_k(F)

pour tout

k \in ℤ

.
Q20. On pose :

\forallx \in ℝ, G(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)c_n(F)e^(2iπnx) + \sum_(n = 1)^(+ \infty)c_(- n)(F)e^(- 2iπnx)

.
Démontrer que

G

est continue sur

ℝ

et 1 périodique.

On admet le résultat suivant :

« Si $u$ et $v$ sont deux fonctions continues sur $ℝ$ , 1 périodiques et vérifient $c_k(u) = c_k(v)$ pour tout $k \in ℤ$ , alors $u = v$ ».

Q21. Démontrer que

F = G

.
Q22. En déduire la valeur de

F(x)

pour tout

x \in ℝ

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 MP CCINP 2026 ?

Il porte sur les requêtes SQL, les fonctions génératrices de variables aléatoires discrètes, les intégrales à paramètre et les séries de Fourier.

Le sujet contient-il des questions de bases de données SQL ?

Oui, l'exercice I demande d'écrire plusieurs requêtes SQL sur une base de données d'élèves et de paiements.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

Les parties I et II du problème sont indépendantes, mais leurs résultats sont réutilisés dans la partie III ; les deux exercices initiaux sont également indépendants du problème.

Le sujet porte-t-il sur la loi de Poisson ?

Oui, l'exercice II étudie la fonction génératrice de la loi de Poisson et la loi d'une somme de deux variables de Poisson indépendantes.

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