X ENS Mathématiques A MP MPI 2026Sujet et rapport du jury

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Annales X-ENS MP/MPI Mathématiques X-ENS MP/MPI 2026 MP/MPI Mathématiques Mathématiques 2026

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Présentation du sujet

Difficile

Normes de polynômes de matrices : principe du maximum, inégalité de Von Neumann, rayon numérique et conjecture de Crouzeix

Le sujet étudie des majorations de la norme subordonnée de p(A), pour p polynôme et A matrice complexe. Après des préliminaires sur les normes subordonnées, les matrices unitaires et le conditionnement, il démontre le principe du maximum pour les polynômes, puis l'inégalité de Von Neumann. Il introduit ensuite le Hausdorffien et le rayon numérique, et termine par des résultats liés à la conjecture de Crouzeix.

1PréliminairesNorme subordonnée, matrices unitaires, diagonalisation et conditionnement.
2Partie A : principe du maximum pour les polynômesConstruction explicite d'une matrice unitaire et preuve du principe du maximum sur le disque.
3Partie B : inégalité de Von NeumannCas des matrices unitaires, puis des contractions par un argument de matrices par blocs, puis cadre général.
4Partie C : Hausdorffien et rayon numériqueHausdorffien d'une matrice, rayon numérique, identité de polarisation et inégalité r(A^k) ≤ r(A)^k.
5Partie D : conjecture de CrouzeixOptimalité de la constante 2, cas des monômes et de polynômes particuliers, utilisation du résultat d'Okubo et Ando.

Difficile. Le jury décrit un sujet progressif mais long, de plus en plus technique, dont la fin a été beaucoup moins abordée.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Erreurs élémentaires dès la première question · Récurrence mal posée · Hermitien et positivité non vérifiés

Les préliminaires et les premières questions ont permis à beaucoup de candidats d'entrer dans le problème. La suite devenait technique et il n'était pas nécessaire de tout traiter pour obtenir une très bonne note. Le jury pénalise surtout les vérifications omises et les renvois vagues à « ce qui précède ».

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Erreurs élémentaires dès la première questionQ1, Q3
Oubli du théorème des bornes atteintes sur la sphère unité et mauvais passage au maximum sur les vecteurs non nuls. Il faut aussi distinguer le cas Bx = 0 avant de diviser.
« confusion entre disque unité et sphère unité, divisions par des quantités susceptibles d'être nulles »
2
Récurrence mal poséeQ7
L'hypothèse de récurrence ne peut pas porter sur le seul coefficient (1, 1) de U^k : il faut suivre la structure de la première colonne.
3
Hermitien et positivité non vérifiésQ12
Le caractère hermitien de I − A*A et I − AA* doit être vérifié explicitement, et la partie sur AA* ne doit pas être oubliée.
« La positivité des valeurs propres de ces matrices a trop souvent été admise ou justifiée trop rapidement. »
4
Analogie à la place d'une preuveQ9, Q10, Q16
Il fallait montrer que les puissances de Uk ont le bloc supérieur gauche attendu. Aux questions 9 et 10, les arguments sans lien avec la question 8 aboutissent rarement.
« La plupart des réponses se sont limitées à des idées générales, souvent formulées comme une simple analogie avec la partie A. »
5
Un seul sens d'une égalité ou d'une inégalitéQ21, Q23
Pour le Hausdorffien, il faut les deux inclusions. Pour l'encadrement du rayon numérique, l'inégalité de gauche demandait l'identité de polarisation de l'énoncé.
« Dans la plupart des copies, seul le sens le plus immédiat a été traité, alors que l'autre constituait le point principal de la question. »
6
Grappillage en fin de sujetQ26 à Q30
Les questions 26b à 30 ont été très peu traitées, et plusieurs réponses se sont limitées à des fragments sans raisonnement complet.

Ce qui a été bien réussi

Les préliminaires sont souvent correctement traités, notamment Q2, Q4 et Q5.
Le cas unitaire de l'inégalité de Von Neumann (Q11) et les calculs par blocs (Q14, Q15) sont bien réussis.
Les premières questions sur le Hausdorffien (Q18 à Q20) sont résolues par la majorité des candidats.
Les copies les plus solides ont traité avec soin les questions de difficulté intermédiaire.

Conseils du jury

Rédiger explicitement les doubles inclusions, les vérifications d'hermitien et les récurrences.
Vérifier les hypothèses d'un théorème avant de l'utiliser.
S'appuyer sur la construction du sujet et citer précisément les questions utilisées.
Traiter complètement quelques questions plutôt que parcourir tout le sujet en laissant l'essentiel implicite.
Utiliser les indications de l'énoncé sans se dispenser des vérifications demandées.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2026

LUNDI 13 AVRIL 2026
08h00-12h00
FILIERES MP-MPI - Epreuve n° 1

MATHEMATIQUES A

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

Préambule et notations

Dans tout le texte, la lettre C désigne le corps des nombres complexes muni de la conjugaison complexe

z \mapsto z¯

. Pour

z \in C

, on notera

|z|:=\sqrt(zz¯)

le module de

z

. La lettre

R

désigne le corps des nombres réels et

R_+

l'ensemble des nombres réels qui sont positifs ou nuls. Pour

x \in C

δ \in R_+

, on notera

𝔻(x, δ):={z \in C||z - x|⩽δ} et \partial𝔻(x, δ):={z \in C||z - x|=δ}

respectivement le disque fermé et le cercle centrés en

x

et de rayon

δ

(I)Pour $n ⩾ 1$ entier, on considère le $C$ -espace vectoriel $C^n$ que l'on munit de l'application $C^n \times C^n \to C$ définie par
$(x, y) \mapsto ⟨x|y⟩:=\sum_(i = 1)^n x_i y¯_i,$
où les $x_i$ (resp. $y_i$ ) sont les coordonnées de $x$ (resp. $y$ ). On notera aussi pour $x \in C^n$ ,
$‖x‖:=\sqrt(⟨x|x⟩).$
Les candidates et candidats pourront utiliser sans justification les faits suivants :
- -Pour $x \in C^n$ fixé, l'application $φ_x : y \mapsto ⟨x|y⟩$ est semi-linéaire au sens où $φ_x(y + αy^') = φ_x(y) + α¯φ_x(y^')$ alors que $ψ_y : x \mapsto ⟨x|y⟩$ est linéaire;
- - $x \mapsto ‖x‖$ est une norme sur $C^n$ ;
- - $|⟨x|y⟩| ⩽ ‖x‖ \cdot ‖y‖$ .

Par analogie avec le cas euclidien,

⟨ \cdot | \cdot ⟩

est souvent appelé produit scalaire hermitien et lorsque

(u_1, \dots, u_n)

est une famille de vecteurs de

C^n

telle que

⟨u_i|u_j⟩ = 0

pour

i \neq j

‖u_i‖ = 1

avec

1 ⩽ i, j ⩽ n

, on dira que (

u_1, \dots, u_n

) est une base orthonormale.

(II)Pour deux entiers $m ⩾ 1$ et $n ⩾ 1, M_(m, n)(C)$ désigne les matrices à $m$ lignes et $n$ colonnes à coefficients dans $C$ et $M_n(C):=M_(n, n)(C)$ les matrices carrées $n \times n$ .
- (i)Étant donnée une matrice $A \in M_(m, n)(C)$ , on notera $^t A \in M_(n, m)(C)$ sa transposée et $A¯$ la matrice dont les coefficients sont les conjugués dans C des coefficients de $A$ . Les éléments de $C^n$ seront identifiés aux éléments de $M_(n, 1)(C)$ . On notera aussi $A^*:=^t A¯$ . On pourra utiliser sans justification que pour tous $x$ et $y$ dans $C^n$ , on a
  $⟨x|y⟩ = ^t xy¯ et ⟨Ax|y⟩ = ⟨x|A^* y⟩.$

- (ii)On considère pour $A \in M_n(C)$
  $‖‖A‖:=sup_(‖x‖ = 1)‖Ax‖,$
  qui définit une norme sur $M_n(C)$ (on ne demande pas de le démontrer) appelée norme subordonnée. Lorsque $P \in M_n(C)$ est inversible, on définit le conditionnement de $P$ par
  $cond(P):=|||P||| \cdot |||P^(- 1)|||.$
- (iii)Une matrice $A$ de $M_n(C)$ est dite unitaire si $A^* A = I_n$ . Elle est dite hermitienne si $A^* = A$ . On pourra utiliser sans démonstration que $A$ est unitaire si et seulement si pour tout $x \in C^n$ , on a $‖Ax‖ = ‖x‖$ ou encore si et seulement si les colonnes de $A$ forment une base orthonormale.
(III)Pour $(λ_1, \dots, λ_n) \in C^n$ , on notera $diag(λ_1, \dots, λ_n)$ la matrice diagonale de $M_n(C)$ dont les coefficients diagonaux sont données par les $λ_i$ . Le théorème de réduction suivant pourra, et devra, être utilisé.
Théorème Soit A une matrice unitaire (resp. hermitienne). Il existe alors une matrice unitaire $U$ telle que
$A = Udiag(λ_1, \dots, λ_n)U^(- 1)$
où les $λ_i$ sont les valeurs propres de $A$ qui sont alors de module 1 (resp. réelles).
Autrement dit une matrice unitaire (resp. hermitienne) est diagonalisable en base orthonormale pour le produit scalaire hermitien avec valeurs propres de module 1 (resp. réelles).
(IV)Pour tout polynôme à coefficients complexes $p = \sum_(i = 0)^r p_i X^i \in C[X]$ et toute matrice $A \in M_n(C)$ , on rappelle que $p(A)$ est la matrice $\sum_(i = 0)^r p_i A^i$ . On s'intéresse alors à $|||p(A)|||$ que l'on essaie de majorer par
$‖p‖_S:=sup_(α \in S)|p(α)|$
pour un ensemble $S$ compact qui, bien sûr, va dépendre de $A$ .

Les candidates et candidats sont invités à ne pas rester bloqués sur une question (notamment celles, plus difficiles, situées en fin de partie). On attend toutefois un traitement de portions substantielles de chacune d'elles, plutôt qu'un « grappillage» de points.

Dans toute la suite, on considère

n ⩾ 1

entier.

Préliminaires

1)Soit $A \in M_n(C)$ . Justifier l'existence de $‖‖A‖$ et montrer que $‖A‖ = max_(x \neq 0)(‖Ax‖)/(‖x‖)$ .
2)Dans le cas où $A$ est une matrice diagonale $diag(λ_1, \dots, λ_n)$ , donner une expression de $|||A|||$ en fonction des $λ_i$ .
3)Montrer que pour $A, B \in M_n(C)$ , on a $‖‖AB‖ ⩽ ‖|A‖ \cdot |‖B‖$ .
4)Vérifier que pour $U$ unitaire, on a $|||U||| = 1$ et montrer que pour tout $A \in M_n(C)$ , on a $‖‖AU‖ = ‖‖UA‖ = ‖‖A‖$ .
5)On suppose $A$ diagonalisable de sorte qu'il existe une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = PDP^(- 1)$ . Montrer que pour $cond(P)$ défini dans le préambule et $σ(A)$ l'ensemble des valeurs propres de $A$ , on a pour tout $p \in C[X]$
$‖p‖_(σ(A)) ⩽ ‖p(A)‖ ⩽ cond(P)‖p‖_(σ(A)).$

A- Principe du maximum pour les polynômes

On note

𝔻:=𝔻(0, 1)

le disque unité et

\partial𝔻:=\partial𝔻(0, 1)

le cercle unité. Pour

p \in C[X]

de degré

n - 1

z \in 𝔻

on se propose de montrer que

|p(z)| ⩽ ‖p‖_(\partial𝔻)

. On suppose ici

n ⩾ 2

. Soit

s = \sqrt(1 - |z|^2)

. On introduit la matrice

U

M_n(C)

et le vecteur

e_1 \in C^n

par

U = (z, s, 0, \dots, 0; 0, 0, 1, \dots, 0; ⋮, ⋮, 0, ⋱, ⋮; 0, 0, ⋮, ⋱, 1; s, - z¯, 0, \dots, 0), e_1 = (1; 0; ⋮; 0).

6)Montrer que $U$ est unitaire.
7)Montrer que $p(z) = e_1^* p(U)e_1$ .
8)Montrer, en utilisant le théorème du préambule, que
$|p(z)| ⩽ |||p(U)||| ⩽ |l⟩‖_(\partial𝔻).$
9)On suppose ici que $|z| < 1$ . Montrer que $|p(z)| < ‖p‖_(\partial𝔻)$ .
10)Soit $S$ un fermé borné non vide de $C$ . On définit alors $\partialS \subset S$ comme suit : $x \in S∖\partialS$ si et seulement s'il existe $δ > 0$ tel que le disque $𝔻(x, δ) \subset S$ . Montrer que $‖p‖_S = ‖p‖_(\partialS)$ .

B- Inégalité de Von Neumann

On suppose que

A \in M_n(C)

est une contraction au sens où

‖‖A‖ ⩽ 1

et que

p \in C[X]

. On veut montrer l'inégalité de Von Neumann suivante :

‖p(A)‖ ⩽ ‖p‖_𝔻.

11)En utilisant la question 5), traiter le cas où $A$ est unitaire.
12)Montrer qu'il existe une matrice hermitienne $D_A$ (resp. $D_(A^*)$ ) dont les valeurs propres sont réelles positives et telle que $D_A^2 = I - A^* A$ (resp. $D_(A^*)^2 = I - AA^*$ ). Indication : utiliser le théorème de réduction du préambule.
13)Montrer qu'il existe $q \in C[X]$ tel que $D_A = q(A^* A)$ et $D_(A^*) = q(AA^*)$ .
14)Déduire de la question précédente que
$A^* D_(A^*) = D_A A^* AD_A = D_(A^*)A.$
15)Montrer que la matrice $U \in M_(2n)(C)$ définie par
$U = (A, D_(A^*); - D_A, A^*)$
est unitaire.
16)En utilisant les matrices
$U_k = (A, D_(A^*), 0_n, \dots, 0_n; 0_n, 0_n, I_n; ⋮, ⋮, ⋱; 0_n, 0_n, I_n; - D_A, A^*, 0_n, \dots, 0_n),$
où $k$ est le nombre de matrice nulle $0_n$ de $M_n(C)$ sur la première ligne, démontrer l'inégalité de Von Neumann.
Indication : on notera l'analogie avec la matrice $U$ de la partie A. On montrera ainsi que pour $p$ de degré $⩽ k + 1$ , le premier bloc en haut à gauche de $p(U_k)$ est égal à $p(A)$ .
17)En déduire que pour toute matrice $A \in M_n(C)$ , on a
$‖p(A)‖ ⩽ ‖p‖_(𝔻(0, ‖A‖)).$

C- Hausdorffien et rayon numérique

Le Hausdorffien de

A \in M_n(C)

est par définition le sous-ensemble suivant de

C

H(A):={⟨Ax|x⟩|x ∈ C^n, ‖x‖ = 1}.

18)Montrer que $σ(A) \subset H(A)$ où $σ(A)$ est l'ensemble des valeurs propres de $A$ .
19)Montrer que pour $(λ_1, \dots, λ_n) \in C^n, H(diag(λ_1, \dots, λ_n))$ est l'enveloppe convexe de ${λ_1, …, λ_n}$ c'est à dire l'ensemble ${∑_(i = 1)^n α_i λ_i|∑_(i = 1)^n α_i = 1$ et $α_i \in R_+}$ .
20)En déduire $H(A)$ lorsque $A$ est unitaire (resp. hermitienne).
21)Montrer que $H((0, 1; 0, 0)) = 𝔻(0, 1/2)$ .
Indication : on pourra commencer par calculer $⟨Ax|x⟩$ pour $x = (a/(be^(iθ)))$ avec $a, b \in R_+$ et $a^2 + b^2 = 1$ .
22)Montrer que $H(A)$ est un fermé borné de C.

On introduit le rayon numérique

r(A)

A

défini par

r(A):=max_(z \in H(A))|z|.

23)Montrer que $1/2‖IA‖ ⩽ r(A) ⩽ ‖|A‖$ .
Pour la première inégalité, on pourra utiliser l'identité de polarisation
$4⟨Ax|y⟩ = ⟨A(x + y)|x + y⟩, - ⟨A(x - y)|x - y⟩; + i⟨A(x + iy)|x + iy⟩ - i⟨A(x - iy)|x - iy⟩.$
24)Montrer que $r : A \in M_n(C) \mapsto r(A) \in R_+$ est une norme.
25)En considérant les matrices $A = (0, 1; 0, 0)$ et $B = A^*$ , montrer que l'inégalité $r(AB) ⩽ r(A)r(B)$ n'est pas vraie.
26)On veut dans cette question montrer l'inégalité $r(A^k) ⩽ r(A)^k$ pour tout $k \in ℕ$ .
26-a) On suppose $k ⩾ 1$ . On note $ω_k = exp((2iπ)/k)$ une racine primitive $k$ -ème de l'unité. Partant de l'égalité polynomiale usuelle $X^k - 1 = \prod_(ℓ = 1)^k(X - ω_k^ℓ)$ , en déduire les égalités polynomiales
$1 - X^k = \prod_(ℓ = 1)^k(1 - ω_k^ℓ X) et 1 = 1/k\sum_(j = 1; ℓ)^k\prod_(ℓ = 1; ℓ \neq j)^k(1 - ω_k^ℓ X).$

- 26-b) Pour $x \in C^n$ de norme 1, on pose pour $j = 1, \dots, k$
  $x_j = (\prod_(ℓ = 1; ℓ \neq j)^k(I - ω_k^ℓ A))x.$
  Déduire de la question précédente la formule suivante :
  $1/k\sum_(j = 1)^k[‖x_j‖^2 - ⟨ω_k^j Ax_j|x_j⟩] = 1 - ⟨A^k x|x⟩.$
- 26-c) On suppose $r(A) ⩽ 1$ . Soit $θ$ un réel quelconque et soit $x \in C^n$ un vecteur unitaire. En écrivant l'égalité précédente pour $e^(iθ)A$ , montrer que la partie réelle de $1 - e^(ikθ)⟨A^k x|x⟩$ est toujours positive et en déduire que $r(A^k) ⩽ 1$ .
- 26-d) En déduire le résultat annoncé, i.e. $r(A^k) ⩽ r(A)^k$ pour tout $k \in ℕ$ et pour tout $A \in M_n(C)$ .

D- Conjecture de Crouzeix

La conjecture de Crouzeix s'énonce comme suit : pour toute matrice

A \in M_n(C)

et pour tout polynôme

p \in C[X]

on a

|‖p(A)‖ ⩽ 2‖p‖_(H(A)).

27)En étudiant l'exemple de $A = (0, 1; 0, 0)$ , montrer que la constante 2 dans la conjecture ne peut pas être améliorée.
28)En utilisant le résultat de la question 26), montrer que la formule (1) est toujours vérifiée pour les monômes $p(X) = X^k$ avec $k ⩾ 0$ entier.
29)Soient $A \in M_n(C), z = r(A)e^(iθ) \in H(A)$ et $p(X) = \sum_(k = 0)^r c_k X^k \in C[X]$ . On suppose qu'il existe $φ \in R$ tel que $c_k = |c_k|e^(i(φ - kθ))$ pour $0 ⩽ k ⩽ r$ . Montrer que (1) est vérifiée pour le couple $(A, p)$ considéré.
30)Un résultat de Okubo et Ando montre que si $B \in M_n(C)$ est telle que $r(B) ⩽ 1$ alors il existe une matrice inversible $X$ vérifiant $cond(X) ⩽ 2$ telle que $C:=X^(- 1)BX$ soit une contraction.
- 30-a) En utilisant le résultat de Okubo-Ando, montrer que
  $‖p(A)‖ ⩽ 2‖p‖_(𝔻(0, r(A))).$
- 30-b) En déduire, pour tout disque contenant $H(A)$ de bord $C$ , que
  $‖p(A)‖ ⩽ 2‖p‖_e.$

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de maths A X ENS MP MPI 2026 ?

Sur les majorations de normes de polynômes de matrices : principe du maximum, inégalité de Von Neumann, Hausdorffien et rayon numérique, puis conjecture de Crouzeix.

Quelles erreurs le jury de maths A X 2026 a-t-il relevées ?

Oubli du théorème des bornes atteintes, confusion entre disque et sphère unité, divisions par zéro possibles, récurrences superficielles, positivité admise, doubles inclusions non faites et raisonnements par simple analogie.

Faut-il finir le sujet de maths A X ENS 2026 pour avoir une bonne note ?

Non. Le jury indique qu'il n'était pas nécessaire de traiter tout le sujet pour obtenir une très bonne note, à condition de rédiger avec précision les questions abordées.

Quels chapitres réviser pour le sujet de maths A MP 2026 de l'X ?

Les normes subordonnées, les matrices unitaires et hermitiennes, la réduction et le théorème spectral, l'interpolation de Lagrange et la compacité avec le théorème des bornes atteintes.

Pas de description pour le moment

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