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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Jeudi 4 mai: 8 h − 12 h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé d'un seul problème.

Notations

  • Dans tout le sujet, 𝕂 désigne les corps ℝ ou ℂ, p désigne un entier supérieur ou égal à 2 . On note M_p(𝕂) le 𝕂-espace vectoriel des matrices carrées de taille p à coefficients dans 𝕂.
  • On note I_p la matrice unité de M_p(𝕂).
  • Si x = (x_1, …, x_p) est un vecteur de 𝕂^p, on note ‖x‖_∞ sa norme «infinie» définie par :
‖x‖_∞ = max{|x_i| | i ∈ [ [1, p] ]}.
  • On dit que x est un vecteur stochastique si ses coordonnées sont positives ou nulles et leur somme vaut 1 :
∀i ∈ [ [1, p] ], x_i ⩾ 0 et ∑_(i = 1)^p x_i = 1.
  • Une matrice A = (a_(i, j)) de M_p(ℝ) est dite stochastique si ses coefficients sont positifs ou nuls et si la somme des coefficients de chacune de ses lignes vaut 1 , c'est-à-dire si :
∀(i, j) ∈ [ [1, p] ]^2, a_(i, j) ⩾ 0 et ∀i ∈ [ [1, p] ], ∑_(j = 1)^p a_(i, j) = 1.
  • Une matrice A est dite strictement positive si tous ses coefficients sont strictement positifs. On note alors A > 0.
  • Si b_1, b_2, …, b_k sont des nombres complexes (respectivement des matrices carrées), on note diag(b_1, b_2, …, b_k) la matrice diagonale (respectivement diagonale par blocs) dont les coefficients diagonaux (respectivement blocs diagonaux) sont b_1, b_2, …, b_k.

Objectifs

Le sujet est constitué d'un seul problème qui traite de matrices stochastiques dans un contexte probabiliste de chaîne de Markov (partie I). On étudie le spectre d'une matrice stochastique A (partie II) et la suite des itérés de A (partie III). On introduit aussi la notion de probabilité invariante par A (partie IV), suivie de son calcul effectif par ordinateur (partie V).
La partie I est indépendante des autres parties. La partie IV utilise les deux résultats démontrés dans les parties II et III. La partie V est une partie informatique liée à la partie IV, mais qui peut être traitée de manière indépendante.

Partie I - Un exemple de chaîne de Markov

Une particule possède deux états possibles numérotés 1 et 2 et peut passer de son état à l'état 1 ou 2 de façon aléatoire. On considère un espace probabilisé ( Ω, F, P ) sur lequel on définit pour tout n ∈ ℕ, la variable aléatoire X_n égale à l'état de la particule au temps n. L'état de la particule au temps n + 1 dépend uniquement de son état au temps n selon les règles suivantes :
  • si au temps n la particule est dans l'état 1 , au temps n + 1 elle passe à l'état 2 avec une probabilité 1/2.
  • si au temps n la particule est dans l'état 2 , au temps n + 1, elle passe à l'état 1 avec une probabilité 1/4.
On suppose que P(X_0 = 1) = P(X_0 = 2) = 1/2.
Q1. Déterminer en justifiant la loi de X_1.
On pose μ_n = (P(X_n = 1), P(X_n = 2)) le vecteur ligne de ℝ^2 caractérisant la loi de X_n.
Q2. Justifier la relation matricielle suivante :
∀n ∈ ℕ, μ_(n + 1) = μ_n A avec A = (1/2, 1/2; 1/4, 3/4)
Q3. En déduire, à l'aide de la calculatrice, la loi de X_5 (on demande les résultats arrondis au centième).
Q4. Temps de premier accès à l'état 1 : on note T la variable aléatoire égale au plus petit entier n ∈ ℕ tel que X_n = 1. Déterminer P(T = 1), puis P(T = k) pour tout entier k ⩾ 2.
Q5. Justifier que A est diagonalisable, puis donner, sans détailler les calculs, une matrice Q inversible à coefficients entiers telle que
A = Qdiag(1, 1/4)Q^(− 1)
Q6. Justifier que les applications M ↦ QMQ^(− 1) et M ↦ μ_0 M définies sur M_2(ℝ) sont continues.
Q7. En déduire la convergence de la suite de matrices (A^n)_(n ∈ ℕ), puis de la suite de vecteurs lignes (μ_n)_(n ∈ ℕ). Préciser les coefficients du vecteur ligne obtenu comme limite.
La suite de variables aléatoires (X_n)_(n ∈ ℕ) est un cas particulier de variables aléatoires dont l'état à l'instant n + 1 ne dépend que de son état à l'instant n et pas des précédents. On dit alors que (X_n)_(n ∈ ℕ) est une chaîne de Markov. Plus généralement si (X_n)_(n ∈ ℕ) est une chaîne de Markov prenant ses valeurs dans [ [1, p] ], la loi des variables X_n est entièrement déterminée par la donnée de la loi de X_0 et d'une matrice stochastique A de M_p(ℝ).
Si on pose maintenant μ_n = (P(X_n = 1), P(X_n = 2), …, P(X_n = p)), l'étude du comportement de la loi de X_n lorsque n est grand, se ramène alors à l'étude de la convergence de la suite (μ_n)_(n ∈ ℕ) vérifiant la relation de récurrence μ_(n + 1) = μ_n A. Cela conduit à l'étude de la suite de matrices (A^n)_(n ∈ ℕ). C'est l'objet des parties suivantes.

Partie II - Spectre d'une matrice stochastique

Soit A une matrice stochastique de M_p(ℝ).
Q8. Justifier que 1 est valeur propre de A (on pourra considérer le vecteur colonne de ℝ^p dont toutes les coordonnées valent 1).
Q9. Soit x un vecteur colonne de ℂ^p. Démontrer que ‖Ax‖_∞ ⩽ ‖x‖_∞.
Q10. En déduire que si λ ∈ ℂ est une valeur propre de A, on a |λ| ⩽ 1.

Localisation des valeurs propres

Soit λ ∈ ℂ une valeur propre de A.
Q11. Justifier l'existence d'un vecteur colonne x = (x_1, …, x_p) de ℂ^p tel que ‖x‖_∞ = 1 et Ax = λx.
Q12. Soit i ∈ [ [1, p] ] tel que |x_i| = 1. Démontrer que :

Étude d'un exemple

|λ − a_(i, i)| ⩽ 1 − a_(i, i).
Q13. Dans cette question uniquement, on prend:
A = (1/2, 1/4, 1/4; 1/6, 1/6, 4/6; 1/3, 1/3, 1/3).
Déduire de la question précédente que les valeurs propres de A sont contenues dans la réunion de trois disques, que l'on représentera en précisant leurs centres et leurs rayons.
On constate en particulier sur l'exemple que 1 est la seule valeur propre de A de module 1. On admettra, dans la suite du problème, que cette propriété reste vraie pour toute matrice stochastique strictement positive.

Cas des matrices stochastiques strictement positives

Q14. On suppose en plus pour cette question et la question suivante que la matrice A est strictement positive. On pose B = A − I_p et on note B^′ la matrice de M_(p − 1)(ℝ) obtenue en supprimant la dernière colonne et la dernière ligne de B.
Soit λ ∈ ℂ une valeur propre de B^′.
On admet qu'il existe un entier i ∈ [ [1, p − 1] ] tel que :
|λ − (a_(i, i) − 1)| ⩽ 1 − a_(i, i) − a_(i, p).
La démonstration (non demandée) de cette inégalité est similiaire à celle de la question Q12. Déduire de cette inégalité que B^′ est inversible.
Q15. En déduire que dim Ker(A − I_p) = 1.
On admet sans démonstration que 1 est racine simple du polynôme caractéristique de A. On dit alors que 1 est une valeur propre simple de A. Nous pouvons résumer les résultats de cette partie par la Proposition 1 ci-dessous.
Proposition 1. Soit A une matrice stochastique de M_p(ℝ) strictement positive. Alors 1 est valeur propre simple et les autres valeurs propres ont un module strictement inférieur à 1 .

Partie III - Itérées d'une matrice stochastique

On démontre dans cette partie la proposition suivante :
Proposition 2. Pour toute matrice A ∈ M_p(ℝ), stochastique et strictement positive, la suite (A^n)_(n ∈ ℕ) converge dans M_p(ℝ).

Un contre-exemple

Q16. On considère s la symétrie orthogonale de ℝ^2 par rapport à la droite d'équation y = x. Donner, sans justification, la matrice B de s dans la base canonique de ℝ^2.
Q17. La Proposition 2 reste-t-elle vraie si la matrice stochastique n'est pas strictement positive?

Résultat préliminaire

Soit λ un nombre complexe avec |λ| < 1 et N une matrice nilpotente de M_p(ℂ).
Q18. Démontrer que N^p = 0.
Q19. Soit k ∈ ℕ. Justifier que pour n au voisinage de + ∞, (n/k) est équivalent à (n^k)/(k!). En déduire la limite lorsque n tend vers + ∞ de (n/k)λ^(n − k).
Q20. En déduire que la suite de matrices ((λI_p + N)^n)_(n ∈ ℕ) converge vers la matrice nulle.

Convergence d'une suite de matrices

Soit A une matrice stochastique et strictement positive de M_p(ℝ). On sait, d'après la Proposition 1, que 1 est valeur propre simple de A. Si λ_1, …, λ_r sont les autres valeurs propres complexes de A, un théorème du cours montre que A est semblable sur ℂ à une matrice diagonale par blocs du type
diag(1, λ_1 I_(p_1) + N_1, …, λ_r I_(p_r) + N_r),
avec p_1, …, p_r des entiers et N_1, …, N_r des matrices nilpotentes à coefficients complexes.
Q21. Déduire des questions Q18 à Q20 que la suite (A^n)_(n ∈ ℕ) converge.

Partie IV - Probabilité invariante par une matrice stochastique

Définition. Soit A ∈ M_p(ℝ) une matrice stochastique. On dit que A admet une probabilité invariante s'il existe un vecteur ligne stochastique μ ∈ ℝ^p tel que μA = μ (on dit alors que μ est une probabilité invariante par A ).
Le but de cette partie est de démontrer la propriété énoncée dans la Proposition 3 ci-dessous.
Proposition 3. Soient A ∈ M_p(ℝ) une matrice stochastique strictement positive et μ_0 ∈ ℝ^p un vecteur ligne stochastique. On note (μ_n)_(n ∈ ℕ) la suite de vecteurs lignes de ℝ^p définie par la relation: ∀n ∈ ℕ, μ_(n + 1) = μ_n A. Alors, la suite (μ_n)_(n ∈ ℕ) converge vers un vecteur stochastique μ_∞ vérifiant μ_∞ = μ_∞A. De plus, le vecteur μ_∞ est l'unique probabilité invariante par A (il ne dépend donc pas du choix de μ_0 ).
Soient A ∈ M_p(ℝ) une matrice stochastique strictement positive et (μ_n)_(n ∈ ℕ) la suite définie ci-dessus.
Q22. Démontrer que l'ensemble des vecteurs stochastiques de ℝ^n est une partie fermée de ℝ^n.

Convergence de la suite

Q23. Démontrer que la suite (μ_n)_(n ∈ ℕ) converge vers un vecteur μ_∞ vérifiant μ_∞ = μ_∞A.
Q24. Soit μ = (m_1, …, m_p) un vecteur ligne stochastique. Démontrer que μA est encore un vecteur stochastique.
Q25. En déduire que μ_∞ est une probabilité invariante par A.

Unicité de la probabilité invariante

Q26. Lien avec le spectre de la transposée de A : soit μ ∈ ℝ^p un vecteur ligne stochastique. Justifier que μ est une probabilité invariante pour A, si et seulement si le vecteur colonne ^t μ est un vecteur propre de ^t A associé à la valeur propre 1 .
Q27. Justifier, en utilisant la question Q15, que dimKer(^t A − I_p) = 1.
Q28. En déduire que A admet une unique probabilité invariante.

Partie V - Informatique : calcul effectif de la probabilité invariante d'une matrice stochastique strictement positive

Si A est une matrice stochastique strictement positive, on a établi dans la partie précédente la convergence de la suite (μ_n)_(n ∈ ℕ) associée à la matrice A. Ceci fournit un algorithme de calcul de la probabilité invariante par A. On en propose une implémentation en langage Python. On sera très attentif à la rédaction et notamment à l'indentation du code.
Un vecteur x de ℝ^p sera représenté en Python par une liste de flottants. Par exemple, le vecteur x = (1, 2, 3) de ℝ^3 sera représenté par la liste [1, 2, 3]. De même, une matrice A sera représentée par une liste dont les éléments sont les lignes de la matrice. Par exemple, la matrice
A = (1, 2, 3; 4, 5, 6) sera représentée par la liste [[1, 2, 3], [4, 5, 6]].
Q29. On exécute le script suivant A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9], [10, 11, 12]] qui représente la matrice A = (1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9; 10, 11, 12).
Donner les valeurs renvoyées lorsque l'on exécute len (A), A [1] et A [2] [1] .
Q30. Écrire une fonction difference qui prend en arguments deux vecteurs x et y de même taille et renvoie le vecteur x − y. Par exemple si x = (5, 2) et y = (3, 7), difference (x, y) renverra [2, − 5].
Q31. Écrire une fonction norme qui prend en arguments un vecteur x = (x_1, …, x_p) et renvoie sa norme infinie ‖x‖_∞ = max{|x_i|| i ∈ [ [1, p] ]} (on pourra utiliser librement la fonction abs qui renvoie la valeur absolue d'un nombre, mais on s'interdit l'utilisation de la fonction max déjà implémentée dans Python).
Q32. Écrire une fonction itere qui prend en arguments un vecteur ligne x et une matrice A carrée de même taille que x et qui renvoie le vecteur xA. Par exemple si x = (1, 1) et A = (1, 2; 4, 5), on a xA = (5, 7) et donc itere (x, A) renverra [5, 7].
Q33. On a vu, dans la Partie IV, que si A est une matrice strictement positive, la suite de vecteurs lignes de ℝ^p associée (μ_n)_(n ∈ ℕ) définie par la relation : ∀n ∈ ℕ, μ_(n + 1) = μ_n A convergeait vers un vecteur μ_∞ indépendant du choix de μ_0 vecteur stochastique.
Écrire une fonction probaInvariante qui prend en arguments une matrice stochastique strictement positive A de M_p(ℝ) et un réel ε > 0 et qui renvoie le premier terme μ_k de la suite (μ_n)_(n ∈ ℕ) avec μ_0 = (1/p, 1/p, …, 1/p) tel que ‖μ_k − μ_(k − 1)‖_∞ ⩽ ε. On ne demandera pas à l'algorithme de vérifier que la matrice passée en argument est bien stochastique et strictement positive.
Par exemple, si A = (1/2, 1/2; 1/4, 3/4) et ε = 10^(− 6),
probaInvariante(A,eps) renverra [0.33333396911621094, 0.6666660308837891].

FIN

Pas de description pour le moment