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CCINP Mathématiques 2 MP 2016Sujet, corrigé et rapport du jury

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Mathématiques 2 CCINP MP : algorithmes de calcul du pgcd, valeurs propres et polynômes de Hermite
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Le sujet comporte deux exercices et un problème. L'exercice I étudie deux algorithmes de calcul du pgcd de deux entiers, dont l'algorithme d'Euclide appliqué à la suite de Fibonacci. L'exercice II met en œuvre les propriétés élémentaires des valeurs propres d'une matrice réelle. Le problème III étudie un problème d'interpolation de Hermite et une famille de polynômes orthogonaux, les polynômes de Hermite.

  1. 1Exercice I : algorithmes de calcul du pgcdÉcriture en Python d'un algorithme naïf puis de l'algorithme d'Euclide (itératif et récursif), application à la suite de Fibonacci.
  2. 2Exercice II : valeurs propres d'une matrice réellePropriétés élémentaires des valeurs propres et des polynômes annulateurs d'une matrice à coefficients réels.
  3. 3Problème III : interpolation et polynômes de HermitePropriétés arithmétiques des polynômes en préliminaire, problème d'interpolation de Hermite, puis étude des polynômes de Hermite pour un produit scalaire donné.

Accessible. Le rapport indique que le sujet présentait de nombreuses questions faciles et classiques, la moyenne de 12,03 sur 20 étant jugée convenable avec des notes bien étalées (écart-type 3,88).

L'épreuve en chiffres

Moyenne 12,03 / 20 · écart-type 3,88 · où vous situez-vous ?
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Moyenne
12,03/ 20
Écart-type
3,88
moyenne 12,0305101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Erreur d'indice dans la commande range · Test d'arrêt incorrect dans l'algorithme d'Euclide · Confusion entre polynômes annulateurs
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Le sujet présentait de nombreuses questions faciles et classiques, et la plupart des candidats sont arrivés au bout, même sans toutes les traiter. Ce sujet a permis de bien classer les candidats, avec une moyenne convenable de 12,03 sur 20 et des notes bien étalées.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Erreur d'indice dans la commande rangeI.1

    L'erreur la plus fréquente a été d'écrire min(a,b) à la place de min(a,b)+1 dans la commande range.

  2. 2
    Test d'arrêt incorrect dans l'algorithme d'EuclideI.2

    De nombreux candidats utilisent le test d'arrêt if a%b==0 à la place de if b==0, ce qui pose problème si b vaut 0.

  3. 3
    Confusion entre polynômes annulateursII.1-2

    On a trop souvent rencontré une confusion entre les différents polynômes annulateurs ; il n'y a pas que le polynôme caractéristique et le polynôme minimal.

  4. 4
    Théorème de Gauss non utiliséIII.1.b

    Le théorème de Gauss n'est pas souvent connu ; on trouve beaucoup de copies qui répondent à la question sans jamais l'utiliser alors qu'il était demandé.

  5. 5
    Implication réciproque démontrée par erreurIII.1.a

    De nombreux candidats ont démontré la réciproque de l'implication demandée, pensant démontrer une implication en démontrant sa contraposée à tort.

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 1, 2 et 4 de l'exercice I, qui demandaient d'écrire des fonctions, ont été généralement traitées avec une réussite convenable.
  • La question 2 du problème III a été bien traitée en général.
  • Les questions 6 et 7 du problème III ont été bien traitées dans l'ensemble.

Conseils du jury

  • Détailler suffisamment les calculs pour ne pas obliger le correcteur à les refaire à la place du candidat.
  • Bien identifier la nature exacte d'un polynôme annulateur avant de le manipuler (caractéristique, minimal ou autre).
  • Lire attentivement l'énoncé pour utiliser précisément le théorème ou la méthode explicitement demandée.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Jeudi 5 mai: 8 h − 12 h
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.

EXERCICE I: INFORMATIQUE

Les algorithmes demandés doivent être écrits en Python. On sera très attentif à la rédaction et notamment à l'indentation du code. Cet exercice étudie deux algorithmes permettant le calcul du pgcd (plus grand commun diviseur) de deux entiers naturels.
I.1. Pour calculer le pgcd de 3705 et 513, on peut passer en revue tous les entiers 1, 2, 3, ⋯, 512, 513 puis renvoyer parmi ces entiers le dernier qui divise à la fois 3705 et 513 . Il sera alors bien le plus grand des diviseurs communs à 3705 et 513 . Écrire une fonction gcd qui renvoie le pgcd de deux entiers naturels non nuls, selon la méthode décrite ci-dessus. On pourra éventuellement utiliser librement l'instruction min ( a, b ) qui calcule le minimum de a et b. Par exemple gcd(3705, 513 ) renverra 57.
I.2. L'algorithme d'Euclide permet aussi de calculer le pgcd. Voici une fonction Python nommée euclide qui implémente l'algorithme d'Euclide.
def euclide(a,b):
    """Donn\'ees: a et b deux entiers naturels
        R\'esultat: le pgcd de a et b, calcul\'e par l'algorithme d'Euclide"""
    u = a
    v = b
    while v != 0:
        r = u % v
        u = v
        v = r
    return u
Écrire une fonction «récursive» euclide_rec qui calcule le pgcd de deux entiers naturels selon l'algorithme d'Euclide.
I.3. On note (F_n)_(n ∈ ℕ) la suite des nombres de Fibonacci définie par:
F_0 = 0, F_1 = 1, ∀n ∈ ℕ, F_(n + 2) = F_(n + 1) + F_n.
I.3.a. Écrire les divisions euclidiennes successivement effectuées lorsque l'on calcule le pgcd de F_6 = 8 et F_5 = 5 avec la fonction euclide.
I.3.b. Soit n ≥ 2 un entier. Quel est le reste de la division euclidienne de F_(n + 2) par F_(n + 1) ? On pourra utiliser librement que la suite (F_n)_(n ∈ ℕ) est strictement croissante à partir de n = 2. En déduire, sans démonstration, le nombre u_n de divisions euclidiennes effectuées lorsque l'on calcule le pgcd de F_(n + 2) et F_(n + 1) avec la fonction euclide.
I.3.c. Comparer pour n au voisinage de + ∞, ce nombre u_n, avec le nombre v_n de divisions euclidiennes effectuées pour le calcul du pgcd de F_(n + 2) et F_(n + 1) par la fonction gcd. On pourra utiliser librement que F_n est équivalent, au voisinage de + ∞, à φ^n/√5 où φ = (1 + √5)/2 est le nombre d'or.
I.4. Écrire une fonction fibo qui prend en argument un entier naturel n et renvoie le nombre de Fibonacci F_n. Par exemple, fibo (6) renverra 8.
I.5. En utilisant la fonction euclide, écrire une fonction gcd_trois qui renvoie le pgcd de trois entiers naturels. Par exemple, gcd_trois (18, 30, 12) renverra 6.

EXERCICE II

Pour tout entier naturel non nul n, on note ℳ_n(𝕂) l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans le corps 𝕂.
Dans cet exercice, A est une matrice de ℳ_n(ℝ) telle que A^3 + A^2 + A = 0.
II.1. Démontrer que les valeurs propres complexes de A prennent au maximum trois valeurs distinctes que l'on précisera.
II.2. Justifier que A est diagonalisable dans ℳ_n(ℂ).
II.3. Démontrer que si A est inversible alors det(A) = 1.

PROBLÈME III

Les deux premières parties du problème sont indépendantes. La deuxième partie étudie un exemple d'interpolation de Hermite et la troisième partie quelques propriétés d'une famille de polynômes qui portent le nom de ce même mathématicien.
On note ℝ[X] l'algèbre des polynômes à coefficients réels et, pour tout entier naturel n, ℝ_n[X] le sous-espace vectoriel de ℝ[X] constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à n. On note ℝ(X) le corps des fractions rationnelles à coefficients réels.
Pour tout polynôme P ∈ ℝ[X], on note P^′ le polynôme dérivé de P et, pour tout entier naturel n, on note P^((n)) le n-ième polynôme dérivé de P. Pour tout entier naturel non nul n, on note ℳ_n(ℝ) l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels.

Première partie : questions préliminaires

Soit n un entier naturel non nul.
III.1. Soit P et Q deux polynômes non nuls à coefficients complexes.
III.1.a. Démontrer que si P et Q n'ont aucune racine complexe commune, alors P et Q sont premiers entre eux (on pourra raisonner par l'absurde).
III.1.b. On suppose que P et Q sont premiers entre eux. En utilisant le théorème de Gauss, démontrer que si P et Q divisent un troisième polynôme R à coefficients complexes, alors il en est de même du polynôme PQ.
III.2. Soit (P_i)_(1 ≤ i ≤ n) une famille de polynômes non nuls de ℝ[X]. On considère le polynôme P ∈ ℝ[X] et la fraction rationnelle Q ∈ ℝ(X) définis par P = ∏_(i = 1)^n P_i et Q = (P^′)/P.
Démontrer par récurrence que Q = ∑_(i = 1)^n(P_i^′)/(P_i).

Deuxième partie : interpolation de Hermite

Soit I un intervalle non vide de ℝ, p un entier naturel non nul, (x_i)_(1 ≤ i ≤ p) une famille d'éléments de I distincts deux à deux et (a_i)_(1 ≤ i ≤ p) et (b_i)_(1 ≤ i ≤ p) deux familles de réels quelconques.

III.3. Définition du polynôme interpolateur de Hermite

III.3.a. Soit P ∈ ℝ[X] et a ∈ ℝ. En utilisant la formule de Taylor, démontrer que :
si P(a) = P^′(a) = 0 alors (X − a)^2 divise P.
III.3.b. En utilisant la question préliminaire III.1, démontrer que l'application φ de ℝ_(2p − 1)[X] vers ℝ^(2p) définie par
φ(P) = (P(x_1), P(x_2), …, P(x_p), P^′(x_1), P^′(x_2), …, P^′(x_p))
est une application linéaire bijective de ℝ_(2p − 1)[X] sur ℝ^(2p).
III.3.c. Démontrer qu'il existe un unique polynôme P_H ∈ ℝ_(2p − 1)[X] tel que, pour tout entier i vérifiant 1 ≤ i ≤ p, on a P_H(x_i) = a_i et P_H^′(x_i) = b_i.
Le polynôme P_H est appelé polynôme d'interpolation de Hermite.

III.4. Étude d'un exemple

Déterminer le polynôme d'interpolation de Hermite (défini à la question III.3) lorsque p = 2, x_1 = − 1, x_2 = 1, a_1 = 1, a_2 = 0, b_1 = − 1 et b_2 = 2 (si, au cours de ses calculs, le candidat a besoin d'inverser une matrice, il pourra le faire sans justification à l'aide de sa calculatrice).

III.5. Une formule explicite

Pour tout entier i tel que 1 ≤ i ≤ p, on considère le polynôme Q_i = ∏_(j = 1; j ≠ i)^p((X − x_j)/(x_i − x_j))^2.
III.5.a. Soit i un entier vérifiant 1 ≤ i ≤ p. Calculer Q_i(x_k) pour tout entier k tel que 1 ≤ k ≤ p et démontrer qu'on a
Q_i^′(x_k) = 0 si k ≠ i et Q_i^′(x_i) = ∑_(j = 1; j ≠ i)^p 2/(x_i − x_j)
On pourra utiliser la question préliminaire III.2.
III.5.b. Démontrer que le polynôme P défini par la formule
P = ∑_(i = 1)^p[(1 − Q_i^′(x_i)(X − x_i))a_i + (X − x_i)b_i]Q_i
est le polynôme d'interpolation de Hermite défini à la question III.3.
III.5.c. Retrouver le polynôme de la question III. 4 en utilisant cette formule.

Troisième partie : polynômes de Hermite

Soit (H_n)_(n ∈ ℕ) la famille de polynômes définie par H_0 = 1 et, pour tout n ∈ ℕ, H_(n + 1) = XH_n − H_n^′.
III.6. Démontrer que, pour tout n ∈ ℕ, H_n est un polynôme unitaire de degré n.
III.7. Démontrer que, pour tout n ∈ ℕ, H_(n + 1)^′ = (n + 1)H_n.
Pour tous polynômes P et Q à coefficients réels, on pose
⟨P|Q⟩ = ∫_(− ∞)^(+ ∞)P(x)Q(x)f(x)dx
la fonction f étant définie sur ℝ par f(x) = 1/(√(2π))exp(− (x^2)/2). On rappelle que ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x)dx = 1.

III.8. Un produit scalaire sur ℝ[X]

III.8.a. Justifier, pour tous polynômes P et Q dans ℝ[X], l'existence de l'intégrale qui définit ⟨P|Q⟩.
III.8.b. Démontrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur ℝ[X].

III.9. Une famille orthogonale

Dans la suite, ℝ[X] est muni de ce produit scalaire et de la norme associée notée ‖. ‖.
III.9.a. Démontrer que, pour tout P ∈ ℝ[X] et pour tout n ∈ ℕ, ⟨P|H_n⟩ = ⟨P^((n))|H_0⟩.
III.9.b. En déduire que, pour tout n ∈ ℕ, la famille ( H_0, H_1, …, H_n ) est une base orthogonale de ℝ_n[X].
III.9.c. Calculer ‖H_n‖ pour tout n ∈ ℕ.
III.9.d. Soit P = X^3 + X^2 + X + 1. Préciser les polynômes H_1, H_2 et H_3 puis déterminer quatre réels a_i(0 ≤ i ≤ 3) tels que P = ∑_(i = 0)^3 a_i H_i. En déduire la distance d du polynôme P au sous-espace ℝ_0[X] des polynômes constants, c'est-à-dire la borne inférieure de ‖P − Q‖ quand Q décrit ℝ_0[X].

III.10. Étude des racines des polynômes H_n

Soit n ∈ ℕ. On note p le nombre de racines réelles (distinctes) d'ordre impair du polynôme H_n, a_1, a_2, …, a_p ses racines et S le polynôme défini par
S = 1 si p = 0 et S = ∏_(i = 1)^p(X − a_i) sinon.
III.10.a. Démontrer que, si p < n, alors ⟨S|H_n⟩ = 0.
III.10.b. Démontrer que, pour tout x ∈ ℝ, S(x)H_n(x) ≥ 0.
III.10.c. En déduire que H_n a n racines réelles distinctes.

Fin de l'énoncé

IMPRIMERIE NATIONALE - 161214 - D'après documents fournis

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte mathématiques 2 CCINP MP 2016 ?
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Sur quels chapitres porte mathématiques 2 CCINP MP 2016 ?

Le sujet porte sur les algorithmes de calcul du pgcd en Python, les valeurs propres et polynômes annulateurs d'une matrice réelle, ainsi que l'interpolation et les polynômes orthogonaux de Hermite.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à mathématiques 2 CCINP MP 2016 ?

Une erreur d'indice dans la commande range, un test d'arrêt incorrect dans l'algorithme d'Euclide, une confusion entre les différents polynômes annulateurs, et un théorème de Gauss non utilisé malgré la consigne.

Mathématiques 2 CCINP MP 2016 est-il un sujet accessible ?

Oui, le rapport le décrit comme présentant de nombreuses questions faciles et classiques, avec une moyenne convenable de 12,03 sur 20.

Pas de description pour le moment