Mines Mathématiques 2 MP MPI 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Le critère de Schur-Cohn : compter les racines d'un polynôme scindé dans l'intervalle ]-1,1[ via une matrice symétrique associée

Le sujet établit le critère de Schur-Cohn, qui relie le nombre de racines d'un polynôme réel scindé situées dans l'intervalle ]-1,1[ au nombre de valeurs propres strictement positives d'une matrice symétrique J(p) construite à partir de ce polynôme. Il enchaîne l'étude du polynôme réciproque et des racines stables, la liberté d'une famille de polynômes associés, la construction et la diagonalisation de J(p), la démonstration du critère lorsque J(p) est inversible, puis des compléments (cas non inversible, cas particulier, méthode générale) presque pas abordés par les candidats faute de temps.

1Partie A : propriétés du polynôme p0 et stabilité des racinespremière annéeManipulations du polynôme réciproque et étude des racines dites stables.
2Partie B : liberté d'une famille de polynômespremière annéeÉtude de la liberté d'une famille de polynômes associée aux racines de p, selon qu'il existe ou non des racines stables.
3Partie C : expression de la matrice J(p)première annéeConstruction de la matrice J(p) et preuve d'une factorisation matricielle J(p) = V D V^T.
4Partie D : cas où J(p) est inversible, critère de Schur-Cohndeuxième annéeDémonstration du critère de Schur-Cohn à l'aide de la réduction des matrices symétriques et de vecteurs propres orthogonaux.
5Partie E : condition nécessaire et suffisante d'inversibilitéBilan des parties précédentes pour caractériser l'inversibilité de J(p).
6Parties F et G : cas particulier et méthode généraleÉtude d'un cas particulier puis proposition d'une méthode générale pour calculer le nombre de racines dans ]-1,1[.

Difficile. Le rapport indique que le sujet était très long, avec certaines questions assez difficiles, notamment la partie D qui utilise la réduction de deuxième année ; les deux dernières parties n'ont presque pas été abordées par les candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 11,76 / 20 · écart-type 4,55 · 5 347 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 11,76/ 20
Écart-type: 4,55
Présents: 5 347
Coefficient: 5
Durée: 4 h
1er quartile: 8,2
Médiane: 11,4
3e quartile: 15,3

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 24 avril 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Argument manquant pour passer d'une égalité sur R* à R · Confusion entre réciproque et contraposée, et sur « premiers entre eux » · Hypothèses d'un théorème non vérifiées

Le jury déplore que la majorité des candidats ne vérifie pas les hypothèses avant d'appliquer un théorème, en particulier pour le théorème de Rolle à la question 5. Il déplore aussi une présentation des copies rendant la lecture difficile, avec un malus prévu au barème pour ce point, mais note que le barème tenait compte de la longueur du sujet.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Argument manquant pour passer d'une égalité sur R* à RQ1
À la question 1, la plupart des candidats n'ont pas vu qu'il fallait un argument supplémentaire pour justifier qu'une égalité vraie sur R étoile était en fait vraie sur R tout entier.
« il y avait un argument supplémentaire à donner »
2
Confusion entre réciproque et contraposée, et sur « premiers entre eux »Q2
À la question 2, la réciproque est trop souvent confondue avec la contraposée, et trop de candidats pensent que « premiers entre eux » signifie « ne pas avoir de racine commune ».
« trop de candidats pensent que « premiers entre eux » signifie « ne pas avoir de racine commune »
3
Hypothèses d'un théorème non vérifiéesQ5
À la question 5, la majorité des copies invoque le théorème de Rolle sans évoquer aucune hypothèse, ce qui illustre un défaut général relevé par le jury.
« la plupart des candidats semblent ne même pas se douter que, pour appliquer un théorème, il faut vérifier les hypothèses »
4
Propriétés de liberté inventéesQ6
À la question 6, trop de candidats déclarent que des polynômes admettant une racine commune sont forcément liés, ou déduisent à tort la liaison de la famille (f1,...,fn) d'une propriété insuffisante.
« il vaut mieux ne rien écrire que d’inventer des propriétés qui n’existent pas »
5
Vecteurs propres orthogonaux non mobilisésQ16, Q17
Aux questions 16 et 17, trop peu de candidats ont vu la nécessité de disposer de vecteurs propres orthogonaux, voire d'une base orthonormale.
« trop peu d’élèves ont vu la nécessité d’avoir des vecteurs propres orthogonaux »
6
Numéros de questions non cités à l'appui d'un résultatQ20
À la question 20, le jury précise que les numéros des questions utilisées doivent être cités explicitement, et non remplacés par une simple formule comme « d'après ce qui précède ».
« on ne peut pas se contenter de dire : « d’après ce qui précède »

Ce qui a été bien réussi

La première partie, portant uniquement sur des manipulations de polynômes, était abordable dès la première année.
La deuxième partie, sur la liberté d'une famille de polynômes, était la plus abordable du sujet.
La cinquième partie était assez simple car elle consistait à faire le bilan des questions précédentes.
La question 11, calculatoire et difficile, a tout de même été résolue par un nombre important de candidats.

Conseils du jury

Vérifier systématiquement les hypothèses d'un théorème avant de l'appliquer, y compris pour des résultats classiques comme le théorème de Rolle.
Écrire lisiblement, avec une encre foncée, un stylo qui ne bave pas, et éviter les ratures en préférant barrer avec une règle.
Citer explicitement les numéros des questions utilisées pour justifier un résultat déjà démontré.
Éviter le formalisme excessif tout en assurant la rigueur des raisonnements, et ne pas tenter de dissimuler un raisonnement incomplet par une pirouette.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2025

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations et objectifs du problème

Dans tout le problème :

$n$ désigne un entier naturel non nul et l'ensemble ${1, 2, \dots, n}$ est noté $[ [1, n] ]$ .
$M_n(R)$ (respectivement $S_n(R)$ , resp. $D_n(R)$ , resp. $GL_n(R)$ ), désigne l'ensemble des matrices carrées (resp. symétriques, resp. diagonales, resp. inversibles) réelles de taille $n$ , et on confond un élément de $M_1(R)$ avec son unique coefficient;
si $M \in M_n(R)$ , on note $M^⊤$ sa transposée et pour tout $(i, j) \in [ [1, n] ]^2$ , on note $M_(i, j)$ le coefficient de M situé à la $i$ -ème ligne et la $j$ -ème colonne;
on note $π(M)$ le nombre de valeurs propres réelles strictement positives de $M$ comptées avec leur multiplicité, ainsi par exemple $π(I_n) = n$ ;
si $(u_1, \dots, u_n) \in R^n$ on note $Diag(u_1, \dots, u_n)$ la matrice $D \in D_n(R)$ telle que $D_(i, i) = u_i$ pour tout $i \in [ [1, n] ]$ ;
si $f$ et $g$ sont deux polynômes non simultanément nuls, on note $f \land g$ leur PGCD ;
si $f$ est un polynôme, on note également $f$ sa fonction polynomiale associée;
on note $σ(f)$ le nombre de racines réelles de $f$ appartenant à l'intervalle $] - 1; 1[$ , comptées avec leur multiplicité, ainsi par exemple $σ(X^2(X - 1)(X + 1)) = 2$ ;
on dit que le réel $α$ est une racine stable de $f$ si $α \neq 0$ et $f(α) = f(α^(- 1)) = 0$ ;
si $f$ est un polynôme de degré $m \in N$ et s'écrit

f = a_m X^m + a_(m - 1)X^(m - 1) + \dots + a_1 X + a_0 = \sum_(k = 0)^m a_k X^k

on note

f_0

son polynôme réciproque, défini par

f_0 = a_0 X^m + a_1 X^(m - 1) + \dots + a_(m - 1)X + a_m = \sum_(k = 0)^m a_(m - k)X^k

on note $U = (1, 0, \dots, 0)^⊤$ la matrice colonne de taille $n$ dont le premier coefficient est égal à 1 et les autres à 0 ;
on note S la matrice de $M_n(R)$ dont tous les coefficients sont nuls sauf les $n - 1$ coefficients situés juste au-dessus de la diagonale, égaux à 1 :

\forall(i, j) \in [ [1, n] ]^2 S_(i, j) = δ_(i + 1, j) (symbole de Kronecker);

pour tout polynôme réel $f$ on définit la matrice $J(f) \in S_n(R)$ par

J(f) = f_0(S)^⊤f_0(S) - f(S)^⊤f(S)

Dans ce problème

p

désigne un polynôme à coefficients réels, scindé sur

R

de degré

n

p = a_n X^n + a_(n - 1)X^(n - 1) + \dots + a_1 X + a_0 = \sum_(k = 0)^n a_k X^k, a_n \neq 0

et on note

α_1 \leq \dots \leq α_n

ses racines toutes réelles, comptées avec leurs multiplicités.

L'objectif du problème est d'établir l'égalité

σ(p) = π(J(p))

(critère de Schur-Cohn) dans le cas où

J(p)

est inversible, puis de proposer une démarche générale permettant de compter les racines de

p

dans

] - 1; 1[

, lorsque la matrice

J(p)

n'est pas inversible.

Ces résultats, généralisables aux polynômes à coefficients complexes, sont utiles dans l'étude de la stabilité de certains systèmes dynamiques.

A. Propriétés du polynôme $p_0$ et stabilité des racines

1▹

Montrer que

p_0

, le polynôme réciproque de

p

, vérifie

\forallx \in R^* p_0(x) = x^n p(1/x)

et en déduire que

p_0 = a_n\prod_(j = 1)^n(1 - α_j X)

2▹

Montrer que

p \land p_0 = 1

si et seulement si

p

ne possède pas de racine stable.

Jusqu'à la fin de la partie A. on suppose que toutes les racines de

p

sont stables et d'ordre de multiplicité 1.

3▹ Justifier qu'il existe λ ∈ { − 1, 1} tel que p = λp_0.

Soit

h

le polynôme de degré

n

défini par

h(X) = Xp^'

, où

p^'

est le polynôme dérivé de

p

. On note

h_0

(p^')_0

les polynômes réciproques respectifs de

h

p^'

▹

Montrer que

h = np - λ(p^')_0

, puis que

h_0 = λ(np - Xp^')

5▹

Vérifier que

p^'

est scindé sur

R

puis montrer que

h \land h_0 = 1

et en déduire que

p^'

n'admet pas de racine stable.

B. Liberté d'une famille de polynômes

Pour tout entier

j \in [ [1, n] ]

, on note

f_j

le polynôme

f_j = a_n(1 - α_n X)\dots(1 - α_(j + 1)X)(X - α_(j - 1))\dots(X - α_1) = a_n\prod_(k = j + 1)^n(1 - α_k X)\prod_(k = 1)^(j - 1)(X - α_k)

avec, selon les conventions habituelles,

\prod_(k = n + 1)^n(1 - α_k X) = \prod_(k = 1)^0(X - α_k) = 1

6▹

Montrer que s'il existe deux entiers

i, k

tels que

1 \leq i < k \leq n

α_i α_k = 1

, alors

α_i

est racine de chaque polynôme

f_j

, où

j \in [ [1, n] ]

, et que la famille (

f_1, \dots, f_n

) est liée.

Jusqu'à la fin de la partie B. on suppose qu'aucune racine de

p

n'est stable.
On note

E

le sous-espace vectoriel des fractions rationnelles à coefficients réels dont les éventuels pôles sont des inverses de racines de

p

(on ne demande pas de justifier que

E

est un espace vectoriel). Les éléments de

E

sont donc les fractions rationnelles dont le dénominateur peut s'écrire comme produit fini, éventuellement égal à 1 , de facteurs (

1 - α_i X

) où

1 \leq i \leq n

Pour tout

j \in [ [1, n] ]

, on définit la fraction rationnelle

g_j \in E

par

g_j = (f_j)/(\prod_(i = 1)^n(1 - α_i X))

et l'application

P_j

, qui à une fraction rationnelle

f \in E

associe la fraction rationnelle

P_j(f) = ((1 - α_j X)f - (1 - α_j^2)f(α_j))/(X - α_j).

7▹

Montrer que pour tout

j \in [ [1, n] ]

, l'application

P_j

est un endomorphisme de

E

et déterminer son noyau.

8▹

Pour tout

j \in [ [1, n] ]

et tout

g \in E

, calculer

P_j(((X - α_j)g)/(1 - α_j X))

9▹

En déduire que la famille

(f_1, \dots, f_n)

est libre.

C. Expression de la matrice $J(p)$

10▹

Montrer que la famille

((S^⊤)^i U)_(0 \leq i \leq n - 1)

est une base de

M_(n, 1)(R)

. Les matrices S et

U

ont été définies dans la partie préliminaire du problème.

Pour tout entier

j \in [ [1, n] ]

, on définit les matrices

B_j = S - α_j I_n et C_j = I_n - α_j S

11▹

Démontrer que

J(p) = \sum_(j = 1)^n f_j(S)^⊤(C_j^⊤C_j - B_j^⊤B_j)f_j(S)

Les polynômes

f_1, \dots, f_n

ont été définis dans le préambule de la partie

B

12▹

Soit

j \in [ [1, n] ]

. Montrer que

C_j^⊤C_j - B_j^⊤B_j = (1 - α_j^2)UU^⊤

13▹

On note D la matrice diagonale de taille

n

D = Diag((1 - α_j^2)_(1 \leq j \leq n))

V \in M_n(R)

la matrice telle que pour tout

j \in [ [1, n] ]

, la

j

-ème colonne de

V

est

V_j = f_j(S^⊤)U

. Montrer que

J(p) = VDV^⊤.

14▹

En déduire, à l'aide de la question 6, que si

p

possède une racine stable alors

J(p)

n'est pas inversible.

D. Cas où $J(p)$ est inversible : critère de Schur-Cohn

On rappelle que si

M \in M_n(R)

alors

π(M)

désigne le cardinal de l'ensemble de ses valeurs propres strictement positives, comptées avec leurs multiplicités.

On munit

M_(n, 1)(R)

de sa structure euclidienne canonique. On dit qu'un sous-espace vectoriel F de

M_(n, 1)(R)

vérifie la condition (

C_M

) quand

∀X ∈ F∖{0_(n, 1)} X^⊤MX > 0.

On note

d(M)

la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel

F

M_(n, 1)(R)

vérifiant la condition

(C_M)

, c'est-à-dire :

éd(M) = max{dimF|F s.e.v de M_(n, 1)(R) vérifiant (C_M)}.

15▹

Soit deux matrices

A, B \in M_n(R)

telles qu'il existe une matrice

P \in GL_n(R)

vérifiant

A = P^⊤BP

. Montrer que

d(B) \geq d(A)

puis que

d(B) = d(A)

16▹

Pour toute matrice

M \in S_n(R)

construire un sous-espace vectoriel

F_M

M_(n, 1)(R)

de dimension

π(M)

vérifiant la condition (

C_M

). On a donc

d(M) \geq π(M)

17▹

On veut montrer que pour toute matrice

M \in S_n(R)

on a

π(M) = d(M)

. Par l'absurde, en supposant l'existence d'un sous-espace vectoriel G de

M_(n, 1)(R)

de dimension

dimG > π(M)

vérifiant la condition

(C_M)

, montrer

dim(F_M^⊥ \cap G) \geq 1

, en déduire une contradiction et conclure.

18 - Démontrer le critère de Schur-Cohn :
Si

J(p)

est inversible alors

p

ne possède aucune racine stable et

σ(p) = π(J(p))

E. Condition nécessaire et suffisante d'inversibilité

19 - Montrer, à l'aide des questions 9 et 13, que si

p

n'admet pas de racine stable et si

J(p)

n'est pas inversible alors il existe un polynôme

q

non nul à coefficients réels de degré au plus

n - 1

tel que

q(S^⊤)U = 0_(n, 1)

20

- En déduire que la matrice

J(p)

est inversible si et seulement si

p

n'admet aucune racine stable.

F. Un cas particulier

On suppose dans cette partie, comme on l'a fait aux questions 3 à 5 , que toutes les racines de

p

sont stables et de multiplicité 1 et on note

h = Xp^'

(où

p^'

est le polynôme dérivé de

p

) et

h_0

le polynôme réciproque de

h

. On rappelle que, d'après la question 3 , il existe un réel

λ \in { - 1, 1}

tel que

p = λp_0

21▹

Montrer que

J(h)

est inversible.

22▹

Montrer qu'il existe un réel

η > 0

tel que pour tout

r \in ]1 - η; 1[

, le polynôme

p(rX)

est scindé, admet exactement

σ(p)

racines à l'intérieur de l'intervalle

] - 1; 1

[ et ne possède aucune racine stable.

Pour tout réel

r > 0

, on note

F(r) = J(p(rX))

23▹

Montrer que

lim_(r \to 1^-)π(n/(2(r - 1))F(r)) = n - σ(p).

24▹

Justifier que l'application

F : R_+^* \to S_n(R)

est dérivable et que

F^'(1) = 2n(p(S))^⊤p(S) - 2S^⊤(p^'(S))^⊤p(S) - 2(p(S))^⊤p^'(S)S.

25 - En déduire, à l'aide des résultats de la question 4, que

n/(2(r - 1))F(r) = _(r \to 1)J(h) + o(1).

On admet que l'application définie sur

S_n(R)

à valeurs dans

R^n

qui à une matrice symétrique associe le

n

-uplet de ses valeurs propres réelles comptées avec leurs multiplicités, rangées dans l'ordre décroissant, est continue.

26▹

En déduire que

σ(p) = n - 1 - π(J(p^'))

G. Méthode générale.

On se place dans le cas général, sans disposer d'information sur la stabilité et la multiplicité des racines de

p

, et on cherche à calculer

σ(p)

On construit les deux polynômes

f

g

vérifiant

f = p \land p_0

p = fg

27▹

Montrer que

σ(g) = π(J(g))

.
28 Proposer une méthode permettant de construire un nombre fini (éventuellement nul) de polynômes

g_1, \dots, g_ℓ

, dont les racines sont stables et de multiplicité 1 , tels que

f = g_1 g_2\dotsg_ℓ

. Exprimer

σ(p)

à l'aide de

n, degg, π(J(g)), ℓ, π(J(g))

ainsi que

π(J(g_1^')), \dots, π(J(g_ℓ^'))

Fin du problème

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Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 Mines-Ponts MP-MPI 2025 ?

Il porte sur les polynômes (racines, polynôme réciproque), les familles libres d'espaces vectoriels et la réduction des matrices symétriques, autour du critère de Schur-Cohn.

Le sujet de mathématiques 2 Mines-Ponts MP-MPI 2025 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme très long, avec des questions assez difficiles, en particulier dans la partie D qui mobilise la réduction de deuxième année ; les deux dernières parties n'ont presque pas été abordées par les candidats.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Mines-Ponts maths 2 MP-MPI 2025 ?

Le jury signale surtout des applications de théorèmes sans vérification des hypothèses, des confusions entre réciproque et contraposée, et des propriétés d'algèbre linéaire affirmées sans justification.

Ce sujet est-il abordable dès la première année de prépa ?

Les trois premières parties (A, B et C) sont présentées par le rapport comme abordables dès la première année, tandis que la partie D utilise le programme de réduction de deuxième année.

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CONCOURS 2025

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Notations et objectifs du problème

A. Propriétés du polynôme p_0 et stabilité des racines

B. Liberté d'une famille de polynômes

C. Expression de la matrice J(p)

D. Cas où J(p) est inversible : critère de Schur-Cohn

E. Condition nécessaire et suffisante d'inversibilité

F. Un cas particulier

G. Méthode générale.

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 Mines-Ponts MP-MPI 2025 ?

Le sujet de mathématiques 2 Mines-Ponts MP-MPI 2025 est-il difficile ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Mines-Ponts maths 2 MP-MPI 2025 ?

Ce sujet est-il abordable dès la première année de prépa ?

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A. Propriétés du polynôme $p_0$ et stabilité des racines

C. Expression de la matrice $J(p)$

D. Cas où $J(p)$ est inversible : critère de Schur-Cohn