Centrale Mathématiques 1 MP 2019Sujet, corrigé et rapport du jury
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Présentation du sujet
Difficulté moyenneEndomorphismes cycliques, matrices compagnons et décomposition de FrobeniusAfficher ou masquer la section
Présentation du sujet
Difficulté moyenneEndomorphismes cycliques, matrices compagnons et décomposition de Frobenius
Le problème étudie les endomorphismes cycliques et les matrices compagnons jusqu'au théorème de décomposition de Frobenius. Il couvre une large part de l'algèbre linéaire et, plus brièvement, de l'algèbre bilinéaire. Les deux premières parties, proches du cours, valent environ la moitié du barème ; la partie III concentre les questions les plus délicates.
- 1Partie I : matrices compagnons et endomorphismes cycliquesdeuxième annéeRéduction d'une matrice et de sa transposée, diagonalisabilité d'une matrice compagnon et démonstration du théorème de Cayley-Hamilton.
- 2Partie II : étude des endomorphismes cycliquesdeuxième annéeEndomorphismes cycliques nilpotents, puis caractérisation des endomorphismes cycliques sur C à l'aide des sous-espaces caractéristiques.
- 3Partie III : endomorphismes commutants et décomposition de Frobeniusdeuxième annéeCommutant d'un endomorphisme cyclique puis décomposition de toute matrice en blocs diagonaux de matrices compagnons.
- 4Partie IV : endomorphismes orthocycliquesdeuxième annéeLien avec l'algèbre bilinéaire : isométries vectorielles et endomorphismes nilpotents orthocycliques.
Difficulté moyenne. Le jury juge la longueur raisonnable et estime qu'une assez bonne note était possible en traitant bien les parties I et II, les questions très difficiles étant concentrées dans la partie III.
L'épreuve en chiffres
Moyenne 9,18 / 20 · écart-type 3,6 · 4 610 présents · où vous situez-vous ?Afficher ou masquer la section
L'épreuve en chiffres
Moyenne 9,18 / 20 · écart-type 3,6 · 4 610 présents · où vous situez-vous ?
- Moyenne
- 9,18/ 20
- Écart-type
- 3,6
- Présents
- 4 610
- Durée
- 4 h
- 1er quartile
- 6,4
- Médiane
- 8,6
- 3e quartile
- 11,6
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevéesPolynômes d'endomorphismes mal manipulés · Calculs de déterminants non détaillés · Résolution de système mal menéeAfficher ou masquer la section
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevéesPolynômes d'endomorphismes mal manipulés · Calculs de déterminants non détaillés · Résolution de système mal menée
Le sujet a permis de parcourir une part importante du problème, et quelques copies excellentes l'ont presque entièrement traité. Beaucoup d'autres survolent les questions sans rigueur : affirmations non justifiées, hypothèses non citées, confusions entre équivalence et implication. La présentation s'est dégradée par rapport à l'année précédente.
Les erreurs les plus sanctionnées
- 1Polynômes d'endomorphismes mal manipulés
Puissances appliquées au vecteur image, produits de vecteurs au lieu de composées, divisibilité entre vecteurs. Certains confondent aussi endomorphisme cyclique et endomorphisme dont une puissance vaut l'identité ou zéro.
« nous avons relevé beaucoup de confusions dans la manipulation des polynômes d’endomorphismes »
- 2Calculs de déterminants non détaillésQ3
Le résultat de Q3 apparaît parfois après des développements faux. Les mineurs doivent être explicités précisément.
« une affirmation du type « après développement par rapport à la dernière colonne on obtient ... » ne rapporte pas de point »
- 3Résolution de système mal menéeQ4
Mélange entre équivalence et implication, dernière ligne mal gérée.
« Moins d’un quart des candidats a obtenu la totalité des points sur cette question. »
- 4Polynôme annulateur mal identifiéQ11
Les coefficients obtenus dépendent du vecteur x : le polynôme construit n'annule donc pas l'endomorphisme.
« La plupart des candidats échouent dans la question Q11 »
- 5Sous-espaces propres et caractéristiques confondusQ13, Q14, Q15
La stabilité est mal justifiée, et l'égalité entre multiplicité et dimension affirmée dès Q13 pénalise jusqu'à Q17. Q15 était une simple question de cours peu reconnue.
« Peu de candidats ont vu que Q15 était une simple question de cours. »
- 6Récurrence expédiéeQ24, Q25
Dans les questions très difficiles de la partie III, l'hérédité n'est pas simple ; l'étude du cas r = 2 a en revanche été récompensée.
« écrire « par récurrence immédiate » donne une très mauvaise impression dans la mesure où l’hérédité est loin d’être simple »
Ce qui a été bien réussi
- La partie I a été abordée en intégralité par la plupart des candidats.
- Q5 a été globalement bien traitée et Q9 réussie par une grande majorité.
- Q12 a été plutôt bien réussie, et la décomposition en blocs de Q17 est plutôt réussie.
- Les candidats qui reviennent aux matrices parviennent à conclure en Q10.
Conseils du jury
- Privilégier la qualité de la rédaction plutôt que le nombre de questions abordées : les parties I et II suffisaient pour une assez bonne note.
- Traiter les questions dans l'ordre et éviter les abréviations peu connues.
- Citer les hypothèses des résultats invoqués et faire référence aux questions précédentes.
- Distinguer somme directe et sous-espaces supplémentaires.
- Penser au théorème de réduction des isométries vectorielles (Q34).
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
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Notations et définitions
Dans tout le problème,
𝕂 désigne
ℝ ou
ℂ, ℕ désigne l'ensemble des entiers naturels et
n est un entier naturel.
On note𝕂_n[X] le sous-espace vectoriel de
𝕂[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à
n à coefficients dans
𝕂 et, pour
n ⩾ 1, M_n(𝕂) la
𝕂 -algèbre des matrices carrées de taille
n à coefficients dans
𝕂 . La matrice unité est notée
I_n et on désigne par
GL_n(𝕂) le groupe des matrices inversibles de
M_n(𝕂) .
On note
Pour toute matrice
A de
M_n(𝕂) , on note
A^⊤ la transposée de la matrice
A, rg(A) son rang,
tr(A) sa trace,
χ_A = det(XI_n − A) son polynôme caractéristique,
π_A son polynôme minimal et
sp(A) l'ensemble de ses valeurs propres dans
𝕂 .
Dans tout le problème,
E désigne un espace vectoriel sur le corps
𝕂 de dimension finie
n supérieure ou égale à 2 , et
L(E) est l'algèbre des endomorphismes de
E . On note
f un endomorphisme de
E .
On note
f^0 = Id_E et
∀k ∈ ℕ, f^(k + 1) = f^k ∘ f .
SiQ ∈ 𝕂[X] avec
Q(X) = a_0 + a_1 X + ⋯ + a_m X^m, Q(f) désigne l'endomorphisme
a_0 Id_E + a_1 f + ⋯ + a_m f^m . On note
𝕂[f] la sous-algèbre commutative de
L(E) constituée des endomorphismes
Q(f) quand
Q décrit
𝕂[X] .
Si
De même, on utilise les notations suivantes, similaires à celles des matrices, pour un endomorphisme
f de
E :
rg(f), tr(f), χ_f, π_f et
sp(f) .
Enfin, on dit que
f est cyclique si et seulement s'il existe un vecteur
x_0 dans
E tel que
(x_0, f(x_0), …, f^(n − 1)(x_0)) soit une base de
E .
I Matrices compagnons et endomorphismes cycliques
I.A − Soit
M ∈ M_n(𝕂) .
Q 1. Montrer que
M et
M^⊤ ont même spectre.
Q 2. Montrer queM^⊤ est diagonalisable si et seulement si
M est diagonalisable.
Q 2. Montrer que
I.B - Matrices compagnons
Q 3. Soit
(a_0, a_1, …, a_(n − 1)) ∈ 𝕂^n et
Q(X) = X^n + a_(n − 1)X^(n − 1) + ⋯ + a_0 . On considère la matrice
Déterminer en fonction de
Q le polynôme caractéristique de
C_Q .
Q 4. Soitλ une valeur propre de
C_Q^⊤ . Déterminer la dimension et une base du sous-espace propre associé.
Q 4. Soit
I.C - Endomorphismes cycliques
Q 5. Montrer que
f est cyclique si et seulement s'il existe une base
B de
E dans laquelle la matrice de
f est de la forme
C_Q , où
Q est un polynôme unitaire de degré
n .
Q 6. Soit
f un endomorphisme cyclique. Montrer que
f est diagonalisable si et seulement si
χ_f est scindé sur
𝕂 et a toutes ses racines simples.
Q 7. Montrer que si
f est cyclique, alors (Id,
f, f^2, …, f^(n − 1) ) est libre dans
L(E) et le polynôme minimal de
f est de degré
n .
I.D - Application à une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
Q 8. Soit
x un vecteur non nul de
E . Montrer qu'il existe un entier
p strictement positif tel que la famille
(x, f(x), f^2(x), …, f^(p − 1)(x)) soit libre et qu'il existe
(α_0, α_1, …, α_(p − 1)) ∈ 𝕂^p tel que:
Q 9. Justifier que
Vect(x, f(x), f^2(x), …, f^(p − 1)(x)) est stable par
f .
Q 10. Montrer que:X^p + α_(p − 1)X^(p − 1) + ⋯ + α_0 divise le polynôme
χ_f .
Q 11. Démontrer queχ_f(f) est l'endomorphisme nul.
Q 10. Montrer que:
Q 11. Démontrer que
II Étude des endomorphismes cycliques
II.A - Endomorphismes cycliques nilpotents
Dans cette sous-partie, on suppose que
f est un endomorphisme nilpotent de
E . On note
r le plus petit entier naturel tel que
f^r = 0 .
Q 12. Montrer que
f est cyclique si et seulement si
r = n . Préciser alors la matrice compagnon.
II.B - Dans cette sous-partie II.B, on suppose que𝕂 = ℂ .
II.B - Dans cette sous-partie II.B, on suppose que
On suppose que (Id,
f, f^2, …, f^(n − 1) ) est libre et on se propose de montrer que
f est cyclique.
On factorise le polynôme caractéristique def sous la forme
On factorise le polynôme caractéristique de
où les
λ_k sont les
p valeurs propres deux à deux distinctes de
f et les
m_k de
ℕ^∗ leurs ordres de multiplicité respectifs.
Pour
k ∈ [ [1, p] ] , on pose
F_k = ker((f − λ_k Id_E)^(m_k)) .
Q 13. Montrer que les sous-espaces vectorielsF_k sont stables par
f et que
E = F_1 ⊕ ⋯ ⊕ F_p .
Pourk ∈ [ [1, p] ] , on note
φ_k l'endomorphisme induit par
f − λ_k Id sur le sous-espace vectoriel
F_k ,
Q 13. Montrer que les sous-espaces vectoriels
Pour
Q 14. Justifier que
φ_k est un endomorphisme nilpotent de
F_k .
On noteν_k le plus petit entier naturel tel que
φ_k^(ν_k) = 0 .
Q 15. Pourquoi a-t-onν_k ⩽ dim(F_k) ?
Q 16. Montrer, avec l'hypothèse proposée, que pour toutk ∈ [ [1, p] ] , on a
ν_k = m_k .
On note
Q 15. Pourquoi a-t-on
Q 16. Montrer, avec l'hypothèse proposée, que pour tout
Q 17. Expliciter la dimension de
F_k pour
k ∈ [ [1, p] ] , puis en déduire l'existence d'une base
B = (u_1, …, u_n) de
E dans laquelle
f a une matrice diagonale par blocs, ces blocs appartenant à
M_(m_k)(ℂ) et étant de la forme
On pose
x_0 = u_1 + u_(m_1 + 1) + ⋯ + u_(m_1 + ⋯ + m_(p − 1) + 1) .
Q 18. Déterminer les polynômesQ ∈ ℂ[X] tels que
Q(f)(x_0) = 0 .
Q 19. Justifier quef est cyclique.
Q 18. Déterminer les polynômes
Q 19. Justifier que
III Endomorphismes commutants, décomposition de Frobenius
On appelle commutant de
f l'ensemble
C(f) = {g ∈ L(E)|f ∘ g = g ∘ f} .
Q 20. Montrer queC(f) est une sous-algèbre de
L(E) .
Q 20. Montrer que
III.A - Commutant d'un endomorphisme cyclique
On suppose que
f est cyclique et on choisit un vecteur
x_0 dans
E tel que
(x_0, f(x_0), …, f^(n − 1)(x_0)) est une base de
E .
Soit
g ∈ C(f) , un endomorphisme qui commute avec
f .
Q 21. Justifier l'existence deλ_0, λ_1, …, λ_(n − 1) de
𝕂 tels que
Q 21. Justifier l'existence de
Q 22. Montrer alors que
g ∈ 𝕂[f] .
Q 23. Établir queg ∈ C(f) si et seulement s'il existe un polynôme
R ∈ 𝕂_(n − 1)[X] tel que
g = R(f) .
Q 23. Établir que
III.B - Décomposition de Frobenius
On se propose de démontrer le théorème de décomposition de Frobenius : toute matrice est semblable à une matrice diagonale par blocs, ces blocs étant des matrices compagnons.
Q 24. Montrer que si la réunion d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels
F_1, …, F_r de
E est un sous-espace vectoriel, alors l'un des sous-espaces vectoriels
F_i contient tous les autres.
On note
d le degré de
π_f .
Q 25. Justifier l'existence d'un vecteurx_1 de
E tel que
(x_1, f(x_1), …, f^(d − 1)(x_1)) est libre.
Pour toutx non nul de
E , on pourra remarquer que
I_x = {P ∈ 𝕂[X]|P(f)(x) = 0} est un idéal de
𝕂[X] engendré par un polynôme unitaire
π_(f, x) diviseur de
π_f et considérer les sous-espaces vectoriels
ker(π_(f, x)(f)) .
Q 25. Justifier l'existence d'un vecteur
Pour tout
On pose
e_1 = x_1, e_2 = f(x_1), …, e_d = f^(d − 1)(x_1) et
E_1 = Vect(e_1, e_2, …, e_d) .
Q 26. Montrer queE_1 est stable par
f et que
E_1 = {P(f)(x_1)|P ∈ 𝕂[X]} .
On noteψ_1 l'endomorphisme induit par
f sur le sous-espace vectoriel
E_1 ,
Q 26. Montrer que
On note
Q27. Justifier que
ψ_1 est cyclique.
On complète, si nécessaire,(e_1, e_2, …, e_d) en une base
(e_1, e_2, …, e_n) de
E . Soit
Φ la
d -ième forme coordonnée qui à tout vecteur
x de
E associe sa coordonnée suivant
e_d . On note
F = {x ∈ E|∀i ∈ ℕ, Φ(f^i(x)) = 0} .
On complète, si nécessaire,
Q 28. Montrer que
F est stable par
f et que
E_1 et
F sont en somme directe.
SoitΨ l'application linéaire de
E dans
𝕂^d définie, pour tout
x ∈ E , par
Soit
Q 29. Montrer que
Ψ induit un isomorphisme entre
E_1 et
𝕂^d .
Q 30. Montrer queE = E_1 ⊕ F .
Q 31. En déduire qu'il exister sous-espaces vectoriels de
E , notés
E_1, …, E_r , tous stables par
f tels que :
− E = E_1 ⊕ ⋯ ⊕ E_r;
Q 30. Montrer que
Q 31. En déduire qu'il existe
- pour tout
1 ⩽ i ⩽ r , l'endomorphismeψ_i induit parf sur le sous-espace vectorielE_i est cyclique ; - si on note
P_i le polynôme minimal deψ_i , alorsP_(i + 1) diviseP_i pour tout entieri tel que1 ⩽ i ⩽ r − 1 .
III.C - Commutant d'un endomorphisme quelconque
Q 32. Montrer que la dimension de
C(f) est supérieure ou égale à
n .
Q 33. On suppose quef est un endomorphisme tel que l'algèbre
C(f) est égale à
𝕂[f] . Montrer que
f est cyclique.
Q 33. On suppose que
IV Endomorphismes orthocycliques
Dans cette partie, on suppose que
𝕂 = ℝ et que
E est un espace euclidien. Le produit scalaire de deux vecteurs
x, y de
E est noté
(x|y) et on désigne par
O(E) le groupe des isométries vectorielles de
E .
On dit qu'un endomorphisme
f de
E est orthocyclique s'il existe une base orthonormale de
E dans laquelle la matrice de
f est de la forme
C_Q (matrice compagnon).
IV.A - Isométries vectorielles orthocycliques
Soit
f ∈ O(E) .
Q 34. Soitf^′ ∈ O(E) ayant même polynôme caractéristique que
f . Montrer qu'il existe des bases orthonormales
B et
B^′ de
E pour lesquelles la matrice de
f dans
B est égale à la matrice de
f^′ dans
B^′ .
Q 34. Soit
Q 35. En déduire que
f est orthocyclique si et seulement si
χ_f = X^n − 1 ou
χ_f = X^n + 1 .
IV.B - Endomorphismes nilpotents orthocycliques
Soit
f un endomorphisme nilpotent de
E .
Q 36. Montrer qu'il existe une base orthonormale deE dans laquelle la matrice de
f est triangulaire inférieure.
Q 37. En déduire quef est orthocyclique si et seulement si
Q 36. Montrer qu'il existe une base orthonormale de
Q 37. En déduire que
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 1 MP 2019 ?Afficher ou masquer la section
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 1 MP 2019 ?
Sur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 1 MP 2019 ?
Sur la réduction des endomorphismes : matrices compagnons, endomorphismes cycliques, polynômes d'endomorphismes, Cayley-Hamilton, sous-espaces caractéristiques et décomposition de Frobenius. La dernière partie fait intervenir les isométries vectorielles.
Quelles erreurs le jury de Centrale a-t-il relevées en maths 1 MP 2019 ?
Des confusions dans les polynômes d'endomorphismes, des calculs de déterminants non détaillés (Q3), un système mal résolu (Q4), un faux polynôme annulateur (Q11) et une confusion entre sous-espaces propres et caractéristiques.
Centrale maths 1 MP 2019 est-il un sujet difficile ?
Sa longueur est jugée raisonnable. Les parties I et II sont proches du cours et permettaient une assez bonne note ; les questions Q24 et Q25 de la partie III sont qualifiées de très difficiles.
Le sujet Centrale maths 1 MP 2019 est-il un bon entraînement sur la réduction ?
Oui : le jury indique qu'il couvre une grande partie du programme d'algèbre linéaire, avec des questions proches du cours en début de sujet.
Pas de description pour le moment