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Centrale Mathématiques 1 MP 2018Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Théorème de Johnson-Lindenstrauss par une méthode probabiliste
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Le sujet démontre le théorème de Johnson-Lindenstrauss : on peut envoyer linéairement N points d'un espace euclidien dans un espace de dimension de l'ordre de ln(N)/ε² en modifiant peu les distances. La preuve est probabiliste : après des préliminaires sur la projection sur un convexe, l'inégalité de Hölder et l'espérance conditionnelle, on établit l'inégalité de concentration de Talagrand par récurrence, puis on l'applique à des matrices aléatoires à coefficients de Rademacher.

  1. 1Partie I : préliminairespremière et deuxième annéeBlocs indépendants sur la projection sur un convexe fermé, l'inégalité de Hölder pour l'espérance, l'espérance conditionnelle et les variables à queue sous-gaussienne ; elle compte pour 29 % du barème.
  2. 2Partie II : l'inégalité de concentration de Talagrandpremière et deuxième annéeCas particuliers simples, puis preuve par récurrence sur la dimension à l'aide d'espérances conditionnelles et d'une optimisation ; elle compte pour 42 % du barème.
  3. 3Partie III : démonstration du théorème de Johnson-Lindenstrausspremière et deuxième annéeConcentration de la norme de M·u pour une matrice aléatoire, médianes, lemme-clé puis conclusion ; elle compte pour 29 % du barème.

Difficile. Le jury qualifie lui-même l'épreuve de problème difficile, guidé par des questions intermédiaires, et signale plusieurs questions difficiles ou particulièrement délicates (Q8, Q25).

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,47 / 20 · écart-type 3,57 · 4 580 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,47/ 20
Écart-type
3,57
Présents
4 580
Durée
4 h
1er quartile
5,9
Médiane
7,5
3e quartile
10,3
moyenne 8,4705101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Théorèmes cités sans leurs hypothèses · Loi binomiale et indépendance · Cas triviaux et hypothèses de calcul négligés
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Le jury note avec satisfaction qu'une proportion croissante de candidats sait aborder des questions abstraites de probabilités. Une majorité reste toutefois en difficulté sur des notions simples comme la loi binomiale, le théorème de transfert et surtout la formule des probabilités totales. Les inégalités, les manipulations algébriques et la justification des calculs sont des sources fréquentes d'erreurs.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Théorèmes cités sans leurs hypothèsesQ7, Q21

    Beaucoup se contentent de mots-clés en guise de justification. En Q7, la formule des probabilités totales est utilisée sans vérifier que le système complet est formé d'événements de probabilité non nulle.

    « citer le nom d’un mathématicien célèbre (Pythagore, Fubini, Markov) ne dispense pas de vérifier les hypothèses du théorème qui lui est couramment associé »
  2. 2
    Loi binomiale et indépendanceQ15, Q21

    Beaucoup se lancent dans un dénombrement verbeux, faux sans mention de l'indépendance, au lieu de citer le cours. L'indépendance des variables de Rademacher est rarement signalée dans les calculs.

    « La question Q15. a révélé le manque d’aisance des candidats avec la loi binomiale. »
  3. 3
    Cas triviaux et hypothèses de calcul négligésQ5, Q6

    En Q5, peu de candidats écartent les cas a = 0 ou b = 0 avant de prendre un logarithme. En Q6, le passage au cas général de l'inégalité de Hölder est souvent absent.

  4. 4
    Propriétés topologiques mal connuesQ20, Q34

    Les candidats semblent croire que toutes les propriétés d'image directe ou réciproque d'une partie fermée, convexe ou non vide par une application continue ou linéaire sont vraies.

    « Les propriétés topologiques nécessaires pour traiter Q20. sont très mal maitrisées. »
  5. 5
    Calculs forcés vers le résultatQ25

    Le calcul de Q25 demandait de faire disparaître le conditionnement par étapes. Le jury repère les tentatives de forcer le résultat.

    « surtout ne pas tenter d’abuser le correcteur, qui repère très facilement les tentatives de passage en force »
  6. 6
    Erreurs de dérivation et inégalités non démontréesQ11, Q30

    L'étude de fonction de Q30 contient de nombreuses erreurs de dérivation et des inégalités fausses. En Q11, l'étude du signe d'un trinôme pose problème à beaucoup de candidats.

    « Il est regrettable que les candidats fassent autant d’erreurs de dérivation dans la question Q30. »

Ce qui a été bien réussi

  • Une proportion croissante de candidats aborde avec succès des questions abstraites de probabilités.
  • La première question a été plutôt réussie, ainsi que la question 2 pour ceux qui ont utilisé Q1.
  • La question 34 a été très souvent abordée.

Conseils du jury

  • Justifier chaque étape de raisonnement ou de calcul par un argument du cours ou une question précédente, même quand le résultat est donné.
  • Vérifier signe, non-nullité et dérivabilité avant de diviser, de prendre un logarithme ou de dériver.
  • Citer explicitement l'indépendance et le système complet d'événements utilisés dans les calculs de probabilités.
  • Rester rigoureux jusqu'en fin de copie et soigner la présentation : ratures, écriture minuscule et abréviations abusives entraînent une minoration de la note.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

Aplatissement aléatoire d'un ensemble de points en grande dimension

Notations

  • Dans tout le problème N, k et d désignent des entiers supérieurs ou égaux à deux.
  • Pour tous entiers naturels non nuls p et q, on note M_(p, q)(ℝ) l'ensemble des matrices à p lignes et q colonnes à coefficients réels.
  • On note A^⊤ la transposée d'une matrice A.
  • Pour tous entiers naturels p et q, avec p ⩽ q, la notation [ [p, q] ] désigne l'ensemble {i ∈ ℕ|p ⩽ i ⩽ q}.
  • Dans tout le problème on note ( Ω, A, ℙ ) un espace probabilisé fini. Toutes les variables aléatoires considérées sont définies sur Ω.
  • Pour tout événement A de probabilité non nulle, et pour tout événement B, on note ℙ_A(B) ou ℙ(B|A) la probabilité conditionnelle de B sachant A.
  • Étant donnée une variable aléatoire Z à valeurs réelles, on note 𝔼(Z) son espérance.
  • On dit qu'une variable aléatoire Z est une variable de Rademacher lorsque Z(Ω) = { − 1, 1} et
ℙ(Z = − 1) = ℙ(Z = 1) = 1/2
  • De façon générale, si E est un espace euclidien, son produit scalaire et sa norme seront respectivement notés ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ et ‖ ⋅ ‖. Ces notations seront utilisées notamment pour ℝ^d et ℝ^k, munis de leurs structures euclidiennes canoniques.

Problématique

On s'intéresse à la question suivante : étant donnés N points dans un espace euclidien de grande dimension, est-il possible de les envoyer linéairement dans un espace de petite dimension sans trop modifier les distances entre ces points?
Pour préciser cette question, considérons N vecteurs distincts v_1, …, v_N dans ℝ^d. Pour tout réel ε tel que 0 < ε < 1, on dit qu'une application linéaire f : ℝ^d → ℝ^k est une ε-isométrie pour v_1, …, v_N lorsque:
∀(i, j) ∈ [ [1, N] ]^2, (1 − ε)‖v_i − v_j‖ ⩽ ‖f(v_i) − f(v_j)‖ ⩽ (1 + ε)‖v_i − v_j‖
La question peut se reformuler ainsi :
    Objectif
Pour quelles valeurs de k existe-t-il f: }\mp@subsup{\mathbb{R}}{}{d}->\mp@subsup{\mathbb{R}}{}{k}\mathrm{ qui soit une }\varepsilon\mathrm{ -isométrie pour }\mp@subsup{v}{1}{},\ldots,\mp@subsup{v}{N}{}\mathrm{ ?
On se propose d'établir le théorème suivant, démontré par William B. Johnson et Joram Lindenstrauss en 1984 :
Il existe une constante absolue c strictement positive telle que:
quels que soient N et d, entier naturels supérieurs ou égaux à 2 et quels que soient v_1, …, v_N distincts dans ℝ^d, il suffit que
k ⩾ c(ln(N))/(ε^2)
pour qu'il existe une ε-isométrie f : ℝ^d → ℝ^k pour v_1, …, v_N.
Les seules méthodes connues à ce jour pour démontrer ce théorème sont de nature probabiliste.
Dans la partie I, on établit des résultats préliminaires portant sur la convexité et les probabilités. La partie II est consacrée à la démonstration d'une inégalité de concentration, qui est utilisée dans la partie III où le théorème de Johnson-Lindenstrauss est démontré.

I Préliminaires

I.A - Projection sur un convexe fermé

Soit E un espace euclidien.
Q 1. Soient a et b dans E. Montrer la relation suivante et en donner une interprétation géométrique :
‖a + b‖^2 + ‖a − b‖^2 = 2(‖a‖^2 + ‖b‖^2)
Q 2. En déduire que si u, v et v^′ dans E vérifient v ≠ v^′ et ‖u − v‖ = ‖u − v^′‖ alors ‖u − (v + v^′)/2‖ < ‖u − v‖.
Q 3. Soient F un fermé non vide de E et u dans E. Montrer qu'il existe v dans F tel que
∀w ∈ F, ‖u − v‖ ⩽ ‖u − w‖
Q 4. En déduire que si C est un convexe fermé non vide de E et u est un vecteur de E alors il existe un unique v dans C tel que
∀w ∈ F, ‖u − v‖ ⩽ ‖u − w‖
On dira que v est le projeté de u sur C et on notera d(u, C) = ‖u − v‖.

I.B - Inégalité de Hölder pour l'espérance

Soient p et q deux réels strictement positifs tels que 1/p + 1/q = 1.
Q 5. Montrer que, pour tous réels positifs a et b,
ab ⩽ (a^p)/p + (b^q)/q
On pourra utiliser la concavité du logarithme.
Q 6. En déduire que si X et Y sont deux variables aléatoires réelles sur l'espace probabilisé fini (Ω, A, ℙ) alors
𝔼(|XY|) ⩽ 𝔼(|X|^p)^(1/p)𝔼(|Y|^q)^(1/q)
On pourra d'abord montrer ce résutat lorsque 𝔼(|X|^p) = 𝔼(|Y|^q) = 1.

I. C − Espérance conditionnelle

Soit X : Ω → ℝ une variable aléatoire à valeurs réelles.
Pour tout événement A ⊂ Ω de probabilité non nulle, l'espérance conditionnelle de X sachant A, notée 𝔼(X|A), est par définition le réel
𝔼(X|A) = ∑_(x ∈ X(Ω))ℙ_A(X = x) ⋅ x
En d'autres termes, 𝔼(X|A) est l'espérance de X dans l'espace ( Ω, A, ℙ_A ).
Les propriétés usuelles de linéarité et de positivité de l'espérance, qu'on ne demande pas de redémontrer, sont ainsi valables pour l'espérance conditionnelle sachant A.
Q 7. Soit (A_1, …, A_m) un système complet d'événements de probabilités non nulles. Montrer que
𝔼(X) = ∑_(i = 1)^m ℙ(A_i) ⋅ 𝔼(X|A_i)

I.D - Variables aléatoires à queue sous-gaussienne

Soit X : Ω → ℝ une variable aléatoire réelle.
On suppose qu'il existe deux réels strictement positifs a et b tels que, pour tout réel positif t,
ℙ(|X| ⩾ t) ⩽ aexp(− bt^2)
Q 8. Montrer que
𝔼(X^2) = 2∫_0^(+ ∞)tℙ(|X| ⩾ t)dt
On pourra noter X^2(Ω) = {y_1, …, y_n} avec 0 ⩽ y_1 < y_2 < ⋯ < y_n.
Q 9. Montrer que le moment d'ordre deux de X est inférieur ou égal à a/b.
Soit δ un réel tel que 0 ⩽ |δ| ⩽ √(a/b).
Q 10. Justifier que, pour tout réel t,
ℙ(|X + δ| ⩾ t) ⩽ ℙ(|X| ⩾ t − |δ|)
Q 11. Montrer que, pour tout réel t,
− b(t − |δ|)^2 ⩽ a − 1/2bt^2
Q 12. En déduire que pour tout réel t tel que t ⩾ |δ| on a
ℙ(|X + δ| ⩾ t) ⩽ aexp(a)exp(− 1/2bt^2)
Q 13. Justifier que l'inégalité précédente reste valable si 0 ⩽ t < |δ|.

II L'inégalité de concentration de Talagrand

Soit E un espace euclidien de dimension n ⩾ 1 muni d'une base orthonormée ( e_1, …, e_n ).
Soient ε_1, …, ε_n : Ω → { − 1, 1} des variables aléatoires de Rademacher indépendantes dans leur ensemble.
On pose X = ∑_(i = 1)^n ε_i e_i.
L'objectif de cette partie est de montrer, pour tout convexe fermé non vide C de E,
ℙ(X ∈ C) ⋅ 𝔼(exp(1/8d(X, C)^2)) ⩽ 1

II.A - Étude de deux cas particuliers

Q 14. Traiter le cas où C est un convexe fermé de E ne rencontrant pas X(Ω).
On suppose, dans la suite de cette sous-partie II.A uniquement, que C est un convexe fermé de E qui rencontre X(Ω) en un seul vecteur u.
Q 15. Montrer que 1/4d(X, u)^2 suit une loi binomiale de paramètres n et 1/2.
Q 16. En déduire l'espérance de exp(1/8d(X, u)^2) et montrer qu'elle est inférieure ou égale à 2^n.
Q 17. Justifier que d(X, C) ⩽ d(X, u) et en déduire l'inégalité (II.1) dans ce cas.

II.B - Initialisation

On suppose désormais que C est un convexe fermé de E tel que C ∩ X(Ω) contient au moins deux éléments. Quitte à permuter les vecteurs de la base, on peut supposer que ces deux vecteurs diffèrent par leur dernière coordonnée.
On se propose de démontrer l'inégalité (II.1) par récurrence sur la dimension n de E.
Q 18. Traiter le cas n = 1.

II.C - Propriétés de C_(+ 1) et C_(− 1)

Soit n un entier tel que n ⩾ 2. On suppose à présent que (II.1) est vérifiée au rang n − 1.
On note E^′ = Vect(e_1, …, e_(n − 1)) et π la projection orthogonale sur E^′
π : | E, → E^′; ∑_(i = 1)^n x_i e_i, ↦ ∑_(i = 1)^(n − 1)x_i e_i
On pose X^′ = π ∘ X = ∑_(i = 1)^(n − 1)ε_i e_i. C'est une variable aléatoire à valeurs dans E^′.
Pour t dans { − 1, 1} on note
  • H_t l'hyperplan affine E^′ + te_n;
  • C_t = π(C ∩ H_t).
Q 19. Montrer, pour x^′ ∈ E^′ et t ∈ { − 1, 1}, que x^′ ∈ C_t ⇔ x^′ + te_n ∈ C.
Q 20. Montrer que C_(+ 1) et C_(− 1) sont des convexes fermés non vides de E^′.
Pour t dans { − 1, 1}, on note Y_t le projeté de X^′ sur le convexe fermé non vide C_t. C'est une variable aléatoire à valeurs dans E^′.
Q 21. Montrer que
ℙ(X ∈ C) = 1/2ℙ(X^′ ∈ C_(+ 1)) + 1/2ℙ(X^′ ∈ C_(− 1))

II.D - Une inégalité cruciale

Soit λ un réel tel que 0 ⩽ λ ⩽ 1.
Q 22. Montrer que
d(X, C) ⩽ ‖(1 − λ)(Y_(ε_n) + ε_n e_n) + λ(Y_(− ε_n) − ε_n e_n) − X‖
Q 23. En déduire que
d(X, C)^2 ⩽ 4λ^2 + ‖(1 − λ)(Y_(ε_n) − X^′) + λ(Y_(− ε_n) − X^′)‖^2
puis que
d(X, C)^2 ⩽ 4λ^2 + (1 − λ)‖Y_(ε_n) − X^′‖^2 + λ‖Y_(− ε_n) − X^′‖^2
Ainsi, on a montré l'inégalité
d(X, C)^2 ⩽ 4λ^2 + (1 − λ)d(X^′, C_(ε_n))^2 + λd(X^′, C_(− ε_n))^2

II.E - Espérances conditionnelles

On note
p_+ = ℙ(X^′ ∈ C_(+ 1)) et p_− = ℙ(X^′ ∈ C_(− 1))
On va supposer, sans perte de généralité, que p_+ ⩾ p_−.
Q 24. Montrer que p_− > 0.
Q 25. Montrer que pour tout λ dans [0, 1]
𝔼(exp(1/8d(X, C)^2)| ε_n = − 1) ⩽ exp((λ^2)/2)𝔼((exp(1/8d(X^′, C_(− 1))^2))^(1 − λ) ⋅ (exp(1/8d(X^′, C_(+ 1))^2))^λ)
Q 26. En déduire que
𝔼(exp(1/8d(X, C)^2)| ε_n = − 1) ⩽ exp((λ^2)/2)(𝔼(exp(1/8d(X^′, C_(− 1))^2)))^(1 − λ) ⋅ (𝔼(exp(1/8d(X^′, C_(+ 1))^2)))^λ
Q 27. À l'aide de l'hypothèse de récurrence, justifier que
𝔼(exp(1/8d(X, C)^2)| ε_n = 1) ⩽ 1/(p_+)
Q 28. Déduire de ce qui précède que pour tout λ dans [0, 1]
𝔼(exp(1/8d(X, C)^2)) ⩽ 1/2(1/(p_+) + exp((λ^2)/2)1/((p_−)^(1 − λ)) ⋅ 1/((p_+)^λ))

II.F - Optimisation

Q 29. On pose λ = 1 − (p_−)/(p_+). Montrer que
𝔼(exp(1/8d(X, C)^2)) ⩽ 1/(2p_+)(1 + exp((λ^2)/2)(1 − λ)^(λ − 1))
Q 30. Montrer que pour tout x ∈ [0, 1[
(x^2)/2 + (x − 1)ln(1 − x) ⩽ ln(2 + x) − ln(2 − x)
On pourra faire une étude de fonction.
Q 31. En déduire que pour tout x ∈ [0, 1[
1 + exp((x^2)/2)(1 − x)^(x − 1) ⩽ 4/(2 − x)
Q 32. Terminer la démonstration de l'inégalité (II.1).

II.G - Inégalité de Talagrand

Q 33. En déduire l'inégalité de Talagrand :
Pour tout C convexe fermé non vide de E et pour tout réel t strictement positif
ℙ(X ∈ C) ⋅ ℙ(d(X, C) ⩾ t) ⩽ exp(− (t^2)/8)

III Démonstration du théorème de Johnson-Lindenstrauss

Dans cette partie on considère l'espace E = M_(k, d)(ℝ) muni du produit scalaire défini par
∀(A, B) ∈ E^2, ⟨A|B⟩ = tr(A^⊤ ⋅ B)
On notera ‖ ⋅ ‖_F la norme euclidienne associée.
On rappelle que ℝ^d et ℝ^k sont munis de leurs normes euclidiennes canoniques, notées indistinctement ‖ ⋅ ‖.
On identifie ℝ^d à M_(d, 1)(ℝ), de sorte qu'un vecteur quelconque x = (x_1, …, x_d) de ℝ^d peut être identifié à la matrice colonne (x_1…x_d)^⊤.
On fixe un vecteur ( u_1, …, u_d ) dans ℝ^d, identifié comme ci-dessus à la matrice colonne ( u_1…u_d)^⊤ de M_(d, 1)(ℝ) ), et tel que ‖u‖ = 1. On définit l'application
g : | M_(k, d)(ℝ) → ℝ; M ↦ ‖M ⋅ u‖
Soit X = (ε_(ij))_(1 ⩽ i ⩽ k, 1 ⩽ j ⩽ d) une variable aléatoire à valeurs dans M_(k, d)(ℝ), dont les coefficients ε_(ij) sont des variables aléatoires de Rademacher indépendantes dans leur ensemble.

III.A - Une inégalité de concentration

Q 34. Montrer que C = {M ∈ M_(k, d)(ℝ)|g(M) ⩽ r} est une partie convexe et fermée de M_(k, d)(ℝ).
Q 35. Montrer que pour toute matrice M dans M_(k, d)(ℝ)
‖M ⋅ u‖ ⩽ ‖M‖_F
Soient r et t deux réels, avec t > 0.
Q 36. Montrer que pour toute matrice M dans M_(k, d)(ℝ)
d(M, C) < t ⟹ g(M) < r + t
Q 37. En déduire que
ℙ(g(X) ⩽ r) ⋅ ℙ(g(X) ⩾ r + t) ⩽ exp(− 1/8t^2)

III.B - Médianes

On dit qu'un réel m est une médiane de g(X) lorsque
ℙ(g(X) ⩾ m) ⩾ 1/2 et ℙ(g(X) ⩽ m) ⩾ 1/2
Q 38. Justifier que g(X) admet au moins une médiane.
On pourra considérer la fonction G de ℝ dans ℝ telle que, pour tout réel t, G(t) = ℙ(g(X) ⩽ t), et examiner l'ensemble G^(− 1)([1/2, 1]).
Q 39. Déduire de ce qui précède que, pour tout réel strictement positif t
ℙ(|g(X) − m| ⩾ t) ⩽ 4exp(− 1/8t^2)
où m est une médiane de g(X).
Q 40. En déduire que 𝔼((g(X) − m)^2) ⩽ 32.
Q 41. Montrer que 𝔼(g(X)^2) = k, et en déduire que 𝔼(g(X)) ⩽ √k.
Q 42. En déduire que (√k − m)^2 ⩽ 𝔼((g(X) − m)^2).

III.C - Un lemme-clé

Q 43. Montrer que, pour tout réel strictement positif t
ℙ(|g(X) − √k| ⩾ t) ⩽ 4exp(4)exp(− 1/(16)t^2)
On pose A_k = X/(√k). Soient ε dans ]0, 1[ et δ dans ]0, 1/2[. On suppose que k ⩾ 160(ln(1/δ))/(ε^2).
Q 44. Montrer que, pour tout vecteur unitaire u dans ℝ^d :
ℙ(|‖A_k ⋅ u‖ − 1| > ε) < δ

III.D - Conclusion

On conserve les notations et les hypothèses précédentes. Soient v_1, …, v_N des vecteurs distincts dans ℝ^d. Pour tout (i, j) ∈ [ [1, N] ]^2 tel que i < j on note E_(ij) l'événement
(1 − ε)‖v_i − v_j‖ ⩽ ‖A_k ⋅ v_i − A_k ⋅ v_j‖ ⩽ (1 + ε)‖v_i − v_j‖
Q 45. Montrer que ℙ(E_(ij)^–) < δ, où E_(ij)^– désigne l'événement contraire de E_(ij).
Q 46. En déduire que ℙ(⋂_(1 ⩽ i < j ⩽ N)E_(ij)) ⩾ 1 − (N(N − 1))/2δ.
Q 47. En déduire le théorème de Johnson et Lindenstrauss.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Maths 1 MP 2018 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Maths 1 MP 2018 ?

Il porte surtout sur les probabilités sur un univers fini (loi binomiale, espérance, probabilités totales, espérance conditionnelle), les espaces euclidiens et la projection sur un convexe fermé, ainsi que sur les inégalités de convexité.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale Maths 1 MP 2018 ?

Des théorèmes cités sans vérifier leurs hypothèses, notamment la formule des probabilités totales, un manque d'aisance avec la loi binomiale, l'oubli de l'indépendance et des propriétés topologiques très mal maîtrisées.

Comment le barème de Centrale Maths 1 MP 2018 est-il réparti ?

Selon le rapport, la partie I compte pour 29 % des points, la partie II pour 42 % et la partie III pour 29 %.

Le sujet Centrale Maths 1 MP 2018 est-il difficile ?

Le jury le décrit comme un problème difficile mais guidé par des questions intermédiaires. Les résultats de la partie I sont tous donnés pour ne pas bloquer les candidats.

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