Mines Mathématiques 1 MP 2018Sujet, corrigé et rapport du jury

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH.

CONCOURS 2018

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

MATHÉMATIQUES I - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

A. Préliminaires

1. Montrer que pour toute variable aléatoire X réelle à valeurs dans {1, …, n} et pour tout m ∈ {1, …, n},

2. À l'aide d'une comparaison entre une somme et une intégrale, montrer que

B. Le lemme de sous-additivité de Fekete

3. Justifier que u_– et u¯ sont bien définies. Montrer qu'elles sont monotones puis qu'elles convergent.

5. Si v = (v_n)_(n ∈ ℕ^∗) est une autre suite réelle bornée plus grande que u, comparer les limites de u¯ et de v¯.
6. Montrer que u¯ et u_– sont adjacentes si et seulement si u converge. En ce cas, que peut-on dire des limites des trois suites u, u¯ et u_– ?
   On dit qu'une suite réelle u = (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) est sous-additive si pour tous i, j dans ℕ^∗, on a u_(i + j) ⩽ u_i + u_j.
   Dans le reste de cette partie on ne suppose plus que la suite u est bornée, mais on suppose que u est positive et sous-additive.
7. Soit m et n deux entiers naturels non nuls tels que m ⩾ 2n. On note q le quotient et r le reste de la division euclidienne de m par n. Montrer que

8. En déduire que la suite ((u_m)/m)_(m ∈ ℕ^∗) est bornée, puis que pour tout n ∈ ℕ^∗,

9. En conclure que la suite ((u_n)/n)_(n ∈ ℕ^∗) converge.

C. Une application probabiliste

10. Montrer que si P(X_1 < x) = 1, alors pour tout n ∈ ℕ^∗, P(Y_n < x) = 1 et que si P(X_1 ⩾ x) > 0, alors pour tout n ∈ ℕ^∗, P(Y_n ⩾ x) > 0.
11. Soit m et n deux entiers naturels non nuls. Montrer l'inclusion d'événements suivante :

12. Démontrer la convergence de la suite

D. Le théorème de Erdös-Szekeres

• le jeton n^∘1 de valeur a_1 débute la première pile;
• si a_2 > a_1, alors on pose le jeton n^∘2 de valeur a_2 sur le jeton n^∘1; sinon on crée une nouvelle pile avec ce jeton n^∘2, située à droite de la première pile;
• lors des étapes suivantes, disposant du jeton n^∘k de valeur a_k, on le dépose sur la première pile en partant de la gauche telle que a_k est supérieur à la valeur du jeton au sommet de la pile, si une telle pile existe; sinon on crée une nouvelle pile avec ce jeton, située à droite des précédentes.

13. À l'aide d'un raisonnement par récurrence sur le nombre s de piles, montrer qu'à l'issue du processus, pour tout jeton de valeur z de la dernière pile, il existe une liste b = (b_1, …, b_s) de réels extraite de la liste a vérifiant:

• b est décroissante et de longueur s;
• pour tout i ∈ {1, …, s} le jeton n^∘i de valeur b_i est dans la i-ème pile en partant de la gauche;
• b_s = z.

E. Comportement asymptotique d'une suite aléatoire

• C_n est la longueur de la plus longue liste croissante extraite de A;
• D_n est la longueur de la plus longue liste décroissante extraite de A.

15. Les variables aléatoires réelles A_1, A_2, …, A_n sont-elles mutuellement indépendantes?
16. Soit k ∈ {1, …, n} et s = (s_1, …, s_k) une liste croissante de longueur k d'éléments de {1, …, n}. On note A^s l'événement: «la liste ( A_(s_1), …, A_(s_k) ) est croissante ». Montrer que P(A^s) = 1/(k!).
17. Démontrer que C_n et D_n ont la même loi. Démontrer alors, à l'aide du résultat de la question 14 , que :

18. Démontrer que pour tout k ∈ {1, …, n},

19. Soit n un entier naturel non nul et α un réel strictement supérieur à 1 . Justifier qu'il existe un entier naturel non nul k tel que k − 1 < αe√n ⩽ k. À l'aide du résultat de la question 2, déduire de la question précédente que

20. En déduire qu'il existe une suite (ε_n)_(n ∈ ℕ^∗) tendant vers 0 telle que, pour tout n ∈ ℕ^∗,

Fin du problème