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CCINP Mathématiques 1 MP 2018Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Estimations numériques d'intégrales : intégrale de Gauss, interpolation de Lagrange et polynômes de Legendre
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Le sujet a pour fil conducteur le calcul approché d'intégrales. La partie I estime l'intégrale de Gauss en permutant limite et intégrale. Les parties II à IV étudient les méthodes de quadrature : erreur d'interpolation de Lagrange, famille orthogonale des polynômes de Legendre, puis la méthode de quadrature de Gauss utilisant les racines de ces polynômes comme points d'interpolation. Quatre questions d'informatique portent sur le programme « informatique pour tous ».

  1. 1Partie I : permutation limite-intégrale et intégrale de Gausspremière annéeEstimation de l'intégrale de Gauss par série entière puis par une suite de fonctions, avec convergence uniforme et dominée.
  2. 2Partie II : notion de polynôme interpolateurExistence et unicité du polynôme interpolateur de Lagrange, calcul effectif en Python et expression de l'erreur d'interpolation.
  3. 3Partie III : famille de polynômes orthogonauxConstruction des polynômes de Legendre par le procédé de Gram-Schmidt et étude de leurs racines.
  4. 4Partie IV : méthodes de quadraturePrincipe des méthodes de Newton-Cotes puis raffinement de Gauss utilisant les racines des polynômes de Legendre.

Difficulté moyenne. Le rapport qualifie le texte de clair, de difficulté et de longueur raisonnables, avec une moyenne de 10,27/20 et un écart-type de 4,60, ce qui a permis de bien sélectionner les candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,27 / 20 · écart-type 4,6 · 7 159 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,27/ 20
Écart-type
4,6
Présents
7 159
moyenne 10,2705101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées
Composition d'équivalents par l'exponentielle · Majoration locale au lieu d'une majoration globale · Complexité du pivot de Gauss rarement donnée
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Le sujet est jugé clair, de difficulté et de longueur raisonnables, et un candidat de niveau moyen ayant travaillé doit pouvoir obtenir la moyenne. La partie algorithmique a été plutôt bien traitée, à l'exception de la complexité du pivot de Gauss, très souvent fausse. Le jury regrette trop de copies mal rédigées ou mal écrites, difficiles à déchiffrer pour le correcteur.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Composition d'équivalents par l'exponentielleQ5

    Certains candidats composent leurs équivalents par la fonction exponentielle, ce qui est une erreur de raisonnement classique.

    « certains candidats composent leurs équivalents par exp, ce qui est une erreur »
  2. 2
    Majoration locale au lieu d'une majoration globaleQ6

    Pour la majoration demandée, certains candidats prouvent seulement des inégalités locales à l'aide de développements limités, ce qui ne suffit pas.

    « certains prouvent seulement des inégalités locales avec des développements limités »
  3. 3
    Complexité du pivot de Gauss rarement donnéeQ9

    La matrice de Vandermonde est souvent trouvée, mais la complexité du pivot de Gauss en O(n³) est rarement donnée.

    « la complexité du pivot de Gauss »
  4. 4
    Lien entre coefficients et dérivées successives mal connuQ16

    Cette question, très peu réussie, demandait de connaître le lien entre les coefficients d'une série entière et les dérivées successives de la fonction développable.

    « Question très peu réussie qui demandait de connaître le lien entre coefficient et dérivée »

Ce qui a été bien réussi

  • La partie algorithmique a plutôt été bien traitée dans l'ensemble.
  • Les questions 7, 11, 12, 15, 21 et 22 ont été bien réussies par la majorité des candidats.

Conseils du jury

  • Connaître très précisément les hypothèses des théorèmes de convergence uniforme et de convergence dominée avant de les appliquer.
  • Mettre en évidence les résultats en les soulignant ou en les encadrant pour améliorer la lisibilité de la copie.
  • Travailler en profondeur les démonstrations de cours et les exemples de base, au-delà des seuls énoncés.
  • Vérifier la complexité annoncée d'un algorithme, notamment pour la résolution d'un système linéaire par pivot de Gauss.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

Lundi 30 avril : 14 h − 18 h
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé d'un problème avec quatre parties.

ESTIMATIONS NUMÉRIQUES D'INTÉGRALES

Objectifs

Le fil conducteur de ce sujet est le calcul approché d'intégrales.
La partie I est indépendante des autres parties. À travers l'exemple de l'intégrale de Gauss, on utilise des suites de fonctions et on «permute limite et intégrale».
Les parties II et III peuvent être traitées de manière indépendante. La partie IV utilise des résultats des parties II et III.
Les parties II, III et IV traitent de l'utilisation des polynômes interpolateurs pour le calcul approché d'intégrales : on présente le principe des méthodes de quadrature, dites de Newton-Cotes, ainsi qu'un raffinement avec la méthode de quadrature de Gauss.
Le sujet comporte aussi quelques questions notées Informatique portant sur le programme «informatique pour tous». Les algorithmes demandés doivent être écrits en langage Python.

Notations

  • Si f est une fonction réelle bornée sur [a, b] avec a < b, on pose :
‖f‖_∞ = sup_(x ∈ [a, b])|f(x)|.
  • On note ℝ_n[X] l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n. On pourra confondre les expressions «polynômes » et «fonctions polynomiales».

Partie I - «Permutation limite-intégrale » et intégrale de Gauss

On considère l'intégrale de Gauss :
I = ∫_0^1 e^(− x^2) dx

I. 1 - Utilisation d'une série entière

Q1. Démontrer à l'aide d'une série entière que :
I = ∑_(n = 0)^(+ ∞)((− 1)^n)/((2n + 1)n!).
On pose pour n ∈ ℕ :
s_n = ∑_(k = 0)^n((− 1)^k)/((2k + 1)k!).
Q2. Justifier que pour tout n ∈ ℕ, on a :
|I − s_n| ⩽ 1/((2n + 3)(n + 1)!)
Q3. Informatique : écrire une fonction récursive factorielle qui prend en argument un entier naturel n et renvoie l'entier n!.
Q4. Informatique : en déduire un script, qui détermine un entier N, tel que |I − s_N| ⩽ 10^(− 6).

I. 2 - Utilisation d'une autre suite de fonctions

Pour tout n ∈ ℕ^∗, on définit sur [0, + ∞[ la fonction f_n par :
f_n(x) = (1 − (x^2)/n)^n
Q5. Déterminer, en détaillant, la limite simple de la suite de fonctions (f_n)_(n ∈ ℕ^∗).
Q6. Soit n ∈ ℕ^∗. Démontrer que ∀x ∈ [0, 1], |f_n(x)| ⩽ e^(− x^2). En déduire que :
I = lim_(n → + ∞)∑_(k = 0)^n(n/k)((− 1)^k)/(n^k(2k + 1))

Partie II - Notion de polynôme interpolateur

Soit f : [a, b] → ℝ une fonction continue. On se donne n + 1 points x_0, x_1, …, x_n dans [a, b], deux à deux distincts.
On appelle polynôme interpolateur de f aux points x_i, un polynôme P ∈ ℝ_n[X] qui coïncide avec f aux points x_i, c'est-à-dire tel que pour tout i ∈ [ [0, n] ], P(x_i) = f(x_i).

II. 1 - Existence du polynôme interpolateur

Pour tout entier i de [ [0, n] ], on définit le polynôme l_i de ℝ_n[X] par :
l_i(X) = ∏_(k = 0; k ≠ i)^n(X − x_k)/(x_i − x_k)
On pose :
L_n(f) = ∑_(i = 0)^n f(x_i)l_i(X)
Q7. Démontrer que L_n(f) est un polynôme interpolateur de f aux points x_i, puis démontrer l'unicité d'un tel polynôme.
Un tel polynôme est appelé polynôme interpolateur de Lagrange.

II. 2 - Calcul effectif du polynôme interpolateur de Lagrange

Q8. Informatique : si y_0, …, y_n sont des réels, le polynôme P = ∑_(i = 0)^n y_i l_i(X) est l'unique polynôme de ℝ_n[X] vérifiant P(x_i) = y_i pour tout i. Écrire en langage Python une fonction lagrange qui prend en arguments x une liste de points d'interpolations x_i, y une liste d'ordonnées y_i de même longueur que x, a un réel, et qui renvoie la valeur de P en a.
Par exemple, si x = [ − 1, 0, 1] et y = [4, 0, 4], on montre que P = 4X^2 et donc P(3) = 36. Ainsi, lagrange (x, y, 3) renverra 36.
Q9. Informatique : chercher le polynôme interpolateur P = a_0 + a_1 X + ⋯ + a_n X^n de f aux points x_i revient aussi à résoudre le système linéaire suivant d'inconnues a_0, …, a_n :
{P(x_0) = f(x_0); ⋮; P(x_n) = f(x_n) ⟺ V(a_0; ⋮; a_n) = (f(x_0); ⋮; f(x_n))
où V est une matrice carrée de taille n + 1.
Déterminer la matrice V et indiquer la complexité du calcul en fonction de n, lorsque l'on résout ce système linéaire par la méthode du pivot de Gauss.

II. 3 - Expression de l'erreur d'interpolation

On suppose, en plus dans cette partie, que f est de classe C^(n + 1) sur [a, b]. On rappelle que L_n(f) est son unique polynôme interpolateur aux points x_i.
On note σ = {x_0, …, x_n} l'ensemble des points d'interpolations et π_σ le polynôme de ℝ_(n + 1)[X] défini par:
π_σ = ∏_(i = 0)^n(X − x_i).
On veut démontrer pour tout réel x ∈ [a, b], la propriété suivante notée P_x :
∃c_x ∈ ]a, b[, f(x) − L_n(f)(x) = (f^((n + 1))(c_x))/((n + 1)!)π_σ(x).
Q10. Résultat préliminaire : soit p ∈ ℕ^∗. Démontrer que si φ : [a, b] → ℝ est une fonction p-fois dérivable qui s'annule p + 1 fois, alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que φ^((p))(c) = 0.
Q11. Justifier que pour tout x ∈ σ, la propriété P_x est vraie.
On fixe x un réel de [a, b] qui n'est pas dans σ. Soit λ un réel. On définit sur [a, b] une application F par:
F(t) = f(t) − L_n(f)(t) − λπ_σ(t)
Q12. Déterminer un réel λ de sorte que F(x) = 0. On choisira alors λ de cette façon.
Q13. Démontrer que F s'annule n + 2 fois et en déduire que P_x est vraie.
Q14. Justifier que la fonction f^((n + 1)) est bornée sur [a, b] et en déduire un réel positif K indépendant de n tel que :
‖f − L_n(f)‖_∞ ⩽ (K^(n + 1))/((n + 1)!)‖f^((n + 1))‖_∞
Q15. En déduire que si f est la fonction sinus, la suite (L_n(f))_(n ∈ ℕ) converge uniformément vers f sur [0, 2π].
Q16. On définit f sur [ − 1, 1] par f(x) = 1/(1 + x^2). Démontrer à l'aide d'une série entière que :
∀k ∈ ℕ, ‖f^((2k))‖_∞ ⩾ (2k)!.
Cette dernière inégalité montre que la quantité ‖f^((n + 1))‖_∞ peut être grande et cela peut empêcher parfois la convergence de la suite de polynômes interpolateurs. Ceci est appelé le phénomène de Runge.

Partie III - Famille de polynômes orthogonaux

On munit ℝ[X] l'espace des polynômes à coefficients réels du produit scalaire ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ défini par : pour tout polynôme P et Q de ℝ[X] :
⟨P, Q⟩ = ∫_(− 1)^1 P(t)Q(t)dt
On applique le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt à la base canonique ( 1, X, X^2, … ) de ℝ[X]. On obtient donc une famille orthonormée de polynômes ( P_0, P_1, P_2, … ) vérifiant :
∀k ∈ ℕ, Vect{1, X, …, X^k} = Vect{P_0, P_1, …, P_k}.
Le polynôme P_n s'appelle le polynôme de Legendre d'indice n.
Q17. Calculer P_0 et P_1.
Q18. Justifier que pour n ⩾ 1, le polynôme P_n est orthogonal à ℝ_(n − 1)[X]. Démontrer que le polynôme P_n est de degré n.
On prend n ⩾ 1. On veut démontrer que P_n admet n racines simples dans [ − 1, 1].
Q19. Justifier que ∫_(− 1)^1 P_n(t)dt = 0 et en déduire que P_n admet au moins une racine dans [ − 1, 1].
Supposons par l'absurde que P_n admet strictement moins de n racines simples. Si P_n admet des racines t_1, …, t_p de multiplicité impaire avec p < n, on pose Q = (X − t_1)…(X − t_p); sinon, on pose Q = 1. On considère enfin le polynôme H = QP_n.
Q20. Justifier que ∫_(− 1)^1 H(t)dt = 0, puis conclure (on pourra remarquer que H est de signe constant sur [ − 1, 1] ).

Partie IV - Méthodes de quadrature

Dans cette partie, nous allons voir comment les polynômes interpolateurs de Lagrange peuvent être utilisés pour estimer ∫_a^b f(x)dx pour f : [a, b] → ℝ une fonction continue.
Pour cela, on choisit d'abord une subdivision a = x_0 < x_1 < … < x_N = b de l'intervalle [a, b]. À cause du phénomène de Runge, si N est grand, le polynôme interpolateur de f aux points x_i n'est pas forcément une bonne approximation de f. Approximer ∫_a^b f(x)dx par ∫_a^b L_N(f)(x)dxn 'est donc pas forcément pertinent...
Nous allons en fait approximer f par un polynôme d'interpolation sur chaque petit intervalle [ x_k, x_(k + 1) ].
D'après la relation de Chasles, on a :
∫_a^b f(x)dx = ∑_(k = 0)^(N − 1)∫_(x_k)^(x_(k + 1))f(x)dx
Q21. Justifier que :
∫_(x_k)^(x_(k + 1))f(x)dx = (x_(k + 1) − x_k)/2∫_(− 1)^1 g(t)dtavecg(t) = f(x_k + (t + 1)(x_(k + 1) − x_k)/2)
On est donc ramené à estimer ∫_(− 1)^1 g(t)dt où g : [ − 1, 1] → ℝ est une fonction continue.
On se donne n + 1 points t_0, t_1, …, t_n dans [ − 1, 1], deux à deux distincts.
On rappelle que L_n(g) = ∑_(i = 0)^n g(t_i)l_i(X) est le polynôme interpolateur de g aux points t_i et on pose :
J(g) = ∫_(− 1)^1 L_n(g)(t)dt = ∑_(i = 0)^n α_i g(t_i) avec α_i = ∫_(− 1)^1 l_i(t)dt
Lorsqu'on approxime ∫_(− 1)^1 g(t)dt par J(g), c'est-à-dire :
∫_(− 1)^1 g(t)dt ≈ ∑_(i = 0)^n α_i g(t_i)
on dit que J est une méthode de quadrature associée aux points t_0, …, t_n et aux poids α_0, …, α_n.
Q22. Justifier que pour tout polynôme P ∈ ℝ_n[X], on a J(P) = ∫_(− 1)^1 P(t)dt.
On dit que la méthode de quadrature J est d'ordre au moins n car la formule approchée est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à n.
Q23. Exemple : on prend n = 1, t_0 = − 1 et t_1 = 1. Déterminer α_0 et α_1. Expliquer à l'aide d'un graphique en prenant g positive pourquoi, dans ce cas, la méthode J s'appelle la «méthode des trapèzes ».

Quadrature de Gauss

Dans les deux questions suivantes, on prend pour points d'interpolation t_0, t_1, …, t_n les ( n + 1 ) racines du polynôme de Legendre P_(n + 1) introduit dans la partie III.
Nous allons démontrer que, dans ce cas, la formule de quadrature J est d'ordre au moins 2n + 1.
Soit P ∈ ℝ_(2n + 1)[X]. On fait la division euclidienne de P par P_(n + 1), on note respectivement Q le quotient et R le reste de cette division :
P = QP_(n + 1) + R.
Q24. Démontrer que J(QP_(n + 1)) = ∫_(− 1)^1 Q(t)P_(n + 1)(t)dt, puis conclure que J(P) = ∫_(− 1)^1 P(t)dt.
Q25. Démontrer que les poids α_0, …, α_n associés à la quadrature de Gauss sont strictement positifs et calculer leur somme.

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 MP CCINP 2018 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 MP CCINP 2018 ?

Le sujet porte sur le calcul approché d'intégrales : intégrale de Gauss, interpolation polynomiale de Lagrange, polynômes orthogonaux de Legendre et méthodes de quadrature, avec des questions de programmation Python.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 1 MP CCINP 2018 ?

Le jury relève une confusion sur la composition d'équivalents par l'exponentielle, des majorations seulement locales, une complexité du pivot de Gauss rarement donnée, et une méconnaissance du lien entre coefficients et dérivées successives d'une série entière.

Ce sujet de maths 1 MP CCINP 2018 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme de difficulté et de longueur raisonnables, avec une moyenne de 10,27/20 : un candidat de niveau moyen ayant travaillé doit pouvoir obtenir la moyenne.

Ce sujet de CCINP MP 2018 comporte-t-il de la programmation Python ?

Oui, quatre questions d'informatique portent sur le programme informatique pour tous : fonction récursive, script d'arrêt, calcul du polynôme interpolateur de Lagrange et complexité du pivot de Gauss.

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