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CCINP Mathématiques 1 MP 2019Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Accessible
Séries de fonctions en a_n x^n/(1-x^n), intégration terme à terme et fonctions génératrices
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Le sujet comporte deux exercices et un problème indépendants, soit 12 questions. Le premier exercice calcule une intégrale par intégration terme à terme, le second établit par deux méthodes la fonction génératrice d'une somme de variables aléatoires indépendantes. Le problème étudie des séries de fonctions de la forme somme des a_n x^n/(1-x^n) : convergence, régularité, écriture en série entière via les familles sommables, puis exemples traités avec le théorème de la double limite.

  1. 1Exercice I : intégration terme à termeIntégrabilité d'une fonction sur ]0,+∞[ et calcul d'une intégrale à l'aide de la somme des 1/n².
  2. 2Exercice II : fonctions génératricesFonction génératrice d'une somme de deux variables indépendantes par produit de Cauchy et par la définition, puis loi d'une somme de tirages avec remise.
  3. 3Problème, partie I : propriétésConvergence absolue, convergence uniforme sur tout segment, classe C1 de la somme et expression en série entière grâce aux familles sommables.
  4. 4Problème, partie II : exemplesNombre de diviseurs, indicatrice d'Euler, somme de la série harmonique alternée et comportement de la somme au voisinage de 0 et de 1 par le théorème de la double limite.

Accessible. Le jury juge le sujet équilibré et progressif, sans difficulté sérieuse et accessible jusqu'à la fin, même si peu de candidats l'ont traité entièrement avec rigueur ; la moyenne est de 10,13.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,13 / 20 · écart-type 4,41 · 7 121 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,13/ 20
Écart-type
4,41
Présents
7 121
Coefficient
12
Durée
4 h
moyenne 10,1305101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 29 avril 2019. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Convergence uniforme sur un intervalle non borné · Indépendance non exploitée · Exemple hors hypothèses
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Le sujet mobilise les théorèmes fondamentaux sur les séries de fonctions, les séries entières et les probabilités. Il paraissait court, mais peu de candidats l'ont traité proprement en entier. Il a bien classé les candidats, avec un écart-type élevé, et les exercices ont valorisé ceux qui connaissaient leur cours.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Convergence uniforme sur un intervalle non bornéQ1

    Le théorème d'intégration terme à terme est mal connu, et certains intervertissent somme et intégrale par convergence uniforme alors que l'intervalle n'est pas borné.

    « Certains utilisent, à tort, la convergence uniforme pour intervertir somme et intégrale alors que l’on travaille sur un intervalle non borné. »
  2. 2
    Indépendance non exploitéeQ2, Q3

    Des candidats invoquent la linéarité de l'espérance ou n'indiquent pas où sert l'indépendance des variables ; la loi de S_n en Q3 a aussi posé problème.

  3. 3
    Exemple hors hypothèsesQ4

    Les exemples proposés reposent souvent sur une série entière dont le rayon n'est pas 1, contrairement à ce qu'impose l'énoncé.

    « les exemples proposés correspondent souvent à des séries entières qui ne sont pas de rayon 1 ! »
  4. 4
    Majorations et sommabilité négligéesQ5, Q7

    La majoration de Q5 est souvent non justifiée ou fausse, et en Q7 la sommabilité est mal prouvée, avec des valeurs absolues oubliées.

    « peu de candidats savent prouver qu’une famille est sommable et oublient les valeurs absolues. »
  5. 5
    Double limite sans convergence uniforme adaptéeQ10, Q11

    La convergence uniforme sur les segments ne suffit pas pour passer à la limite au bord de l'intervalle, et le critère des séries alternées est parfois appliqué hors de ses hypothèses.

    « pensent que la convergence uniforme sur tout segment est suffisante pour l’application du théorème de la double limite. »
  6. 6
    Majoration du reste dépendant de xQ11, Q12

    Une majoration du reste qui dépend de x ne prouve pas la convergence uniforme, et en Q12 les hypothèses de la double limite sont rarement vérifiées.

    « La majoration UNIFORME du reste qui découle du théorème des séries alternées dépend souvent de x (erreur grave). »

Ce qui a été bien réussi

  • L'intégrabilité en Q1 est le plus souvent correctement établie.
  • En Q4, l'équivalent et l'absolue convergence sont en général bien traités.
  • La continuité de la somme en Q6 est bien établie.
  • En Q7, la partition est reconnue et la dernière égalité généralement prouvée.
  • La question Q8 n'a pas posé de problème.

Conseils du jury

  • Citer tous les théorèmes utilisés et rappeler sur le moment toutes leurs hypothèses.
  • Indiquer sur la copie à quel moment chaque hypothèse de la question est utilisée.
  • Ne pas maquiller un calcul pour retrouver un résultat donné, ce qui indispose fortement le correcteur.
  • Lire l'ensemble du sujet en diagonale avant de commencer.
  • Ne pas recopier l'énoncé et répondre en une ou deux lignes quand c'est possible.
  • Numéroter les copies, les rendre dans l'ordre et soigner la présentation.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

Lundi 29 avril : 14h − 18h
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

EXERCICE I

On admet que ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^2) = (π^2)/6 et on pose, pour t ∈ ]0, + ∞[, f(t) = (te^(− t))/(1 − e^(− t)).
Q1. Justifier que la fonction f est intégrable sur ]0, + ∞[ puis, à l'aide d'un théorème d'intégration terme à terme, calculer l'intégrale ∫_0^(+ ∞)t/(e^t − 1) dt.

EXERCICE II

Si X est une variable aléatoire à valeurs dans ℕ de loi de probabilité donnée par : ∀n ∈ ℕ, p_n = P(X = n), la fonction génératrice de X est G_X(t) = E(t^X) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)p_n t^n.
Q2. Démontrer que l'intervalle ] − 1, 1[ est inclus dans l'ensemble de définition de la fonction G_X.
Soient X_1 et X_2 deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans ℕ.
On pose S = X_1 + X_2, démontrer que pour tout t ∈ ] − 1, 1[, G_S(t) = G_(X_1)(t) ⋅ G_(X_2)(t) par deux méthodes : l'une utilisant le produit de Cauchy de deux séries entières et l'autre utilisant uniquement la définition : G_X(t) = E(t^X).
On généralise ce résultat, que l'on pourra utiliser dans la question suivante, à n variables aléatoires mutuellement indépendantes à valeurs dans ℕ (on ne demande pas de preuve de cette récurrence).
Q3. Un sac contient quatre boules : une boule numérotée 0 , deux boules numérotées 1 et une boule numérotée 2.
On effectue n tirages d'une boule avec remise et on note S_n la somme des numéros tirés. Déterminer pour tout t ∈ ] − 1, 1[, G_(S_n)(t) et en déduire la loi de S_n.

PROBLÈME

Introduction

Dans ce sujet une série de fonctions L_a est une série de fonctions ∑_(n ≥ 1)a_n(x^n)/(1 − x^n) où (a_n)_(n ≥ 1) est une suite de réels telle que la série entière ∑_(n ≥ 1)a_n x^n soit de rayon 1.

Partie I - Propriétés

Soit une série de fonctions L_a : ∑_(n ≥ 1)a_n(x^n)/(1 − x^n).
Q4. Si x ∈ ] − 1, 1[, donner un équivalent de 1 − x^n pour n au voisinage de + ∞.
Démontrer que pour tout x ∈ ] − 1, 1[, la série ∑_(n ≥ 1)a_n(x^n)/(1 − x^n) converge absolument.
Remarque : la série L_a peut parfois converger en dehors de l'intervalle ] − 1, 1[. Donner un exemple de suite (a_n)_(n ≥ 1) telle que la série L_a converge en au moins un x_0 n'appartenant pas à l'intervalle ] − 1, 1[.
Q5. Démontrer que la série de fonctions ∑_(n ≥ 1)a_n(x^n)/(1 − x^n) converge uniformément sur tout segment [ − b, b] inclus dans l'intervalle ] − 1, 1[.
Q6. On pose, pour tout x ∈ ] − 1, 1[, f(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)a_n(x^n)/(1 − x^n).
Justifier que la fonction f est continue sur l'intervalle ] − 1, 1[ et démontrer ensuite que la fonction f est de classe C^1 sur l'intervalle ] − 1, 1[. Donner la valeur de f^′(0).
Q7. Expression sous forme de série entière
On note A = ℕ^∗ × ℕ^∗.
Lorsque (u_(n, p))_((n, p) ∈ A) est une famille sommable de réels, justifier que
∑_(n = 1)^(+ ∞)(∑_(p = 1)^(+ ∞)u_(n, p)) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(∑_((k, p) ∈ I_n)u_(k, p)), où I_n = {(k, p) ∈ A, kp = n}.
Démontrer que pour tout x ∈ ] − 1, 1[, la famille (a_n x^(np))_((n, p) ∈ A) est sommable.
En déduire que pour tout x ∈ ] − 1, 1[, ∑_(n = 1)^(+ ∞)a_n(x^n)/(1 − x^n) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)b_n x^n où b_n = ∑_(d|n)a_d
( d|n signifiant d divise n ).

Partie II－Exemples

Q8．Dans cette question，pour n ≥ 1, a_n = 1 et on note d_n le nombre de diviseurs de n ．Exprimer， pour tout x ∈ ] − 1, 1[, f(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)a_n(x^n)/(1 − x^n) comme la somme d＇une série entière．
Q9．Dans cette question，pour n ≥ 1, a_n = φ(n) où φ(n) est le nombre d＇entiers naturels premiers avec n et inférieurs à n ．
Justifier que la série entière ∑_(n ≥ 1)a_n x^n est de rayon 1.
On admet que pour n ≥ 1, n = ∑_(d|n)φ(d) ．Vérifier ce résultat pour n = 12 ．
Pour x ∈ ] − 1, 1[ ，exprimer ∑_(n = 1)^(+ ∞)φ(n)(x^n)/(1 − x^n) sous la forme d＇un quotient de deux polynômes．
Q10．En utilisant le théorème de la double limite，établir à l＇aide du développement en série entière de la fonction x ↦ ln(1 + x) sur l＇intervalle ] − 1, 1[ ，la valeur de la somme ∑_(n = 1)^(+ ∞)((− 1)^n)/n ．
Q11．Dans cette question et la suivante，pour n ≥ 1, a_n = (− 1)^n et pour tout x ∈ ] − 1, 1[ ， f(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)a_n(x^n)/(1 − x^n).
En utilisant le théorème de la double limite，calculer lim_(x → 0)(f(x))/x et donner un équivalent de f(x) au voisinage de 0 ．Retrouver le dernier résultat de la question Q6 ．
Q12．Démontrer qu＇au voisinage de 1, f(x) ∼ (− ln2)/(1 − x) ．
On pourra remarquer que pour x ∈ ]0, 1[, (1 − x)/(1 − x^n) = 1/(1 + x + x^2 + … + x^(n − 1)) ．

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet CCINP maths 1 MP 2019 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet CCINP maths 1 MP 2019 ?

Sur les séries de fonctions, les séries entières, les familles sommables, l'intégration terme à terme et les fonctions génératrices en probabilités.

Quelle est la moyenne de l'épreuve CCINP maths 1 MP 2019 ?

Le rapport du jury indique une moyenne de 10,13 et un écart-type de 4,41.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en CCINP maths 1 MP 2019 ?

Surtout l'usage de la convergence uniforme sur un intervalle non borné, des hypothèses du théorème de la double limite non vérifiées, des majorations du reste dépendant de x et une sommabilité mal justifiée.

Le sujet CCINP maths 1 MP 2019 est-il long ?

Il ne compte que 12 questions, mais le jury note que peu de candidats l'ont traité entièrement de façon rigoureuse, même si quelques-uns y sont parvenus.

Pas de description pour le moment