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Mines Mathématiques 2 MP 2019Sujet, corrigé et rapport du jury

Majoration du rayon spectral de la matrice de Hilbert

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Présentation du sujet

Difficile
Majoration du rayon spectral de la matrice de Hilbert
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Le sujet étudie la plus grande valeur propre de la matrice de Hilbert H_n. Il établit une propriété de type Perron-Frobenius pour le sous-espace propre associé, puis l'inégalité de Hilbert qui majore ce rayon spectral par π. Il relie ensuite H_n à un opérateur intégral pour obtenir, à l'aide d'équations différentielles et de la fonction Gamma, une majoration explicite légèrement meilleure que π.

  1. 1Partie A : une propriété de Perron-FrobeniusH_n est symétrique définie positive, puis le sous-espace propre de la plus grande valeur propre est une droite engendrée par un vecteur sans coordonnée nulle.
  2. 2Partie B : inégalité de HilbertMajoration de la forme quadratique associée à H_n par une intégrale sur le demi-cercle unité, puis croissance et convergence de la suite des rayons spectraux.
  3. 3Partie C : un opérateur intégralOpérateur intégral à noyau polynomial ayant les mêmes valeurs propres non nulles que H_n, et caractérisation du rayon spectral par un inf-sup.
  4. 4Partie D : une majoration explicite des rayons spectrauxDérivation d'une intégrale à paramètre, intégration par parties, équations différentielles linéaires du premier ordre et équivalents obtenus avec la formule de Stirling.

Difficile. Le jury parle d'un sujet coriace, aux questions souvent ardues ou calculatoires, même s'il juge les questions 2 à 10, 12, 15 et 17 tout à fait abordables.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Sommes doubles mal maîtrisées · Simplifications illicites par un vecteur · Dimension d'un sous-espace propre
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La rédaction est souvent insuffisante : propriétés non citées, longs calculs sans explication, raisonnements incomplets ou inutilement compliqués. Beaucoup de candidats se sont néanmoins battus avec un sujet exigeant. Selon le jury, le sujet permettait à tout candidat sérieux de montrer ses qualités, à condition de rigueur et de soin dans les calculs.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Sommes doubles mal maîtriséesQ1

    Beaucoup traitent une somme double comme un produit de Cauchy ou utilisent le même indice pour les deux sommes, et remplacent le symbole somme par des pointillés.

    « L’usage généralisé de ceux-ci en lieu et place du symbole de sommation est à proscrire. »
  2. 2
    Simplifications illicites par un vecteurQ2

    Pour la réciproque de la question 2, de nombreux candidats simplifient par un vecteur ou le multiplient par un inverse qui n'existe pas.

    « plus le propos est confus, plus le correcteur est à l’affût de la faille dans le raisonnement. »
  3. 3
    Dimension d'un sous-espace propreQ5

    Des réponses comme n ou n-1 ont été données sans voir que deux vecteurs non colinéaires fournissent une combinaison avec une coordonnée nulle, ce qui contredit la question 4.

    « Cette question a donné lieu aux réponses les plus fantaisistes »
  4. 4
    Changement de variable complexe et inégalités faussesQ6, Q7

    Le changement de variable t = e^{iθ} n'est pas réel et ne peut être utilisé ici. En question 7, beaucoup affirment à tort que le carré d'une somme est majoré par la somme des carrés.

  5. 5
    Domination non intégrableQ12

    La dérivation de J_n a souvent échoué sur l'hypothèse de domination, avec des majorants faux ou non intégrables sur ]0, 1[.

    « Mais là où cela se gâte vraiment, c’est dans la domination. »
  6. 6
    Signes et hypothèses dans les équations différentiellesQ15

    Il fallait préciser que 1 - t ne s'annule pas sur [0, 1[ ; environ la moitié des candidats se trompent de signe, et peu retrouvent toutes les conditions imposées à la fonction.

    « il ne fallait pas non plus se tromper dans les signes, ce qui a été pourtant le cas d’environ la moitié des candidats »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 1 a été abordée avec profit par plus de la moitié des candidats, qui ont relié la matrice à l'intégrale proposée.
  • Nombreux sont ceux qui ont obtenu la relation entre T_n appliqué à un polynôme et H_n à la question 10.
  • Le théorème de dérivation des intégrales à paramètre est généralement énoncé correctement et complètement (question 12).
  • Ceux qui ont résolu l'équation différentielle de la question 17 par les formules classiques ont souvent abouti.

Conseils du jury

  • Citer systématiquement les propriétés et théorèmes utilisés et expliquer les calculs.
  • Préférer l'argument simple aux longues circonvolutions.
  • Vérifier une affirmation sur un petit cas (par exemple n = 1) avant de l'utiliser.
  • Ne pas écrire « après simplification, on trouve » suivi du résultat de l'énoncé : cela ne rapporte aucun point.
  • Rester mobilisé et combatif pendant toute l'épreuve : le nombre limité de questions laisse le temps de soigner la rédaction.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2019

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Majoration du rayon spectral de la matrice de Hilbert
Soit n un entier ⩾ 1. L'espace vectoriel ℝ^n est muni de sa structure euclidienne canonique. La norme euclidienne associée est notée ‖‖. On note ℳ_n(ℝ) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels, et on identifiera ℝ^n à l'ensemble ℳ_(n, 1)(ℝ) des matrices colonnes à coefficients réels. On note ^t X = (x_0 x_1⋯x_(n − 1)) ∈ ℳ_(1, n)(ℝ) la matrice ligne transposée de la matrice colonne
X = (x_0; x_1; ⋮; x_(n − 1)) ∈ ℳ_(n, 1)(ℝ)
Enfin, on note X˜ la fonction polynomiale définie sur ℝ par la formule
X˜(t) = ∑_(k = 0)^(n − 1)x_k t^k
L'objet du problème est l'étude de quelques propriétés de la matrice de Hilbert H_n = (h_(j, k)^((n)))_(0 ⩽ j, k ⩽ n − 1) ∈ ℳ_(n, n)(ℝ) définie par
H_n = (1, 1/2, ⋯, 1/n; 1/2, 1/3, ⋯, 1/(n + 1); ⋮, ⋱, ⋮; 1/n, 1/(n + 1), ⋯, 1/(2n − 1))
On a donc h_(j, k)^((n)) = 1/(j + k + 1) pour tous j, k ∈ {0, 1, …, n − 1}.

A. Une propriété de Perron-Frobenius

  1. Montrer que la matrice H_n est symétrique réelle et définie positive. On pourra s'aider du calcul de l'intégrale ∫_0^1(X˜(t))^2 dt.
    On note V√ le sous-espace propre de H_n associé à la plus grande valeur propre ρ_n de H_n.
  2. Montrer que X ∈ V si et seulement si ^t XH_n X = ρ_n‖X‖^2.
Soit X_0 = (x_0; x_1; ⋮; x_(n − 1)) un vecteur non nul de V. On note |X_0| = (|x_0|; |x_1|; ⋮; |x_(n − 1)|).
3) Établir l'inégalité ^t X_0 H_n X_0 ⩽ ^t|X_0|H_n|X_0| et en déduire que |X_0| ∈ V.
4) Montrer que H_n|X_0|, puis que X_0, n'a aucune coordonnée nulle.
5) En déduire la dimension du sous-espace propre √.

B. Inégalité de Hilbert

Soit X = (x_0; x_1; ⋮; x_(n − 1)) un vecteur de ℝ^n et P un polynôme à coefficients réels.
6) En s'aidant du calcul de l'intégrale ∫_0^π P(e^(iθ))e^(iθ) dθ, montrer l'inégalité |∫_(− 1)^1 P(t)dt| ⩽ ∫_0^π|P(e^(iθ))|dθ, puis l'inégalité ^t XH_n X ⩽ ∫_0^π|X˜(e^(iθ))|^2 dθ.
7) En déduire que ^t XH_n X ⩽ π‖X‖^2.
8) Montrer que la suite (ρ_n)_(n ⩾ 1) est croissante et convergente.

C. Un opérateur intégral

Dans la suite du problème, pour tout entier n > 0 et tout réel x, on pose
K_n(x) = ∑_(k = 0)^(n − 1)x^k
Soit E l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles, continues et intégrables sur [0, 1[ et T_n : E → E l'application définie par
T_n(f)(x) = ∫_0^1 K_n(tx)f(t)dt
  1. Montrer que T_n est un endomorphisme de E, dont 0 est valeur propre. (On rappelle que λ ∈ ℂ est valeur propre de T_n s'il existe f ∈ E non nulle telle que T_n(f) = λf.)
  2. Pour tout X ∈ ℝ^n, calculer T_n(X˜). En déduire que T_n et H_n ont les mêmes valeurs propres non nulles.
On note 𝒜 l'ensemble des fonctions φ ∈ E à valeurs strictement positives sur ]0, 1[ telles que 1/φ admette un prolongement continu sur [0, 1]. On rappelle que ρ_n est la plus grande valeur propre de H_n.
11) En utilisant un vecteur propre associé à ρ_n, montrer que
ρ_n ⩽ inf_(φ ∈ 𝒜)sup_(x ∈ ]0, 1[)1/(φ(x))∫_0^1 K_n(tx)φ(t)dt
En utilisant la partie A, montrer que l'on a égalité dans l'inégalité précédente.

D. Une majoration explicite des rayons spectraux

Soit φ ∈ 𝒜 et n ∈ ℕ. Dans la suite du problème, on pose, pour tout x ∈ ]0, 1[ :
r_n(x), = 1/(φ(x))∫_0^1 K_n(tx)φ(t)dt; J_n(x), = ∫_0^1(t^n φ(t))/(1 − tx) dt; Φ_n(x), = (x^n J_n(x))/(φ(x))
La fonction Gamma d'Euler est définie sur ℝ_+^∗ par la formule
Γ(x) = ∫_0^(+ ∞)t^(x − 1)e^(− t) dt
On admet, et on pourra utiliser sans démonstration, les formules suivantes :
Γ(x + 1), = xΓ(x), pour tout x > 0.; Γ(n), = (n − 1)!, pour tout entier n > 0.; (Γ(α)Γ(β))/(Γ(α + β)), = ∫_0^1 t^(α − 1)(1 − t)^(β − 1) dt, pour tous réels α > 0, β > 0.
  1. Montrer que J_n est dérivable sur ]0, 1[ et que l'on a l'égalité
xJ_n^′(x) = ∫_0^1(t^n φ(t))/((1 − tx)^2) dt − J_n(x)
On suppose dorénavant que φ ∈ 𝒜 est de classe C^1 sur [0, 1[ et que (1 − t)φ(t) → 0 lorsque t → 1^−.
13) Montrer que
nJ_n(x) = c + nJ_(n − 1)(x) + (x − 1)∫_0^1(t^n φ(t))/((1 − tx)^2) dt + ∫_0^1(t^n(1 − t)φ^′(t))/(1 − tx) dt
où c est un coefficient à déterminer et où φ^′ désigne la dérivée de φ. (On pourra traiter à part le cas n = 0, où l'on considère que nJ_(n − 1)(x) = 0 et où l'on montrera que c = φ(0).)
14) Déduire des deux questions précédentes que
x(1 − x)J_n^′(x) = c + (n + 1)(x − 1)J_n(x) + n∫_0^1 t^(n − 1)φ(t)dt + ∫_0^1(t^n(1 − t)φ^′(t))/(1 − tx) dt.
15) Soit γ ∈ ℝ. Résoudre l'équation différentielle (1 − t)y^′ = − γy sur l'intervalle [0, 1[. À quelles conditions une solution y(t) de cette équation différentielle vérifie-t-elle les hypothèses faites sur φ ?
On suppose désormais ces conditions réalisées et que la fonction φ est la solution de cette équation différentielle telle que φ(0) = 1.
16) Montrer que la fonction Φ_n est dérivable sur ]0, 1[ et que l'on a:
Φ_n^′(x) = − (γ + 1)(Φ_n(x))/x + c_n(x^(n − 1))/((1 − x)^(1 + γ))
où l'on donnera l'expression de la constante c_n en fonction de n et de γ.
17) En déduire que pour tout x ∈ ]0, 1[,
Φ_n(x) = (c_n)/(x^(1 + γ))∫_0^x(t^(n + γ))/((1 − t)^(1 + γ))dt
  1. En déduire que pour n ⩾ 1,
ρ_n ⩽ inf_(α ∈ ]0, 1[)sup_(x ∈ ]0, 1[)1/(x^(1 − α))∫_0^x(1 − θ_n t^n)/(t^α(1 − t)^(1 − α))dt
où l'on a posé θ_n = (n!)/((1 − α)(2 − α)…(n − α)).
Un calcul montre, et on l'admet, que l'inégalité précédente implique l'inégalité :
ρ_n ⩽ inf_(α ∈ ]0, 1[)θ_n^((1 − α)/n)∫_0^(θ_n^(− 1/n))(dt)/(t^α(1 − t)^(1 − α))
  1. En déduire que ρ_n ⩽ 2ω_n arcsin(1/(ω_n)), où l'on a posé ω_n = 2(((n!)^2)/((2n)!))^(1/2n).
  2. Donner un équivalent de ω_n − 1, puis un équivalent de π − 2ω_n arcsin1/(ω_n) lorsque n → + ∞.

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 2 MP 2019 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 2 MP 2019 ?

Sur les matrices symétriques et le théorème spectral, les intégrales généralisées et à paramètre, les équations différentielles linéaires et les équivalents, autour de la matrice de Hilbert.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Maths 2 MP 2019 ?

Des sommes doubles mal écrites, des simplifications illicites par un vecteur, des inégalités fausses sur le carré d'une somme, une hypothèse de domination mal vérifiée et des erreurs de signe dans les équations différentielles.

Quelles questions de Mines Maths 2 MP 2019 étaient abordables ?

Selon le jury, les questions 2 à 10, 12, 15 et 17 étaient tout à fait abordables et demandaient surtout réflexion, rigueur et soin. Les questions 11, 18 et 19 ont été très rarement traitées.

Y avait-il une erreur d'énoncé en Mines Maths 2 MP 2019 ?

Oui. Le jury signale qu'à la question 13 l'indication sur la constante c prêtait à confusion, et indique en avoir tenu compte dans la correction.

Pas de description pour le moment