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Condition de Kalman et hypocoercivité pour un système hyperbolique linéaire matriciel
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Le problème étudie la décroissance exponentielle des solutions d'une équation d'évolution matricielle sous une condition de contrôlabilité (condition de Kalman). La partie I établit une formule de Vandermonde. La partie II démontre l'équivalence entre plusieurs formulations de la condition de Kalman sur un couple (A,B). La partie III étudie, pour A antihermitienne, la convergence vers 0 de exp((A-B*B)t). Les parties IV et V appliquent ce résultat à une EDP hyperbolique périodique et démontrent, pour N=2, la convergence exponentielle (hypocoercivité).

  1. 1Partie I : déterminant de Vandermonde et indépendance de fonctions exponentiellesCalcul du déterminant de Vandermonde et démonstration de l'indépendance linéaire d'une famille de fonctions exponentielles t → e^(λk t) pour des λk distincts.
  2. 2Partie II : équivalence des formulations de la condition de KalmanDémonstration des implications entre quatre énoncés équivalents caractérisant l'absence de vecteur propre commun au noyau de B et aux sous-espaces propres de A (condition de contrôlabilité de Kalman).
  3. 3Partie III : décroissance exponentielle pour A antihermitienneÉtude de l'équation différentielle X' = (A-B*B)X pour A antihermitienne, démonstration de la décroissance de la norme de la solution, puis, sous la condition de Kalman, de la convergence exponentielle de exp((A-B*B)t) vers 0.
  4. 4Partie IV : application à une équation aux dérivées partielles hyperbolique périodiqueConstruction, par séries de Fourier en x, d'une solution d'une équation de transport-diffusion matricielle périodique, et démonstration de la convergence vers 0 de sa norme L² en temps long.
  5. 5Partie V : preuve de la convergence exponentielle en dimension 2Construction, dans le cas N=2, d'une fonctionnelle de Lyapunov équivalente à la norme euclidienne permettant d'établir la décroissance exponentielle uniforme en fréquence de la solution, concluant à la convergence exponentielle en norme L².

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Filière MP (groupes MP/MPI et groupe I)

Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

MATHÉMATIQUES MPI 2

Durée : 4 heures
L'usage de calculatrices est interdit.

Notations

Dans tout le problème N ∈ ℕ^∗ est fixé. On note ℜ(z) et ℑ(z) les parties réelles et imaginaires d'un nombre complexe z ∈ ℂ, ⟨.,. ⟩leproduitscalaireet‖. ‖lanormeusuels sur ℂ^N,
⟨X, Y⟩:=∑X_k Y¯_k, ‖X‖:=√(⟨X, X⟩) pour tous X = (X_1; X_2; …; X_N), Y = (Y_1; Y_2; …; Y_N) ∈ ℂ^N
On note M_N(ℂ) l'ensemble des matrices carrées de taille N, à coefficients complexes,
M = (M_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ N).
Pour M ∈ M_N(ℂ), on note M^∗ l'adjoint de M, c'est-a-dire la matrice M^∗ = (M_(i, j)^∗)_(1 ⩽ i, j ⩽ N) définie par
M_(i, j)^∗:=M_(j, i)^–, pour tout i, j ∈ {1, …, N}.
On a alors, pour tous X, Y ∈ ℂ^N, M ∈ M_N(ℂ),
⟨X, Y⟩ = ⟨Y, X⟩^–, ⟨MX, Y⟩ = ⟨X, M^∗ Y⟩, ⟨X, MY⟩ = ⟨M^∗ X, Y⟩.
On dit que M est hermitienne lorsque M^∗ = M et que M est antihermitienne lorsque M^∗ = − M. On note I_N la matrice identité de taille N et ‖. ‖lanormesurM_N(ℂ) subordonnée à la norme ‖. ‖, c^′ est − à − dire
‖M‖:=Sup{‖MX‖; X ∈ ℂ^N, ‖X‖ ⩽ 1}.
Pour M ∈ M_N(ℂ), on note exp(M) l'exponentielle de M, c'est-à-dire la matrice définie par
exp(M):=∑_(k = 0)^∞1/(k!)M^k
Lorsque f : ℝ → ℂ est continue et 2π périodique, on note (c_k(f))_(k ∈ ℤ) la suite de ses coefficients de Fourier, qui sont les nombres complexes définis par
c_k(f):=1/(2π)∫_0^(2π)f(t)e^(− ikt)dt, pour tout k ∈ ℤ
Lorsque F : ℝ → ℂ^N est continue et 2π périodique, on note (c_k(F))_(k ∈ ℤ) la suite de ses coefficients de Fourier, qui sont les vecteurs de ℂ^N définis par
c_k(F):=(c_k(F_1); c_k(F_2); …; c_k(F_N)), pour tout k ∈ ℤ
où F_1, …, F_N : ℝ → ℂ sont les composantes de F, c'est-à-dire
F(t) = (F_1(t); F_2(t); …; F_N(t)), pour tout t ∈ ℝ
Les sommes infinies indexées par ℤ sont à comprendre comme la somme de deux sommes infinies indexées par ℕ,
∑_(k ∈ ℤ)x_k = ∑_(k = 0)^(+ ∞)x_k + ∑_(k = 1)^(+ ∞)x_(− k)
La série indexée par ℤ converge lorsque les deux séries indexées par ℕ ou ℕ^∗ convergent et on a alors l'égalité précédente.
Les parties ne sont pas indépendantes. Les résultats de questions non traitées peuvent être admis et utilisés dans les réponses aux questions suivantes, mais cela doit être clairement indiqué dans la copie.

Partie I

Dans cette partie, on fixe un entier n ⩾ 2 et n nombres complexes λ_1, …, λ_n ∈ ℂ deux à deux distincts.
  1. On définit le déterminant V(λ_1, …, λ_n) par
V(λ_1, …, λ_n):=|1, 1, …, 1, 1; λ_1, λ_2, …, λ_(n − 1), λ_n; …, …, …, …, …; λ_1^(n − 1), λ_2^(n − 1), …, λ_(n − 1)^(n − 1), λ_n^(n − 1)|.
(a) Montrer que
V(λ_1, …, λ_n) = |1, 1, …, 1; 0, λ_2 − λ_1, …, λ_n − λ_1; 0, (λ_2 − λ_1)λ_2, …, (λ_n − λ_1)λ_n; …, …, …, …; 0, (λ_2 − λ_1)λ_2^(n − 2), …, (λ_n − λ_1)λ_n^(n − 2)|.
(b) En déduire que
V(λ_1, …, λ_n) = ∏_(1 ⩽ j < k ⩽ n)(λ_k − λ_j).
  1. Soit T > 0. Pour k ∈ {1, …, n}, on définit la fonction f_k par
f_k : [0, T], → ℂ; t, ↦ e^(λ_k t).
Déduire de la question précédente que la famille ( f_1, …, f_n ) est libre sur ℂ.

Partie II

Dans cette partie, on fixe deux matrices A, B ∈ M_N(ℂ). Le but de cette partie est d'étudier les relations entre les énoncés [a], [b], [c] et [d] suivants.
[a] : Il n'y a pas de vecteur propre de A dans le noyau de B.
[b] : Pour tout y ∈ ℂ^N − {0}, l'application suivante n'est pas identiquement nulle,
[0, + ∞[, →, ℂ^N; t, ↦, Bexp(At)y
[c] : Pour tout y ∈ ℂ^N − {0}, il existe k ∈ {0, …, N − 1} tel que BA^k y ≠ 0.
[d] : La matrice rectangulaire K de taille N^2 × N définie ci-dessous est de rang N,
K:=(B; BA; …; BA^(N − 1))
  1. On suppose que l'énoncé [c] est vérifié. Démontrer l'énoncé [d].
  2. On suppose que l'énoncé [d] est vérifié. Démontrer l'énoncé [a].
  3. (a) Montrer que, pour tout k ⩾ N il existe un polynôme P_k ∈ ℂ[X] de degré inférieur ou égal à ( N − 1 ) tel que A^k = P_k(A).
    (b) On suppose que l'énoncé [b] est vérifié. Démontrer l'énoncé [c].
  4. On suppose que A est diagonalisable sur ℂ et que l'énoncé [a] est vérifié. En utilisant la question 2 de la Partie I, démontrer l'énoncé [b].
  5. Quelle relation entre les énoncés [a], [b], [c], [d] peut-on en déduire?

Partie III

Dans cette partie, on fixe deux matrices A, B ∈ M_N(ℂ) et un vecteur X_0 ∈ ℂ^N. On suppose que A est antihermitienne. On admettra que A est diagonalisable sur ℂ.
  1. Montrer que ℜ⟨AX, X⟩ = 0 pour tout X ∈ ℂ^N et que les valeurs propres de A sont imaginaires pures.
  2. Montrer qu'il existe une unique fonction X ∈ C^1([0, + ∞[, ℂ^N) solution de l'équation différentielle
{(dX)/(dt)(t) = (A − B^∗ B)X(t), ∀t ∈ [0, + ∞[,; X(0) = X_0
Donner son expression explicite, en utilisant l'exponentielle de matrice.
3. Montrer que
d/(dt)‖X(t)‖^2 = − 2‖BX(t)‖^2, ∀t ∈ [0, + ∞[
En déduire que l'application t ∈ [0, + ∞) ↦ ‖X(t)‖^2 est décroissante et que, pour tout t ∈ [0, + ∞),
‖exp[(A − B^∗ B)t]‖ ⩽ 1
  1. Montrer que l'application t ↦ ‖X(t)‖ admet une limite L ∈ [0, ‖X_0‖] quand t → + ∞.
  2. On suppose que A et B vérifient la propriété [a] (cf Partie II) et que t ↦ ‖X(t)‖^2 est constante.
    (a) Montrer que BX(t) = 0 pour tout t ∈ [0, + ∞[.
    (b) Montrer que X_0 = 0. En déduire que L = 0.
  3. On suppose que A et B vérifient la propriété [a] (cf Partie II). Soit (t_k)_(k ∈ ℕ) une suite de nombres réels dans [0, + ∞[ telle que lim_(k → + ∞)t_k = + ∞.
    (a) Montrer qu'il existe une application φ : ℕ → ℕ strictement croissante telle que la suite (X(t_(φ(k))))_(k ∈ ℕ) converge vers un point ξ_0 de ℂ^N.
    (b) On considère la solution ξ ∈ C^1([0, + ∞[, ℂ^N) de l'équation différentielle
{(dξ)/(dt)(t) = (A − B^∗ B)ξ(t), ∀t ∈ [0, + ∞[; ξ(0) = ξ_0
Montrer que, pour tout t ∈ [0, + ∞[, on a
lim_(k → + ∞)X(t_(φ(k)) + t) = ξ(t).
(c) En déduire que ‖ξ(t)‖ = L, ∀t ∈ [0, + ∞[ et que L = 0.
7. On suppose que A et B vérifient la propriété [a] (cf Partie II).
(a) Déduire des questions précédentes que
|||exp[(A − B^∗ B)t]||| → 0, quand t → + ∞.
(b) Soient λ_1, …, λ_n les valeurs propres de M:=(A − B^∗ B) (deux à deux distinctes). Montrer que ℜ(λ_k) < 0 pour k = 1, …, n.
(c) Montrer qu'il existe des constantes K > 0 et c > 0 telles que, pour tout t ∈ [0, + ∞[,
‖exp[(A − B^∗ B)t]‖ ⩽ Ke^(− ct)
Indication : On pourra admettre la décomposition
ℂ^N = Ker[(M − λ_1 I_N)^(m_1)] ⊕ … ⊕ Ker[(M − λ_n I_N)^(m_n)]
où m_1, …, m_n sont des entiers ⩾ 1 et montrer que, pour Y ∈ Ker[(M − λ_k I_N)^(m_k)], on a exp(Mt)Y = e^(λ_k t)Q_k(t)Y où Q_k(t) est un polynôme en t, à valeurs matricielles, indépendant de Y.
8. Si A et B ne vérifient pas la propriété [a] (cf Partie II), a-t-on toujours la convergence (2) ?

Partie IV

Dans cette partie, on fixe deux matrices A, B ∈ M_N(ℂ). On suppose que A est hermitienne et que A et B vérifient la propriété [a] (cf Partie II). On admettra que A est diagonalisable sur ℂ. On fixe également une application w_0 : ℝ → ℂ^N, de classe C^2, 2π périodique, telle que c_0(w_0) = 0.
  1. Montrer que iA est antihermitienne.
  2. Montrer que, pour tout k ∈ ℤ − {0}, on a
c_k(w_0) = − 1/(k^2)c_k((d^2 w_0)/(dt^2))
En déduire que la série
∑_(k ∈ ℤ)‖kc_k(w_0)‖
converge.
3. Montrer que l'expression
w(t, x):=∑_(k ∈ ℤ)exp[(ikA − B^∗ B)t]c_k(w_0)e^(ikx)
définit une fonction w : [0, + ∞[ × ℝ → ℂ^N dérivable par rapport à t et par rapport à x qui vérifie
{(∂w)/(∂t)(t, x) = A(∂w)/(∂x)(t, x) − B^∗ Bw(t, x), ∀(t, x) ∈ [0, + ∞[ × ℝ; w(t, x) = w(t, x + 2π), ∀(t, x) ∈ [0, + ∞[ × ℝ; ∫_0^(2π)w(t, x)dx = 0, ∀t ∈ [0, + ∞[; w(0, x) = w_0(x), ∀x ∈ ℝ
  1. Montrer que
lim_(t → + ∞)∫_0^(2π)‖w(t, x)‖^2 dx = 0

Partie V

Dans cette partie, on fait les mêmes hypothèses que dans la partie IV. On suppose de plus que N = 2, c'est-à-dire que les matrices A et B sont de taille 2 × 2.
Le but de cette partie est de démontrer que la convergence (5) est exponentielle, c'est-à-dire qu'il existe des constantes K, c > 0, ne dépendant que de A et B, telles que
(∫_0^(2π)‖w(t, x)‖^2 dx)^(1/2) ⩽ Ke^(− ct)(∫_0^(2π)‖w_0(x)‖^2 dx)^(1/2), ∀t ∈ [0, + ∞)
  1. Montrer qu'il existe des constantes C_1, C_2 > 0 ne dépendant que de A et B, telles que, pour tout Y ∈ ℂ^N,
C_1‖Y‖^2 ⩽ ‖BY‖^2 + ‖BAY‖^2 ⩽ C_2‖Y‖^2
  1. Pour k ∈ ℤ − {0} et ε > 0, on note X_k(t):=exp[(ikA − B^∗ B)t]c_k(w_0) et
L_(ε, k) : ℂ^N, → ℝ; Y, ↦ L_(ε, k)[Y]:=‖Y‖^2 + ε/kℑ⟨BAY, BY⟩
(a) Quelle problème de Cauchy résout X_k ?
(b) Montrer qu'il existe ε_0 > 0 tel que, pour tout ε ∈ ]0, ε_0[, pour tout k ∈ ℤ − {0} et pour tout Y ∈ ℂ^N,
1/2‖Y‖^2 ⩽ L_(ε, k)(Y) ⩽ 3/2‖Y‖^2
(c) Soit ε > 0 et k ∈ ℤ − {0}. Montrer que la fonction
ℝ, →, ℝ; t, ↦, L_(ε, k)[X_k(t)]
est dérivable et calculer sa dérivée.
(d) Soit ε ∈ ]0, ε_0[ et k ∈ ℤ − {0}. Montrer que, pour tout t ∈ [0, + ∞[
(dL_(ε, k)[X_k(t)])/(dt) ⩽ − 2‖BX_k(t)‖^2 − ε‖BAX_k(t)‖^2 + εC_3‖X_k(t)‖‖BX_k(t)‖
où C_3 est une constante qui ne dépend que de A et B (par exemple, C_3 = |||BAA||| + |||BAB^∗ B|| + |||BB^∗ BA||| ).
(e) Montrer qu'il existe ε_1 ∈ ]0, ε_0[ et C_4 > 0 ne dépendant que de A et B tels que pour tout ε ∈ ]0, ε_1[ et pour tout k ∈ ℤ − {0}
(dL_(ε, k)[X_k(t)])/(dt) ⩽ − εC_4 L_(ε, k)[X_k(t)].
(f) En déduire que
L_(ε, k)[X_k(t)] ⩽ L_(ε, k)[X_k(0)]e^(− εC_4 t), ∀t ∈ [0, + ∞[.
  1. Déduire des questions précédentes qu'il existe des constantes K > 0 et c > 0 telles que, pour tout k ∈ ℤ − {0} et pour tout t ∈ [0, + ∞[,
‖X_k(t)‖ ⩽ Ke^(− ct)‖c_k(w_0)‖
  1. Conclure.
Dans ce problème, on a démontré que, sous la condition de Kalman sur la paire de matrices (A, B) (i.e. la propriété [d] de la Partie II), le système hyperbolique linéaire (4) est hypocoercif : ses solutions ne vérifient pas forcément une inégalité de coercivité, c'est-à-dire
d/(dt)‖w(t)‖_2^2 ⩽ − c‖w(t)‖_2^2, ∀t ∈ [0, + ∞), avec c > 0
(où ‖.‖_2 désigne la norme usuelle sur L^2(0, 2π) ) mais elles convergent néanmoins exponentiellement vite vers zéro dans L^2(0, 2π). La preuve de la convergence exponentielle repose sur la recherche d'une norme N, équivalente à la norme ‖.‖_2, pour laquelle on a l'inégalité
(dN[w(t)]^2)/(dt) ⩽ − cN[w(t)]^2, ∀t ∈ [0, + ∞), avec c > 0

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 ENS MP 2010 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 ENS MP 2010 ?

Le sujet porte sur la réduction des endomorphismes, l'exponentielle de matrice, les équations différentielles linéaires matricielles et les séries de Fourier vectorielles, autour de la notion de condition de Kalman et d'hypocoercivité.

Les parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Non, l'énoncé précise que les parties ne sont pas indépendantes : chaque partie s'appuie sur les résultats établis dans les parties précédentes, notamment la condition de Kalman de la partie II qui est réutilisée dans les parties III, IV et V.

Qu'est-ce que la condition de Kalman étudiée dans ce sujet ?

C'est une condition de contrôlabilité sur un couple de matrices (A,B), caractérisée de façon équivalente par le rang plein d'une matrice construite à partir de B, BA, ..., BA^(N-1), qui garantit ici la décroissance exponentielle des solutions d'un système matriciel.

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