ENS Mathématiques 1 MP 2010Sujet et corrigé

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Présentation du sujet

Groupes abéliens divisibles et structure des groupes p-primaires

Le problème démontre un théorème de structure pour les groupes abéliens p-primaires vérifiant une condition de finitude. Il commence par l'étude des morphismes continus du cercle unité et des groupes U_p, puis établit un théorème d'extension pour les groupes divisibles, avant de classifier les groupes p-primaires finis puis plus généraux à l'aide de ces outils.

1Partie IÉtudie les morphismes continus du cercle unité S^1 dans lui-même, puis les morphismes du groupe U_p des racines p^n-ièmes de l'unité, en montrant leur prolongement continu à S^1.
2Partie IIIntroduit la notion de groupe abélien divisible et démontre un théorème d'extension des morphismes de groupes vers un groupe divisible.
3Partie IIIDéfinit les groupes p-primaires et p-divisibles, étudie leurs premières propriétés et montre qu'un groupe abélien fini est p-primaire si et seulement si son cardinal est une puissance de p.
4Partie IVMontre qu'un groupe p-primaire vérifiant certaines conditions de finitude est nécessairement fini.
5Partie VClassifie les groupes p-primaires et p-divisibles à sous-groupe A[p] fini, en les identifiant à des puissances du groupe multiplicatif U_p.
6Partie VI (finale)Construit la partie divisible maximale d'un groupe p-primaire et établit le théorème de structure final : un tel groupe est isomorphe à un produit d'un groupe fini par une puissance de U_p.

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Filière MP

MATHÉMATIQUES MPI 1

Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Durée : 6 heures

L'usage de calculatrice est interdit

NOTATIONS :

Dans tout le problème on considérera des groupes abéliens qui seront notés tantôt additivement, tantôt multiplicativement. Le but du problème est notamment de démontrer un théorème de structure pour certains groupes abéliens, dits

p

-primaires (voir partie III), qui vérifient de plus une certaine condition de finitude. Cet objectif est atteint dans la question VI.2.b.

Si(A, +)

est un groupe abélien (noté additivement), on note 0 son élément neutre et

- x

le symétrique d'un élément

x

A

. On pose aussi, pour tout

n \in N^*

et tout

x \in A, nx = x + \dots + x

(

n

termes); on convient également que

0x = 0

et que

nx = (- n)(- x)

n

est un entier négatif. Pour

n \in N^*

, on note

A[n]

le sous-groupe de

A

constitué des éléments

x

qui vérifient

nx = 0

, et

nA

le sous-groupe de

A

constitué des éléments

x

A

qui s'écrivent

x = ny

avec

y \in A

: en d'autres termes

A[n]

nA

sont respectivement le noyau et l'image du morphisme de groupes

x \mapsto nx

A

dans

A

G_1, \dots, G_r

sont des groupes abéliens (notés additivement), le produit cartésien

G_1 \times \dots \times G_r

est muni de la structure de groupe produit définie par

(x_1, \dots, x_r) + (y_1, \dots, y_r) = (x_1 + y_1, \dots, x_r + y_r)

. En particulier, on note

G^r

le groupe produit

G \times \dots \times G

(

r

facteurs), avec la convention que

G^r

est le groupe trivial si

r = 0

On note

S^1 = {z ∈ C, |z| = 1}

le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1 , que l'on considère comme une partie du C -espace vectoriel normé

C

. Pour tout nombre premier

p

, on note

U_p

l'ensemble des éléments

z

C

tels qu'il existe

n \in N^*

vérifiant

z^(p^n) = 1

QUELQUES RÉSULTATS ADMIS :

On pourra utiliser sans démonstration les résultats suivants :
A. Soient

A

G

deux groupes abéliens. On suppose que pour tout sousgroupe

B

A

avec

B \neq A

et tout morphisme de groupes

f : B \to G

, il existe un sous-groupe

B^'

A

contenant strictement

B

et un morphisme

f^' : B^' \to G

dont la restriction à

B

est

f

Alors pour tout sous-groupe

C

A

et tout morphisme de groupes

g

C \to G

, il existe un morphisme de groupes

h : A \to G

dont la restriction à

C

est

g

.
B. Soit

E

C

-espace vectoriel de dimension finie et soit

(u_i)_(i \in I)

une famille d'endomorphismes diagonalisables de

E

telle que

u_i \circ u_j = u_j \circ u_i

pour tous

i, j

I

. Alors il existe une base de

E

dans laquelle la matrice de tous les

u_i

est diagonale.
C. Soit

f : G \to H

un morphisme de groupes dont le noyau

kerf

et l'image

Imf

sont tous deux finis; alors

G

est fini et son cardinal est le produit du cardinal de

kerf

et du cardinal de

Imf

G

est un groupe fini, le cardinal de tout sous-groupe de

G

divise celui de

G

Les parties I et II sont indépendantes, ainsi que les parties IV et V.

I

I. 1 Soit

f : S^1 \to S^1

un morphisme de groupes multiplicatifs. On suppose que

f

est continu. Pour tout

t

R

, on pose

g(t) = f(e^(it))

.
a) Montrer que

g

est un morphisme de groupes de (

R, +

) dans (

S^1, \times

).
b) En considérant la fonction

F(x) = \int_x^(a + x)g(t)dt

(pour a réel fixé), montrer que

g : R \to C

est une application dérivable (on pourra effectuer un changement de variable dans l'intégrale).
c) Montrer que pour tout

a

R

, on a

g^'(a) = g(a)g^'(0)

.
d) Montrer qu'il existe

λ \in R

tel que

g(t) = e^(iλt)

pour tout

t

R

.
e) En déduire qu'il existe

k \in Z

tel que

f(z) = z^k

pour tout

z \in S^1

Dans toute la suite de cette partie I, on fixe un nombre premier

p

.
I.2. a) Montrer que

U_p

est un sous-groupe infini de (

S^1, \times

).
b) Montrer que

U_p

est une partie dense de

S^1

.
I.3. Soit

f : U_p \to U_p

un morphisme de groupes multiplicatifs. On suppose que

z \mapsto f(z)

est une application continue en

z = 1

.
a) Montrer que

f

est une application uniformément continue.
b) Soit (

x_n

) une suite d'éléments de

U_p

qui converge vers un élément

x

S^1

. Montrer que la suite (

f(x_n)

) converge dans

S^1

(on pourra montrer que cette suite est de Cauchy).
c) Montrer qu'il existe une unique application continue

f¯ : S^1 \to S^1

tel que

f¯(x) = f(x)

pour tout

x

U_p

. Que peut-on en déduire pour

f

II

On dit qu'un groupe abélien

(A, +)

est divisible si pour tout

n \in N^*

, le morphisme de groupes

x \mapsto nx

est une surjection de

A

dans

A

Soit $(A, +)$ un groupe abélien. Soient $B$ un sous-groupe de $A$ et $a$ un élément de $A$ . On note $B_a$ le sous-groupe de $A$ constitué des éléments $x$ qui s'écrivent $x = b + ka$ avec $b \in B$ et $k \in Z$ (on ne demande pas de vérifier que $B_a$ est bien un sous-groupe de $A$ ).

Soit

D

un groupe abélien; on considère un morphisme de groupes

f

B \to D

.
a) On suppose qu'il n'existe pas d'entier

m > 0

tel que

ma \in B

. Montrer que tout élément

x

B_a

s'écrit de manière unique

x = b + ka

avec

b \in B

k \in Z

. En déduire qu'il existe un morphisme de groupes

g : B_a \to D

tel que

g(x) = f(x)

pour tout

x

B

.
b) On suppose maintenant qu'il existe un entier

m > 0

tel que

ma \in B

. On choisit un tel

m

minimal et on pose

b_0 = ma

. On fait enfin l'hypothèse supplémentaire qu'il existe

d \in D

tel que

f(b_0) = md

. Montrer qu'on peut définir un morphisme de groupes

g

B_a

dans

D

par la formule

g(b + ka) = f(b) + kd

pour tout

k \in Z

et tout

b \in B

(on pourra commencer par montrer que l'ensemble des

n \in Z

tels que

na \in B

est un sous-groupe de

Z

dont

m

est un générateur).

Vérifier alors que

g(x) = f(x)

pour tout

x

B

.
c) Montrer que si

D

est divisible, alors il existe un morphisme de groupes

h : A \to D

tel que

h(x) = f(x)

pour tout

x

B

.
2. Soit

A

un groupe abélien et soit

D

un sous-groupe divisible de

A

.
a) Montrer qu'il existe un morphisme

π : A \to D

tel que

π(x) = x

pour tout

x

D

.
b) En déduire qu'il existe un sous-groupe

S

A

tel que tout élément

x

A

s'écrive d'une manière unique

x = d + s

avec

d \in D

s \in S

, puis que

A

est isomorphe au groupe produit

D \times S

III

Soit

p

un nombre premier. On dit qu'un groupe abélien (noté additivement)

(A, +)

est

p

-primaire si pour tout

x

A

, il existe un entier

k \geq 1

tel
que

p^k x = 0

. On dit que

A

est

p

-divisible si le morphisme de groupes

x \mapsto px

est une surjection de

A

dans

A

Montrer que ( $U_p, \times$ ) est $p$ -primaire. Est-il $p$ -divisible ?
Pour quelles valeurs de $m \in N^*$ le groupe additif $Z/mZ$ est-il $p$ primaire (respectivement $p$ -divisible) ?
Soit $n \in N^*$ ; on note $GL_n(C)$ le groupe multiplicatif des matrices de taille $n$ inversibles à coefficients dans $C$ . Soit $G$ un sous-groupe abélien et $p$ -primaire de $GL_n(C)$ . Montrer que $G$ est isomorphe à un sous-groupe de $(U_p)^n$ .
a) Soit $m \in N^*$ un nombre entier non divisible par $p$ . Montrer que si $(A, +)$ est un groupe abélien $p$ -primaire, alors le morphisme de groupes $x \mapsto mx$ est un isomorphisme de $A$ dans $A$ .
b) En déduire que si $A$ est un groupe abélien $p$ -primaire et $p$ -divisible, alors il est divisible.

Dans toute la suite de cette partie III, on fixe un nombre premier

p

et un groupe abélien (

A, +

).
5. Montrer qu'on définit une structure de

Z/pZ

-espace vectoriel sur

A[p]

par la formule :

λ¯ \cdot x = λx, λ \in Z, x \in A[p]

où

λ¯

désigne la classe de

λ

dans

Z/pZ

.
6. On suppose dans cette question III. 6 que

A[p]

est fini.
a) Montrer que

A[p]

est isomorphe au groupe

(Z/pZ)^r

pour un certain entier naturel

r

.
b) Montrer que pour tout

k \in N^*

le groupe

A[p^k]

est fini de cardinal une puissance de

p

(on pourra considérer le morphisme

u_k : A[p^(k + 1)] \to A

défini par

u_k(x) = px

). En déduire qu'un groupe abélien fini est

p

-primaire si et seulement si son cardinal est une puissance de

p

.
c) Soit

x_0 \in ⋂_(k \in N^*)p^k A

. Montrer que l'équation

px = x_0

n'a qu'un nombre fini de solutions dans

A

; en déduire qu'au moins l'une de ces solutions appartient encore à

⋂_(k \in ℕ^*)p^k A

. Que peut-on en conclure pour le groupe

⋂_(k \in N^*)p^k A

IV

Dans cette partie, on fixe un nombre premier

p

et un groupe abélien

p

primaire

A

, qui vérifie de plus :

A[p]

est fini et

⋂_(k ∈ N^∗)p^k A = {0}

Montrer qu'il existe un entier $m \geq 1$ tel que $p^m A ∩ A[p] = {0}$ .
Montrer que $A = A[p^m]$ , et en déduire que $A$ est fini.

V

Dans toute cette partie

V

, on fixe un nombre premier

p

et un groupe abélien

p

-primaire et

p

-divisible

A

tel que

A[p]

soit fini. On note

p^r

le cardinal de

A[p]

(qui est une puissance de

p

d'après III.6.a).

Soit $k \geq 1$ . Montrer que le groupe $A[p^k]$ est de cardinal $p^(kr)$ (on pourra utiliser l'application $u_k$ définie en III.6.b).
On suppose dans toute cette question V.2. que $r = 1$ et on choisit $a \neq 0$ dans $A[p]$ .
a) Montrer qu'il existe une suite $(x_n)_(n \in N^*)$ d'éléments de $A$ vérifiant $x_1 = a$ et $px_(n + 1) = x_n$ pour tout $n \in N^*$ . Montrer qu'alors pour tout $n \in N^*, x_n$ est un générateur du groupe $A[p^n]$ .
b) En déduire que $A$ est isomorphe au groupe multiplicatif ( $U_p, \times$ ) (on pourra d'abord définir l'isomorphisme cherché sur $A[p^n]$ pour $n$ fixé).
On revient à $r$ quelconque.
a) Montrer qu'il existe $a_1, \dots, a_r$ dans $A[p]$ tels que pour tout $(k_1, \dots, k_r) \in Z^r$ , l'égalité $\sum_(i = 1)^r k_i a_i = 0$ implique que tous les $k_i$ sont divisibles par $p$ (on pourra utiliser III.6.a).
b) Soit $i \in {1, \dots, r}$ ; montrer qu'il existe une suite $(x_(i, n))_(n \in N^*)$ d'éléments de $A$ vérifiant : $x_(i, 1) = a_i$ et $px_(i, n + 1) = x_(i, n)$ pour tout $n \in N^*$ . Montrer alors qu'on définit un isomorphisme de groupes de $(Z/p^n Z)^r$ sur $A[p^n]$ par la formule :

(λ¯_i)_(1 \leq i \leq r) \mapsto \sum_(i = 1)^r λ_i x_(i, n)

où

λ¯_i

désigne la classe dans

Z/p^n Z

λ_i \in Z

.
c) Pour

i \in {1, \dots, r}

fixé, on note

A_i

l'ensemble des éléments

x

A

qui peuvent s'écrire

x = kx_(i, n)

avec

n \in N^*

k \in Z

. Montrer que

A_i

est un sous-groupe de

A

et que l'application

\prod_(i = 1)^r A_i \to A, (y_i)_(1 \leq i \leq r) \mapsto \sum_(i = 1)^r y_i

est un isomorphisme de groupes.
d) En déduire que

A

est isomorphe au groupe multiplicatif

(U_p)^r

Soient

p

un nombre premier et

A

un groupe abélien

p

-primaire. Une famille

(x_i)_(i \in I)

d'éléments de

A

est dite presque nulle si

x_i = 0

pour tout indice

i

à l'exception d'un nombre fini d'entre eux.

On considère la famille

(D_i)_(i \in I)

de tous les sous-groupes

p

-divisibles de

A

et on appelle

D

l'ensemble des éléments

x

A

qui peuvent s'écrire

x = \sum_(i \in I)x_i

où

(x_i)_(i \in I)

est une famille presque nulle d'éléments de

A

telle que

x_i \in D_i

pour tout

i

Montrer que $D$ est un sous-groupe divisible de $A$ (on pourra utiliser III.4.b) et que tout sous-groupe $p$ -divisible de $A$ est inclus dans $D$ .
On suppose de plus que $A[p]$ est fini. Soit $S$ un sous-groupe de $A$ tel que tout élément $x$ de $A$ s'écrive d'une manière unique $x = d + s$ avec $d \in D$ et $s \in S$ (l'existence de $S$ est assurée par II.2.b).
a) Montrer que $D = ⋂_(k \in N^*)p^k A$ (on pourra utiliser III.6.c)) et en déduire que $S$ est fini (on pourra utiliser IV.2).
b) En déduire qu'il existe un entier $r \in N$ et un groupe abélien fini $p$ -primaire $F$ tels que $A$ soit isomorphe au groupe produit $F \times (U_p)^r$ .
On rappelle qu'un corps commutatif $K$ est dit algébriquement clos si tout polynôme $P$ de $K[X]$ est scindé.

Soit

K

un corps commutatif algébriquement clos de caractéristique zéro. Soit

p

un nombre premier. On note

μ_p\infty

l'ensemble des éléments

x

K

tels qu'il existe

k \in N^*

avec

x^(p^k) = 1

. Montrer que

μ_(p^\infty)

est un sous-groupe du groupe multiplicatif

K^*

K

, et que

μ_(p^\infty)

est isomorphe à

U_p

FIN DE L'EPREUVE.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet de mathématiques MPI 1 commun aux ENS 2010 ?

Il porte sur la théorie des groupes abéliens, en particulier les groupes divisibles et p-primaires, avec un usage ponctuel de résultats sur les endomorphismes diagonalisables et les morphismes continus.

Quelles parties du sujet sont indépendantes ?

L'énoncé précise que les parties I et II sont indépendantes entre elles, ainsi que les parties IV et V, mais les parties suivantes réutilisent progressivement les résultats des parties précédentes jusqu'au théorème de structure final.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

Il faut maîtriser la théorie des groupes (sous-groupes, morphismes, groupes quotients) ; les résultats plus avancés utilisés (extension de morphismes, diagonalisation simultanée) sont admis et fournis dans l'énoncé.

Ce sujet est-il centré sur l'algèbre générale plutôt que sur l'analyse ?

Oui, c'est un problème d'algèbre pure consacré à la théorie des groupes abéliens, avec seulement quelques arguments d'analyse (continuité, dérivabilité) dans la première partie.

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