Centrale Mathématiques 1 MP 2010Sujet, corrigé et rapport du jury

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Construction d’une application continue dont l’image est un triangle plein

Le problème construit une application f continue de [0,1] dans C dont l’image est le « triangle plein » abc, enveloppe convexe de trois points a, b, c du plan complexe, puis étudie certaines de ses propriétés. La première partie pose des préliminaires géométriques sur des similitudes indirectes et la compacité-convexité de ce triangle plein. La deuxième construit f comme limite uniforme d’une suite d’applications. La troisième étudie l’image, l’injectivité et la dérivabilité de f.

1Partie I : préliminaires géométriquesOn étudie deux similitudes indirectes φ0 et φ1 connues des élèves de terminale S, puis la compacité et la convexité de l’ensemble K et du triangle plein, ainsi que le diamètre d’un tel triangle.
2Partie II : construction de l’application fOn définit un opérateur T contractant sur l’ensemble des applications continues valant -1 et 1 aux bornes, et on montre que la suite (f_n) obtenue par itération converge uniformément vers f, point fixe de T.
3Partie III : propriétés de fOn étudie l’image de f, sa non-injectivité, l’absence de bijection continue de [0,1] sur le triangle plein, la densité des points fixes des composées de φ0 et φ1, puis la non-dérivabilité de f en tout point.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Question I.A.3 rarement bien traitée · Barycentre non exploité · Topologie usuelle confondue avec une autre norme

La lecture des copies a révélé de forts contrastes : le barème a permis d’étaler les notes en sanctionnant les faiblesses de certains candidats tout en valorisant les excellentes copies. La partie II a révélé des carences en analyse, notamment sur les suites de Cauchy et la convergence normale des séries de fonctions, tandis que la partie III a permis de distinguer ceux qui maîtrisent la notion de partie entière de ceux qui l’ignorent.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Question I.A.3 rarement bien traitéeI.A.3
Cette question sur la décomposition d’une similitude indirecte en réflexion et homothétie a très rarement été bien traitée.
2
Barycentre non exploitéI.A.4
Pour l’image d’un triangle plein par φ0, le jury aurait apprécié une utilisation de la conservation du barycentre par les applications affines plutôt qu’un calcul direct.
« nous aurions apprécié une utilisation de la conservation du barycentre par des applications affines. »
3
Topologie usuelle confondue avec une autre normeI.B
Pour de nombreux candidats, la topologie usuelle de R³ a été à tort associée à la norme N2, ce qui a surpris le jury.
« La topologie usuelle a été pour de nombreux candidats celle associée à la norme N 2 . Surprenant ! »
4
Compacité et convexité mal maîtriséesI.B.1
De nombreux candidats affirment à tort que l’image d’un convexe par une application continue reste un convexe, ou que l’image réciproque d’un compact est un compact.
« La compacité et la convexité sont loin d’être acquises. »
5
Suite de Cauchy mal démontréeII.4
Les correcteurs ont observé de nombreuses erreurs dans la démonstration que la suite (f_n) est de Cauchy, et la convergence normale de la série associée a rarement été utilisée.
« Les correcteurs en ont vu « de toutes les couleurs». »
6
Recours injustifié au théorème du point fixeII.4.b
De nombreux candidats invoquent inutilement un théorème du point fixe hors programme depuis longtemps pour la question II.4.b.
« il n’y a pas qu’un théorème du point fixe dans le paysage mathématique, mais que celui auquel il semble être fait allusion, est hors programme »

Ce qui a été bien réussi

En dehors de la question I.A.3, la continuité a très souvent été correctement affirmée dans le reste de la partie I, et de petits arguments comme la linéarité en dimension finie ou le théorème de composition ont été appréciés.

Conseils du jury

Lire les rapports des années antérieures pour éviter les erreurs classiques déjà signalées, comme sur la règle de d’Alembert.
S’entraîner à calculer rigoureusement dans le corps des complexes.
Éviter, lorsqu’on ne sait pas répondre à une question, de prétendre qu’il y a une erreur dans l’énoncé.
Éviter les expressions comme « clairement » ou « immédiatement », qui ne remplacent pas une démonstration.
Utiliser les propriétés des applications continues plutôt que les seules caractérisations séquentielles pour montrer qu’une partie est fermée ou compacte.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Les calculatrices sont autorisées

Dans tout le problème l'ensemble

C

des nombres complexes est considéré comme le plan affine euclidien muni de son repère orthonormé canonique (

0, 1, i

) (où

i^2 = - 1

On notera $K$ l'ensemble des triplets ( $α, β, γ$ ) de $R^3$ constitués de trois réels positifs ou nuls tels que $α + β + γ = 1$ .
Si $(a, b, c) \in C^3$ , on notera $abcˆ$ le "triangle plein" défini par :

abcˆ = {αa + βb + γc/(α, β, γ) \in K}.

Dans tout le problème on notera

τ_0, τ_1

τ

les triangles pleins définis par :

τ_0 = - 10iˆ.; τ_1 = 01iˆ.; τ = - 11iˆ.

On notera également $φ_0$ et $φ_1$ les applications de $C$ dans $C$ définies par (en notant $z¯$ le conjugué du nombre complexe $z$ ) :

φ_0(z) = (1 + i)/2z¯ + (- 1 + i)/2 et φ_1(z) = (1 - i)/2z¯ + (1 + i)/2.

La notation ${0, 1}^(N^∗)$ désignera l'ensemble des suites $(r_n)_(n \geq 1)$ d'entiers naturels tels que $r_n ∈ {0, 1}$ pour tout entier naturel non nul $n$ .
La norme de la convergence uniforme sur le $C$ -espace vectoriel des applications continues de $[0, 1]$ dans $C$ est notée $‖ ‖_\infty$ .
La partie entière du réel $x$ est notée $[x]$ . Si $n$ est un entier naturel on posera, pour tout réel $x$ et tout entier naturel non nul $n$ :

r_n(x) = [2^n x] - 2[2^(n - 1)x].

On notera $Z[1/2]$ l'ensemble des rationnels de la forme $k/(2^n)$ où $k \in Z$ et $n \in N$ .
On rappelle enfin que, si $(X_n)_(n \geq 1)$ est une famille de parties de $C$ indexées sur $N^*$ , on a :

⋂_(n ≥ 1)X_n = {z ∈ C/∀n ∈ N^∗, z ∈ X_n}

L'objectif du problème est la construction d'une application

f

continue de

[0, 1]

dans

C

dont l'image

f([0, 1])

est le triangle plein

τ

et l'étude de quelques unes de ses propriétés.

Partie I - Préliminaires géométriques

I.A -
I.A.1) Établir que

τ = τ_0 \cup τ_1

.
I.A.2) Représenter sur une même figure

τ_0, τ_1, τ

.
I.A.3)
a) Soit

a \in C

θ \in R

. Prouver que l'image

z^'

du complexe

z

par la réflexion dont l'axe est la droite passant par

a

et dirigée par

e^(iθ)

vérifie la relation :

z^' - a = e^(2iθ)(z - a)^-

b) Établir une relation analogue à celle de la question précédente entre un complexe

z

et son image

z^'

par l'homothétie de centre

a

et de rapport

ρ > 0

.
c) Démontrer que

φ_0

est la composée d'une réflexion dont on précisera l'axe et d'une homothétie de rapport strictement positif à préciser et dont le centre appartient à l'axe de la réflexion. Prouver une propriété analogue pour

φ_1

. Ces décompositions sont-elles uniques?
I.A.4) Que vaut l'image d'un triangle plein

abcˆ

par

φ_0

et par

φ_1

? Déterminer

φ_0(τ)

φ_1(τ)

.
I.B - (Diamètre d'un triangle plein)
I.B.1)
a) Démontrer que

K

est un compact de

R^3

pour sa topologie usuelle.
b) Démontrer que

K

est convexe c'est à dire que, pour tout réel

t \in [0, 1]

et tout couple (

u, v

) d'éléments de

K, tu + (1 - t)v

appartient à

K

.
c) Établir que, si

(a, b, c) \in C^3, abcˆ

est un compact convexe de

C

muni de sa topologie usuelle.
d) Avec les mêmes notations prouver l'existence de :

δ(abcˆ) = max{|z^′ − z|/(z, z^′) ∈ abcˆ^2}

I.B.2)
a) Démontrer que, si l'on fixe

z \in C

(a, b, c) \in C^3

max{|z^′ − z|/z^′ ∈ abcˆ} = max(|z − a|, |z − b|, |z − c|)

b) En déduire une expression simple de

δ(abcˆ)

.
I.B.3) Soit

(r_n)_(n \geq 1)

un élément de

{0, 1}^(N^∗)

. Pour chaque entier naturel non nul

n

, on note

τ~_n = φ_(r_1) \circ φ_(r_2) \circ \dots \circ φ_(r_n)(τ)

.
Montrer que

⋂τ~_n

est réduit à un seul point appartenant à

τ

n \geq 1

Partie II - Construction de l'application $f$

II - Dans la suite on note

E

l'ensemble des applications

g

continues de

[0, 1]

dans

C

telles que

g(0) = - 1

g(1) = 1

. Si

g \in E

, on note

Tg

l'application de

[0, 1]

dans

C

définie par :

Tg(x) = φ_0(g(2x)) si x \in [0, 1/2] et Tg(x) = φ_1(g(2x - 1)) si x \in ]1/2, 1].

II.1) Déterminer l'unique élément

f_0

E

qui soit affine.
II.2) Montrer que

Tg \in E

pour tout

g \in E

.
II.3) Soient

g_1

g_2

deux éléments de

E

. Prouver que :

‖Tg_2 - Tg_1‖_\infty = 1/(\sqrt2)‖g_2 - g_1‖_\infty

II.4) On définit maintenant une suite

(f_n)_(n \in N)

d'éléments de

E

en choisissant

f_0

affine comme ci-dessus et

f_(n + 1) = Tf_n

pour tout entier naturel

n

.
a) Prouver que la suite

(f_n)

converge uniformément sur

[0, 1]

vers une fonction

f \in E

.
b) Prouver que

Tf = f

.
c) Prouver que, pour tout

x \in [0, 1], f(x) = - f(1 - x)^-

et interpréter géométriquement cette relation.

Partie III - Propriétés de f

III.A - Image de $f$

III.A.1) Soit

(r_n)_(n ≥ 1) ∈ {0, 1}^(N^∗)

a) Montrer que la série de terme général

(r_n)/(2^n)

converge et que sa somme

x

appartient à

[0, 1]

.
b) En posant pour tout entier naturel

p, x_p = \sum_(n = 1)^\infty(r_(n + p))/(2^n)

, prouver la relation :

f(x) = φ_(r_1) \circ φ_(r_2) \circ \dotsφ_(r_p)(f(x_p))

pour tout entier naturel non nul

p

.
III.A.2) Inversement, soit

x \in [0, 1[

.
a) Établir que, pour tout entier naturel non nul

n, r_n(x) ∈ {0, 1}

.
b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul

N

et tout réel

x \in [0, 1[

([2^N x])/(2^N) = \sum_(n = 1)^N(r_n(x))/(2^n) puis x = \sum_(n = 1)^\infty(r_n(x))/(2^n).

c) Montrer que si, en outre,

x \in Z[1/2]

alors il existe

N \in N

tel que

r_n(x) = 0

pour tout entier naturel

n > N

.
d) Calculer

f(1/2)

f(1/4)

. Reconnaître

φ_0 \circ φ_0

et en déduire

f(1/(2^k))

pour tout

k \in N

.
III.A.3)
a) Montrer que

f([0, 1] \cap Z[1/2]) \subset τ

.
b) Montrer que

f([0, 1]) \subset τ

.
III.A.4) Inversement, soit

z \in τ

.
a) Montrer qu'on peut définir deux suites

(z_n)_(n \geq 0)

(r_n)_(n \geq 1)

de la manière suivante :

$z_0 = z$ et, si $n \geq 1$ :
si $z_(n - 1) \in τ_0$ alors $r_n = 0$ et $z_n = (φ_0)^(- 1)(z_(n - 1))$
sinon $r_n = 1$ et $z_n = (φ_1)^(- 1)(z_(n - 1))$ .

Prouver que, pour tout entier

n \in ℕ, z_n

appartient

τ

.
b) Prouver que

f(\sum_(n = 1)^\infty(r_n)/(2^n)) = z

(on pourra exprimer

z

en fonction de

z_n

et des

φ_(r_i)

).
c) Ecrire une fonction qui prend en argument un complexe

z

(que l'on supposera dans

τ

) et un réel

ε

et qui renvoie une valeur approchée à

ε

près d'un antécédent de

z

.
III.A.5)
a) Prouver que

f

n'est pas injective (on pourra utiliser la relation

f(1 - x) = - f(x)^-

).
b) Plus généralement montrer qu'il n'existe aucune bijection continue de

[0, 1]

sur

τ

(on pourra utiliser un argument de connexité par arcs).
III.A.6)
a) Pour

(i, j) ∈ {0, 1}^2

, déterminer l'expression complexe de

φ_i \circ φ_j

, la reconnaître, préciser son point fixe et l'image de

τ

. Faire un dessin.
b) Soient

r_1, r_2, \dots, r_p

des éléments de

{0, 1}

. Prouver que

φ = φ_(r_1) \circ φ_(r_2) \circ \dots \circ φ_(r_p)

possède un unique point fixe que l'on ne cherchera pas nécessairement à exprimer simplement.
c) Exhiber, à l'aide de l'application

f

, un point fixe de

φ

.
d) Montrer que l'ensemble

X

des complexes

z

qui sont point fixe de la composée d'un nombre fini d'applications

φ_0

φ_1

est dense dans

τ

.
III.B - Dérivabilité de

f

III.B.1) Supposons que

f

soit dérivable sur

[0, 1]

Soient

x \in [0, 1], (α_n)_(n \geq 1)

(β_n)_(n \geq 1)

deux suites d'élements de [ 0,1 ], convergentes vers

x

et telles que

α_n \leq x \leq β_n

α_n < β_n

pour tout

n

.
Montrer que la suite de terme général

(f(β_n) - f(α_n))/(β_n - α_n)

converge vers

f^'(x)

.
III.B.2) Soit

x \in [0, 1]

a) Si

x \in [0, 1[

, en choisissant :

α_n = (r_1(x))/2 + \dots + (r_n(x))/(2^n) et β_n = α_n + \sum_(k = n + 1)^\infty1/(2^k),

prouver que

f

n'est pas dérivable en

x

.
b) Prouver que

f

n'est pas dérivable en 1 .

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Maths 1 MP 2010 ?

Le sujet porte sur les similitudes du plan complexe, la compacité et la convexité en dimension finie, les suites de fonctions et la convergence uniforme, ainsi que la dérivabilité.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale Maths 1 MP 2010 ?

Le rapport cite une topologie usuelle confondue avec une autre norme, une compacité et une convexité mal maîtrisées, une démonstration de suite de Cauchy souvent fausse et un recours injustifié à un théorème du point fixe hors programme.

Le sujet Centrale Maths 1 MP 2010 permet-il d’étaler les notes ?

Oui, le rapport indique que le barème a permis d’étaler les notes, en sanctionnant les faiblesses de certains candidats et en valorisant les excellentes copies.

Quelle partie du sujet Centrale Maths 1 MP 2010 a révélé le plus de lacunes en analyse ?

La partie II, consacrée à la construction de f comme limite uniforme, a révélé des carences sur les suites de Cauchy et la convergence normale des séries de fonctions.

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Partie II - Construction de l'application f

Partie III - Propriétés de f

III.A - Image de f

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Maths 1 MP 2010 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale Maths 1 MP 2010 ?

Le sujet Centrale Maths 1 MP 2010 permet-il d’étaler les notes ?

Quelle partie du sujet Centrale Maths 1 MP 2010 a révélé le plus de lacunes en analyse ?

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Partie II - Construction de l'application $f$

III.A - Image de $f$