Mines Mathématiques 1 MP 2010Sujet, corrigé et rapport du jury

Q: Sur quoi porte le sujet Mines maths 1 MP 2010 ?

Sur le problème de Dirichlet dans le disque unité : prolongement harmonique d'une fonction continue sur le cercle à l'aide de ses coefficients de Fourier, applications, puis propriétés duales en termes de formes linéaires continues.

Q: Quels chapitres réviser pour Mines MP 2010 maths 1 ?

Les séries entières, les séries de Fourier, la convergence uniforme des séries de fonctions, les intégrales à paramètres, les extremums de fonctions de plusieurs variables et les espaces vectoriels normés de dimension infinie.

Q: Le sujet de maths 1 Mines MP 2010 est-il long ?

Oui, le jury le juge un peu trop long pour les candidats, tout en estimant qu'il a permis de très bien les classer.

Q: Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 Mines MP 2010 ?

Des convergences normales affirmées à tort, des interversions série-intégrale non justifiées, un noyau non borné ignoré, le théorème de Leibniz oublié et des inégalités écrites entre nombres complexes.

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Présentation du sujet

Difficile

Problème de Dirichlet sur le disque unité : prolongement harmonique d'une fonction continue sur le cercle

Le sujet étudie, pour une fonction continue f sur le cercle unité, un prolongement au disque fermé construit à partir des coefficients de Fourier de f. La partie A montre que ce prolongement est l'unique fonction continue sur le disque fermé, de laplacien nul à l'intérieur et égale à f sur le cercle. La partie B en tire deux applications, et la partie C caractérise l'évaluation en un point par des propriétés de formes linéaires continues.

1Partie A : prolongement harmoniqueConvergence des séries, dérivation terme à terme, noyau de Poisson, approximation uniforme et principe du maximum pour l'unicité (questions 1 à 10).
2Partie B : deux applicationsCalcul d'une intégrale à l'aide d'une fonction harmonique, formule de la moyenne sur un disque et limite uniforme de fonctions harmoniques (questions 11 à 13).
3Partie C : propriétés dualesFormes linéaires continues sur l'espace des fonctions continues sur le cercle muni de la norme uniforme (questions 14 à 18).

Difficile. Le jury juge le problème un peu trop long pour les candidats et signale des questions sélectives, comme la question 9, qui repère les très bons candidats.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Bornitude des coefficients de Fourier mal justifiée · Convergence normale d'une série entière affirmée à tort · Interversion série-intégrale non justifiée

Le sujet mobilise une grande partie du programme d'analyse. Un peu trop long, il contient assez de questions ouvertes pour faire ressortir l'initiative et la réflexion, et le jury estime qu'il a permis de très bien classer les candidats. Les principales faiblesses portent sur la justification des théorèmes de convergence et de dérivation.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Bornitude des coefficients de Fourier mal justifiéeQuestion 1
Le rapport de coefficients consécutifs ne tend pas vers 1 en général et la série de Fourier d'une fonction continue n'est pas toujours normalement convergente.
« Le Lemme de Lebesgue, qui donne directement que la suite (cn) est bornée, est peu utilisé. »
2
Convergence normale d'une série entière affirmée à tortQuestions 2 et 3
La dérivabilité en z ne donne pas sans preuve la dérivabilité en x, et le théorème de dérivation d'une série de fonctions est souvent oublié.
« Une série entière ne converge pas normalement en général sur son disque ouvert de convergence. »
3
Interversion série-intégrale non justifiéeQuestion 5
Le jury attend une justification explicite de l'échange entre somme et intégrale.
« Le jury attend des candidats qu'ils justifient l'interversion série-intégrales »
4
Noyau non borné ignoréQuestion 7
La convergence uniforme sur le disque fermé est délicate parce que le noyau n'est pas borné.
« la difficulté de cette question vient du fait que Pz(t) n'est pas bornée sur le produit cartésien du cercle et du disque unité ouvert »
5
Régularité C2 et théorème de LeibnizQuestions 11 à 13
La classe C2 d'une fonction élémentaire est mal établie, et la dérivation sous l'intégrale est souvent faite sans citer le théorème.
« Le Théorème de Leibniz, permettant de dériver une intégrale à paramètres, est souvent ignoré. »
6
Inégalités entre complexes et continuitéQuestions 14 à 18
En dimension infinie, une application linéaire n'est pas forcément continue ; ces dernières questions sont souvent bâclées.
« des inégalités entre nombres complexes n'ont pas de sens »

Ce qui a été bien réussi

La question 3 est souvent traitée, avec les mêmes réserves que la question 2.
Le problème a permis de voir émerger de bons et de très bons candidats, clairement départagés.

Conseils du jury

Lire tout le sujet avant de commencer pour assimiler les notations.
Pour un résultat donné par l'énoncé, rédiger une preuve concise qui cite précisément les théorèmes et les numéros des questions utilisées.
Construire chaque démonstration au brouillon avant de la recopier.
Indiquer clairement qu'on admet le résultat d'une question non traitée.
Écrire lisiblement et encadrer les résultats.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2010

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, enstim, TELECOM INT, TPE-EIVP.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Problème de Dirichlet

A

est une partie d'un espace vectoriel de dimension finie sur

ℝ

ou sur

ℂ

, on note

𝒞(A)

ℂ

-espace vectoriel des applications continues de

A

dans

ℂ

. Les notations

D, D¯

T

désignent respectivement

le disque ouvert $D = {z \in ℂ; |z| < 1}$
le disque fermé $D¯ = {z \in ℂ; |z| ⩽ 1}$
le cercle $T = {z \in ℂ; |z| = 1}$ .

À une fonction

f \in 𝒞(T)

quelconque on associe

les coefficients de Fourier

c_n = 1/(2π)\int_(- π)^π f(e^(it))e^(- int) dt (\foralln \in ℤ)

la fonction $g_f : D \to ℂ$ définie par la formule suivante, dont l'existence sera traitée dans la question 1) :

g_f(z) = c_0 + \sum_(n = 1)^\inftyc_n z^n + \sum_(n = 1)^\inftyc_(- n)z¯^n

où

z¯

désigne le complexe conjugué de

z

;

la fonction $G_f : D¯ \to ℂ$ définie par

G_f(z) = {f(z), si z ∈ T; g_f(z), si z ∈ D

Pour

n \in ℕ

, on note

p_n

q_n

les fonctions de

𝒞(T)

définis par

p_n(z) = z^n; q_n(z) = z¯^n (\forallz \in T).

Le but du problème est de caractériser de différentes manières le prolongement

G_f

de f à

D¯

A. Prolongement harmonique

U

est un ouvert de

ℂ

on note

U˜ = {(x, y) ∈ ℝ^2; x + iy ∈ U}

. Pour toute fonction

u : U \to ℂ

, on note

u˜ : U˜ \to ℂ

la fonction définie par la formule

u(x, y) = u(x + iy)

. La fonction

u

est dite de classe

C^2

u˜

est de classe

C^2

au sens des fonctions de deux variables réelles. On note alors

Δu

la fonction définie sur

U

par

Δu(x + iy) = (\partial^2 u˜)/(\partialx^2)(x, y) + (\partial^2 u˜)/(\partialy^2)(x, y).

Dans cette partie, on fixe une fonction

f \in 𝒞(T)

et on se propose de montrer que

G_f

est l'unique fonction

G : D¯ \to ℂ

qui vérifie les propriétés suivantes :
(a1) la restriction de

G

T

coïncide avec

f

;
(a2)

G

est continue sur

D¯

;
(a3) la restriction

G

D

est de classe

C^2

ΔG(z) = 0

pour tout

z \in D

.
On va d'abord montrer que

G_f

vérifie ces conditions. La condition (a1) est évidemment vérifiée.

Montrer que les deux séries qui entrent dans la définition de $g_f(z)$ sont convergentes pour tout $z \in D$ .
Soit $S(z) = \sum_(n = 0)^\inftya_n z^n$ la somme d'une série entière de rayon de convergence $⩾ 1$ .
Au moyen d'une dérivation terme à terme d'une série de fonctions de variable réelle, justifier que l'application $S˜ : D˜ \to ℂ$ admet une dérivée partielle par rapport à $x$ qui est continue sur $D˜$ , et exprimer $(\partialS˜)/(\partialx)(x, y)$ sous la forme de la somme d'une série.
Montrer que $S$ est de classe $C^2$ sur $D$ et déterminer $ΔS(z)$ pour tout $z \in D$ .
En déduire que $g_f$ est de classe $C^2$ sur $D$ et que $Δg_f(z) = 0$ pour tout $z \in D$ .

On fixe

z \in D

, et on note

P_z(t) = Re((e^(it) + z)/(e^(it) - z))

pour tout

t \in ℝ

.
5) En tenant compte de la définition des

c_n

dans l'expression de

g_f(z)

, montrer que

g_f(z) = 1/(2π)\int_(- π)^π f(e^(it))P_z(t)dt

Déterminer $g_f$ pour $f = p_n$ et $f = q_n$ , où $n \in ℕ$ . Donner la valeur de l'intégrale $1/(2π)\int_(- π)^π P_z(t)dt$ et étudier le signe de $P_z(t)$ pour tout $t \in ℝ$ .
Montrer que si $(f_n)_(n \in ℕ)$ est une suite d'éléments de $𝒞(T)$ qui converge uniformément vers $f$ sur $T$ , alors $G_(f_n)$ converge uniformément vers $G_f$ sur $D¯$ .
Soit $𝒫(T)$ le sous espace vectoriel de $𝒞(T)$ engendré par ${p_n; n ∈ ℕ} ∪ {q_n; n ∈ ℕ}$ . Justifier que tout élément de $𝒞(T)$ est limite uniforme d'une suite d'éléments de $𝒫(T)$ , et en déduire que $G_f$ est continue sur $D¯$ .

On se donne maintenant une fonction

G

vérifiant les conditions (a1), (a2) et (a3) et on se propose de démontrer que

G = G_f

.
9) On suppose dans cette question que

f

est la fonction nulle et que

G

est à valeurs réelles. Soit

ε > 0

u : D¯ \to ℝ

définie par

u(z) = G(z) + ε|z|^2

.
Montrer que

Δu(z) > 0

pour tout

z \in D

. En déduire que

u(z) ⩽ ε

pour tout

z \in D¯

(on pourra considérer, après en avoir justifié l'existence, un point

z_0 \in D¯

où

u

atteint son maximum.)
10) Conclure dans le cas particulier de la question précédente, puis dans le cas général. (On pourra d'abord étendre la conclusion au cas où

f

est nulle mais

G

est à valeurs complexes.)

B. Deux applications

Première application. On considère la fonction

G

définie sur

D¯

par

G(x + iy) = e^x cosy

.
11) Montrer que

G

vérifie la condition (a3) et en déduire, pour tout

n \in ℤ

, la valeur de l'intégrale

1/(2π)\int_(- π)^π e^(cost)cos(sint)cos(nt)dt.

Deuxième application. Soit

u : U \to ℂ

une application continue définie sur un ouvert

U

ℂ

. Si

a \in ℂ

R > 0

, on note

D(a, R) = {z \in ℂ; |z - a| < R}

D¯(a, R) = {z \in ℂ; |z - a| ⩽ R}

.
12) Montrer que

u

est de classe

C^2

et telle que

Δu = 0

sur

U

si et seulement si, pour tout disque fermé

D¯(a, R)

contenu dans

U

et pour tout

z \in D(a, R)

, on a

u(z) = 1/(2π)\int_(- π)^π u(a + Re^(it))P_((z - a)/R)(t)dt

Pour

n \in ℕ

, on note

u_n : U \to ℂ

une fonction de classe

C^2

telle que

Δu_n = 0

sur

U

.
13) Déduire de la question précédente que si la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

converge uniformément vers une fonction

u

, alors

u

est également de classe

C^2

et telle que

Δu = 0

sur

U

C. Propriétés duales

Dans cette partie, on fixe

z \in D

et on considère l'application

φ_z : 𝒞(T), ⟶ ℂ; f, ⟼ g_f(z)

où

𝒞(T)

est muni de la norme

N

définie par

N(f) = sup_(z \in T)|f(z)|

pour tout

f \in 𝒞(T)

. Pour toute application

φ : 𝒞(T) \to ℂ

, on considère les quatre propriétés suivantes :
(c1)

φ

est une forme

ℂ

-linéaire et continue;
(c2)

\foralln \in ℕ, φ(p_n) = z^n

;
(c3)

\foralln \in ℕ, φ(q_n) = z¯^n

;
(c4)

\forallf \in 𝒞(T), |φ(f)| ⩽ N(f)

.
14) Montrer que

φ_z

vérifie ces quatre propriétés.
15) Montrer que si

φ

vérifie les conditions (c1), (c2) et (c3), alors

φ = φ_z

Dans la suite de cette partie, on se donne

φ : 𝒞(T) \to ℂ

vérifiant les conditions (c1), (c2) et (c4), et on se propose de démontrer que

φ = φ_z

Dans les deux questions suivantes, on se donne

λ \in ℝ

et on considère une fonction

f \in 𝒞(T)

à valeurs réelles

⩾ 0

. Soit

h \in 𝒞(T)

définie par la formule

h(z) = 2f(z) - N(f) + iλ

pour tout

z \in T

.
16) Calculer

N(h)^2

en fonction de

N(f)

et de

λ

.
17) En étudiant

|φ(h)|^2

, montrer que

φ(f) \in ℝ

puis que

φ(f) ⩾ 0

.
18) En déduire que

φ(f¯) = φ(f)^-

pour tout

f \in 𝒞(T)

, et conclure.

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet Mines maths 1 MP 2010 ?

Sur le problème de Dirichlet dans le disque unité : prolongement harmonique d'une fonction continue sur le cercle à l'aide de ses coefficients de Fourier, applications, puis propriétés duales en termes de formes linéaires continues.

Quels chapitres réviser pour Mines MP 2010 maths 1 ?

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Le sujet de maths 1 Mines MP 2010 est-il long ?

Oui, le jury le juge un peu trop long pour les candidats, tout en estimant qu'il a permis de très bien les classer.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 Mines MP 2010 ?

Des convergences normales affirmées à tort, des interversions série-intégrale non justifiées, un noyau non borné ignoré, le théorème de Leibniz oublié et des inégalités écrites entre nombres complexes.

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