Mines Option Informatique MP 2010Sujet, corrigé et rapport du jury

Le problème de la satisfiabilité logique

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BanqueMines Année2010 FilièreMP MatièreInformatique

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÊRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2010
ÉPREUVE D'INFORMATIQUE
Filière MP
Durée de l'épreuve :

3

heures.
L'usage de calculettes est autorisé. L'utilisation d'un ordinateur est interdite.

Sujet mis à disposition des concours : ENSAE ParisTech, TELECOM SudParis (ex INT), TPE-EIVP

L'énoncé de cette épreuve comporte 11 pages.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
INFORMATIQUE - MP

Recommandations aux candidats

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures même s'il n'a pas été démontré.
Il ne faut pas hésiter à formuler les commentaires qui semblent pertinents même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement.

Composition de l'épreuve

L'épreuve comporte un seul problème

Le problème de la satisfiabilité logique

Préliminaire concernant la programmation : il faudra écrire des fonctions ou des procédures à l'aide d'un langage de programmation qui pourra être soit Caml, soit Pascal, tout autre langage étant exclu. Indiquer en début de problème le langage de programmation choisi; il est interdit de modifier ce choix au cours de l'épreuve. Certaines questions du problème sont formulées différemment selon le langage de programmation ; cela est indiqué chaque fois que nécessaire. Par ailleurs, pour écrire une fonction ou une procédure en langage de programmation, le candidat pourra définir des fonctions ou des procédures auxiliaires qu'il explicitera ou faire appel à d'autres fonctions ou procédures définies dans les questions précédentes.

Dans l'énoncé du problème, un même identificateur écrit dans deux polices de caractères différentes désigne la même entité, mais du point de vue mathématique pour la police écrite en italique (par exemple :

F

) et du point de vue informatique pour celle écrite en romain (par exemple : F).

On appelle variable booléenne une variable qui ne peut prendre que les valeurs 0 (synonyme de faux) ou 1 (synonyme de vrai). Si

x

est une variable booléenne, on appelle complémenté de

x

et on note

x¯

la négation de

x : x¯

vaut 1 si

x

vaut 0 et

x¯

vaut 0 si

x

vaut 1 .

On appelle littéral une variable booléenne ou son complémenté. Pour un littéral

α = x¯

, où

x

est une variable booléenne, on définit le complémenté

α¯

α

comme étant égal à

x

. On a ainsi défini le complémenté de tout littéral.

On représente la disjonction («ou» logique) par le symbole V et la conjonction («et» logique) par le symbole

Λ

On appelle clause une disjonction de littéraux et longueur d'une clause le nombre des littéraux qui composent cette clause. La longueur d'une clause doit être toujours au moins égale à 1 .

On appelle formule logique sous forme normale conjonctive une conjonction de clauses; chacune de ces clauses est dite appartenir à la formule logique. Dans tout le problème, quand on utilisera l'expression formule logique, il s'agira d'une formule logique sous forme normale conjonctive. On ne suppose pas que toutes les clauses d'une formule logique sont distinctes.

Dans tout le problème, les littéraux d'une même clause sont différents et une clause ne contient pas à la fois une variable et le complémenté de celle-ci : si une clause contient le littéral

α

, elle ne contient pas une deuxième fois

α

et elle ne contient pas

α¯

. Dans les algorithmes qui seront à écrire, on fera en sorte que cette propriété soit toujours vérifiée. En conséquence, la longueur d'une clause d'une formule logique n'est jamais supérieure au nombre total de variables de la formule logique considérée.

On appelle valuation des variables d'une formule logique une application de l'ensemble de ces variables dans l'ensemble

{0, 1}

. Une clause vaut 1 si au moins un de ses littéraux vaut 1 et 0 sinon. Une clause est dite satisfaite par une valuation des variables si elle vaut 1 pour cette valuation. Une formule logique vaut 1 si toutes ses clauses valent 1 et 0 sinon. Une formule logique est dite satisfaite par une valuation des variables si elle vaut 1 pour cette valuation. Une formule logique est dite satisfiable s'il existe une valuation de ses variables qui la satisfait. Si une formule logique est satisfiable, on appelle alors solution de cette formule logique toute valuation des variables qui la satisfait. Par exemple, la formule logique :

(x \lor y \lor z) \land (x¯ \lor z) \land (y¯ \lor z¯)

est satisfiable et elle est satisfaite par la solution

x = 1, y = 0

z = 1

Comme pour une variable booléenne, la valeur 0 est synonyme de faux et la valeur 1 est synonyme de vrai pour un littéral, une clause ou une formule logique.

Une formule logique qui n'aurait aucune clause est dite vide et considérée comme toujours satisfaite.

Étant donnée une formule logique

F

, on note dans ce problème

max(F)

le nombre maximum de clauses de

F

pouvant être satisfaites par une même valuation ; en notant

m

le nombre de clauses de

F

, on remarque que

F

est satisfiable si et seulement si

max(F) = m

Première partie : introduction

Pour les deux premières questions de ce problème, on considère trois personnes nommées

X, Y

Z

et on s'intéresse au fait qu'elles portent ou non un chapeau. On considère les propositions suivantes :
a) au moins une des personnes porte un chapeau ;
b) au moins une des personnes ne porte pas de chapeau ;
c) si

X

porte un chapeau, ni

Y

Z

n'en portent ;
d) si

Y

porte un chapeau, au moins une personne parmi

X

Z

en porte un.

On définit des variables booléennes

x, y

z

qui valent 1 si, respectivement,

X, Y

Z

portent un chapeau et 0 sinon.

◻1

- Exprimer chacune des propositions a), b), c) et d) comme une formule logique (on rappelle que l'expression «formule logique» signifie «formule logique sous forme normale conjonctive ») exprimée avec les variables

x, y

z

2 - Écrire une formule logique exprimant le fait que les propositions a), b), c) et d) doivent être satisfaites simultanément. Indiquer si cette formule logique est satisfiable ou non et, si elle est satisfiable, donner l'ensemble des solutions pour cette formule logique. On prouvera la réponse.

On considère maintenant la formule logique

F1

dépendant de quatre variables

x, y, z

t

F1 = (x \lor y \lor z), \land (x¯ \lor z \lor t¯) \land (x \lor y¯ \lor z¯) \land; (x \lor y \lor t¯) \land (x¯ \lor z¯ \lor t¯) \land (x¯ \lor t) \land (x \lor y¯ \lor z)

3 - Indiquer si F1 est satisfiable ou non et, si elle est satisfiable, donner l'ensemble des solutions de

F1

. On prouvera la réponse.

On considère une formule logique

F

définie sur

n

variables booléennes et dont toutes les clauses sont de longueur 3 ; on dit alors qu'il s'agit d'une instance de 3 -SAT ; on note

m

le nombre de clauses dont

F

est la conjonction.

◻4

- Déterminer une instance F2 de 3-SAT non satisfiable et possédant exactement 8 clauses ; indiquer

max(F2)

en justifiant la réponse.

On considère une instance

F

de 3-SAT définie sur

n

variables booléennes. On note

V

l'ensemble des

2^n

valuations des variables de

F

. Soit val une valuation des

n

variables ; si

C

est une clause, on note

φ(C

, val

)

la valeur de

C

pour la valuation val ; on note

ψ(F

, val

)

le nombre de clauses de

F

qui valent 1 pour la valuation val. On a :

ψ(F, val) = \sum_(C, clause de F)φ(C, val)

max(F) = max_(val \in V)ψ(F

, val

)

◻5

- On considère une clause

C

F

; indiquer en fonction de

n

la valeur de la somme:

\sum_(val \in)φ(C

, val

)

6 - En considérant la somme

\sum_(C, clausede F)\sum_(val \in V)φ(C, val)

, indiquer en fonction de

m

un minorant de

max(F)

7 - Donner le nombre minimum de clauses d'une instance de 3-SAT non satisfiable.

Indications pour la programmation, à lire avec attention

On va désormais numéroter à partir de 1 les variables booléennes d'une formule logique. Ainsi, si les variables sont

x, y

z

, on associe à

x

le numéro 1 , à

y

le numéro 2 et à

z

le numéro 3. Par ailleurs, on numérote le complémenté d'une variable avec l'opposé du numéro associé à celle-ci ; ainsi, avec l'exemple ci-dessus, au littéral

x¯

, on associe le numéro -1 , au littéral

y¯

, on associe le numéro -2 , au littéral

z¯

, on associe le numéro -3 . Pour alléger les explications, on identifie désormais un littéral avec son numéro.
Le mot tableau utilisé plus bas est synonyme de ce qu'on appelle vecteur en Caml.
Pour coder une valuation d'un ensemble de

n

variables booléennes, on utilise un tableau d'au moins

n + 1

entiers indicé à partir de 0 ; pour

i

compris entre 1 et

n

, la case d'indice

i

donne la valeur de la variable de numéro

i

(valeur qui vaut soit 0 , soit 1 , ou éventuellement une valeur quelconque si la valeur de la variable correspondante n'est pas spécifiée). La case d'indice 0 n'est pour l'instant pas utilisée.
Pour coder une clause de longueur

p

, on utilise un tableau d'au moins

p + 1

entiers indicé à partir de 0 ; pour

i

compris entre 1 et

p

, la case d'indice

i

contient le numéro du littéral qui se trouve en position

i

dans la clause. La case d'indice 0 de ce tableau indique la longueur de la clause. Ainsi, si les variables sont

x, y, z

t

, numérotées respectivement par

1, 2, 3

et 4 , la clause (

xVt¯Vy

) est codé par un tableau représenté ci-dessous :

Indice	0	1	2	3
Numéro	3	1	-4	2

Pour coder une formule logique, on utilise un tableau de tableaux d'entiers indicés par (

i, j

) où les indices

i

j

sont supérieurs ou égaux à 0 ; pour

i

supérieur ou égal à 1 , la ligne d'indice

i

décrit la

i^e

clause de la formule logique. On utilise deux cases de la ligne d'indice

0 :

la case d'indice ( 0,0 ) contient le nombre de clauses de la formule logique et la case d'indice

(0, 1)

contient le nombre total de variables. Ainsi, la formule logique :

F3 = (x \lor y¯ \lor z \lor t) \land (x¯ \lor z¯) \land (x \lor t¯ \lor y)

est codée par le tableau ci-dessous. Dans ce tableau, les cases contenant des pointillés existent ou non ; si elles existent, leurs valeurs n'ont pas d'importance :

$i$	0	1	2	3	4
0	3	4	$\dots$	$\dots$	$\dots$
1	4	1	-2	3	4
2	2	-1	-3	$\dots$	$\dots$
3	3	1	-4	2	$\dots$

Indications pour Caml

En Caml, la formule logique F3 peut être définie comme ci-dessous par le vecteur de vecteurs F3:
let F3 = [|[|3;4|];[|4;1;-2;3;4|];[|2;-1;-3|];[|3;1;-4;2|]|];;
Soit F un vecteur de vecteurs définissant une formule logique

F

et soient

i

j

deux entiers compris entre 1 et F. ( 0 ) . ( 0 ) ; le vecteur F. (i) définit la

i^e

clause de

F

; dans un calcul de complexité, on considérera l'instruction

F.(i) < - F.(j)

comme une seule opération élémentaire.

Fin des indications pour Caml

Indications pour Pascal

On définit les constantes et les types ci-dessous :
CONST

MAX_V AR = 10;; MAX_C LAUSES = 100;

type Valuation = array [0 .. MAX_VAR] of Integer;
type Clause = array [0 .. MAX_VAR] of Integer;
type Formule = array [0 .. MAX_CLAUSES] of Clause;

La constante MAX_VAR indique le nombre maximum de variables d'une formule logique. La constante MAX_CLAUSES indique le nombre maximum de clauses d'une formule logique. Dans ce problème, on ne se préoccupera pas d'un éventuel débordement de ces tableaux.
La formule logique F3 peut être codée avec une variable F3 de type Formule par :

F3[0][0]:=3; F3[0][1]:=4;
F3[1][0]:=4; F3[1][1]:=1; F3[1][2]:=-2; F3[1][3]:=3; F3[1][4]:=4;
F3[2][0]:=2; F3[2][1]:=-1; F3[2][2]:=-3;
F3[3][0]:=3; F3[3][1]:=1; F3[3][2]:=-4; F3[3][3]:=2;

Soit F un tableau de type Formule définissant une formule logique

F

et soient

i

j

deux entiers compris entre 1 et

F[0][0]

; le tableau

F[i]

définit la

i^e

clause de

F

; dans un calcul de complexité, on considérera l'instruction

F[i]:=F[j]

comme une seule opération élémentaire.

Fin des indications pour Pascal

Deuxième partie : satisfiabilité, méthode exacte

$◻8$ - La fonction valeur_clause.
Caml : Écrire en Caml une fonction valeur_clause telle que, si C est un vecteur d'entiers codant une clause $C$ et si val est un vecteur codant une valuation val d'un ensemble de variables contenant les variables de $C$ , alors
valeur_clause C val
donne la valeur de $C$ (c'est-à-dire 0 ou 1) pour la valuation val.
Indiquer la complexité de la fonction valeur_clause.

Pascal : Écrire en Pascal une fonction valeur_clause telle que, si C, de type Clause, code une clause $C$ et si val, de type Valuation, code une valuation val d'un ensemble de variables contenant les variables de $C$ , alors
valeur_clause(C, val)
donne la valeur de la clause $C$ (c'est-à-dire 0 ou 1) pour la valuation val.
Indiquer la complexité de la fonction valeur_clause.
$◻9$ - La fonction satisfait_formule.
Caml : Écrire en Caml une fonction satisfait_formule telle que, si F est un vecteur de vecteurs d'entiers codant une formule logique $F$ et si val est un vecteur codant une valuation val de l'ensemble des variables de $F$ , alors
satisfait_formule F val
vaut true si val satisfait $F$ et false sinon.
Indiquer la complexité de la fonction satisfait_formule.
Pascal : Écrire en Pascal une fonction satisfait_formule telle que, si F, de type Formule, code une formule logique $F$ et si val, de type Valuation, code une valuation val de l'ensemble des variables de $F$ , alors
satisfait_formule(F, val)
vaut true si val satisfait $F$ et false sinon.
Indiquer la complexité de la fonction satisfait_formule.
$◻10$ - La fonction resoudre_rec.
On considère une formule logique $F$ et un nombre $k$ compris entre 0 et le nombre total de variables de $F$ . Pour $i$ compris entre 1 et $k$ , on fixe une valeur $v_i$ égale à 0 ou 1 pour la variable $i$ (si $k$ vaut 0 , aucune variable n'a une valeur fixée). La fonction resoudre_rec détermine s'il existe une valuation val des variables telle que

pour $i$ compris entre 1 et $k$ , la valeur dans val de la variable $i$ est $v_i$ ,

val satisfait $F$ .

De plus, la fonction resoudre_rec dispose d'un tableau d'entiers destiné à coder une valuation des variables; dans le cas où la valuation cherchée existe, la fonction modifie ce tableau pour qu'il code une telle valuation et elle renvoie alors la valeur 1 ; si la valuation cherchée n'existe pas, la fonction renvoie la valeur 0 sans avoir modifié les cases d'indices compris entre 1 et $k$ .
Caml : Écrire en Caml une fonction récursive resoudre_rec telle que,

si F est un vecteur de vecteurs d'entiers codant une formule logique $F$ ,

si val est un vecteur d'entiers servant à coder une valuation,

si $k$ est un entier compris entre 0 et le nombre de variables de $F$ ,

si le vecteur val contient soit 0 , soit 1 dans les cases d'indices $1, 2, \dots, k$ , alors resoudre_rec F val k modifie le vecteur val comme indiqué ci-dessus, en considérant que les valeurs des cases d'indices $1, 2, \dots, k$ de ce vecteur sont les valeurs fixées $v_1, v_2, \dots, v_k$ des variables $1, 2, \dots, k$ ; la fonction renvoie true si la valuation cherchée existe et false sinon.

Pascal : Écrire en Pascal une fonction récursive resoudre_rec telle que,

si F, de type Formule, code une formule logique $F$ ,
si val est de type Valuation,
si $k$ est un entier compris entre 0 et le nombre de variables de $F$ ,
si le tableau val contient soit 0 , soit 1 dans les cases d'indices $1, 2, \dots, k$ , alors resoudre_rec (F, val, k) modifie le tableau val comme indiqué cidessus, en considérant que les valeurs des cases d'indices $1, 2, \dots, k$ de ce tableau sont les valeurs fixées $v_1, v_2, \dots, v_k$ des variables $1, 2, \dots, k$ ; la fonction renvoie true si la valuation cherchée existe et false sinon.

11 - La fonction resoudre.
La fonction resoudre prend en argument une formule logique

F

et renvoie un tableau d'entiers pouvant coder une valuation des variables de

F

. Si

F

est satisfiable, le tableau renvoyé code une solution de

F

et contient la valeur 1 dans la case d'indice 0 ; si

F

n'est pas satisfiable, le tableau contient la valeur 0 dans la case d'indice 0 .
Caml : Écrire en Caml une fonction resoudre telle que, si

F

est un vecteur de vecteurs d'entiers codant une formule logique

F

, alors resoudre

F

renvoie un vecteur d'entiers correspondant au résultat de la fonction resoudre décrite ci-dessus.

Pascal : Écrire en Pascal une fonction resoudre telle que, si

F

, de type Formule, code une formule logique

F

, alors resoudre (

F

) renvoie un tableau de type Valuation correspondant au résultat de la fonction resoudre décrite ci-dessus.

12 - Évaluer la complexité de la fonction resoudre appliquée à une formule logique

F

en fonction du nombre

n

de variables de

F

et de la somme des longueurs des clauses de

F

Troisième partie : MAX-SAT

Dans cette partie, on ne s'intéresse plus à savoir si une formule logique est satisfiable mais au calcul, pour une formule logique

F

, de

max(F)

. On va définir une heuristique, c'est-à-dire une méthode qui ne donne pas nécessairement la valeur de

max(F)

mais une valeur approchée, qu'on souhaite proche de l'optimum : on calcule une valuation en choisissant une à une les variables et leurs valeurs. Plus précisément, soit

F

une formule logique ; étant donnée une variable

α

F

, on note

diff(F, α)

le nombre de fois où

α

figure dans

F

diminué du nombre de fois où

α¯

figure dans

F

; l'heuristique utilise la transformation suivante :
a) On calcule pour chaque variable

α

F

le nombre

diff(F, α)

.
b) Si

p

est un entier relatif, on note

abs(p)

la valeur absolue de

p

. On détermine une variable

α_0

F

telle que, pour toute variable

α

F

, on ait :

abs(diff(F, α_0)) \geq abs(diff(F, α)).

c) On pose

α_0 = 1

si on a

diff(F, α_0) > 0

α_0 = 0

sinon.
d) On supprime la variable

α_0

F

en tenant compte de la valeur choisie de façon à ne conserver que les clauses qui restent à satisfaire après le choix de la valeur de

α_0

; on comptabilise le nombre de clauses satisfaites. On obtient ainsi une formule logique notée

F^'

qui est la formule transformée à partir de

F

.
Pour exécuter l'heuristique, on transforme la formule

F

comme décrit ci-dessus, puis on transforme de même la formule

F^'

, puis on transforme la formule transformée à partir de

F^'

et ainsi de suite jusqu'à obtenir une formule vide. On somme au fur et à mesure les nombres de clauses satisfaites comptabilisés pendant chaque transformation ; le résultat de l'heuristique est constitué de cette somme et d'une valuation correspondant aux choix effectués pendant les transformations successives pour les valeurs des variables.

13 - Appliquer l'heuristique à la formule

F1

définie avant la question

◻3

; détailler les différentes étapes.

De façon à écrire l'heuristique en langage de programmation, on définit cinq fonctions ou procédures dans les cinq questions suivantes.

◻14 - La

fonction place.
Caml : Écrire en Caml une fonction place telle que, si C est un vecteur codant une clause

C

et si litt est un littéral, place C litt renvoie

0 si litt ne figure pas dans $C$ ,
la position de litt dans $C$ si litt figure dans $C$ (valeur comprise entre 1 et le nombre de littéraux de $C$ ).
Évaluer la complexité de la fonction place.
Pascal : Écrire en Pascal une fonction place telle que, si C, de type Clause, code une clause $C$ et si litt est un littéral, place( C , litt) renvoie
0 si litt ne figure pas dans $C$ ,
la position de litt dans $C$ si litt figure dans $C$ (valeur comprise entre 1 et le nombre de littéraux de $C$ ).
Évaluer la complexité de la fonction place.
$◻15$ - La fonction ou procédure supprimer_variable.
Caml : Écrire en Caml une fonction supprimer_variable telle que, si C est un vecteur codant une clause $C$ et si $i$ est un entier compris entre 1 et le nombre de littéraux de $C$ , alors supprimer_variable C i modifie C pour que C code la clause obtenue en supprimant de la clause $C$ le littéral d'indice $i$ . La complexité de cette fonction doit être de l'ordre d'une constante, et donc ne pas dépendre du nombre de littéraux de la clause $C$ ni de la valeur de $i$ .

Pascal : Écrire en Pascal une procédure supprimer_variable telle que, si C, de type Clause, code une clause

C

et si

i

est un entier compris entre 1 et le nombre de littéraux de

C

, alors supprimer_variable(C, i) modifie C pour que C code la
clause obtenue en supprimant de la clause

C

le littéral d'indice

i

. La complexité de cette fonction doit être de l'ordre d'une constante, et donc ne pas dépendre du nombre de littéraux de la clause

C

ni de la valeur de

i

16 - La fonction ou procédure supprimer_clause.
Caml : Écrire en Caml une fonction supprimer_clause telle que, si F est un vecteur de vecteurs d'entiers codant une formule logique

F

et si

i

est un entier compris entre 1 et le nombre de clauses de

F

, alors supprimer_clause F i modifie

F

pour que

F

code la formule logique obtenue en supprimant la clause d'indice i. La complexité de cette fonction doit être de l'ordre d'une constante, et donc ne pas dépendre du nombre de clauses de la formule logique ni de la valeur de i.

Pascal : Écrire en Pascal une procédure supprimer_clause telle que, si F, de type Formule, code une formule logique

F

et si i est un entier compris entre 1 et le nombre de clauses de

F

, alors supprimer_clause(

F

, i) modifie

F

pour que

F

code la formule logique obtenue en supprimant la clause d'indice

i

. La complexité de cette fonction doit être de l'ordre d'une constante, et donc ne pas dépendre du nombre de clauses de la formule logique ni de la valeur de i .

17 - La fonction calculer_diff.
Caml : Écrire en Caml une fonction calculer_diff telle que, si F est un vecteur de vecteurs d'entiers codant une formule logique

F

, alors calculer_diff

F

renvoie un vecteur d'entiers donnant pour chaque variable

α

F

la valeur de

diff(F, α)

décrite au-dessus de la question

◻13

. En supposant que toutes les variables (dont le nombre figure dans la case d'indice 1 de la ligne d'indice 0 de

F

) figurent effectivement dans

F

directement ou par son complémenté, cette fonction doit avoir une complexité de l'ordre de la somme des longueurs des clauses de

F

Pascal : Écrire en Pascal une fonction calculer_diff telle que, si F, de type Formule, code une formule logique

F

, alors calculer_diff(

F

) renvoie un tableau de type Valuation donnant pour chaque variable

α

F

la valeur de

diff(F, α)

décrite au-dessus de la question

◻13

. En supposant que toutes les variables (dont le nombre figure dans la case d'indice 1 de la ligne d'indice 0 de

F

) figurent effectivement dans

F

directement ou par son complémenté, cette fonction doit avoir une complexité de l'ordre de la somme des longueurs des clauses de

F

◻18

- La fonction simplifier.
On s'intéresse dans cette question à une transformation automatique d'une formule logique

F

lorsqu'on pose qu'une variable

α

prend la valeur

v

. Cette transformation est effectuée à l'aide d'une fonction nommée simplifier prenant

F, α

v

comme arguments. Si

v

vaut 1 , on note litt le littéral

α

et sinon on note litt le littéral

α¯

. Quand

α

prend la valeur

v

, litt prend la valeur 1 et le complémenté de litt prend la valeur 0 . Les clauses contenant litt, prenant la valeur 1 , sont supprimées de

F

. Pour chaque clause contenant le complémenté de litt, on retire ce complémenté ; si une clause était réduite au complémenté de litt, on supprime une telle clause. Les clauses qui ne contiennent ni litt ni le complémenté de litt sont inchangées. La fonction simplifier compte le nombre de clauses qui contenaient litt avant simplification et renvoie ce nombre.

Caml : Écrire en Caml la fonction simplifier telle que, si

F

est un vecteur de vecteurs d'entiers codant une formule logique

F

, si alpha est un entier représentant une variable

α

F

et si v vaut 0 ou 1 , alors
simplifier F alpha v
transforme F pour que F code la formule logique obtenue à partir de

F

par la fonction simplifier et renvoie le nombre de clauses de la formule logique

F

initiale qui contenaient litt défini ci-dessus.
Évaluer la complexité de la fonction simplifier.
Pascal : Écrire en Pascal la fonction simplifier telle que, si F, de type Formule, code une formule logique

F

, si alpha est un entier représentant une variable

α

F

et si

\lor

vaut 0 ou 1 , alors
simplifier(F, alpha, v)
transforme F pour que F code la formule logique obtenue à partir de

F

par la fonction simplifier et renvoie le nombre de clauses de la formule logique

F

initiale qui contenaient litt défini ci-dessus.
Évaluer la complexité de la fonction simplifier.
19 - La fonction heuristique.
Caml : Écrire en Caml une fonction heuristique telle que, si F est un vecteur de vecteurs d'entiers codant une formule logique

F

, alors heuristique

F

renvoie un vecteur d'entiers codant la valuation des variables résultant de l'heuristique décrite au début de cette partie ; la case d'indice 0 de ce même vecteur devra contenir le nombre de clauses satisfaites par la valuation déterminée par l'heuristique.
Évaluer la complexité de la fonction heuristique.
Pascal : Écrire en Pascal une fonction heuristique telle que, si

F

, de type Formule, code une formule logique

F

, alors heuristique (

F

) renvoie un tableau de type Valuation codant la valuation des variables résultant de l'heuristique décrite au début de cette partie ; la case d'indice 0 de ce même tableau devra contenir le nombre de clauses satisfaites par la valuation déterminée par l'heuristique.
Évaluer la complexité de la fonction heuristique.

Quatrième partie : étude d'un cas particulier

On revient au problème de la satisfiabilité. On s'intéresse dans cette partie à une formule logique dans laquelle chaque littéral apparaît au plus une fois et dans laquelle toutes les clauses sont de longueur au moins 2 . On appelle dans ce problème formule logique 1-occ une telle formule logique. Par exemple, la formule logique

F4

ci-dessous, ayant six variables

x, y, z, t, u, v

, est une formule logique 1 -occ :

F4 = (x \lor y \lor z) \land (x¯ \lor z¯ \lor t) \land (y¯ \lor v¯) \land (u \lor v) \land (t¯ \lor u¯)

On cherche à déterminer une solution d'une formule logique 1-occ.

20 - On considère une formule logique 1 -occ qui s'écrit :

F = (x \lor l_1 \lor l_2\dots \lor l_k) \land (x¯ \lor l_(k + 1) \lor l_(k + 2) \lor \dots \lor l_(k + h)) \land G

avec

k \geq 1, h \geq 1

, où

x

est une variable, où

l_1, \dots, l_(k + h)

sont des littéraux et où

G

est une formule logique 1 -occ éventuellement vide.
a) Montrer que si

{l_1, l_2, …, l_k, l_(k + 1), l_(k + 2), …, l_(k + h)}

contient à la fois une variable et son complémenté, alors

F

est satisfiable si et seulement si

G

est satisfiable ; on dira dans ce cas que

F

réduite par rapport à

x

donne la formule logique

G

.
b) On suppose que

{l_1, l_2, …, l_k, l_(k + 1), l_(k + 2), …, l_(k + h)}

ne contient jamais à la fois une variable et son complémenté. Indiquer une formule logique 1 -occ

F^'

ne contenant ni

x

x¯

telle que

F

est satisfiable si et seulement si

F^'

est satisfiable. On dira dans ce cas que

F

réduite par rapport à

x

donne la formule logique

F^'

.
Remarque: on rappelle que, par définition dans ce problème, une clause ne contient pas à la fois une variable et son complémenté et qu'une formule logique vide est considérée comme toujours satisfaite.

◻21

- Exemples de réduction
a) On considère la formule logique

(x \lor y \lor z) \land (x¯ \lor z¯ \lor t) \land (y¯ \lor t¯)

; indiquer la formule logique obtenue en réduisant celle-ci par rapport à

x

.
b) On considère la formule logique

(x¯ \lor z¯ \lor t) \land (t¯ \lor u¯) \land (z \lor u)

; indiquer la formule logique obtenue en réduisant celle-ci par rapport à

t

◻22

- Montrer que toute formule logique 1-occ est satisfiable.

◻23

- Décrire sans utiliser le langage de programmation une fonction (ou une procédure) récursive calculer_solution

qui prend en paramètre une formule logique 1 -occ $F$ et un tableau val permettant de coder une valuation des variables ;
qui transforme le tableau val pour que, après exécution de la fonction (ou de la procédure), val contienne une solution de $F$ .
$◻24$ - Appliquer la fonction (ou la procédure) calculer_solution décrite dans la question précédente à la formule $F4$ . Détailler chaque appel récursif.

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Commentaires• Mines Option Informatique MP 2010

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