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Mines Mathématiques 2 MP 2010Sujet, corrigé et rapport du jury

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Dénombrement des matrices binaires à deux 1 par ligne et par colonne : série génératrice, équivalent asymptotique et rang
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Le sujet de mathématiques II du concours Mines-Ponts MP 2010 compte les matrices carrées formées de 0 et de 1 avec exactement deux 1 par ligne et par colonne. Il obtient une relation de récurrence sur leur nombre, en déduit la somme d'une série entière par une équation différentielle, établit un équivalent de ce nombre à l'aide de la fonction Gamma, puis détermine la dimension de l'espace engendré par ces matrices.

  1. 1Partie A : questions préliminairesCas n = 2 et n = 3, vecteur propre commun et somme de toutes les matrices binaires (questions 1 à 3).
  2. 2Partie B : étude du cardinalRelations de dénombrement, récurrence d'ordre 2, rayon de convergence de la série génératrice et équation différentielle qu'elle vérifie (questions 4 à 9).
  3. 3Partie C : équivalent d'une suite de coefficients d'un développement en série entièreCoefficients d'un produit de séries entières exprimés par une intégrale, comparaison d'intégrales généralisées et formule de Stirling pour obtenir l'équivalent (questions 10 à 16).
  4. 4Partie D : étude de rangDimension du sous-espace engendré par les matrices binaires, via un changement de base et une famille libre de différences (questions 17 à 21).

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Vecteur propre non nul oublié · Récurrence non vérifiée aux premiers rangs · Mauvais ordre d'équation différentielle
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Le problème partait d'une question de dénombrement très simple et guidait le candidat à travers les séries entières, les équations différentielles, les intégrales généralisées et l'algèbre linéaire. Les nombreuses questions ouvertes demandaient de réutiliser les résultats précédents. Le cours a été récompensé, et plus encore la capacité à relier les questions entre elles.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Vecteur propre non nul oubliéQuestions 2 et 4

    Pour conclure qu'un vecteur est propre, puis pour identifier les coefficients, il fallait préciser qu'il est non nul, ce qui a rarement été fait.

  2. 2
    Récurrence non vérifiée aux premiers rangsQuestion 7

    La relation obtenue pour n assez grand doit être contrôlée sur les premiers termes pour valoir pour tout entier ; cette vérification permettait aussi de détecter une erreur antérieure.

  3. 3
    Mauvais ordre d'équation différentielleQuestion 9

    Chercher une équation d'ordre 2 compliquait tout ; il fallait une équation du premier ordre, sans coefficient dépendant de n ni recours à l'équation caractéristique.

    « Il est tout aussi inacceptable de chercher ensuite à résoudre l’équation caractéristique »
  4. 4
    Développement en série entière mal justifiéQuestion 10

    Être de classe infinie ne suffit pas ; il suffisait d'écrire la fonction comme produit de deux fonctions développables.

    « De trop nombreux candidats s’imaginent qu’il suffit qu’une fonction soit indéfiniment dérivable pour être somme d’une série entière. »
  5. 5
    Équivalents et intégralesQuestions 13 et 14

    Beaucoup s'arrêtent aux variations de la fonction sans majorer ni minorer les intégrales, et déduisent à tort un équivalent en n d'une équivalence en u.

    « Il s’agit là indubitablement de la question la plus difficile du problème. »
  6. 6
    Énoncé mal lu en algèbre linéaireQuestions 17, 18 et 19

    Rang des matrices confondu avec rang de la famille, matrice semblable prise pour la même matrice, dimension de l'espace mal comptée.

Ce qui a été bien réussi

  • À la question 8, la plupart des candidats ont établi l'appartenance à [0, 1] et la conclusion sur le rayon de convergence.
  • La question 12 a été correctement traitée par une grosse minorité de candidats.
  • Plusieurs questions ponctuelles ont permis aux candidats de faire valoir leur connaissance du cours.

Conseils du jury

  • Lire attentivement l'énoncé, en particulier le domaine de validité des relations demandées.
  • Utiliser les résultats des questions précédentes pour avancer dans les questions ouvertes.
  • Rédiger avec rigueur les justifications de dénombrement, dont la rétribution croît avec la précision.
  • Contrôler la vraisemblance d'une réponse, par exemple un rang qui ne peut dépasser le nombre de vecteurs.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURS 2010

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP(Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, enstim, TELECOM INT, TPE-EIVP.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Dénombrements de certaines matrices binaires

Soit n un entier ⩾ 2. On note ℳ_n(ℝ) l'espace vectoriel des matrices réelles à n lignes et n colonnes. On appelle matrice binaire de taille n une matrice A ∈ ℳ_n(ℝ) dont tous les coefficients sont égaux à 0 ou à 1 . L'élément d'une telle matrice situé sur la i-ième ligne et la j-ième colonne est dit en position ( i, j ), où 1 ⩽ i ⩽ n et 1 ⩽ j ⩽ n.
On désigne par 𝒰_n l'ensemble des matrices binaires de taille n comportant exactement deux 1 dans chaque ligne et exactement deux 1 dans chaque colonne. L'exemple suivant :
(1, 0, 0, 1; 0, 1, 1, 0; 0, 1, 0, 1; 1, 0, 1, 0)
est une matrice de 𝒰_4.
On note u_n le cardinal de 𝒰_n, et on pose par convention u_0 = 1 et u_1 = 0.
La partie D est indépendante des parties B et C.

A. Questions préliminaires

  1. Exhiber toutes les matrices de 𝒰_n pour n = 2 et 3 , et déterminer les valeurs correspondantes de u_n. (Dans le cas n = 3, on pourra raisonner sur la position des éléments nuls dans chacune de ces matrices.)
    Soit X_0 le vecteur de ℝ^n dont tous les coefficients sont égaux à 1 et J la matrice de ℳ_n(ℝ) dont tous les coefficients sont égaux à 1 .
  2. Si A ∈ 𝒰_n, montrer que X_0 est un vecteur propre de A. Quelle est la valeur propre associée?
Soit ℋ_n l'ensemble des éléments de 𝒰_n comportant un 1 en position (1,1). On note h_n le cardinal de ℋ_n.
3) Calculer la somme de toutes les matrices de 𝒰_n en fonction de h_n et de J.

B. Étude du cardinal de 𝒰_n

  1. Établir la relation u_n = n/2h_n pour tout n ⩾ 2. (On pourra s'aider des deux questions précédentes.)
Soit 𝒦_n l'ensemble des éléments de ℋ_n comportant un 1 en position (1, 2) et un 1 en position ( 2,1 ). On note k_n le cardinal de K_n.
5) Pour tout n ⩾ 2, établir une relation donnant h_n en fonction de k_n et de (n − 1)^2.
6) En examinant les possibilités pour le coefficient situé en position (2,2), démontrer la relation k_n = u_(n − 2) + h_(n − 1) pour tout n ⩾ 4.
On pose w_n = (u_n)/((n!)^2) pour tout n ∈ ℕ.
7) Déduire de ce qui précède une relation de récurrence pour la suite (u_n)_(n ∈ ℕ), puis pour la suite (w_n)_(n ∈ ℕ).
8) Prouver que w_n ∈ [0, 1] pour tout n ∈ ℕ, et que la série de terme général w_n diverge. Que peut-on en déduire pour le rayon de convergence de la série entière ∑w_n x^n ?
On pose W(x) = ∑_(n = 0)^∞w_n x^n pour tout x ∈ ] − 1, 1.
9) Donner une équation différentielle vérifiée par W et en déduire une expression de W(x) en fonction de x.

C. Équivalent d'une suite de coefficients d'un développement en série entière

Cette partie permet d'obtenir un équivalent de u_n pour n → + ∞. Soit α un réel et β un réel > 0. On considère la fonction φ définie pour x ∈ ] − 1, 1[ par la formule :
φ(x) = (e^(αx))/((1 − x)^β)
On note Γ(t) = ∫_0^∞x^(t − 1)e^(− x) dx la fonction Gamma définie pour tout réel t > 0; on rappelle que Γ(1/2) = √π et que Γ(t + 1) = tΓ(t) pour tout t > 0.
10) Montrer que φ(x) est la somme d'une série entière ∑φ_n x^n pour tout x ∈ ] − 1, 1[.
11) Montrer que si x ∈ ] − 1, 1[, on peut écrire :
1/((1 − x)^β) = ∑_(n = 0)^∞a_n x^n
où l'on exprimera les coefficients a_n en fonction de n!, Γ(β) et Γ(n + β).
12) En déduire que φ_n = (ψ_n)/(n!Γ(β)) pour tout n ∈ ℕ, où l'on a posé :
ψ_n = ∫_0^∞u^(β − 1)e^(− u)(α + u)^n du
  1. On fixe a ∈ ℝ tel que a > |α|. A l'aide des variations de la fonction
u ↦ e^(− u)(α + u)^n
définie pour tout u ⩾ − α, montrer que |∫_0^a u^(β − 1)e^(− u)(α + u)^n du| est négligeable devant ∫_a^∞u^(β − 1)e^(− u)(α + u)^n du quand n → + ∞.
14) En déduire qu'il existe a > |α| tel que ψ_n soit équivalent à l'intégrale ∫_a^∞e^(− u)(α + u)^(n + β − 1) du quand n → + ∞.
15) En conclure que les suites ψ_n et e^α Γ(n + β) sont équivalentes.
On revient sur la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) définie au début du problème.
16) Établir un équivalent de φ_n, puis de u_n quand n → + ∞. On prendra soin de simplifier l'équivalent trouvé de u_n en utilisant la formule de Stirling.

D. Étude de rang

Dans cette partie, on cherche à déterminer le rang r_n du système constitué des u_n matrices de 𝒰_n, considérées comme des éléments de ℳ_n(ℝ). On rappelle que X_0 est le vecteur de ℝ^n dont tous les coefficients sont égaux à 1, et que J est la matrice de ℳ_n(ℝ) dont tous les coefficients sont égaux à 1 .
17) Calculer r_n pour n = 2 et 3 . (Dans le cas n = 3, on pourra considérer les matrices J − A, où A ∈ 𝒰_3.)
On considère l'espace vectoriel V_n des matrices A ∈ ℳ_n(ℝ) telles que X_0 soit à la fois un vecteur propre pour A et pour sa transposée ^t A.
18) Montrer que 𝒰_n ⊂ V_n et comparer les valeurs propres de A et de ^t A associées à X_0 lorsque A ∈ V_n.
19) Déterminer la dimension de V_n. (On pourra considérer une base orthonormée de ℝ^n dont un des vecteurs est colinéaire à X_0.) En déduire une majoration sur r_n.
Pour n ⩾ 3, soit A une matrice de 𝒰_n comportant des 1 en positions (1,1) et (2,2) et des 0 en positions (1, 2) et (2, 1).
20) Montrer qu'il existe une matrice B de 𝒰_n telle que A − B ne comporte que des éléments nuls, sauf en positions (i, j) pour i ⩽ 2 et j ⩽ 2. En déduire que si r_n^′ désigne le rang du système constitué de toutes les matrices U − V où U, V ∈ 𝒰_n, on a r_n^′ ⩾ (n − 1)^2.
21) Conclure.

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de maths 2 Mines MP 2010 ?
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Sur quoi porte le sujet de maths 2 Mines MP 2010 ?

Sur le dénombrement des matrices binaires ayant deux 1 par ligne et par colonne : récurrence, série entière génératrice, équivalent asymptotique avec la fonction Gamma et dimension de l'espace engendré.

Quels chapitres réviser pour le sujet Mines-Ponts maths II MP 2010 ?

Le dénombrement, les séries entières, les équations différentielles linéaires, les intégrales généralisées, la fonction Gamma avec la formule de Stirling et l'algèbre linéaire.

Quelle est la question la plus difficile du sujet maths 2 Mines MP 2010 ?

Selon le jury, la question 14, où il fallait déduire un équivalent d'une intégrale sans passer abusivement de l'équivalence des intégrandes à celle des intégrales.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 2 Mines MP 2010 ?

L'oubli qu'un vecteur propre est non nul, une récurrence non vérifiée aux premiers rangs, une équation différentielle d'ordre 2 inutile (question 9) et une justification fausse du développement en série entière (question 10).

Pas de description pour le moment