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Mines Mathématiques 1 MP 2014Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Surjectivité de l'application A ↦ A e^A sur les matrices complexes et réduction de Jordan
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Le problème montre que toute matrice carrée complexe s'écrit sous la forme A e^A. Il étudie d'abord l'équation z e^z = w dans C, puis traite le cas d'un bloc de Jordan, établit la forme de Jordan d'une matrice nilpotente et conclut à l'aide de la décomposition en sous-espaces caractéristiques.

  1. 1Partie A : préliminaire sur la représentation z e^z dans CRéécriture de l'équation z e^z = w en module et argument, étude des limites d'une fonction auxiliaire et surjectivité de z ↦ z e^z.
  2. 2Partie B : représentation A e^A d'un bloc de JordanMatrice nilpotente d'indice n semblable à J_n(0), exponentielle d'un bloc de Jordan et écriture de J_n(λ) sous la forme M e^M.
  3. 3Partie C : forme de Jordan d'une matrice nilpotenteRéduction par blocs grâce à des matrices de transvection par blocs, puis récurrence pour obtenir une matrice diagonale par blocs de Jordan.
  4. 4Partie D : représentation A e^A dans M_n(C)Décomposition de C^n en somme directe des sous-espaces caractéristiques et synthèse pour prouver la surjectivité.

Difficulté moyenne. Le jury estime que l'énoncé comporte de nombreuses questions accessibles aux élèves faibles et moyens, avec une longueur bien adaptée, les questions 12 et 13 étant les plus difficiles.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,53 / 20
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Moyenne
9,53/ 20

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Limites mal justifiées · Cas particulier oublié · Semblables et équivalentes confondues
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Le sujet couvre une part importante du programme d'algèbre linéaire et une partie de l'analyse. Il contient beaucoup de questions abordables et sa longueur est jugée adaptée ; quelques excellents candidats l'ont presque entièrement traité. Le jury estime que l'épreuve a bien classé les candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Limites mal justifiéesQ2

    Les limites sont souvent non justifiées, voire fausses, et la justification consiste presque toujours à passer un équivalent à l'exponentielle.

  2. 2
    Cas particulier oubliéQ3

    La question est bien traitée dans l'ensemble, mais le cas z = 0 est massivement oublié.

  3. 3
    Semblables et équivalentes confonduesQ5, Q10

    Certains oublient d'inverser l'ordre des vecteurs de la base, d'autres affirment que deux matrices de même rang sont semblables. L'erreur se répète à la question 10.

    « faisant la confusion classique entre semblables et équivalentes »
  4. 4
    Indice de nilpotence incompletQ6

    Il faut montrer que l'indice vaut exactement n et pas seulement qu'il est majoré, et utiliser l'inversibilité des matrices, un produit de matrices non nulles pouvant être nul.

  5. 5
    Récurrence et dimensionsQ14, Q15

    La rédaction de la récurrence est souvent décevante et l'égalité sur la somme des dimensions des sous-espaces F_i est rarement justifiée.

Ce qui a été bien réussi

  • La question 1 est traitée dans presque toutes les copies et généralement bien faite.
  • La question 3 est en général bien traitée.
  • La question 11 s'est révélée assez facile et souvent bien traitée.
  • Les très bons candidats se sont illustrés sur les questions 12 et 13, les plus difficiles.

Conseils du jury

  • Lire tout le sujet au calme avant de commencer pour assimiler les notations.
  • Écrire lisiblement et encadrer les résultats.
  • Pour un résultat donné par l'énoncé, fournir une preuve claire et concise en citant les théorèmes et les numéros des questions utilisées, sans sauter d'étape.
  • Construire chaque démonstration au brouillon avant de la recopier.
  • Indiquer clairement qu'on admet le résultat d'une question non traitée.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2014

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, enstim, TÉLÉCOM INT, TPE-EIVP.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Soit n un entier naturel non nul et ℳ_n(ℂ) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients complexes. On note I_n la matrice identité de ℳ_n(ℂ). Une matrice N de ℳ_n(ℂ) est dite nilpotente d'indice p si p est le plus petit entier strictement positif pour lequel N^p = 0.
Pour A ∈ ℳ_n(ℂ), on appelle exponentielle de A, et on note exp(A) ou e^A, la matrice e^A = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(A^n)/(n!). On admet que si deux matrices A et B de ℳ_n(ℂ) sont telles que AB = BA, on a e^(A + B) = e^A e^B. Enfin, on appelle bloc de Jordan d'ordre n associé au nombre complexe λ, la matrice
J_n(λ) = (λ, 1, 0, ⋯, 0; 0, λ, 1, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, 0; ⋮, ⋱, ⋱, 1; 0, ⋯⋯⋯, 0, λ).
Si n et p sont deux entiers naturels non nuls on note ℳ_(n, p)(ℂ) l'espace vectoriel des matrices à coefficients complexes comportant n lignes et p colonnes. On notera indifféremment ℳ_(n, n)(ℂ) ou ℳ_n(ℂ).

A. Préliminaire sur la représentation ze^z dans ℂ

  1. Soit r et R des nombres réels strictement positifs, α et θ des nombres réels. On note w = re^(iα) et z = Re^(iθ). Montrer que l'équation ze^z = w équivaut au système :
{Re^(Rcos(θ)) = r; Rsin(θ) = α − θ (modulo 2π)
On choisit dorénavant le réel α dans l'intervalle [2π, 4π[. Soit alors φ l'application de ]0, π[ dans ℝ définie par la formule :
φ(θ) = (α − θ)/(sin(θ))exp((α − θ)(cosθ)/(sinθ))
  1. Déterminer les limites de φ(θ) lorsque θ → 0^+et lorsque θ → π^−. Que peut-on en déduire sur les solutions de l'équation φ(θ) = r pour r > 0 fixé? Soit D = {Re^(iθ); R > 0 et 0 < θ < π} ∪ {0} et g l'application de D dans ℂ définie parg(z) = ze^z.
  2. Déduire de ce qui précéde que g est surjective.

B. Représentation Ae^A d'un bloc de Jordan

Soit N ∈ ℳ_n(ℂ) une matrice nilpotente d'indice n.
4) Montrer qu'il existe X ∈ ℳ_(n, 1)(ℂ) telle que N^(n − 1)X ≠ 0 et que la famille {X, NX, …, N^(n − 1)X} est libre.
5) En déduire que N est semblable à J_n(0).
6) Montrer que e^(J_n(0)) est inversible et que J_n(0)e^(J_n(0)) est nilpotente d'indice n.
7) Montrer que si P ∈ ℳ_n(ℂ) est inversible, on a Pe^(J_n(0))P^(− 1) = e^(PJ_n(0)P^(− 1)). En déduire qu'il existe N˜ ∈ ℳ_n(ℂ) telle que J_n(0) = N˜e^(N˜).
Soit λ un nombre complexe non nul.
8) Justifier l'existence d'un nombre complexe μ ≠ − 1 tel que λ = μe^μ et montrer que l'on peut écrire :
J_n(μ)e^(J_n(μ)) = λI_n + (μ + 1)e^μ J_n(0) + (J_n(0))^2 p(J_n(0))
où p est un polynôme à coefficients complexes qui dépend de μ.
9) Montrer que (μ + 1)e^μ J_n(0) + (J_n(0))^2 p(J_n(0)) est nilpotente d'indice n. En déduire qu'il existe M ∈ ℳ_n(ℂ) telle que J_n(λ) = Me^M.

C. Forme de Jordan d'une matrice nilpotente

Soit N ∈ ℳ_n(ℂ) une matrice nilpotente d'indice p. On suppose dans un premier temps que 1 < p < n.
10) Montrer qu'il existe B ∈ ℳ_(p, n − p)(ℂ) et C ∈ ℳ_(n − p, n − p)(ℂ) telles que N est semblable à la matrice par blocs suivante :
A = (J_p(0), B; O, C)
où O est la matrice nulle de ℳ_(n − p, p)(ℂ).
Pour tout X ∈ ℳ_(p, n − p)(ℂ), on définit la matrice par blocs T_X suivante :
T_X = (I_p, X; O, I_(n − p)) ∈ ℳ_n(ℂ).
  1. Montrer que T_X est inversible et calculer son inverse. Vérifier que A^′ = T_X AT_X^(− 1) est de la forme
A^′ = (J_p(0), Y; O, Z)
où l'on explicitera les matrices Y ∈ ℳ_(p, n − p)(ℂ) et Z ∈ ℳ_(n − p, n − p)(ℂ).
12) Montrer que dans l'écriture de A^′ de la question précédente, on peut choisir X ∈ ℳ_(p, n − p)(ℂ) de telle sorte que toutes les lignes de Y, à l'exception éventuelle de la dernière, soient nulles. (On pourra noter X_((i)) la i ème ligne de X pour i ∈ {1, …, p} et étudier l'effet sur les lignes de X de la multiplication par J_p(0) dans le produit J_p(0)X.)
13) Justifier que A^′ est nilpotente d'indice p. En déduire que si la matrice X est choisie comme dans la question précédente, la matrice Y est nulle. (On pourra raisonner par l'absurde en étudiant l'effet des endomorphismes associés aux puissances de A^′ sur les vecteurs de la base canonique de ℂ^n.)
14) En déduire que lorsque 1 ⩽ p ⩽ n, la matrice nilpotente N est semblable à une matrice diagonale par blocs de la forme :
(J_(p_1)(0), (0); J_(p_2)(0); ⋱; (0), J_(p_r)(0))
où r et p_1, p_2, …, p_r désignent des entiers naturels non nuls.

D. Représentation Ae^A dans ℳ_n(ℂ)

Soit A ∈ ℳ_n(ℂ). On note λ_1, λ_2, …, λ_s ses valeurs propres complexes distinctes, d'ordres de multiplicité respectifs α_1, α_2, …, α_s dans le polynôme caractéristique de A. Soit f l'endomorphisme de ℂ^n dont la matrice dans la base canonique de ℂ^n est A et F_i le sous-espace vectoriel de ℂ^n défini par F_i = Ker((f − λ_i Id_(ℂ^n))^(α_i)) pour tout i ∈ {1, …, s}.
15) Montrer que l'espace vectoriel ℂ^n est la somme directe des espaces F_i. En considérant une base de ℂ^n adaptée à cette somme directe, montrer que A est semblable à une matrice diagonale par blocs de la forme :
(λ_1 I_(α_1) + N_1, (0); λ_2 I_(α_2) + N_2; ⋱; (0), λ_s I_(α_s) + N_s)
où N_1, N_2, …, N_s sont des matrices nilpotentes.
16) Montrer que l'application A ↦ Ae^A de ℳ_n(ℂ) dans lui-même est surjective.

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet Mines Maths 1 MP 2014 ?
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Sur quoi porte le sujet Mines Maths 1 MP 2014 ?

Il montre que toute matrice carrée complexe s'écrit A e^A. Il mobilise limites et équivalents, rang, matrices semblables, endomorphismes nilpotents, sous-espaces caractéristiques et polynôme caractéristique.

Quelle est la moyenne de l'épreuve Mines Maths 1 MP 2014 ?

Le rapport indique une moyenne générale de 9,53, avec un écart-type supérieur à 4,3.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Mines Maths 1 MP 2014 ?

Des limites mal justifiées, l'oubli du cas z = 0, la confusion entre matrices semblables et matrices équivalentes et des indices de nilpotence seulement majorés.

Quelles sont les questions les plus difficiles du sujet Mines Maths 1 MP 2014 ?

Selon le jury, les questions 12 et 13 étaient les plus difficiles du problème ; seuls les très bons candidats s'y sont illustrés.

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