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Mines Mathématiques 1 MP 2003Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
La mu-presque orthogonalité d'une famille de vecteurs dans un espace euclidien
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Le problème étudie le concept de mu-presque orthogonalité pour une famille de vecteurs d'un espace euclidien. La partie I introduit deux suites réelles et demande un équivalent simple de l'une d'elles, tandis que la partie II définit et étudie la mu-presque orthogonalité, qui coïncide avec l'orthonormalité pour mu=1, et construit un contre-exemple en dimension infinie à partir des résultats de la partie I.

  1. 1Partie I : suites (In) et (Sn)Calcul d'une intégrale In et recherche d'un équivalent simple de la suite Sn par comparaison série-intégrale.
  2. 2Partie II : mu-presque orthogonalitéDéfinition et étude du concept de mu-presque orthogonalité, lien avec l'orthonormalité et le théorème spectral, construction d'un contre-exemple en dimension infinie.

Difficile. Le rapport indique que le problème est très long et que personne ne le traite en totalité, avec une moyenne générale de l'ordre de 6,94 et de nombreuses notes basses.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 6,94 / 20
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Moyenne
6,94/ 20

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Calcul de l'intégrale In et des développements limités raté · Équivalence 1-presque orthogonalité et orthonormalité mal démontrée · Théorème spectral cité de manière approximative
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Le problème est très long et personne ne le traite en totalité, mais un très petit nombre de candidats impressionnent le jury avec une note voisine de 20. Les parties I et II sont abordées dans la plupart des copies, mais peu de candidats maîtrisent la fin de la partie II. Le jury estime que ce problème permet de bien classer les candidats par ordre de mérite.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Calcul de l'intégrale In et des développements limités raté

    Beaucoup de candidats se trompent dans le calcul de l'intégrale In et des développements limités nécessaires pour la partie I.

  2. 2
    Équivalence 1-presque orthogonalité et orthonormalité mal démontrée

    Cette équivalence doit être prouvée en deux temps ; un simple verbiage procédant par conditions nécessaire et suffisante ne convainc pas le jury.

  3. 3
    Théorème spectral cité de manière approximative

    Le théorème spectral de diagonalisation d'une matrice symétrique réelle est souvent cité de manière approximative, et de nombreux candidats confondent forme quadratique et endomorphisme.

  4. 4
    Théorème des fonctions implicites mal utilisé15

    Le théorème des fonctions implicites, même cité correctement, ne permet pas de résoudre la question 15 ; il fallait invoquer le théorème des valeurs intermédiaires en précisant la continuité de G.

  5. 5
    Étude des variations incomplète aux bornes

    Quand on demande d'étudier les variations d'une fonction sur [1,+infini[, il ne faut pas oublier d'étudier le comportement de la fonction aux deux bornes de l'intervalle.

Ce qui a été bien réussi

  • Les parties I et II sont abordées dans la plupart des copies.
  • Un très petit nombre de candidats impressionnent le jury et obtiennent une note voisine de 20.

Conseils du jury

  • Lire tranquillement la totalité du sujet avant de commencer, pour assimiler les notations et comprendre de quoi il retourne.
  • Écrire lisiblement et encadrer les résultats obtenus.
  • Citer avec précision les théorèmes du cours et les résultats antérieurs utilisés, en indiquant les numéros des questions correspondantes, notamment quand la réponse est donnée par l'énoncé.
  • Chercher et construire chaque démonstration au brouillon avant de la recopier au propre une fois claire et concise, et indiquer nettement quand un résultat est admis plutôt que de tenter de dissimuler une difficulté.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

A 2003 Math MP 1

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2003
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIÊRE ÉPREUVE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 1-Filière MP. Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Première partie

Le but de cette première partie est d'établir des résultats qui seront utiles dans la seconde partie.
Étant donné un entier n strictement positif ( n ≥ 1 ), soient S_n et I_n les deux réels définis par les relations ci-dessous :
S_n = ∑_(i = 0)^(n − 1)(∑_(j = 0)^(n − 1)1/(i + j + 1)); I_n = ∫_0^n dx∫_0^n(dy)/(x + y + 1)
Intégrale I_n.
  1. Calculer, pour toute valeur de l'entier strictement positif n, l'intégrale I_n.
  2. Déterminer les constantes A, B, C et D figurant dans le développement limité de la fonction n ⟼ I_n à l'infini qui s'écrit sous la forme suivante :
I_n = An + Blnn + C + D/n + o(1/n).
Somme S_n :
3. Établir un encadrement du réel S_n à l'aide de I_n.
4. En déduire que la somme S_n est équivalente à l'infini à 2nln2.
Soit J_n l'intégrale suivante :
J_n = ∫_0^1(∑_(k = 0)^(n − 1)x^k)^2 dx

Intégrale J_n :

  1. Déterminer la relation qui lie l'intégrale J_n au réel S_n. En déduire, lorsque l'entier n croît indéfiniment, un équivalent de J_n à l'infini.

Seconde partie

Soit E un espace préhilbertien réel ; soit (x, y) ⟼ (x|y) le produit scalaire de cet espace. La norme d'un vecteur x de E, déduite de ce produit scalaire est notée ‖x‖.
Étant donné un réel μ supérieur ou égal à 1(μ ≥ 1), une suite de n vecteurs d'un espace euclidien E_n, de dimension finie n, x_1, x_2, …, x_n est dite μ-presque orthogonale (en abrégé μ-p.o.) si et seulement si :
i. les vecteurs x_1, x_2, …, x_n sont de norme unité,
ii. pour toute suite finie de n réels a_1, a_2, …, a_n la norme du vecteur ∑_(i = 1)^n a_i x_i vérifie la double inégalité suivante :
1/μ∑_(i = 1)^n(a_i)^2 ≤ ‖∑_(i = 1)^n a_i x_i‖^2 ≤ μ∑_(i = 1)^n(a_i)^2.
Plus généralement : une suite dénombrable (x_k)_(k ∈ ℕ) de vecteurs unitaires d'un espace préhilbertien réel est dite presque orthogonale (p. o.), si et seulement s'il existe un réel μ ≥ 1 tel que, pour tout entier n strictement positif, pour toute suite extraite x_(k_1), x_(k_2), …, x_(k_n) de la suite (x_k)_(k ∈ ℕ) et pour toute suite finie de n réels a_1, a_2, …, a_n, la norme du vecteur ∑_(i = 1)^n a_i x_(k_i) vérifie la relation suivante :
1/μ∑_(i = 1)^n(a_i)^2 ≤ ‖∑_(i = 1)^n a_i x_(k_i)‖^2 ≤ μ∑_(i = 1)^n(a_i)^2
Remarque: la suite des indices k_1, k_2, …, k_n de la suite extraite x_(k_1), x_(k_2), …, x_(k_n), est une suite monotone strictement croissante k_1 < k_2 < … < k_n.

Premières propriétés :

Soit E_n un espace euclidien de dimension n.
6. Démontrer que, pour qu'une suite de n vecteurs x_1, x_2, …, x_n soit une base orthonormée de E_n, il faut et il suffit qu'elle soit une suite 1-presque orthogonale.
7. Démontrer que, si une suite de n vecteurs x_1, x_2, …, x_n de E_n est μ-presque orthogonale, la suite est libre.
Un exemple :
Soit E l'espace vectoriel des fonctions réelles définies et continues sur le segment [0, 1]; le produit scalaire de deux fonctions f et g de E est défini par la relation suivante :
(f|g) = ∫_0^1 f(x)g(x)dx
Soit (P_n)_(n ∈ ℕ) la suite des fonctions de E définies par la relation suivante :
P_n(x) = √(2n + 1)x^n
  1. Démontrer que, bien que la suite des fonctions P_n de norme unité soit libre, la suite (P_n)_(n ∈ ℕ) n'est pas presque orthogonale.
Soit ( V_1, V_2, …, V_n ) une suite libre de n vecteurs indépendants unitaires d'un espace euclidien E_n de dimension n. Soit M la matrice carrée d'ordre n dont les éléments m_(ij) sont égaux aux produits scalaires des vecteurs V_i et V_j.
M = (m_(ij)); m_(ij) = (V_i|V_j).
Étant donnée une suite de n réels a_1, a_2, …, a_n, soit A le vecteur de ℝ^n de coordonnées a_1, a_2, …, a_n et W le vecteur égal à la combinaison linéaire des vecteurs V_1, V_2, …, V_n avec les coefficients a_1, a_2, …, a_n :
A = (a_1; a_2; …; a_n); W = ∑_(i = 1)^n a_i V_i
La suite de vecteurs (V_1, V_2, …, V_n) est μ-presque orthogonale :
9. Démontrer l'existence d'une matrice carrée P orthogonale et d'une matrice diagonale D dont tous les éléments de la diagonale sont différents de 0 , telles que :
M = ^t P.D.P.
  1. Établir la relation qui lie la norme du vecteur W au réel ^t A.M.A; ^t A désigne la matrice transposée de la matrice colonne A.
  2. En déduire que les éléments de la matrice D sont strictement positifs, puis en déduire un encadrement de la norme du vecteur W à l'aide des valeurs propres de la matrice M et de la norme du vecteur B égal à l'image par la matrice P du vecteur A(B = P.A).
  3. En déduire que la suite (V_1, V_2, …, V_n) est μ-presque orthogonale ; préciser des valeurs possibles pour le réel μ.
Soit maintenant (V_n)_(n ≥ 1) une suite dénombrable de vecteurs unitaires d'un espace préhilbertien réel E.

Une condition suffisante :

  1. Démontrer que, s'il existe un réel α, strictement supérieur à 3(α > 3), tel que le produit scalaire de deux vecteurs V_p et V_q soit majoré en valeur absolue par le réel α^(− |p − q|), c'est-à-dire :
|(V_p|V_q)| ≤ 1/(α^(|p − q|)),
la suite (V_n)_(n ≥ 1) est presque orthogonale.

Deux questions préliminaires :

  1. Soit f la fonction définie dans le quart de plan [1, ∞[ × [1, ∞[ par la relation suivante :
f(x, y) = (√(2y + 1)√(2xy + 1))/(y + xy + 1).
Soit G la fonction, définie sur la demi-droite [ 1, ∞ [, par la relation suivante :
G(x) = lim_(y ⟶ ∞)f(x, y)
Étudier les variations des six fonctions définies sur la demi-droite fermée [1, ∞[ par les relations suivantes:
x ⟼ f(x, 1); y ⟼ f(1, y); G : x ⟼ lim_(y ⟶ ∞)f(x, y);; y ⟼ lim_(x ⟶ ∞)f(x, y); f_y : x ⟼ f(x, y); f_x : y ⟼ f(x, y).
  1. Soit γ un réel strictement compris entre 0 et 1(0 < γ < 1). Démontrer l'existence d'une fonction φ_γ, définie sur la demi-droite fermée [1, ∞[, telle que, pour tout réel y de la demi-droite [1, ∞[, la relation ci-dessous soit vérifiée :
f(φ_γ(y), y) = γ.
Démontrer l'existence d'un réel β tel que la fonction G, définie ci-dessus, prenne la valeur γ en ce point : G(β) = γ. Démontrer que ce réel β est strictement supérieur à 1 et est un minorant de l'image par φ_γ de la demi-droite fermée [1, ∞[.
Soit (P_(k_i)) une suite extraite de la suite des polynômes considérés à la question 8. L'application i ⟼ k_i est une suite strictement croissante. Pour simplifier les notations, soit Q_i le polynôme P_(k_i) :
Q_i = P_(k_i).
Étude de la suite (Q_i)_(i ≥ 0) :
16. On choisit une suite (k_i)_(i ≥ 0) telle que la suite (Q_i)_(i ≥ 0) soit presque orthogonale.
Démontrer que le réel μ entrant dans la définition de la presque orthogonalité est strictement supérieur à 1(μ > 1).
Démontrer qu'il existe un réel β, strictement supérieur à 1(β > 1), tel que, pour tout indice i, les indices k_i et k_(i + 1) soient liés par la relation suivante:
k_(i + 1) ≥ βk_i
FIN DU PROBLÈME

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte mines maths 1 MP 2003 ?
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Sur quels chapitres porte mines maths 1 MP 2003 ?

Le sujet porte sur les suites et la comparaison série-intégrale, les intégrales et développements limités, ainsi que sur le produit scalaire, les familles libres et le théorème spectral des matrices symétriques réelles.

Quelle est la moyenne à mines maths 1 MP 2003 ?

D'après le rapport, la moyenne générale était de l'ordre de 6,94.

Ce sujet mines maths 1 MP 2003 est-il faisable en entier ?

Non, le rapport indique que le problème est très long et que personne ne le traite en totalité, seul un très petit nombre de candidats obtenant une note voisine de 20.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur mines maths 1 MP 2003 ?

Des erreurs de calcul sur l'intégrale In et les développements limités, une démonstration insuffisante de l'équivalence entre 1-presque orthogonalité et orthonormalité, et une utilisation approximative du théorème spectral.

Pas de description pour le moment