Centrale Mathématiques 2 MP 2003Sujet, corrigé et rapport du jury

Dans tout le texte, I désigne un intervalle de ℝ contenant au moins deux points et n est un entier strictement positif. On note 𝒰_n(ℝ) l'ensemble des matrices n × n à coefficients réels et on désigne par E_n(I) l'ensemble des applications de classe C^1 de I dans ℳ_n(ℝ). Si M ∈ E_n(I), M^′ désigne la dérivée de M. Parmi les éléments de E_n(I), on s'intéresse en particulier à ceux qui vérifient l'une ou l'autre des propriétés qui suivent :

On adopte les notations suivantes : I_n désigne la matrice identité d'ordre n, ℝ^n l'espace vectoriel des vecteurs-colonnes à n lignes, O_n(ℝ) le groupe des matrices orthogonales réelles d'ordre n et SO_n(ℝ) le sous-groupe des matrices orthogonales réelles d'ordre n et de déterminant +1 ; si M ∈ ℳ_n(ℝ), on désigne par M_([i, j]) le coefficient de M en position (i, j) lorsque 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ n. Enfin, on dit d'une matrice triangulaire de 𝒰_n(ℝ) qu'elle est stricte si elle a les coefficients diagonaux tous nuls et d'une matrice de 𝒰_n(ℝ) qu'elle est scalaire si elle est proportionnelle à l'identité ( M = λI_n, avec λ ∈ ℝ ).
Enfin, on rappelle que, si M est élément de ℳ_n(ℝ), l'application de ℝ dans 𝒰_n(ℝ) définie par

est un élément de E_n(ℝ) dont la dérivée est

I.A.1) Montrer que tout élément de E_n(I) vérifiant ( P1 ) vérifie ( P2 ).

I.A.2) Démontrer que si M est une application élément de E_n(I), alors pour tout k ∈ ℕ^∗, l'application M^k : x ↦ M(x)^k est élément de E_n(I); calculer sa dérivée.
I.A.3) Démontrer que si M est une application élément de E_n(I), telle que pour tout x ∈ I la matrice M(x) est inversible, alors l'application M^(− 1) : x ↦ M(x)^(− 1) est élément de E_n(I); calculer sa dérivée.
I.B - Dans la suite de la Partie I, on prend n = 2.

Un élément M de E_2(I) s'écrit pour x ∈ I :

I.B.1) On suppose dans cette question que M vérifie (P2) et que la fonction b ne s'annule pas. Que dire des fonctions

Montrer, en l'explicitant, qu'il existe une matrice A ∈ ℳ_2(ℝ) telle que, pour tout x ∈ I, M(x) ∈ Vect{I_2, A}. Montrer que l'application M vérifie aussi ( P1 ).
I.B.2) Soit A une matrice non scalaire dans 𝒰_2(ℝ). Montrer qu'il existe X ∈ ℝ^2 tel que ( X, AX ) soit une base de ℝ^2. On suppose X ainsi choisi. Si B ∈ 𝒰_2(ℝ), il existe donc (u, v) ∈ ℝ^2 tel que BX = uX + vAX.
Montrer que, si la matrice B commute avec A, elle s'écrit B = uI_2 + vA.
I.B.3) On suppose dans cette question que M vérifie (P2) et que M(x) n'est scalaire pour aucun x de I.
Montrer qu'il existe un unique couple ( u, v ) d'applications continues de I dans ℝ tel que M^′(x) = u(x)I_2 + v(x)M(x) pour tout x ∈ I. Pour x_0 ∈ I donné, on pose alors C(x) = M(x)M(x_0) − M(x_0)M(x) pour tout x ∈ I. Montrer que C vérifie une équation différentielle matricielle très simple, dans laquelle intervient la fonction v et la résoudre en la ramenant par exemple à des équations différentielles ordinaires. En conclure que M vérifie ( P1 ).
I.B.4) Dans cette question, on s'intéresse à E_2(ℝ).
a) Montrer que ( P2 ) est vérifiée lorsqu'on choisit pour a, b, c et d les fonctions qui à x réel associent respectivement 1 + x^2, x|x|, x^2 et 1 − x^2.
b) Déterminer soigneusement les éléments de E_2(ℝ) de la forme

Pour chaque élément de E_2(ℝ) ainsi trouvé,

I.C.2) À quelle condition, portant sur la fonction θ, M vérifie-t-elle (P2) ?

On dit d'une application de I × ℳ_n(ℝ) dans ℳ_n(ℝ) qu'elle est de type ( 𝒬 ) (abréviation pour quasi-polynomial) si elle est de la forme

où sont donnés

On dira qu'une telle application est polynomiale si, de plus, les applications P_k et Q_k sont toutes constantes, égales à I_n.

On admettra alors le théorème 𝒯 suivant, qui est une version du théorème de Cauchy-Lipschitz :
a) Si F : I × ℳ_n(ℝ) → ℳ_n(ℝ) est de type ( 𝒬 ), et si (x_0, U_0) ∈ I × ℳ_n(ℝ), il existe une unique solution maximale U de l'équation différentielle matricielle M^′(x) = F(x, M(x)), définie sur un intervalle J tel que x_0 ∈ J ⊂ I vérifiant de plus U(x_0) = U_0.
b) Si, en outre, E est un sous-espace vectoriel de ℳ_n(ℝ), si F(I × E) ⊂ E et si U_0 ∈ E, alors U(x) ∈ E pour tout x ∈ J.
L'attention des candidats est attirée sur le fait que, dans les questions qui suivent, les hypothèses faites entraînent que les fonctions matricielles solutions d'éventuelles équations différentielles sont définies sur I tout entier et que, partant, le point de vue de la maximalité de ces solutions est accessoire.

II.A - Soit une équation différentielle matricielle polynomiale de la forme ( ℰ ) :

Déduire du théorème 𝒯 le résultat (ℛ) suivant : si une solution U sur I de ( ℰ ) est telle que, pour une valeur x_0 ∈ I, U(x_0) est une matrice antisymétrique, alors U(x) est antisymétrique pour tout x ∈ I. Donner un énoncé plus général concernant une forme analogue d'équation différentielle matricielle, mais de type ( 𝒬 ), pour laquelle le résultat ( ℛ ) soit conservé.
II.B - Soit une équation différentielle matricielle polynomiale, de la forme

Soit M une solution sur I et x_0 ∈ I tel que le polynôme caractéristique de M(x_0) soit scindé. On choisit alors P ∈ GL_n(ℝ) et T_0 ∈ ℳ_n(ℝ) triangulaire supérieure telles que M(x_0) = PT_0 P^(− 1).
II.B.1) Former une équation différentielle matricielle polynomiale vérifiée par T : x ↦ P^(− 1)M(x)P permettant de montrer que T(x) est triangulaire supérieure pour tout x ∈ I.
II.B.2) On suppose en outre que T_0 est triangulaire stricte. En considérant les fonctions à valeurs réelles x ↦ T(x)_([i, i]) avec 1 ≤ i ≤ n, donner une condition nécessaire et suffisante sur la fonction a_0 pour que T(x) soit triangulaire stricte pour tout x ∈ I.
II.B.3) Cette condition étant supposée remplie, on choisit r ∈ ℕ^∗ tel que T_0^r = 0; former une équation différentielle matricielle de type ( 𝒬 ) vérifiée par x ∈ I ↦ T^r(x) permettant de montrer que l'application T^r est nulle.

II.C.1) Soit U solution sur I de l'équation différentielle matricielle

On suppose qu'il existe x_0 ∈ I tel que U(x_0) commute avec toutes les matrices P_k(x) et Q_k(x) pour tout x ∈ I. Montrer que U(x) commute avec U(x_0) pour tout x ∈ I.
II.C.2) Soit U une solution sur I d'une équation différentielle matricielle polynomiale. Vérifie-t-elle (P1), vérifie-t-elle (P2)? Montrer que dim(Vect{U(x), x ∈ I}) est inférieure ou égale à n.
II.D - Soit E un sous-espace vectoriel de ℳ_n(ℝ) tel que (M, N) ∈ E^2 ⇒ MN − NM ∈ E. En introduisant une équation différentielle matricielle bien choisie, montrer que ∀(t, M, N) ∈ I × E^2, exp(tM)Nexp(− tM) ∈ E.

III.A - On s'intéresse à une équation différentielle matricielle de la forme ( 𝒞^′ ) : M^′(x) = a(x)(I_n − M^2(x)), où a désigne une fonction donnée, de classe C^0 de I dans ℝ.
III.A.1) Si U est une solution sur I de ( ℰ^′ ) telle que (U(x_0))^2 = I_n (matrice d'une symétrie) pour un certain x_0 ∈ I, que peut-on dire de la fonction U ?
III.A.2) Soit J ∈ ℳ_n(ℝ). On suppose qu'une solution U de ( ℰ ') sur I vérifie ^t U(x_0)JU(x_0) = J pour un x_0 ∈ I. On pose alors N(x) = ^t U(x)JU(x) pour tout x ∈ I. Former une équation différentielle matricielle de type ( 𝒬 ) vérifiée par N − J et en conclure que N(x) = J pour tout x ∈ I. Si, en outre, J est inversible, montrer que l'application x ↦ det(U(x)) est constante.
III.B - Dans toute cette section III.B, on choisit n = 3. Soit U une matrice élément de E_3(I) à valeurs dans SO_3(ℝ) vérifiant (P2) et telle que,

III.B.1)
a) Pour x_0 ∈ I fixé, on pose U_0 = U(x_0). Montrer qu'il existe un vecteur Z_0 unitaire dans ℝ^3 euclidien canonique, tel que U_0 Z_0 = Z_0.
b) On choisit alors X_0 et Y_0 tels que B = (X_0, Y_0, Z_0) soit une base orthonormale directe de ℝ^3, on pose X = Y_0 + Z_0 et C = (X, U_0 X, U_0^2 X).
De quelle forme est la matrice dans B de l'endomorphisme de ℝ^3 ayant U_0 pour matrice dans la base canonique? Calculer alors det_B(C) en fonction des coefficients de cette matrice et en déduire que C est une base de ℝ^3.
c) En conclure qu'il existe trois fonctions u, v, w de I dans ℝ telles que U^′(x) = u(x)I_3 + v(x)U(x) + w(x)U^2(x) pour tout x ∈ I. On admettra que ces trois fonctions sont continues.
d) En exprimant la dérivée de ^t UU en fonction de u, v, w, ^t U + U, montrer que U est solution d'une équation différentielle matricielle, notée ℱ, de la forme ( ℰ^′ ) : on exprimera, à l'aide de certaines des fonctions u, v, w, la fonction a correspondante.
III.B.2) Transformer l'équation ( ℱ ) par le changement de matrice inconnue défini par la formule : (I_3 + U(x))A(x) = I_3 − U(x), en justifiant l'introduction de A(x).
Montrer que A est solution sur I d'une équation différentielle matricielle polynomiale très simple. Résoudre cette équation et en déduire une expression de U(x) pour tout x ∈ I.
III.C - En s'inspirant de III.B.1-d), construire une fonction élément de E_3(ℝ) à valeurs dans SO_3(ℝ) vérifiant ( P2 ) mais pas ( P1 ).
III.D - Chercher la solution maximale U dans 𝒰_2(ℝ) de l'équation différentielle matricielle M^′(x) = I_2 + M^2(x), définie au voisinage de 0 et telle que

Pour cela, on montrera que les solutions sont nécessairement de la forme

et on cherchera ensuite une équation différentielle vérifiée par u = b^2 − a^2, sachant que u(0) = 1.