Centrale Mathématiques 2 MP 2005Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Localisation du spectre d'une matrice complexe

Le problème étudie plusieurs méthodes de localisation des valeurs propres d'une matrice complexe : normes matricielles et rayon spectral, disques de Geršgorin, puis un résultat de continuité des racines d'un polynôme pour affiner la localisation. Une dernière partie, indépendante, étudie le produit de Hadamard de deux matrices et l'encadrement des valeurs propres qui en résulte.

1Partie IÉtude de normes matricielles, notamment la norme infinie, et de leur lien avec le rayon spectral d'une matrice.
2Partie IIConstruction des disques de Geršgorin et démonstration du théorème d'Hadamard localisant le spectre d'une matrice.
3Partie IIIÉtude de la continuité des racines d'une famille de polynômes et application aux propriétés du spectre étudié en partie II.
4Partie IV (indépendante de II et III)Étude du produit de Hadamard de deux matrices et encadrement des valeurs propres de ce produit à partir de celles des matrices de départ.

Difficile. Le jury qualifie l'épreuve de très décevante à la correction malgré des questions de cours ou proches du cours, et parle d'un flot d'aberrations sur des techniques pourtant classiques de majoration et d'encadrement.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Axiomes de la norme mal connus · Confusion majorant, maximum et borne supérieure · Définition ambiguë du I.A3 mal comprise

Le sujet s'inscrivait dans les thèmes d'algorithmique du programme de MP et comportait de nombreuses questions de cours ou proches du cours, avec une large part consacrée à des techniques classiques de majoration, minoration et encadrement. Le jury se dit néanmoins déçu par le flot d'aberrations produites par ces méthodes et par des erreurs répétées sur la notion de valeur propre.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Axiomes de la norme mal connusI.A
Seuls 80% des candidats connaissaient les axiomes exacts d'une norme au début de la partie I.A, et encore moins savaient les vérifier complètement.
« il ne s’est trouvé que 80% des candidats pour connaître les axiomes exacts d’une norme »
2
Confusion majorant, maximum et borne supérieureI.A
Une large majorité de candidats confond ces trois notions pourtant fondamentales, ce qui fragilise les raisonnements de la partie I.
« La majorité confond majorant, maximum et borne supérieure. »
3
Définition ambiguë du I.A3 mal compriseI.A3
Beaucoup de candidats n'ont pas compris que la majoration indiquée ne définissait que l'aspect matriciel de la norme, et non la notion complète de norme matricielle.
« L’ambiguïté de la définition du I.A3 a abusé 60% de Parisiens mais aussi 45% des »
4
Justifications lapidaires non recevablesIII.B1
Les formules toutes faites comme « il est évident que... » reviennent trop souvent en lieu et place d'une démonstration, en particulier pour l'exemple demandé en III.B1.
« Les justifications lapidaires « il est évident que »
5
Partie III.B quasiment non traitéeIII.B
Plus technique que le reste du sujet, cette sous-partie n'a pratiquement jamais rapporté de point aux candidats qui l'ont abordée.
« Le III.B, plus technique, n’a pratiquement jamais rapporté ne fût-ce qu’un point. »

Ce qui a été bien réussi

Le reste du IV.A, qui demandait des calculs faciles, n'a posé que très peu de problèmes.
La question de cours du IV.B1 a été en général satisfaisante, même si peu de candidats ont abordé les questions suivantes faute de temps.

Conseils du jury

Revoir précisément les définitions du cours (norme, norme matricielle, valeur propre, borne supérieure) avant l'épreuve, sans se contenter d'une mémoire approximative.
Utiliser l'enchaînement des questions : les résultats déjà démontrés doivent servir à traiter les questions suivantes plutôt que d'être redémontrés plusieurs fois.
Bannir les justifications lapidaires du type « il est évident que » et rédiger des raisonnements complets et étayés.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

MATHÉMATIQUES II

Notations : on désigne par

K

le corps des nombres réels

ℝ

ou des complexes

ℂ

. Lorsque

K = ℂ

z \in K, |z|

est le module de

z

i^2 = - 1

. Pour les entiers

n

p \geq 1

, on note:

$K^n$ le $K$ -espace vectoriel des vecteurs $(z_1, z_2, \dots, z_n)$ avec $z_j \in K$ pour $j = 1, 2, \dotsn$ .
$M_(n, p)(K)$ les matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients dans $K$ ; et $M_n(K) = M_(n, n)(K)$ .
On identifie $K^n$ et $M_(n, 1)(K)$ donc, en calcul matriciel un vecteur s'identifie avec la matrice colonne ayant les mêmes éléments. Pour $A \in M_(n, p)(K)$ , on note $A = (a_(ij))_(1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq p)$ lorsqu'on veut préciser les éléments de $A$ ; quand le contexte est clair, on écrit simplement $A = (a_(ij))$ ou $A = (A_(ij))$ . Pour $x \in K^n$ , $D_x$ est la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont ceux de $x$ . Pour $A \in M_n(K), σ_A$ désigne le spectre de $A$ , c'est-à-dire l'ensemble des valeurs propres de $A$ et $ρ(A) = max{|λ|; λ ∈ σ_A}$ . Pour $A \in M_n(K), ^t A$ est la transposée de $A$ ; et pour $A \in M_n(ℂ), A^* = ^t A¯$ (c'est-à-dire $A^*_(ij) = a¯_(ji)$ ). $S_n(K)$ désigne le sousensemble des matrice symétriques de $M_n(K)$ . Pour $K = ℝ, S_n^+(ℝ)$ et $S_n^(+ +)(ℝ)$ sont respectivement les sous-ensembles des matrices symétriques positives et définies positives de $S_n(ℝ)$ . On rappelle qu'une matrice symétrique $A$ est positive (resp. définie positive) lorsque la forme quadratique qu'elle définit ne prend que des valeurs positives (resp. strictement positives) sur $ℝ^n∖{0}$ .

Partie I -

I.A - Dans cette partie, on munit

ℂ^n

de la norme (

‖‖_\infty

) soit

‖z‖_\infty = max_(j = 1, \dotsn)|z_j|

.
On définit l'application

A \in M_n(ℂ) \to N_\infty(A) = max_(i = 1, \dotsn)\sum_(j \in [1, 2, \dotsn])|a_(ij)|

.
I.A.1)

Montrer que

A \to N_\infty(A)

est une norme sur

M_n(ℂ)

.
I.A.2)
a) Montrer que

\forallA \in M_n(ℂ), \forallz \in ℂ^n : ‖A(z)‖_\infty \leq N_\infty(A)‖z‖_\infty

Filière MP

b) Montrer l'égalité

N_∞(A) = max_(z ∈ (C^n∖{0}))(‖A(z)‖_∞)/(‖z‖_∞).

c) Montrer que

ρ(A) \leq N_\infty(A)

.
I.A.3) Montrer que

N_\infty

est une norme matricielle c'est-à-dire qu'elle vérifie :

\forallA

B \in M_n(ℂ), N_\infty(AB) \leq N_\infty(A)N_\infty(B)

.
I.A.4) Soit

Q \in M_n(ℂ)

une matrice inversible. On définit

A \in M_n(ℂ) \to N_Q(A) = N_\infty(Q^(- 1)AQ)

a) Vérifier que

N_Q

est une norme matricielle sur

M_n(ℂ)

.
b) Montrer qu'il existe une constante

C_Q

telle que

\forallA \in M_n(ℂ) 1/(C_Q)N_\infty(A) \leq N_Q(A) \leq C_Q N_\infty(A).

I.B -

Soit

T \in M_n(ℂ)

une matrice triangulaire supérieure et

ε > 0

donné.
Montrer que l'on peut choisir une matrice diagonale

D_S \in M_n(ℂ)

avec

S = (s, s^2, s^3, \dotss^n) \in ℂ^n

où

s

est un réel strictement positif telle que :

N_(D_S)(T) < ρ(T) + ε

Étant donnés

A \in M_n(ℂ)

ε > 0

, montrer qu'il existe une norme matricielle

N_ε

telle que

N_ε(A) < ρ(A) + ε.

I.C - En déduire l'équivalence

lim_(k \to \infty)A^k = 0 \Leftrightarrow ρ(A) < 1

Partie II -

Soit

A \in M_n(ℂ)

fixée ; pour

i \in [1, 2, \dotsn]

on pose :

L_i = \sum_(j \in [1, 2, \dotsn]j \neq i)|a_(ij)|C_i = \sum_(j \in [1, 2, \dotsn]j \neq i)|a_(ji)|

.
On définit les sous-ensembles du plan complexe :

G_L(A) = ⋃_(i = 1)^n D_i(A) et D_i(A) = {z ∈ ℂ, |z − a_(ii)| ≤ L_i}; G_C(A) = ⋃_(i = 1)^n D_i^′(A) et D_i^′(A) = {z ∈ ℂ, |z − a_(ii)| ≤ C_i}

On désigne par

C_i(A)

le cercle bordant le disque

D_i(A)

II.A -

II.A.1) Soit

A = (4 + 3i, i, 2, - 1; i, - 1 + i, 0, 0; 1 + i, - i, 5 + 6i, 2i; 1, - 2i, 2i, - 5 - 5i)

Représenter dans le plan complexe

G_L(A)

G_C(A)

.
II.A.2) On se propose de montrer l'inclusion

σ_A \subset G_L(A) \cap G_C(A)

.
a) Soit

M = (m)_(ij) \in M_n(ℂ)

telle que le système linéaire

MZ = 0

a une solution non nulle.
Montrer que

\existsp \in [1, 2, \dotsn] |m_(pp)| \leq L_p

b) Soient

A \in M_n(ℂ)

λ \in σ_A

. Utiliser II.A.2-a) et montrer que

λ \in G_L(A)

.
c) Conclure en justifiant l'inclusion

σ_A \subset G_C(A)

.
II.A.3) On suppose que

A \in M_n(ℂ)

a une valeur propre

μ

sur le bord de

G_L(A)^((1))

et soit

x

un vecteur propre associé à

μ

.
a) Montrer que si pour

k \in [1, 2, \dotsn]

on a

|x_k| = ‖x‖_\infty

, alors

μ \in C_k(A)

.
b) On suppose de plus que

a_(ij) \neq 0\forall(i, j)

. Montrer que

μ \in ⋂_(j = 1)^n C_j(A)

Un point $z$ appartient au bord de $G_L(A)$ si et seulement si $z \in G_L(A)$ et $|z - a_(ii)| \geq L_i i = 1, 2, \dotsn$ .
II.A.4) Soit $p \in ℝ^n$ . On note $p > 0$ lorsque $p = (p_1, p_2, \dotsp_n)$ et $p_j > 0$ pour $j = 1, 2, \dotsn$ . Soient $A \in M_n(ℂ)$ et $D_p$ matrice diagonale avec $p > 0$ . Déterminer $G_L(D^(- 1)AD)$ .
II.A.5)
a) Déduire de II.A.2) et II.A.4) l'inégalité

ρ(A) \leq inf_(p > 0)(max_(i = 1, 2, \dotsn)1/(p_i)\sum_(j = 1)^n p_j|a_(ij)|)

b) Soit la matrice

A = (7, - 16, 8; - 16, 7, - 8; 8, - 8, - 5)

i) Montrer que le majorant de

ρ(A)

donné par II.A.5)-a est supérieur ou égal à

(83)/3

.
ii) Donner une valeur approchée de

ρ(A)

(on pourra utiliser la calculatrice).

II.B - Applications

II.B.1) Soit

A \in M_n(ℂ)

telle que

\foralli \in [1, 2, \dotsn] |a_(ii)| > L_i

On dit que

A

est strictement diagonale dominante (SDD).
a) Montrer que si

A

est SDD alors

A

est inversible.
b) Si

A

est SDD et si de plus

\forallia_(ii)

est réel et strictement négatif, montrer que pour tout

λ \in σ_A, Re(λ) < 0

.
c) Si

A

est une matrice réelle symétrique et SDD , énoncer une condition suffisante pour qu'elle soit définie, positive.
II.B.2) Soit

B

diagonalisable. Montrer qu'il existe une constante

κ_\infty(B)

telle que

\forallE \in M_n(ℂ), \forallλ^ \in σ_(B + E), \existsλ_i \in σ_B|λ^ - λ_i| \leq κ_\infty(B)N_\infty(E).

Partie III -

Cette partie est indépendante de la Partie II, à l'exception de III.B.3.

III.A - Préliminaire

ℂ_n[X]

est le

ℂ

- espace vectoriel des polynômes de degré

\leq n

à coefficients complexes. Soit

t \to P_t

une application de

[0, 1]

dans

ℂ_n[X]

P_t(X) = X^n + \sum_(j = 1)^n c_j(t)X^(n - j)

où les

n

applications

t \to c_j(t)

sont des fonctions continues de [ 0,1 ] dans

ℂ

.
On note

Z_t

l'ensemble des racines de

P_t

qui est un sous-ensemble de

ℂ

.
III.A.1) Montrer qu'il existe

R > 0

tel que

\forallt \in [0, 1] Z_t \subset D(0, R).

III.A.2) Soit

t_0

fixé et

X_0 \in Z_(t_0)

. Montrer que la proposition (

P

) suivante est vraie

(P) \forallε > 0, \existsη > 0, \forallt|t - t_0| < η, \existsX_t \in Z_t, |X_t - X_0| < ε.

On pourra raisonner par l'absurde et écrire la proposition (non

(P)

III.B -

III.B.1) Exhiber une matrice

A \in M_2(ℂ)

pour laquelle

D_1(A)

(notation Partie II) ne contient pas de valeurs propres de

A

.
III.B.2) Soit

A \in M_n(ℂ)

G_L(A)

défini dans II. On se propose de prouver la propriété suivante :
si

\forallj = 2, 3, \dotsn, D_1(A) \cap D_j(A) = \emptyset

, le disque

D_1(A)

contient au moins une valeur propre de

A

.
On suppose donc que,

\forallj = 2, 3, \dots, n, D_1(A) \cap D_j(A) = \emptyset

.
On écrit

A = D + B

où

D

est diagonale et

B = (b_(ij))

avec

b_(ij) = a_(ij)

pour

i \neq j

b_(ii) = 0

.
On définit l'application :

t \in [0, 1] \to A(t) = D + tB \in M_n(ℂ)

.
a) Montrer que

G_L(A(t)) \subset G_L(A)

.
b) Soit

E = {t ∈ [0, 1]|∃λ_t ∈ σ_(A(t)) ∩ D_1(A)}

.
i) Montrer que

E \neq \emptyset

.
ii) Montrer la propriété

\forallt \in E, \existsη > 0, ]t - η, t + η[ \cap [0, 1] \subset E

.
iii) Soit

k \to (t_k)_(k = 1, 2, \dots)

une suite d'éléments de

E

qui converge vers

a \in [0, 1]

; montrer que

a \in E

.
On admettra que les seules parties à la fois ouvertes et fermées dans [ 0,1 ] sont

\emptyset

[0, 1]

.
iv) En déduire que

E = [0, 1]

. Conclure.
III.B.3) Déduire de la Partie II et de la Partie III des propriétés du spectre de la matrice

A

définie dans la question II.A.1)

Partie IV - (indépendante de II et III)

Rappels : sur

M_n(ℂ)

on définit le produit hermitien et la norme associée ou norme de Frobenius

N_2

:
Pour

A

B \in M_n(ℂ), ⟨A, B⟩ = Tr(AB^*)

N_2(A) = \sqrt(⟨A, A⟩) = \sqrt(\sum_(i, j = 1, 2, \dotsn)|a_(ij)|^2).

IV.A -

IV.A.1) Vérifier que

N_2

est bien une norme matricielle sur

M_n(ℂ)

Étant donnés

A

B \in M_(n, p)(ℂ)

, on définit leur H -produit noté

A \times _H B \in M_(n, p)(ℂ)par(A \times _H B)_(ij) = a_(ij)b_(ij)(i = 1, 2, \dotsn j = 1, 2, \dotsp)

.
IV.A.2)
a) Si

A

B \in M_(n, p)(ℂ)

, et si

D \in M_n(ℂ)

Δ \in M_p(ℂ)

sont des matrices diagonales, établir les égalités :

D(A \times _H B)Δ = (DAΔ) \times _H B = (DA) \times _H(BΔ).

Donner deux égalités semblables pour

D(A \times _H B)Δ

.
b) Soient

A

B \in M_(n, p)(ℂ)

, et

x \in ℂ^p

, établir l'égalité :

(AD_x^t B)_(ii) = [(A \times _H B)x]_i

c) Si

A

B \in M_(n, p)(ℂ), y \in ℂ^n, x \in ℂ^p

montrer que

y^*(A \times _H B)x = Tr(D_y^* AD_x^t B).

On pourra introduire la matrice colonne

e = ^t(1, 1, \dots1)

, utiliser les questions a) et b) en remarquant que

D_y e = y

d) En déduire que

x^*(A \times _H B¯)x=<D_x^* AD_x, B >

.
IV.B - Dans la suite on suppose

K = ℝ

, toutes les matrices sont à coefficients réels.
IV.B.1) Soit

S \in S_n^+(ℝ)

, montrer qu'il existe

T \in M_n(ℝ)

telle que

S = ^t TT

Que peut-on dire de

T

S \in S_n^(+ +)(ℝ)

?
IV.B.2) Soient

A

B \in S_n^+(ℝ)

, montrer que

A \times _H B \in S_n^+(ℝ)

. Que peut-on dire si

A

B \in S_n^(+ +)(ℝ)

?
IV.B.3) On se propose d'obtenir un encadrement des valeurs propres de

A \times _H B

quand

A

B \in S_n^+(ℝ)

.
a) On désigne par

λ_(min)(A)

(resp.

λ_(min)(B)

) la plus petite valeur propre de

A

(resp.

B

) et par

λ_(max)(A)

(resp.

λ_(max)(B)

) la plus grande.
Montrer que les matrices

B - λ_(min)(B)I_n

A \times _H(B - λ_(min)(B)I_n) \in S_n^+(ℝ)

.
b) Soit

λ(A \times _H B)

une valeur propre de

(A \times _H B)

x

un vecteur propre pour cette valeur propre

(‖x‖_2 = 1)

. Évaluer

^t x(A \times _H B - λ(A \times _H B)I_n)x

et en déduire

λ(A \times _H B) \geq λ_(min)(B) \cdot (min_i a_(ii))

c) Montrer que

a_(ii) \geq λ_(min)(A)

et en déduire la minoration

λ(A \times _H B) \geq λ_(min)(A)λ_(min)(B)

d) Établir de même la majoration

λ(A \times _H B) \leq λ_(max)(A)λ_(max)(B)

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de mathématiques 2 Centrale MP 2005 ?

Le sujet porte sur la localisation du spectre d'une matrice complexe, à travers les normes matricielles, les disques de Geršgorin et le produit de Hadamard.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes relevées par le jury sur ce sujet Centrale MP 2005 ?

Le jury relève une méconnaissance des axiomes de la norme, une confusion entre majorant, maximum et borne supérieure, et un usage abusif de justifications lapidaires comme « il est évident que ».

Ce sujet de maths 2 Centrale MP 2005 est-il difficile ?

Le jury le juge décevant à la correction : malgré des questions de cours, les candidats ont commis de nombreuses erreurs sur des techniques pourtant classiques.

Quels chapitres réviser pour traiter ce sujet Centrale maths 2 MP 2005 ?

Il faut maîtriser la réduction des endomorphismes, les normes matricielles, les matrices symétriques positives et la continuité des racines de polynômes.

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