WikiPrépaLivrets

Polytechnique Mathématiques 2 MP 2005Sujet, corrigé et rapport du jury

Étude de certaines matrices symétriques réelles

Pas encore noté
Logo concours X

Explorer les annales

BanqueX-ENSAnnée2005FilièreMPMatièreMathématiques
Annales X-ENS MP MathématiquesX-ENS MP 2005MP MathématiquesMathématiques 2005

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficile
Valeurs propres et vecteurs propres de matrices symétriques associées à un graphe
Afficher ou masquer la section

Le problème étudie les valeurs propres et vecteurs propres de matrices symétriques réelles associées à un graphe sur les indices 1 à N. Après des résultats généraux sur la norme d'une matrice symétrique, il étudie le cas d'une chaîne (matrice tridiagonale), puis d'un cycle à l'aide des racines de l'unité et de la transformée de Fourier discrète, avant de démontrer un résultat général de type Perron-Frobenius pour un graphe connexe quelconque.

  1. 1Première partieRésultats généraux sur la norme et la plus grande valeur propre d'une matrice symétrique réelle.
  2. 2Deuxième partieÉtude de la matrice associée à une chaîne : polynôme caractéristique, relation de récurrence et encadrement de la norme.
  3. 3Troisième partieÉtude de la matrice associée à un cycle à l'aide des racines de l'unité et d'une transformée de Fourier discrète.
  4. 4Quatrième partieDémonstration d'un résultat général : pour un graphe connexe, la plus grande valeur propre est simple et admet un vecteur propre à coordonnées strictement positives.

Difficile. La moyenne n'est que de 7,58/20 avec un écart-type de 3,96 sur 1398 candidats, et le rapport qualifie de désastre la réussite de plusieurs questions élémentaires de la partie III.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,58 / 20 · écart-type 3,96 · 1 398 copies · où vous situez-vous ?
Afficher ou masquer la section
Moyenne
7,58/ 20
Écart-type
3,96
Copies
1 398
moyenne 7,5805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées
Confusion entre les différentes normes · Distinction des racines de l'unité mal maîtrisée · Confusion entre max λ et max |λ|
Afficher ou masquer la section

Le problème proposait un petit nombre de questions difficiles réservées à une poignée de candidats, quelques questions de sélection entre les meilleurs, et des questions faciles ou standard abordées par la majorité comme des obstacles sévères. Le jury note une certaine autocensure positive des candidats, mais aussi un flottement croissant dans le maniement des nombres complexes et des structures hermitiennes.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre les différentes normesQ1.a

    De nombreux candidats affirment que toutes les normes sont équivalentes, donc égales, ce qui est faux et invalide leur raisonnement sur la norme d'une matrice symétrique.

    « toutes les normes sont équivalentes, donc égales »
  2. 2
    Distinction des racines de l'unité mal maîtriséeQ7.b, Q7.c

    Ces deux questions élémentaires sur les racines de l'unité n'ont été réussies que par moins d'un candidat sur dix, beaucoup ayant du mal à savoir quand deux racines de l'unité sont distinctes.

    « Ces deux questions élémentaires ont été réussi es par moins d’un candidat sur dix. »
  3. 3
    Confusion entre max λ et max |λ|Q1.b, Q1.c

    Une confusion fréquente entre le maximum des valeurs propres et le maximum de leur valeur absolue conduit à invoquer à tort l'inégalité de Cauchy-Schwarz puis sa réciproque.

  4. 4
    Produit scalaire hermitien traité comme bilinéaireQ7.b

    Plusieurs candidats vérifient l'orthogonalité d'une base de vecteurs propres complexes en oubliant que le produit scalaire hermitien est sesquilinéaire et non bilinéaire.

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 3.a et 3.b, sur le calcul direct des premiers polynômes caractéristiques, ont permis à la plupart des candidats de glaner des points faciles.
  • La question 8.c a été traitée à peu près correctement par ceux qui l'ont abordée.

Conseils du jury

  • Ne jamais confondre équivalence des normes et égalité des normes, en particulier pour une norme non invariante par changement de base orthonormée.
  • Revoir précisément les propriétés des racines de l'unité et le critère de distinction entre deux racines.
  • Faire attention au caractère sesquilinéaire (et non bilinéaire) du produit scalaire hermitien sur un espace complexe.
  • Justifier toutes les étapes d'un raisonnement, y compris celles qui paraissent triviales, plutôt que d'invoquer des formules sans preuve.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Étude de certaines matrices symétriques réelles

Le but de ce problème est l'étude des valeurs propres et vecteurs propres de certaines matrices symétriques réelles.
On désigne par N un nombre entier au moins égal à 2 . On munit l'espace R^N de son produit scalaire et de sa norme usuels notés respectivement ( | ) et ‖‖. On identifie une matrice N × N réelle A avec l'endomorphisme qu'elle représente dans la base naturelle de R^N et on note ‖A‖ = sup{‖Ax‖|‖x‖ ⩽ 1}.

Première partie

  1. Étant donné une matrice N × N réelle symétrique A, démontrer les assertions suivantes :
    a) ‖A‖ est égal au maximum des valeurs absolues des valeurs propres de A.
    b) La plus grande valeur propre de A, notée λ, est égale à la borne supérieure des nombres ((Ax|x))/(‖x‖^2) où x ∈ R^N et x ≠ 0.
    c) Pour un élément x de R^N, on a Ax = λx si et seulement si (Ax|x) = λ‖x‖^2.
Dans la suite du problème, on désigne par E un ensemble de couples (i, j) de {1, …, N} × {1, …, N}, tels que i ≠ j et que (i, j) ∈ E implique (j, i) ∈ E; on note M_E l'ensemble des matrices N × N réelles symétriques et dont les coefficients a_(i, j) satisfont, pour i ≠ j :
a_(i, j) > 0 si (i, j) ∈ E, a_(i, j) = 0 dans le cas contraire .

Deuxième partie

Dans cette deuxième partie, on prend pour E l'ensemble des couples ( i, i + 1 ) et ( i + 1, i ) où i = 1, …, N − 1.
2. Montrer que toutes les valeurs propres de toute matrice A de M_E sont simples.
Dans la suite de cette partie, on prend pour A la matrice, notée A_N, de coefficients
a_(i, i) = 0, a_(i, j) = 1 si (i, j) ∈ E
tous les autres coefficients étant nuls. On note P_N son polynôme caractéristique : P_N(X) = dét(X.id − A_N). On pose P_1(X) = X.
3.a) Calculer P_2 et P_3.
b) Écrire une relation donnant P_N en fonction de P_(N − 1) et P_(N − 2).
c) Calculer dét A_N.
d) Le polynôme P_N est-il pair, impair?
4. Soit x un vecteur propre de A_N associé à une valeur propre λ, de coordonnées x_1, …, x_N. Exprimer x_k en fonction de x_1 et de P_(k − 1)(λ) pour k = 2, …, N, puis x_(N − k) en fonction de x_N et de P_k(λ) pour k = 1, …, N − 1.
5.a) Démontrer les inégalités
4 − 6/N ⩽ ‖A_N‖^2 < 4
[On pourra écrire 4‖x‖^2 − ‖A_N x‖^2 sous la forme d'une somme de carrés de termes de la forme x_i ou x_i − x_j.]
b) Vérifier que l'on a ‖A_(N − 1)‖ < ‖A_N‖.
6. Soit λ_N la plus grande valeur propre de A_N. Montrer qu'il existe un vecteur propre x pour cette valeur propre dont toutes les coordonnées x_k sont strictement positives.

Troisième partie

Dans cette partie, on prend pour E l'ensemble formé des couples ( i, i + 1 ) et ( i + 1, i ) où i = 1, …, N − 1, et des couples (1, N) et (N, 1). On définit A par
a_(i, i) = 0, a_(i, j) = 1 si (i, j) ∈ E
tous les autres coefficients étant nuls.
On munit C^N de son produit scalaire usuel.
7.a) Déterminer les nombres réels c pour lesquels le vecteur x de coordonnées x_k = e^(ikc) est vecteur propre de A. Préciser la valeur propre correspondante λ_c.
b) Construire une base orthonormée (e_n), n = 0, …, N − 1, de C^N formée de vecteurs propres de A.
c) Déterminer les multiplicités des valeurs propres de A.
On pose α = e^(2πi/N) et on note F l'espace vectoriel des applications f : Z → C satisfaisant f(q + N) = f(q) pour tout q ∈ Z. On définit un endomorphisme Φ de F par
(Φf)(p) = N^(− 1/2)∑_(q = 0)^(N − 1)α^(− pq)f(q)
8.a) Montrer que Φ est un isomorphisme unitaire, et déterminer son inverse.
b) On définit un endomorphisme Ψ de F par
(Ψf)(p) = f(p − 1) + f(p + 1)
Calculer l'endomorphisme Ω = Φ ∘ Ψ ∘ Φ^(− 1).
c) Déduire de ce qui précède une nouvelle démonstration de la question 7.b).

Quatrième partie

On suppose maintenant que l'ensemble E satisfait la condition suivante :
(C) Pour tout couple (i, j) ∈ {1, …, N} × {1, …, N}, i ≠ j, il existe un entier p ⩾ 1 et des indices k_0, k_1, …, k_p tels que k_0 = i, k_p = j, (k_q, k_(q + 1)) ∈ E pour tout q = 0, …, p − 1.
On note A une matrice de M_E, et λ sa plus grande valeur propre. On se propose de démontrer le résultat suivant :
(R) La valeur propre λ est simple et le sous-espace propre correspondant E_λ dans R^N contient un vecteur x ayant toutes ses coordonnées strictement positives.
9. Vérifier que, si un vecteur x appartient à E_λ, il en est de même du vecteur |x| de coordonnées |x_i|.
10. On suppose que E_λ contient un vecteur x, non nul, tel que x_i ⩾ 0 pour tout i et x_(i_0) = 0 pour un certain indice i_0.
a) Montrer qu'il existe deux indices u et v tels que x_u = 0, x_v > 0 et (u, v) ∈ E.
b) On fixe u et v ayant la propriété ci-dessus. Pour tout ε > 0 on définit un vecteur x_ε par ses coordonnées
x_(ε, i) = x_i si i ≠ u, x_(ε, u) = ε
Montrer que, pour tout ε suffisamment petit, on a
((Ax_ε|x_ε))/(‖x_ε‖^2) > ((Ax|x))/(‖x‖^2)
c) L'hypothèse faite au début de la question 10. est-elle valide?
11. Démontrer le résultat (R).

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte la deuxième composition de mathématiques MP Polytechnique 2005 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte la deuxième composition de mathématiques MP Polytechnique 2005 ?

Le sujet porte sur les valeurs propres et vecteurs propres de matrices symétriques réelles associées à des graphes (chaîne, cycle), avec des racines de l'unité, une transformée de Fourier discrète et un résultat de type Perron-Frobenius.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 2 MP Polytechnique 2005 ?

Le jury relève une confusion entre équivalence et égalité des normes, une mauvaise maîtrise des racines de l'unité, une confusion entre max λ et max de la valeur absolue des valeurs propres, et le traitement erroné du produit scalaire hermitien comme bilinéaire.

Ce sujet de maths 2 MP Polytechnique 2005 est-il difficile ?

Oui, la moyenne n'est que de 7,58/20 avec un écart-type de 3,96 sur 1398 candidats, et le rapport qualifie de désastre la réussite de plusieurs questions élémentaires de la troisième partie.

Ce sujet de Polytechnique MP 2005 nécessite-t-il de bien maîtriser les nombres complexes ?

Oui, la troisième partie utilise les racines de l'unité et les espaces hermitiens, et le rapport signale un flottement croissant des candidats dans le maniement des nombres complexes et des structures hermitiennes.

Pas de description pour le moment